Спектральные задачи для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных

Диссертация посвящена исследованию спектральных характеристик ряда граничных задач для некоторых линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по выделенной переменной t, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучаемые системы уравнений удобно записать в виде так называемого операторного или дифференциально-операторного уравнения [И].

L (Dt, В) и aDtu + ЬВи = /, (1).

Здесь а, Ь-матрицы (2×2) — Д-операция дифференцирования по переменной t. Оператор В действует в некотором сепарабелыюм комплексном гильбертовом пространстве Нх и удовлетворяет определённым требованиям, формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Присоединив к уравнению, изучаемому на конечном отрезке Vt = [Ti, Т2], —00 <�Т^.0^Т2 < +оо, значений переменного t, систему условий.

Г," = 0, (2) описывающую поведение функции и = u (t) в точках Т, Т2, получим граничную задачу, под решением которой мы понимаем сильное решение. Определив (обобщенное) решение граничной задачи (1), (2), получим замкнутый оператор L, действующий в соответствующим образом подобранном функциональном пространстве Н. Под спектральными характеристиками граничной задачи (1), (2) мы понимаем спектральные свойства оператора L: Я -" Я. В дальнейшем, как условия разрешимости, так и свойства решений изучаемой граничной задачи описываются или в терминах свойств резольвенты R = (L — А)-1, или в терминах свойств системы собственных вектор-функций замкнутого оператора L, сопоставляемого задаче.

Необходимость исследования линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных возникает при изучении разнообразных физических, химических, биологических, социальных процессов и явлений. Например, системы С. JI. Соболева для случая сжимаемой жидкости-в гидродинамике, системы уравнений смешанного типа возникают в трансзвуковой газодинамике. К исследованию таких систем уравнений приводят также многие актуальные задачи теории малых изгибаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории изгибов пластинки переменной толщины с острым углом. Важные приложения теории систем уравнений в частных производных и проблемы, связанные с исследованием свойств разрешимости формулируемых краевых задач стимулировали исследование соответствующих спектральных задач. Спектральная теория операторов, порождённых краевыми, задачами как для уравнений, так и для систем уравнений в частных производных, начала развиваться сравнительно недавно в ряде работ российских и зарубежных математиков. Изучались при этом как асимптотическое поведение собственных значений и расположение спектра на комплексной плоскости, так и базисные свойства систем, составленных из собственных элементов. Исследование структуры спектра и возможности разложения решений по системе собственных элементов является в настоящее время одним из основных направлений при изучении вопросов спектральной теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на значительный интерес к указанной проблематике, до сих пор не разработан метод, позволяющий ответить на возникающие вопросы даже для простейших систем уравнений при числе переменных больше двухобщие вопросы спектральной теории граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных также изучены недостаточно полно. В большей степени это относится к системам, не относящихся к классическим типам: эллиптическим, гиперболическим, параболическим. Учитывая важность свойств граничных задач для неклассических систем линейных уравнений, изучение спектральных характеристик последних весьма актуально.

Теория граничных задач для систем уравнений в частных производных, имея разнообразные применения, базируется на многочисленных методах (асимптотический, вариационный, проекционный, численные методы, методы интегральных уравнений, функциональные и другие) и формах (последовательные приближения, сжимающие отображения, различные формы интегральных преобразований, спектральные и другие) исследования. В связи с этим замечанием отметим, что проводимые нами исследования базируется на методах, которые принято называть функциональными, а свойства разрешимости описываются в терминах спектральной теории линейных операторов. Функциональные методы развивали и широко использовали в своих научных исследованиях К. Фридрихе, Л. Хёрмандер, С. Л. Соболев, А. А. Дезин, В. Н. Масленникова, В. А. Ильин, В. К. Романко, Е. И. Моисеев, А. П. Солдатов, А. С. Ма-кин, Н. Х. Агаханов, их ученики и последователи.

