Исследование краевой задачи на собственные функции и собственные значения для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера

Актуальность исследования.

В течение последних десятилетий внимание многих авторов привлекали краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной. Трудность построения асимптотических разложений решений таких задач в степенной ряд по малому параметру связана с тем, что если положить значение малого параметра равным нулю, то порядок уравнений понижается и решения упрощенных таким образом уравнений не могут удовлетворить всем дополнительным краевым условиям, поставленным для исходных уравнений более высокого порядка. В связи с этой особенностью возмущения такого рода получили название сингулярных возмущений. А. Н. Тихоновым [138]-[141], А. Б. Васильевой [29]-[32], В.Ф. Буту-зовым [20]-[25], М. И. Вишиком, Л. А. Люстерником [33]-[35], С. А. Ломовым [87], Ю. А. Коняевым [90]-[94] и многими другими были разработаны и успешно применены методы решения для такого рода краевых задач.

При использовании разностных методов для решения сингулярно воз-мущепых краевых задач с целью достижения необходимой точности применяют специальные разностные схемы, учитывающие наличие пограничных слоев (для этих схем характерно использование очень малых шагов в области быстрого изменения решений). Существенный вклад в разработку таких схем внесли Н. С. Бахвалов [14], А. М. Ильин [64] - [75], Г. И. Шишкин [154] - [162], К. В. Емельянов [54]-[57], М. В. Алексеевский [1] и другие.

При этом численные и асимптотические методы дополняют друг друга. Например, асимптотические выражения удобно использовать в качестве нулевого приближения при численных расчетах на ЭВМ. Помимо этого, при использовании разностной схемы для численного решения дифференциальных уравнений асимптотические выражения позволяют судить о ее пригодности.

Одновременно с этим В. П. Масловым [111]-[117], А. О. Гельфондом.

39], Ю. А. Дубинским [45]- [50], М. А. Шубиным [163] и др. в рамках теории псевдодифференциальных операторов глубокое развитие получил подход, связанный с обобщением теории линейных дифференциальных операторов на случай бесконечного порядка. В рамках этого подхода выбирался такой способ обобщения, который сохраняет свойства дифференциальных уравнений конечного порядка и возможность задания краевых условий.

Например, при изучении свойств связанных состояний элементарных частиц, в том случае, когда релятивистские эффекты вносят существенный вклад, более последовательным является применение квазипотенциальных уравнений, которые были получены при одновременной формулировке проблемы двух тел в квантовой теории поля [199]. Достоинство такого подхода — наряду с учетом релятивистских эффектов — близость к формализму нерелятивистской квантовой механики (в квазипотенциальных моделях сохраняется вероятностная интерпретация волновой функции).

Формализм, который сочетает в себе ковариантный подход, вероятностную интерпретацию волновой функции в духе квантовой механики и трехмерность, был разработан Логуновым A.A. и Тавхелидзе А. Н. [200], [201] при решении задачи взаимодействия двух релятивистских частиц и получил название квазипотенциального. В этом подходе волновая функция выступает как непосредственное обобщение нерелятивистской волновой функции, поскольку она зависит от одного временного аргумента и подчиняется уравнению типа Шредингера.

В этом направлении Кадышевским В. Г., Мир-Касимовым P.M., Матее-вым М.Д. и др. был получен релятивистский аналог уравнения Шредингера [190], [191], [192], представляющий собой дифференциальное уравнение бесконечного порядка, при этом уравнение для радиальной волновой функции имеет вид:

Hr0ad + V® — 2с/<72 + m2c2]^oo® = 0,.

0.1) i-D) тс J.

0.2) ?+ +? V др =™ ?0 (2р)П Ы 0 +тг (г + £)^Атс) «' где т, ^ и I — масса, импульс и момент связанных частиц, а У (г) — потенциал.

