Качественное исследование резонансных явлений в некоторых волноводных областях

Во многих областях физики имеет важное значение исследование собственных колебаний в неограниченных волноводных областях. Первые значимые исследования спектральных свойств лапласиана в областях с бесконечной границей были проведены Реллихом [82] и Джоунсом [69]. В частности, ими было показано, что лапласиан имеет собственные значения для класса локальных возмущений достаточно гладких полуцилиндрических областей. Вероятно, ввиду математической сложности этих работ, им уделялось мало внимания в различных приложениях. В первую очередь возрождение интереса к данной тематике обусловлено в связи с явлением аэроакустического резонанса, изучение которого актуально, например, при проектировании турбомашин (газовых, паровых и гидравлических турбин, насосов, компрессоров), трубопроводов, камер сгорания реактивных двигателей и т. п. (обзор некоторых экспериментальных работ содержится в [79]). Общей теории, позволяющей эффективно описать закономерности поведения соответствующего спектра собственных значений, еще не создано. Этим и объясняется актуальность диссертационной работы.

Впервые экспериментальные исследования собственных колебаний около симметричной решетки пластин в прямоугольном канале были описаны в [77]. Отметим также работы экспериментального характера [3,4,18,19,61].

В работах Сухинина С. В. [41−43] содержится теоретическое доказательство существования собственных частот акустических колебаний около периодической решетки профилей и исследованы их свойства при помощи аналитической теоремы Фредгольма.

В работе Попова А. Н. 33] было показано существование собственных колебаний для случая бесконечно тонкой пластинки в волноводе с акустически мягкой границей. Первый численный пример существования собственных колебаний в двумерном волноводе с жёсткой границей, в центре которого помещено круглое препятствие достаточно малого радиуса, был дан Калланом, Лин-тоном и Эвансом [63]. Дальнейшее развитие эти исследования получили в работе Эванса, Левитина, Васильева [66], где проведено доказательство существования собственных колебаний для некоторого класса препятствий в двумерном волноводе. В работе Сухинина C.B., Бардаханова С. Щ47] теоретически и экспериментально в двумерной постановке исследовано явление аэроакустического резонанса для случая бесконечно тонкой пластины в канале. Было показано существование собственных колебаний независимо от длины и положения пластины в канале. Экспериментальные данные и результаты численных исследований показали хорошее совпадение.

Существование собственных колебаний не ограничивается только двумерной постановкой задачи, как было показано Урселлом в работе [85] для случая сферы достаточно малого радиуса, расположенной в середине волновода с постоянным круговым поперечным сечением в R3. Отметим также работы C.B. Сухинина [44,46], Дэвиса, Парновского [65], в которых исследован случай тонкостенных препятствий в цилиндре, и работу А. И. Макарова [27], в которой рассмотрен случай крестообразного препятствия, образованного двумя прямоугольными пластинами, в волноводе квадратного сечения. Во всех приведенных выше работах предполагалось, что волновод и препятствия имеют акустически жесткую границу.

Необходимо также упомянуть работы Камоцкого И. В., Назарова С. А. 20,21] в которых исследуется задача дифракции плоской акустической волны на периодической границе при значениях частот, близких к резонансным. В частности, ими рассмотрен случай полуполосы, в которой помещены два круга одинакового радиуса, и показано, что при надлежащем выборе расположения центров кругов и достаточно малом их радиусе существует экспоненциально убывающая на бесконечности собственная функция задачи Неймана (см. 21], теорема 4.3). При этом соответствующее собственное значение вложено в непрерывный спектр данной задачи. Ими же развит невариационный метод изучения собственных волн, основанный на свойствах расширенной матрицы рассеяния [22].

С учетом вышеизложенного, встала задача исследования собственных колебаний в случае трехмерного волновода с прямоугольным поперечным сечением при наличии препятствий достаточно произвольной геометрии. Основной трудностью при исследовании собственных колебаний в неограниченных вол-новодных областях является наличие непрерывного спектра, заполняющего неотрицательную полуось. Наличие определенного рода симметрий позволяет сузить пространство решений так, что в некоторых случаях удается доказать существование наименьшего собственного значения, погруженного в непрерывный спектр.