Спектральная теория дифференциальных операторов, порождённых граничными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных начала развиваться сравнительно недавно. В работах Т. Ш. Кальменова [17], Е. И. Моисеева [32], А. А. Дезина [10], [И], В. К. Романко [39] и ряда других авторов исследовались вопросы спектра граничных задач для уравнений смешанного типа. Изучались при этом как структура спектра, так и асимптотическое распределение собственных значений на комплексной плоскости. Свойства систем собственных функций в связи с изучением вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных изучали А. В. Бицадзе [2], А. А. Дезин [И], В. А. Ильин [15], [16], В. П. Михайлов [31], Е. И. Моисеев [33], [34], [35], Н. Ю. Капустин [18], Б. Т. Билалов [1]. Соответствующие исследования нашли своё отражение в предлагаемой работе.

В диссертации проводится сравнительное изучение спектральных характеристик ряда краевых задач для однотипных линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Изучение ведётся с позиций дифференциально-операторных уравнений первого порядка по выделенной переменной. Простейшими примерами классических систем уравнений в частных производных, попадающих в поле наших рассмотрений, могут служить эллиптические системы вида:

Dtu1 — Dxu2 — ей2 = / Dtu2 + ДУ + ей1 = /2- (3).

— Dtul + Dxu2 + ей2 = f Dtu2 + Dxul + ей1 = /2. (4).

Отметим, что система (4) подобна системе (3) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (4) на —1 и формальной замены —f1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (3). Эти преобразования могут наводить на мысль о совпадении свойств разрешимости краевых задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим краевую задачу. Если это так, то что можно сказать о совпадении спектральных свойств операторов, порождённых произвольной наперёд заданной краевой задачей для систем (3) и (4)? Исследования автора показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов (порождаемых, например, нелокальной задачей по переменным t, x) принципиально различны. Эти различия проявились как в структуре спектра, так и в свойствах базисности систем собственных вектор-функций. Изучаемые в работе краевые задачи содержат классическую задачу сопряжения для систем уравнений смешанного типа и для систем уравнений классических типов с разрывными коэффициентами.

Сделаем несколько замечаний о структуре и оформлении диссертации. Диссертация состоит из введения, глав и списка литературы, вынесенных в оглавление. В оглавление вынесены также пункты и подпункты.

1. БилаловБ.Т. Базисы из экспонент, косинусов и синусов, являющиеся собственными функциями дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, № 5.-С. 619−623.

2. Бицадзе А. В. Об одной системе функций // Успехи математических наук.-1950.-Т. 5, вып. 4(38).-С. 154−155.

3. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теорияМ.: И.Л., 1962.-895с.

4. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.2. Спектральная теорияМ.: И.Л., 1966.-1063с.

5. Дезин А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Матем. сборник-1959.-Т. 49(91), выпуск 4.-С. 459−484.

6. Дезин А. А. Теоремы существования и единственности решения граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи матем. наук-1959.-Т. 14, вып. 3(87)-С. 21−73.

7. Дезин А. А. Операторы с первой производной во ', времеии" и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем.-1967.-Т. 31, Выпуск 1.-С. 61−86.

8. Дезин А. А. Несуществование некоторых разрешимых расширений // Докл. АН СССР.-1968.-Т. 183, ДОЗ.-С. 507−510.

9. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач-М.: Наука, 1980.-207с.

10. Дезин А. А. Вырождающиеся операторные уравнения // Математический сборник.-1981.-Т. 115(157), № 3(7).-С. 323−336.И. Дезин А. А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. -1981. Т. 17, МО.-С. 1851−1858.

11. Дезин А. А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач.-М.: Наука-МАИК «Наука/Интерпериодика», 2000.-175с. (Тр.МИАНТ.229).

12. ЖураН.А., Ораевский А. Н. Задача Коши для одной гиперболической системы с постоянными коэффициентами // Докл. АН России-2004.-Т. 396, № 5-с. 590−594.

13. Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1962.-Т. 142, № 1.-С. 21−24.

14. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале системы собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов второго порядка // Докл. АН СССР. -1983. Т. 273, № 5-С. 1048−1053.

15. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22, № 12.-С. 2059;2071.

16. КальменовТ. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Дисс. .доктора, физ.-мат. наук. М., МГУ, 1982.-241с.

17. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения.-1997.-Т. 33, М.-С. 115−119.

18. КачмажС. ШтейнгаузГ. Теория ортогональных рядов-М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1958.-508с.

19. Корниенко Д. В. О спектре вырождающихся уравнений // Методология и методика непрерывного образования: межвузовский сборник научных трудов. Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2001.-С. 118−121.

20. Корниенко Д. В. //О спектре слабо иррегулярных уравнений. // Дисс. .магистра физ.-мат. наук, Самарканд, СамГУ, 2001.-51с.

21. Корниенко Д. В. О спектре граничных задачах для систем линейных дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И. А. Бунина. Вып. 5: Серия «Математика, физика» .-Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2004.-С. 63−71.

22. Корниенко Д. В. О спектральных задачах для систем линейных дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И. А. Бунина. Вып. 5: Серия «Математика, физика» .-Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2004.-С. 71−78.

23. Корниенко Д. В. О спектре задачи Дирихле для КГ систем первого и второго типов. Сборник тезисов XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии", -Москва РУДН 2005 г.

24. Корниенко Д. В. Некоторые вопросы применения универсальных математических систем // Информатизация образования-2005: Материалы международной научно-практической конференции.-Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2005.-С. 225−229.

25. Корниенко Д. В. О КЭ системах первого и второго типов // Вестник Елецкого госуниверситета им. И. А. Бунина. Вып. 8: Серия «Математика. Компьютерная математика» .-Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2005.-М.-С. 48−59.

26. Корниенко Д. В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения.-2006.-Т. 42, т.-С. 91−100.

27. Макин А. С. О базисности системы собственных функций одной нелинейной спектральной задачи // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, № 5.-С. 612−618.

28. Масленникова В. Н. О смешанных задачах для одной системы уравнений математической физики // Докл. АН СССР.-1955.-Т. 102, № 5.-С. 885−888.

29. Михайлов В. П. О базисах Рисса в С2{0,1). Докл. АН СССР. -1962. -Т. 144, № 5.-С. 981−984.

30. Моисеев Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. .доктора физ.-мат. наук.-Москва, МГУ, 1979.

31. Моисеев Е. И. О базисности системы синусов и косинусов // Докл. АН СССР.-1984.-Т. 275, № 4.-С. 794−798.

32. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения.-1987.-Т.23, М.-С. 177−179.

33. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным пара-мером-изд-во МГУ, 1988 г.-150с.

34. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы-М.: Наука, 1969.-526с.

35. Номировский Д. А. Обобщённая разрешимомсть параболических систем с неоднородными условиями сопряжения типа неидеального контакта // Дифференц. уравнения.-2004.-Т. 40, № 10.-С. 1390 — 1399.

36. РоманкоВ.К. Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной: Дисс. .доктора физ.-мат. наук, М., МИАН, 1980.

37. РоманкоВ.К. О собственных значениях краевых задач для некоторых уравнений, меняющих тип // Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, № 10.-С. 1759−1764.

38. Романко В. К. Нелокальные граничные задачи для некоторых систем уравнений // Матем. заметки АН СССР. -1985. Т. 37, выпуск 5. — С. 727−733.

39. РоманкоВ.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Докл. АН СССР.-1986.-Т. 286, № 1.-С. 47−50.

40. РоманкоВ.К. О системах операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.-1987.-Т. 23, № 9. -С. 1574−1585.

41. Романко В. К. Граничные задачи для вырожденных систем уравнений // Дифференц. уравнения.-1989.-Т. 27, № 12. -С. 2138−2147.

42. Садовничий В. А. Теория операторов-М.: Высшая школа, 1999. — 368с.

43. Соболев С. JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике-М.: Наука, 1998,-334с.

44. СолдатовА. П. Задача Римана-Гильберта для системы ЛаврентьеваБицадзе в смешанной области с характеристическим участком границы // Дифференц. уравнения.-2002.-Т. 398 № 12. -С. 16 531 663.

45. СолдатовА.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения.-2003.-Т. 39, № 5. -С. 674−686.