В этом уравнении содержатся малые параметры при старших производных, что позволяет отнести его к классу сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

Таким образом, в связи с развитием данного подхода возникла необходимость исследования краевых задач для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера для поиска собственных функций и собственных значений, так как с их помощью имеется возможность изучения релятивистских эффектов, относящихся к описанию связанных состояний двух релятивистских частиц (определение энергитических уровней, волновых функций и др. при заданном потенциале взаимодействия), в частности, при исследовании кваркониев (тяжелых мезонов, рассматриваемых как связанные состояния кварка и антикварка).

В связи с этим весьма актуальным представляется разработка методов решения краевых задач на отрезке и на полупрямой для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера с потенциалом достаточно общего вида (к сожалению, в большинстве работ, посвященных этой проблеме, исследования проводилось лишь для ограниченного числа потенциалов: ЯФ, т.9, вып. З, с. 646, 1969; ЭЧАЯ, т.2, с. 637, 1972; ЯФ, т.31, вып.5, с. 1332, 1980; ТМФ, т.53, 1, с. 32, 1982; ТМФ, т.54, 3, с. 406, 1983; ТМФ, т.55, 1, с. 26, 1983; ТМФ, т.55, 2, с. 236, 1983) для поиска собственных функций и собственных значений с применением асимптотических методов, а также построение разностных схем для получения численных решений этих задач и их реализации в виде удобного в обращении пакета программ.

Объект и предмет исследования. Как уже отмечалось, квазипотенциальный метод обладает рядом преимуществ среди различных подходов к релятивистской проблеме двух тел. Одним из главных достоинств этого формализма является трехмерность квазипотенциальных уравнений, что позволяет использовать привычные представления и методы нерелятивистской квантовой механики.

Релятивистский аналог уравнение Шредингера в этом пространстве является дифференциально-разностным уравнением с шагом, пропорциональным комптоновской длине волны частицы Л = Н/тс (в системе единиц Й = 1, с=1,т = 1 комптоновская длина Л = 1):

Н0 — 2Еч + К (г)]Фд (г) = 0 (0.3).

Здесь г = гпрелятивистский аналог относительного радиус-вектора. Свободный гамильтониан, Но имеет вид д 2 г д Аом гл. — + -Бкг—-ог г ог г.

Но = 2chi^ + «shi^ - (0.4) где.

1 д / Лд 1 д ГЧ = (sine— ±— - 0.5 sin вод дер J sm^voip' угловая часть оператора Лапласа.

Релятивистскую энергию Eq иногда удобно параметризовать следующим образом:

Eq = y/l + q2 = chXq. (0.6).

Волновая функция Фд (г) в силу сферической симметрии потенциала V^r) может быть представлена в виде разложения по парциальным волнам ф"(г) = +1} {1ф™Лг'Xq) Pl ®' (0'7) где фсоAriXq) — радиальная часть волновой функции Фд (г), а функции Pi (cos9), при cos в = pf являются полиномами Лежандра и определяются формулой.

Релятивистский аналог уравнения Шредингера для радиальной волновой функции фоо, 1{г) имеет ВИД [190]:

ЩТ + У (г) — 2 Eq] ф^г) = 0, (0.9) где ЩаЛ — радиальная часть свободного гамильтониана.

Если вернуться к размерным величинам, тогда.

Л = П/тс, (0.11).

1 + -Т2' (°Л2) откуда.

Eq = [т2с4 + c2q2 = тс [Щц + V® — 2c]q2 + mVJ^Kr) = 0, (0.13).

Я5? = 2mc2 ch (+ НУ + 11 exp = (0.14).

Kmc J ¦ mr (r + Vrac j v ' «(—l)p2roc2 / ft 4"^, hH (l + 1) ~ l/ffi^' -p?0 (2p)!! UJ ° + mr (r + IQ&Amc) (°» 15) где m, qui — масса, импульс и момент связанных элементарных частиц.

Если в этом уравнении формально устремить величину скорости света к бесконечности (с —> сю), то это уравнение переходит в нерелятивистское уравнение Шредингера [58].

Пусть далее s = h/тс, тогда уравнение (0.13) можно переписать в виде: 2.