В первой главе диссертационной работы исследуется вопрос существования нетривиального решения однородной задачи Неймана (задача Ы):

А и + Хи = 0 (к>0) в О, (0.1) ди/дп = 0 на дП, (0.2) интегрируемого с квадратом вместе со своими первыми частными производными. Здесь О = О0 В, Оо = {(*, у, ^)еК3, хе (-с14), уе (-(12²),^еЩ, В — компактное множество. Рассмотрены следующие случаи.

• А. Множество В ограничено кусочно-гладкими поверхностями и Цъ{В) > 0.(3десь и далее означает А-мерную меру). Предполагается, что В симметрично относительно плоскостей х = 0 и у = 0.

• Б. Множество В представляет собой объединение двух бесконечно тонких пластин В и В2, расположенных в плоскостях х=0 и у=0, соответственно, симметрично относительно оси Ог. Пластины В1 и В2, границы которых достаточно гладкие, пересекаются, образуя крестообразное препятствие. Предполагается, что ВГВ2 = {С*" У->2) е^о: х = 0, у = 0, а < 2 < Ъ } и существует.

2 2.

8>0 такое, что множество В} п{(.х, у+у <3,а<�г<�Ь} является прямоугольником (у = 1,2).

• В. Множество В ограничено кусочно-гладкими поверхностями и /л^{В)>0. Предполагается, что В симметрично относительно плоскости у = 0.

• Г. Множество В — бесконечно тонкая пластина с достаточно гладкой границей, которая расположена в плоскости у = 0. В силу симметрии области ?2, рассмотрены сужения задачи N на множество функций нечётных по переменным х и у в случаях, А и Б (задача №) и — на множество функций нечётных по переменной у в случаях В и Г (задача Ы*р). Получены теоремы существования собственных функций задачи N° в случаях А, Б и — задачи ЬГР в случаях В, Г соответственно. Используя принцип мини-макса в операторной форме, доказано (теоремы 1.1−1.5), что собственные колебания в задаче Ы1 существуют: в случае А, если выполняется неравенство: Я в" соб.

Г их 1 1.

— СОБ.

Ч 1 У к у 1 1 с11 с1 соб Л кх.

2 / 1 соб.

С ку с1&-> О- (0.3) в случае Б — всегдаи собственные колебания в задаче Nир существуют: в случае В, если выполняется неравенство: Ш вир соб.

Г ж у с1П> 0;

0.4) в случае Г — всегда.

При этом наименьшее собственное значение задачи N° принадлежит интервалу (0, л2/4с/, 2+^/4^), а наименьшее собственное значение задачи 1ГР принадлежит интервалу (0, я2 /4с/г2) — Здесь.

Ва=ВпПо, О? ={(х, у, г)еП0: х>0, >>>0}, Вир=ВпП1Р, Пи0р = {(х, у,2)еП0: у> О}.

Кроме того, показано существование собственных колебаний для некоторого класса локально-возмущённых волноводов как при наличии препятствий, так и при их отсутствии.

Также рассмотрена задача N в области — где П (&-],&-2) = Оо.

В (к, к2), О0 = {(л, у, г) е Я3: лее И, уе (-с!2,о?2), ге К}, В (к, к2) — двупараметриче-ское семейство растяжений множества В, определяемое формулой.

B (kuk2) = {{x, y, z)e Q0: (xlkuy, z/k2) g5}, kuk2>. Доказано, что, если множество В удовлетворяет условиям случая В и выполнено неравенство (0.4), то задача N для достаточно большого значения к +к2.

Л Л имеет собственное значение в интервале (0, п IAd2).

В конце первой главы полученные ранее результаты для трехмерных волноводов естественным образом обобщаются на случай препятствий с s плоскостями симметрии (1 < s < п) в многомерном волноводе, поперечным сечением которого является «-мерный параллелепипед.