-^(/TT^vT^- 1)]^(г, Е) = 0. (0.17).

Это дифференциальное уравнение бесконечного порядка с малым параметром (е << 1) при старших производных и поэтому его можно отнести к классу сингулярно возмущенных уравнений.

Для удобства перейдем к системе единиц, в которой h = 1, т — 1, тогда е = Я2 = Ае, сс + v® = V®, (0.18).

0.19).

Пусть 1 оо / «/, оо 7'Р, ттЕ У ^ г—) = 2 У^Сг-1 (0.20) г + г?)р=ор г) р=0 р тогда для дальнейшего анализа уравнение (0.17) можно переписать в виде г) — = о, (0.21) или, вводя линейный самосопряженный оператор бесконечного порядка.

ШеМг)) =? + + 1) 00 & -, epDp{r~x ф?>00,(г)) + «(г)^, оо,/(г), (0.22) уравнение (0.17) можно записать следующим образом:

Щ (Фе, оо, 1{г)) ~ А*, оо^, оо,/(г) = 0. (0.23).

Далее будет предполагаться, что потенциал г"(г) является функцией вида и (г) = V-! г-1 + г?(г), (0.23а) где функция 0(г) является аналитической на полупрямой д (г) е С°°[0, +оо), т. е. для каждой точки г? [0, +оо) функция д (г) пред-ставима в виде сходящегося степенного ряда £(г) = £^оаДг — г)3 в некоторой окрестности точки г.

Для уравнения (0.23) можно сформулировать краевую задачу для поиска собственных функций ['0оо,/, 7(г>?)]^=о и собственных значений [А?, оо)7]^о на отрезке [0, г0].

— Ае, оо]^, оо,/(г) = 0, (0.24) оо,/(0) = ^ооДго) = О, (0.25) ооДО) = 0, д = 1,2,. (0.26).

ВЧе, ооМ) = 0,8 = 1,2,. (0.27) и на полупрямой [0, +оо).

Ш-Коо]Фе, оо, 1{г) = Ъ, (0.28).

Фе, ооМ = ^е.ооД+Оо) = 0, (0.31) оо,/(0) = 0, 9 = 1,2,. (0.29) оо,/(+сх)) = 0, 5 = 1,2,. (0.30) где и — натуральные числа, причем.

О < ^ < 4 < 4 < ., 0 < г < ?5 < ?5 <—;

Перейдем в уравнении (0.23) от оператора бесконечного порядка к оператору конечного порядка ¿-2т >> 1)> ПРИ условии, что старшая производная при £2гп~2 не будет превышать порядка 2 т. В этом случае получим.

Щ — Х?, 2т] Фе, 2тЛг) = (0−31) т 0(—ЛР.

ШФелшЛг)) = ЕЩи?! р (Ф^)+.

1(1 4. 1 ^ 2ш—2 ¿-Р.

1рВР{г-1 ф) + у (г)ф^т}1, (0.32).

Г р=о р! /, 2т—2.

1 $пЫ>е*пАг)) = ^(Фе, 2 т, 1) +? ^{Фем)* (0−33) р= 1.

4(1^) = [! +.

2mz), (0.34).

Ь12{ф?, 2 т, 1) = [С1 + У (г)}ф?, 2 т, 1, (0.35) где Щ (т = 2,3,.) и Ь12 — линейные самосопряженные операторы конечного порядка.

Постановка задачи исследования. Для дифференциального уравнения (0.31) для поиска собственных функций и собственных значений [Хе^т^^о сформулируем краевую задачу Af*1'1 на отрезке.

0,г0].

L — A^rnfem,/W = о, (0.37).

Фе, 2тЛ 0) = Фе^Ы = 0, (0.38) l)=0,q=l, 2,., m-l (0.39).

2m, z (rо, 0 = 0, s = 1,2,., т — 1 (0.40).

О < ?1 < ?2 < г’з <. < 0 < i < ir2 < гг3 <. < (0.41) и краевую задачу на полупрямой [0, +оо).