Спектральные свойства оператора Лапласа в некоторых областях с бесконечной границей исследовались не только в выше упомянутых работах Джоун-са и Реллиха, а также в работах Д. М. Эйдуса [50,51], А. Г. Рамма [32,35], Одэ [76], A.M. Ильина [17], Литмана [70], A.A. Винника [9], Моргенрётера, Верне-ра [75], Витча [92], A.B. Филиновского [49] и других.

Наличие собственных значений лапласиана является существенным условием возникновения явления резонанса, которое заключается в том, что решение соответствующей начально-краевой задачи для волнового уравнения с правой частью, периодически зависящей от времени, неограниченно растет при t —" + оо, если частота вынужденных колебаний со принадлежит некоторому дискретному множеству на вещественной оси. Отметим, что отсутствие собственных значений оператора Лапласа не приводит к отсутствию резонансов вообще. Для иллюстрации сказанного приведем несколько примеров. Пусть к — размерность «выходов на бесконечность» области fi. Известно, что: а) если Q — ограниченная область (в этом случае к = 0) иса2(й>>0) равно одному из собственных значений лапласиана с соответствующим граничным условием, то может иметь место резонанс порядка 0(t) при / -> + оо ([87]) — б) если О — неограниченный цилиндр с постоянным поперечным сечением л здесь k = 1) и если со (со > 0) равно одному из собственных значений опера.

1И тора Лапласа в поперечном сечении, то возможен резонанс порядка 0(t) при t ->• + оо (см. [88]) — в) если Г2 есть трехмерная область R2x (0, d) (в этом случае к = 2) и если со 2 Л равно одному из чисел вида (jt nid), где ие N, то возможен резонанс порядка 0(1п 0 при t ->+оо (см. [87]) — г) если Q = R (k=l), ?у=0,то возможен резонанс порядка 0(t) при / -" + оо (см. [88]) — д) если Q = R (к = 2), со = 0, то возможен рост решения нестационарной задачи порядка 0(In t) при /-> + оо (см., например [87]) — е) если QcR2 — внешность компактного множества с гладкой границей к = 2), со — 0, то решение внешней начально-краевой задачи Неймана может расти как С In t при t-> + оо, как это было показано в работах [30, 31, 89].

Для к > 3 наличие резонансов не установлено. Примеры б) — е) показывают, что отсутствие собственных значений лапласиана не приводит к отсутствию резонансов вообще. Причиной возникновения резонансов в приведенных примерах является то, что резольвента неограниченна в некоторой своей точке ветвления. Нетривиальные решения соответствующей однородной задачи для уравнения Гельмгольца, которые соответствуют этим точкам ветвления, являются собственными функциями в обобщенном смысле.

Во второй главе диссертационной работы исследуется один класс нетривиальных решений (наличие которых может вызывать резонансные явления) однородной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерной волновод-ной области, образованной из пары противоположно направленных полуполос, соединенных гладким образом. Данная задача имеет важное значение в физике, так как она описывает транспортные свойства некоторых квантовых волноводов.

Пусть связное множество Q с R2, граница которого принадлежит С2, таково, что существует р> 0 такое, что Q {(х, у) е R2: | х | < р } состоит из полуполос Qi = {(х, у) е R2: х<-р, а <у < Ь{} и ii2={(^j)6R2: х> р, а2< у < ?>2 }. Предполагается, что множество Q и CI2) ограничено. Пусть U (x, y) — решение следующей задачи Дирихле:

Аи + к21/= 0 в (к>0), (0.5) и= о на аа (о.б).

На бесконечности ставятся условия излучения в виде разложений в ряд Фурье при я:"-1 j=i и при X" 1.

U (x, y) = ?ccjsm j=i м.

Я" / ч.

L 2 ехр (—/сгТл:) + О (|х] 2),.

0.7) exp (/crjл:) + 0(|л:| 2),.

0.8) где ls=bs— as (s = 1,2), crj = 2f I.

4 l2 f Л2.

Ы. h j aj = const, Recry >0, Im cr* > 0, j+ и/- наибольшие целые числа, удовлетворяющие неравенствам: с • л h J г • ILL. h J к'.

Остаточный член функции grai/?7 тоже предполагается <9(|х|~2) при |*|"1. Далее вводится.

А 1.

Определение 2.1. Нетривиальное решение V еС (О)пС (О) вышеупомянутой задачи Дирихле (0.5) — (0.8) называется допустимой квазисобственной функцией (д. кс. ф.), при этом к называется допустимой квазисобственной частотой (д. кс. ч.). Доказаны следующие утверждения:

Теорема 2.1. Пусть область О. удовлетворяет условиям, упомянутым выше и 2 1 «» ' и еС (О)пС (О) есть д. кс. ф. задачи (0.5) — (0.8). Тогда для нее справедливы представления: а) при х" 1.

Щх, у) = б) при X"—1.

Щх, у) =.

У+(х, у), если — IEN, п ътк (у — а) + У+{х, у если.

У~(х, у), если п к12 п.

0.9).

N1 к1 а вт [ к (у — а) ]+V (х, у), если —- е N, — п.

0.10) где.

Ух, у) = +00 I. */2 ]>— ж «у БШ) К г 2 ехр (/<�т*л:), (0.11).

00 аТ БШ, (У а). м ехр (-/сг~ х). (0.12).

Следствие 2.1. Пусть область С> удовлетворяет условиям, упомянутым вы.

2 1 1 ^ ше и и еС (О)пС (О) есть д. кс. ф. задачи (0.5) — (0.8) с квазисобственной частотой к такой, что к1! п и к У я не принадлежат N.

Тогда V есть собственная функция оператора Лапласа с условием Дирихле и соответствующее ей собственное значение Я равно I?.

Используя метод, восходящий к работе Д. М. Эйдуса [50], получены условия, при которых отсутствуют д. кс. ф.

Теорема 2.2. Пусть область О удовлетворяет условиям, упомянутым выше и пусть пух <0 на, а а, (0.13) где п есть первая координата вектора нормали Я, направленного в область случае, если, а = а2 и Ь= Ь2, то дополнительно предполагается, что ?1фС1ъ, где ?20 = { {*>У) еК2> а<�у<�Ь}.

Тогда для задачи (0.5) — (0.8) не существует допустимых квазисобственных функций.

Отметим работу Макайвера, Линтона [71] в которой получены условия отсутствия собственных функций оператора Лапласа в волноводных областях, поперечное сечение которых имеет постоянный диаметр, если спектральный параметр принадлежит интервалу (- оо, Ао2), где А02 есть наименьшая точка существенного спектра. В этой связи надо заметить, что собственные значения лапласиана Дирихле могут принадлежать интервалу (0, Ао)[82,69], так и могут быть вложены в непрерывный спектр (впервые на эту возможность было указано в работе A.M. Ильина [17]). Примеры существования собственных значений задачи Дирихле, погружённых в непрерывный спектр, были построены Витчем [92].

Наряду с изучением резонансных явлений много усилий было приложено для нахождения конфигураций неограниченных областей, для которых выполняется принцип предельной амплитуды (ППА) .

Под упомянутым принципом традиционно понимается следующее: решение задачи.

Utt+AU = feicot, U (0) = Ut (0) = 0 (0.14) допускает асимптотику.

U (t) = eicotv + о (1), /-> + оо. (0.15).

Здесь, А — линейный оператор в гильбертовом пространстве Н, v — решение стационарной задачи.

A v-co2v=f. (0.16).

Уравнение (0.16) в задачах теории дифференциальных уравнений может иметь не единственное решение. В этом случае выделяют класс единственности и требуют принадлежности решения к этому классу. В работах А. Г. Рамма [35,36], В. П. Михайлова [29] ППА формулируется в слабой форме (в смысле (С, 1) — сходимости) и определяется равенством:

1 т v= — U (t)e~ia>t dt + o (), Г->+ оо. (0.17).

Т о.