Ш ~ K2m№e, 2m, l® = 0, (0.42).

Фе, 2тМ = Фс*пЛ+= °> (0.43).

П{1″ фе, 2тЛ^ 0 = 0, 9 = 1, 2,. .. , m — 1 (0.44).

Dir^e, 2m, i (+= о, s = 1,2,., m — 1 (0.45).

0 <. < 4-Ь 0 < «1 < «2 < «3 < • • • < 4−1- (°-46).

Если в уравнении (0.31) положить? = 0, то для поиска собственных функций [Фо^-у^о и собственных значений [Ao, 7]^L0 получим вырожденную задачу Д),/ на отрезке [0, го].

4 — ЫФоЛг) = о" (°-47).

ФоЛ о) = фоЛг о) = 0, (0.48) и вырожденную задачу Во, 1 на полупрямой [0,+оо).

Ь12-Хо]фоЛг) = 0, (0.49).

ФоЛ 0,1) = ^М+оо, I) = 0, (0.50).

4 = + + (0.51).

В связи с этим возникает вопрос о поведении собственных функций [Фе, 2 т, 1, у]^=о и собственных значений [А^т/у^о задач Аи вопервых, при устремлении малого параметра к нулю (е —? 0) при фиксированном порядке 2га оператора Ь^т, во-вторых, при возрастании порядка 2 т и фиксированном е..

Цель работы. Целью диссертационной работы является:.

1. постановка краевых задач для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера для поиска собственных функций и собственных значений с потенциалом у (г) вида (0.23а) на отрезке [0,го] и на полупрямой [0, +оо), построениие усеченного сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера порядка 2 т и формулировка для него краевых задач на отрезке [0, го] и на полупрямой [0, +оо) для поиска собственных функций и собственных значений, построение асимптотических решений для этих краевых задач-.

2. исследование поведения собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2 т усеченного уравнения-.

3. построение разностных схем с переменным шагом для поиска численных решений краевых задач на собственные функции и собственные значения с заданной точностью и создание пакета программ их вычислительной реализации-.

4. для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторно-го, кулоновского и центробежного) построение асимптотических приближений решений краевых задач, а также получение численных решений этих задач с использованием разностной схемы с переменным шагомсравнение соответствующих асимптотически приближенных решений с решениями, полученными численночисленное исследование энергетического спектра и волновых функий связанных состояний кварка и антикварка (ад) в рамках потенциальной модели кваркониев для случая чармония (се) и боттомия (ЬЪ) с использованием следующих феноменологических потенциалов и потенциалов квантовой хромодинамики: 1) Квигга, Рознера- 2) корнеллского- 3) Бхано, Рудаза- 4) Ричардсона- 5) Фоглемана..

Методы исследования. Для решения поставленных выше задач и в данной работе применяется достаточно большой набор математических методов..

Для исследования этих задач наиболее последовательным является применение асимптотических методов теории сингулярных возмущений [29]-[35], а также численных методов [14], [154]-[162], которые позволяют дополнить асимптотические методы..

Помимо этого для исследования поведения решений задач А? т'1 и £2т, 1 ПрИ возрастании порядка 2 т уравнения (0.31) привлекаются методы из спектральной теории линейных операторов [163]..

В Приложении I приведен более подробный обзор литературы по существующим методам исследования поставленных в данной работе задач..

Научная новизна работы и значимость ее результатов..

1. На основе методов теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений построены асимптотические приближения решений краевых задач А^.т'1 и с потенциалом у (г) вида (0.23а) на отрезке [0,го] и на полупрямой [0,+оо), а также приведена оценка погрешности этих асимптотических приближений. Предложенный алгоритм позволяет построить асимптотическое приближение решений собственных функций [фе, 2 т, 1,'у{г)с^=о и собственных значений [А?)2т, 7]^=о д° любого порядка Е..

2. Предложен метод оценки поведения собственных функций [Фе, 2 т, 1, у{г)]^3= о и Собственных ЗНаЧвНИЙ [^s, 2m,^y]™=Q ПРИ возрастании порядка 2 т уравнения (0.31) для краевых задач А¹⁷¹'1 и.