Наряду с ППА рассматривают принцип предельного поглощения (1 Lili 1). Говорят, что для оператора, А выполнен 111 111 в точке со, если для любого / из некоторого плотного в Н множества имеет место равенство lim v (co + ie) = v (a>), (0.18) где v (a>) — есть решение уравнения (0.16). В работе А. Г. Рамма [36] показана равносильность lilili и ППА в форме (0.17). Если ¿-у принадлежит непрерывному спектру оператора А, то 111 111 можно рассматривать наряду с ППА как способ выделения единственного решения уравнения (0.16). Обзор работ, посвященных ППА и 111 111 содержится в работе Д. М. Эйдуса [51], библиографию этого вопроса также можно найти в монографиях [8,38,83].

В третьей главе данной работы рассматриваются модельные примеры волноводов с квадратным поперечным сечением при отсутствии препятствий. Исследовано асимптотическое поведение при больших значениях времени решений начально-краевых задач Дирихле и Неймана для волнового уравнения с правой частью, периодически зависящей от времени. Получены достаточные условия выполнимости ППА.

Заканчивая введение, добавим несколько слов о структуре диссертации и об обозначениях. Диссертация состоит из введения, трёх глав, библиографии и приложения. Главы разделены на параграфы с двойной нумерацией: номер главы и номер параграфа в главе разделены точкой. Нумерация теорем, лемм, следствий и определений также двойная, сквозная в каждой главе. Большинство обозначений, используемых в тексте диссертации, являются общепринятыми. Разъяснение символов обычно даётся при первом их упоминании. Ситуации, когда одним и тем же символом обозначаются разные понятия будут ясны из контекста.

1. Бабич В. М. О теореме существования решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в квазипериодическом случае // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29. № 2. С. 3−9.

2. Бадюков В. Ф. О единственности решения краевых задач рассеяния трех типов на периодической границе // В кн.: Прикладной численный анализ и математическое моделирование. ДВО АН СССР. Владивосток. 1989. С. 28−37.

3. Бардаханов С. П., Лыгденов В. Ц. Когерентные структуры в следе за плохо обтекаемым телом и генерация звука в резонансных условиях // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1990. Вып. 2. С. 36−40.

4. Бардаханов С. П., Порошин Е. В. Исследование свойств аэроакустического резонанса в течении с когерентными структурами // Теплофиз. и аэромеханика. 1994. Т.1, вып. 4. С. 313−322.

5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.

6. Бреховских Л. М. Волны в сплошных средах. -М.: Наука, 1973.

7. Бриллюэн А., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. -М.: Изд-во иностр. лит. 1959.

8. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. -М.: Изд-во МГУ. 1983.

9. Гарипов P.M. Квазисобственные числа кубической полости с малым отверстием /Ин-т гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО АН СССР.- Новосибирск,-! 17 е.- Деп. в ВИНИТИ 23.05.88, № 3950 В 88.

10. З. Горелов Д. Н., Курзин В. Б., Сарен В. Э. Атлас нестационарных аэродинамических характеристик решеток профилей. Новосибирск: Наука, 1974.Н.Горелов Д. Н., Курзин В. Б., Сарен В. Э. Аэродинамика решеток в нестационарном потоке. Новосибирск: Наука, 1971.

11. Готлиб В. Ю. О решениях уравнения Гельмгольца, сосредоточенных вблизи плоской периодической границы // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 1998. Т. 250. С. 83−96.

12. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

13. Ильин A.M. О собственных функциях эллиптического оператора в некоторых неограниченных областях //ДАН СССР, 1965. Т. 161. № 4. С. 757−759.

14. Ильченко М. А., Руденко А. Н., Селин Н. И. Исследование некоторых особенностей возбуждения вихревого звука при обтекании профиля в канале // Акуст. журн. 1982. Т. 28, вып. 2. С. 224−227.

15. Ильченко МА., Руденко А. Н., Эпштейн B.JI. Исследование генерации вихревого звука при обтекании профиля в канале // Акуст. журн. 1980. Т. 26, вып. 26. С. 708−717.

16. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе.1 // Матем. сб. 1999. Т. 190. № 1.С. 109−138.

17. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе. И // Матем. сб. 1999. Т. 190. № 2. С. 43−70.

18. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Расширенная матрица рассеяния и экспоненциально затухающие решения эллиптической задачи в цилиндрической области // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 2000. Т. 264. С. 66−82.

19. Курзин В. Б. О затухающих собственных колебаниях газа, обтекающего решетку пластин // Изв. Акад. наук СССР. МЖГ. 1970. N 5. С. 84−88.

20. Курзин В. Б. О собственных колебаниях газа, обтекающего решетку пластин // ПМТФ. 1969. N 5. С. 68−75.

21. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

22. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971.

23. Макаров А. И. Эоловы тона элементарной ячейки сотовой решетки //ПМТФ. 2002. № 5. С. 69−76.

24. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.

25. Михайлов В. П. О стабилизации решения одной нестационарной граничной задачи // Тр. МИ АН СССР. 1967. Т. 91. С. 100−112.

26. Муравей Л. А. Асимптотическое поведение при больших значениях времени решений второй и третьей внешних краевых задач для волнового уравнения с двумя пространственными переменными // Тр. МИ АН СССР. 1973.Т. 126. С. 73−144.

27. Муравей Л. А. Об асимптотическом поведении при больших значениях времени решений внешних краевых задач для волнового уравнения с. двумя пространственными переменными //Матем. сб. 1978. Т. 107. С. 84−133.

28. Налимов В. И., Плотников П. И. Нерегулярные задачи на собственные значения и эффект волновода // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1975. Вып. 23. С. 132−150.

29. Попов А. Н. О существовании собственных колебаний резонатора, открытого в волновод // Журн. техн. физики. 1986. Т. 56. № 10. С. 1916;1922.

30. Рамм А. Г. Об отсутствии положительного дискретного спектра у оператора Лапласа задачи Дирихле в некоторых бесконечных областях // Вестн. ЛГУ. № 13. Сер. матем., мех. и астроном. Вып. 3. 1964. С. 153−156.

31. Рамм А. Г. Спектральные свойства оператора Шрёдингера в областях с бесконечной границей // Матем. сб. 1965. Т. 66. № 3. С. 321−343.

32. Рамм А. Г. Необходимые и достаточные условия выполнимости принципа предельной амплитуды // Изв. ВУЗов. Математика. 1978, т. 22, № 5. С. 96−102.

33. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир, 1982.

34. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

35. Свешников А. Г. О принципе излучения //ДАН СССР, 1950. Т.73. С.917−920.

36. Свешников А. Г. Принцип предельного поглощения для волновода // ДАН СССР, 1951. T. 80.С. 341−344.

37. Сухинин C.B. Об акустических и электромагнитных колебаниях около периодической решетки // Динамика сплошной среды: Сб. науч.тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 51. С. 159−168.

38. Сухинин C.B. Обоснование модели колебаний газа, обтекающего решетку пластин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 56. С. 152−161.

39. Сухинин C.B. Качественные вопросы теории рассеяния на периодических цилиндрических препятствиях // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 67. С. 118−134.

40. Сухинин C.B. Собственные колебания в открытых цилиндрических областях // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ РАН Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1995. Вып. 110. С. 139−152.

41. Сухинин C.B. Собственные колебания около пластины в канале // ПМТФ.1997. № 2. С. 77−88.

42. Сухинин C.B. Акустические колебания около тонкостенных цилиндрических препятствий в канале // ПМТФ. № 4. С. 133−142.

43. Сухинин C.B., Бардаханов С. П. Эоловы тона пластины в канале // ПМТФ.1998. № 2. С. 69−77.

44. Филиновский A.B. Стабилизация решений волнового уравнения в неограниченных областях//Матем. сб. 1996. Т. 187. С. 131−160.

45. Филиновский А. В. Убывание решений волнового уравнения и спектральные свойства оператора Лапласа в расширяющихся областях // Матем. заметки. 1998. Т. 63. Вып. 1. С. 154−156.

46. Эйдус Д. М. О принципе предельного поглощения // Матем. сб. 1962. Т. 57(99). С. 13−44.