3. Построена разностная схема для поиска численного решения краевых задач, Л®-'0 и В*'0, на основе метода сгущающихся сеток для достижения равномерной по малому параметру е сходимости. Показано, что эта разностная схема для рассматриваемых задач сходится равномерно относительно малого параметра е на рассматриваемой неравномерной сетке..

4. Было написано программное обеспечение, которое позволяет при задании конкретного вида потенциала и (г) численно находить собственные функции [фе, р, о, 7(г)]т^о и собственные значения [Л?)Р)7]^1о краевых задач Аи (р = 4, 6)..

5. На основе полученных результатов были найдены асимптотические решения краевых задач А" *&trade-'1 и Ви численные решения краевых задач и В£'° (р = 4,6) для осцилляторного, кулоновского, центробежного и др. квантомеханических потенциалов у (г). Показана сходимость решений задач А" *&trade-'1 и В¹⁷¹, 1 к соответствующим решениям задач Аог1 и Ду для уравнения Шредингера при г —> 0 при фиксированном 2 т. На основе краевых задач В (р = 4,6) численно найден спектр и волновые функии связанных состояний кварка и антикварка в случае чармония и боттомия в рамках модели квар-кониев на основе использования упомянутых выше потенциалов и исследовано поведение решений при е —" 0..

Научная и практическая значимость результатов..

Предложенное методы решения краевых задач А^т'1 и Впозволяют, используя методы теории сингулярных возмущений или численные методы, построить асимптотические или найти численные решения данных задач и исследовать поведение этих решений при устремлении малого параметра к нулю (е —> 0) при фиксированном порядке 2га сингулярно возмущенного уравнения (0.31), а также при возрастании порядка 2 т и фиксированном е..

Исследование погрешности асимптотических приближений решений краевых задач Afn, l и В^т'1, а также оценка их погрешности при использовании численных методов дает возможность оценить точность получаемых результатов..

Асимптотические и численные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач Аи для осцилляторного, кулоновского, центробежного и др. потенциалов позволяют показать сходимость сингулярно возмущенных решений к соответствующим решениям уравнения Шредингера при е —> 0 при фиксированном порядке 2 т сингулярно возмущенного уравнения и оценить поведение сингулярно возмущенных решений при возрастании порядка 2 т уравнения (0.31) и фиксированном малом параметре е..

Написанное программное обеспечение позволяет численно находить собственные функции [ф?, Р, о, 7(г)]^=о (как в виде числового массива, так и в виде графика) и собственные значения [А?)Р)7]^=0 (в виДе числового массива) краевых задач и В (р = 4, 6) при задании конкретного вида потенциала у (г). Это программное обеспечение может быть использовано при исследовании в рамках релятивистских потенциальных моделей с использованием различных феноменологических потенциалов для поиска спектра масс мезонов и для поиска их волновых функций..

Автор защищает:.

1. алгоритм построения асимптотических решений краевых задач на собственные функции и собственные значения с потенциалом у (г) вида (0.23а) на отрезке [0, го] и на полупрямой [0, +оо) и способ оценки погрешности асимптотических приближений решений этих задач-.

2. метод оценки поведения собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2 т сингулярно возмущенного аналога уравнения Шредингера-.

3. разработку разностной схемы с переменным шагом для поиска численных решений краевых задач-.

4. метод поиска асимптотических и численных решений краевых задач для различных квантомеханических потенциалов у (г) (осцилляторного, кулоновского и центробежного) —.

5. метод численного поиска энергетического спектра и волновых функций связанных состояний кварка и антикварка в рамках модели. кваркониев для случая чармония и боттомия с использованием различных феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромо-динамики..