47. Эйдус Д. М. Принцип предельной амплитуды // УМН, 1969. Т. 24. № 3. С. 91−156.

48. Юмов И. Б. Принцип предельной амплитуды для полуполосы // Сб. науч. статей. Сер. Физ.-матем. науки. Вып. 1, ВСГТУ, Улан-Удэ, 1994. С. 166−168.

49. Юмов И. Б. О квазисобственных значениях оператора Шрёдингера в одной области с бесконечной границей // Межвуз. сб. науч. тр. по прикладной математике. БФ НГУ, ВСТИ, БГПИ. Улан-Удэ, 1994. С. 151−155.

50. Юмов И. Б. О существовании собственных колебаний в планарном волноводе // Сб. науч. тр. ВСГТУ. Улан-Удэ, 2000. С. 97−101.

51. Юмов И. Б. О квазисобственных колебаниях в некоторых волноводных областях. // Улан-Удэ, 2002, -20 с. (Препринт / Вост.-Сиб. гос. технологический ун-т).

52. Юмов И. Б. О собственных колебаниях около тонкостенного препятствия в трехмерном волноводе с жесткой границей // Моделирование процессов в синергетических системах: Сб. статей. -Улан-Удэ Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 154−156.

53. Юмов И. Б. О собственных колебаниях в трехмерном волноводе с жесткой границей // Труды Нижегородской акустической научной сессии. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2002. С. 160−162.

54. Юмов И. Б. О собственных колебаниях в многомерном волноводе с жесткой границей // Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. Ч. 2 Улан-Удэ, 2002. — С. 159−164.

55. Янушаускас А. И. Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск: Наука, 1986.

56. Alber H.D. A quasi-periodic boundary value problem for the Laplacian and the continuation of its resolvent // Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh. 1979. V. 82 A. P. 251−272.

57. Archibald F.S. Self-excitation of an acoustic resonance by vortex shedding // J. Sound Vib. 1975. V. 38. P. 81−103.

58. Beale J.T. Scattering frequencies of resonators // Comm. Pure Appl. Math. 1973. V. 36. P. 549−563.

59. Callan M., Linton C.M., Evans D.V. Trapped modes in two-dimensional waveguides Hi. Fluid Mech. 1991. V. 229. P. 51−64.

60. Colin de Verdier. Nombre de points entiers dans une famille homothetique de domens de R" II Ann. Sei. Ecole Norm. Super. 1977. Ser. 4. V. 10. N 4.

61. Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides // Q. Jl. Mech. Appl. Math. 1998. V.51. P. 477−492.

62. Evans D.V., Levitin M., Vassiliev D. Existence theorems for trapped modes // J. Fluid. Mech. 1994. V. 261. P. 21−31.

63. Evans D.V., Linton C.M. Trapped mode frequencies embedded in the continuous spectrum // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1993. V. 46. P. 255−274.

64. Faulhaber M. Akustische Wellen in Gebieten, die von zwei lokal gestorten parallelen Ebenen begrenzt sind // Math. Meth. Appl. Sei. 1982. V. 4. P. 397−414.

65. Jones D.S. The eigenvalues of V u +A u = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Pros. Camb. Phil. Soc. 1953. V. 49. P. 668−684.

66. Littman W. Spectral properties of the Laplacian in the complement of a deformed cylinder// Arch. Rational Mech. Anal. 1986. V. 96. P. 319−325.

67. McIver M., Linton C.M. On the non-existence of trapped modes in acoustic waveguides // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1995. V. 48. P. 543−555.

68. Morgenrother K., Werner P. On the Instability of Resonances in Parallel-Plane Waveguides // Math. Meth. Appl. Sei. 1989. V. 11. P. 279−315.

69. Morgenrother K., Werner P. On the principles of limiting absorption and limit amplitude for a class of locally perturbed waveguides. Part 1: Time-independent theory// Math. Meth. Appl. Sei. 1988. V. 10. P. 125−144.

70. Morgenrother K., Werner P. On the principles of limiting absorption and limit amplitude for a class of locally perturbed waveguides. Part 2: Time-dependent theory // Math. Meth. in the Appl. Sei. 1988. V. 11. P. 1−25.