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах Лаборатории Информационных Технологий ОИЯИ (г. Дубна) в мае 1999 г., Лаборатории Вычислительной Физики и Математического Моделирования Российского Университета Дружбы Народов в апреле 2000 г. и в марте 2003 г., на семинарах кафедры математики физического факультета Московского Государственного Университета в марте 1998 г. и апреле 2002 г. и кафедры математического моделирования Московского Энергитического Института в октябре 2000 г., а также на следующих конференциях:.

XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 24−28 мая, 1999 г.;.

XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 22−26 мая, 2001 г.;.

XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 14−17 мая, 2002 г.- и международной конференции «Computational Modelling and Computing in Physics», Dubna, Russia, September, 16−21, 1996..

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях [2]-[7] в виде статей в журналах «Дифференциальные уравнения», «Математическое моделирование», в материалах международной конференции «Computational Modelling and Computing in Physics», тезисов конференций, препринтах ОИЯИ..

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 225 наименований, 4 приложений. Работа содержит 254 страниц, 8 таблиц, 34 графиков..

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ ОИЯИ г. Дубны, Московской обл., внес определяющий вклад в следующее:.

• в поиск решений краевых задач Af71'1 и связанных с построением асимптотических приближений собственных функций и собственных значений-.

• в разработку метода оценки поведения решений краевых задач А*" 1'1 и при возрастании порядка 2 т уравнения (0.31) —.

• в разработку разностной схемы для поиска численного решения краевых задач Af°, А6е>° и.

• в построение асимптотического приближения решениий краевых задач А^т'1 и Ви поиска численных решений краевых задач А*'0, и для различных видов потенциалов (осцилляторного, кулоновского, центробежного, корнеллского и др.) — а также самомтоятельно разработал на языке Фортран (FORTRAN 77, FORTRAN 90) представленный в Приложении IV пакет программ, реализующий разработанные разностные схемы..

Основное содержание работы..

• Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы, посвященный существующм асимптотическим и численным методам решения сингулярно возмущенных краевых задач, методам исследования линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка и методам исследования двухчастичных систем в квантовой теории поля, приведен объект и освещен предмет исследования, поставлена задача и сформулирована цель исследования. Показана научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены методы исследования, даны сведения об объеме и структуре диссертации, публикациях, апробации основных результатов диссертации на конференциях..

• В первой главе строится асимтотические решения собственных функций и собственных значений краевых задач и Вдля потенциала у (г) вида (0.23а) на конечном отрезке и на полупрямой..

• Во второй главе исследуется поведение собственных функций и собственных значений [Л?)2т, 7]^1о задач и В*&trade-'1 при возрастании порядка 2 т уравнения (0.31)..

• В третьей главе строится разностная схема с переменным шагом для достижения равномерной по малому параметру е сходимости численного решения краевых задач Аи В£>0 (р = 4,6) на основе метода сгущающихся сеток..

• В четвертой главе с помощью предложенных асимптотических методов строятся асимптотические приближения собственных значений и собственных функций задач А^т>1 и В^т'1 для осциллятор-ного, кулоновского, центробежного потенциалов, а также приводятся результаты численных исследований краевых задач и р = 4,6) с этими же потенциалами. Показывается сходимость этих решений при е —> 0 и фиксированном 2 т к соответствующим решениям задач Ао, 1 и для уравнения Шредингера. С помощью численных методов на основе задач В*'0 и исследуется спектр и волновые функии связных состояний частиц типа кваркониев (од) для различных потенциалов..

• В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы..

• В Приложениях приведено следующее:.

1. обзор литературы по существующим математическим методам решения сингулярно возмущенных краевых задач, исследованию линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка, методам исследования двухчастичных систем в квантовой теории поля-.

2. исследование корней характеристических уравнений, возникающих при поиске пограничных функций-.

3. табличный материал и графики-.

4. тексты программ на FORTRAN-e..

Основные результаты диссертации..

1. Сформулированы краевые задачи на отрезке [0, го] и на полупрямой [О, +оо) для поиска собственных функций и собственных значений..

2. Построены асимптотические приближения решений краевых задач, а также оценки погрешности этих асимптотических приближений..