71. Morgenrother K., Werner P. Resonances and standing waves. // Math. Meth. Appl. Sei. 1987. V. 9. P. 105−126.

72. Ode F. Uniqueness theorems for Helmholtz equation in domains with infinite boundaries // J. Math. Mech. 1963. V. 12. № 6. P. 857−867.

73. Parker R. Resonance effects in wake shedding from parallel plates: some experimental observations // J. Sound Vib. 1966. V. 4. P. 62−72.

74. Parker R. Resonance effects in wake shedding from parallel plates: calculation of resonant frequencies // J. Sound Vib. 1967. V. 5. P. 330−343.

75. Parker R., Stoneman S.A. The excitation and consequences of acoustic resonances in enclosed fluid flow around solid bodies // Proc. Inst. Mech. Engrs. 1989. V. 203. P. 9−19.

76. Ramm A.G., Werner P. On the limit amplitude principle for a layer // J. Reine Angew. Math. 1985. V. 360. P. 19−46.

77. Rellich F. Das Eigenwertproblem zu Aw + Xu = 0 in Halbrohren I I Studies and essays presented to R. Courant. New York: Interscience Publishers. 1948. P. 329−344.

78. Rellich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungen von Au+au = 0 // Jahresbericht der Deutsch. Maht. 1943. V. 51. № 2. P. 57−65.

79. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and Coupling of Continuous Systems. New York: Springer. 1989.

80. Ursell F. Mathematical aspects of trapping modes in the theory of surface waves // J. Fluid Mech. 1985. V. 183. P. 421−437.

81. Ursell F. Trapped modes in a circular cylindrical acoustic waveguides // Proc. R. Soc. Lond. 1991. A 435. P. 575−589.

82. Ursell F. Trapping modes in the theory of surface waves // Proc. Camb. Phil. Soc. 1951. V. 47. P. 347−358.

83. Werner P. Ein Resonanzphanomen in der Theorie akustischer und elektromagnetischer Wellen//Math. Meth. Appl. Sei. 1984. V. 6. P. 104−128.

84. Werner P. Resonance phenomena in cylindrical waveguides // J. Math. Anal. Appl. 1987. V. 121. P. 173−214.

85. Werner P. Zur asymptotik der wellengleichung und der warmeleitungsgleichung in zweidimensionalen au? enraumen // Math. Meth. Appl. Sei. 1985. V. 7. P. 170−201.

86. Wilcox C.H. Scattering Theory for Diffractions Gratings. New York: SpringerVerlag. 1984.

87. Wilcox C.H. Scattering Theory of the d’Alembert Equations in Exterior Domains. Berlin: Springer-Verlag. 1975.

88. Witsch K.J. Examples of Embedded Eigenvalues for the Dirichlet Laplacian in Perturbed Waveguides // Math. Meth. Appl. Sei. 1990. V. 12. P. 91−93.

89. Yumov I. The resonance on small non-homogenity in the waveguide // Proc. of Vlth Intern. Conf. on MMET*96. Lviv. P. 369−372.

90. Yumov I. On the scattering vibrations of the plane periodic grating // Proc. of Vlth Intern. Conf. on MMET*96. Lviv. P. 365−368.

91. Yumov I.B. On the scattering vibrations in waveguides // Proc. of Vllth Intern. Conf. on MMET*98. Kharkov. P. 838−840.

92. Yumov I.B. Existence theorems for eigenoscillations in 3D rectangular waveguides // Proc. of IXth Intern. Conf. on MMET*02. Kiev. P. 671−673.

93. Adams R.A. Sobolev Spaces. New York: Academic Press. 1975.

94. Blank J., Exner P., Havlicek M. Hilbert Space Operators in Quantum Physics. New York: AIP. 1995.

95. Dittrich J., Kriz J. Bound states in straight quantum waveguides with combined boundary conditions // J. Math. Phys. 2002. V. 43. P. 3892−3915.Рис. 1Рис. 2шя-Р р XРис. 6Рис.7.