3. Исследовано поведение собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2 т усеченного уравнения..

4. Разработана разностная схема и алгоритм численного решения краевых задач на основе метода сгущающихся сеток. Показано, что предложенная разностная схема для этих задач обеспечивает равномерную относительно малого параметра е сходимость численных решений. На языке Фортран (FORTRAN 77, FORTRAN 90) создан пакет программ, реализующий разработанные схемы. В этом пакете предусмотрена возможность задавать вид потенциала v{r) и численно находить собственные функции и собственные значения соответствующих задачи с заданной точностью. Для точно решаемых модельных задач были выполнен-ны численные исследования точности и показана сходимость представленных вычислительных схем..

5. Для осцилляторного, кулоновского и центробежного потенциалов на основе полученных результатов были построены асимптотические решения краевых задач на собственные функции и собственные значения. Для этих же потенциалов с помощью разработанного пакета программ, в котором реализован метод сгущающихся сеток, были найдены численные решения сингулярно возмущенных краевых задач, а также показана сходимость этих решений к соответствующим решениям вырожденных задач (были рассмотрены случаи 2 т = 4,6) На основе этого же программного обеспечения с использованием различных потенциалов модели кваркониев был найден спектр и волновые функции связанных состояний кварка и антикварка для случая чармония и боттомия..

4.6 Выводы по 4 главе.

1. для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторного, кулоновского и центробежного) построение асимптотических приближений решений краевых задач-.

2. получены численных решений этих задач с использованием разностной схемы с переменным шагом-.

3. произведено сравнение соответствующих асимптотически приближенных решений с решениями, полученными численно-.

4. численно исследован энергетического спектр и волновые функии связанных состояний кварка и антикварка (дд) в рамках потенциальной модели кваркониев для случая чармония (сс) и боттомия (ЬЬ) с использованием феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромодинамики: 1) Квигга, Рознера- 2) корнеллского- 3) Бхано, Рудаза- 4) Ричардсона- 5) Фоглемана..

Заключение

..

В диссертации на основе методов теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений были построены асимптотические приближения решений краевых задач Л2ш и В2т на собственные функции [Фе, 2 т, у (г> 0]~о и собственные значения [Л?>2т,-у]^=о с потенциалом у (г) вида (0.23а) на отрезке [0, го] и на полупрямой [0, +оо) для случая когда все собственные значения [Ле)2т>7]^0 являются простыми и когда среди них имеются кратные, а также оценка погрешности этих асимптотических приближений..

Проведен анализ поведения собственных функций фе, 2тп{г^ 0]т^о и собственных значений [Л?Г)2т, 7]^-0 ПРИ возрастании порядка 2 т уравнения (0.43) для задач и В2т..

Построена разностная схема с переменным шагом для нахождения численного решения задач А2т и В2т с заданной точностью..

Получены и исследованы асимптотические и численные решения краевых задач А2т и В2т для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторного, кулоновского, центробежного и др.)..

Найдено и исследовано численное решение краевой задачи В2т (спектр и волновые функии связных состояний кварка и антикварка (од)) для случая феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромодинамики, численно показана сходимость решений этой задачи к решениям соответствуюшей вырожденной задачи для уравнения Шре-дингера при е —> 0..

Полученные результаты свидетельствуют об эффективности использованных в диссертации асимптотических и численных методов теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений для данного класса задач..

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору Евгению Петровичу Жидкову и кандидату физико-математических наук Илькизару Валиевичу Амирханову, а также соавторам и коллегам Ирине Евгеньевне Жидковой, Ивану Павловичу Юдину, Леониду Антоновичу Севастьянову за постоянное внимание и поддержку. Также автор благодарит Правительство города Москвы, в лице Юрия Михайловича Лужкова, Государственный Экспертно-научный центр «ЭНЛАКОМ» при Правительстве города Москвы, в лице директора, Усатовой Татьяны Александровны. Я бесконечно благодарен своей жене, Васильевой Дарье Геннадьевне..