Асимптотическое поведение линейных форм и сходимость совместных аппроксимаций Паде для некоторых классов марковских функций

В настоящее время вновь возродился интерес к рациональным аппроксимациям, которые впервые подробно изучались Паде в работе 1 S 7] (см., также, [ /j], L). В то же время сейчас быстро развивается теория совместных аппроксимаций Паде с общим знаменателем. Аппроксимации Паде находят широкое применение в различных областях математики и её приложениях. Так классические аппроксимации Паде связаны с такими теоретическими разделами как проблема моментов, ортогональные многочлены, аналитическое продолжение, интерполяционные задачи, спектральная теория операторов. Многие из этих задач берут своё начало в работах П. Л. Чебышёва и Т. Стильтьеса (см. 1о, 1 $). Аппроксимации Паде применяются также в теории дифференциальных уравнений, вычислительной математике, теоретической физике. За последние годы было получено много новых результатов о классических аппроксимациях Паде (и близких к ним рациональных аппроксимациях). ('Смотри, например, работы А.И.Ап-текарева [ i6, , В. В. Вавилова 12 0], A.A.Гончара 2 /], 1221, 123], В. К. Дзядыка С 2 41, Е. М. Никишина [30], Д. В. Панникова Г 3 6], Е. А. Рахманова 13Р], 139], С.П.Су-етина I 4 о J, книгу Бейкера Е 1 4 ], сборник статей №].).

Совместные аппроксимации Паде определяются следующим образом. Пусть /г (?), (Z) — голоморфные в точке % = о функции (или формальные ряды по степеням зг) :

Пусть далее, а = Сп19. пк) и Ьг ^ С. т1,., тк) -два мультииндекса. Требуется определить многочлены (3 с, -Р, (2) «Р^ (, удоволетворяющие следующим условиям: й? О, Леу (2 * Ш1, Ш1 = Пл + - пк — ед /> ^ /72, — ,/ = /,., /г — (о. 2) с, гГ-» 1:'.

Поставленная задача сводится к системе I п линейных однородных уравнений относительно I П + 4 неизвестных — неопределённых коэффициентов многочлена О,. Следовательно, решение задачи всегда существует. Заметим, что вообще говоря многочлен С} определяется условиями (О. 5) неоднозначно (даже с точностью до множителя). В случае ^ = / мы приходим к задаче о классических аппроксимациях Паде. В этом случае дробь (я) = Р1 /О определена однозначно и называется аппроксимацией Паде функции (ряда) / (2). В общей ситуации дроби.

Д- <*) • J I, л- (г) = —:—- = А, (аз) о ^ определяются неоднозначно. Однако, среди всех многочленов О., удоволетворяющих условиям (о, 2) > существует единственный (с тосностью до множителя) многочлен, тлеющий наименьшую степень. Рациональные функции С О. 3), построенные для этого многочлена, называются совместными аппроксимациями.

Паде (с общим знаменателем) для набора функций (рядов) (о.1.

Конструкцию совместных рациональных аппроксимаций с общим знаменателем' впервые применил в 1873 году Шарль Эрмит (задолго до Паде) при доказательстве трансцендентности числа е (см. с & 2 ], а также Е 4 ]). При этом в качестве функций (0.1) был рассмотрен набор экспонент г 2 г к* Л, А е, е, • - •, е. P-V.

Та же конструкция используется и при доказательстве трансцендентности числа УТ и более общей теоремы Линдемана.

Б дальнейшем в теории трансцендентных чисел наряду с совместными рациональными аппроксимациями широко стала применятся другая интерполяционная задача — задача о линейной форме с полиномиальными коэффициент шли (см.? 1 Н Л). А именно, пусть / (7) «/=/,-•-» /г — по прежнему голоморфные в точке g — о функции (или формальные степенные ряды),^i, ,., f ^ «заданные целые неотрицательные числаищутся многочлены A i (2), / = /,•••» fc, такие что? eg A i? — 1 «и выполняется соотношение где С = ^ + - • • + 6k •.

Заметим, что для набора экспонент (о. 4) такие формы также были впервые вычеслены Эрмитом в 1893 году (см. [^З]). Дальнейшее развитие идеи Эрмита получили в работах Малера и Зигеля. К. Малер (см. С S 6 1) обобщил обе конструкции Эрмита с набора экспонент на произвольные наборы голоморфных функций (в случае индексов — пл —. = +тк ъ / п I изучил тесную связь между совместными аппроксимациями и линейными формами. Результаты Малера были обобщены его учениками Днагером Г ¿-Г 3 и Коатсом 1⁰], [ & ¦/]. При этом в указанных работах изучались свойства числителей и знаменателей дробей (?), но не рассматривались свойства самих аппроксимаций. Впервые поведение дробей ^ (?) начал изучать де Брюен. В работе С 4 5 ] де Брюен даёт определение совместных аппроксимаций Паде в случае индексов Малера и при условии, что многочлен С} определяется соотношениями (аз) однозначно (с точностью до множителя). Сформулированное выше определение дал В. А. Калягин (см. С 2 7]). В своей кандидатской диссертации он подробно изучил возникающую при этом общую таблицу совместных аппроксимаций Паде, ввёл понятие нормальных индексов, изучил различные понятия совершенности набора функций с о. 1).

Важными и интересными, но весьма сложными, являются задачи о сходимости совместных аппроксимаций к функциям, для которых они построены. В настоящее время имеется немного результатов о сходимости. Часть из них принадлежит де Брюену. Им введён (см. С 46], ?47],[4?])обобщённый алгоритм Сдробей, подходящие дроби которых и будут некоторыми совместными аппроксимациями Паде. Из доказанной им общей теоремы сходимости обобщённых Сдробей в качестве следствия вытекает сходимость некоторых совместных аппроксимаций для набора е, е <�А р, а также для набора (1−2) •.

Далее, А. И. Аптекаревым (см. 11?}, С 4 ?]7 [19])установлена сходимость всей таблицы Малера-Паде для набора экспонент со&bdquo-? Ou 2 3: С * и для набора гипергеоме трических функций J (с — Д^- ?)} при любом k.

Наряду со случаем разложений с центром в нуле (или в любой другой конечной точке комплексной плоскости) совместные аппроксимации Паде и формы с полиномиальными коэффициентами строятся и для рядов с центром в бесконечности. В этом случае постановка задач следующая. Пусть (?), С «. ,^?3) — функции, голоморфные в бесконечности («или формальные ряды по степеням / / г): р-о.

Пусть далее, задан мультииндекс п = i. Тогда, числитель О. —, пь ^ и знаменатели Р{ - р. (nf,., nuZ) t t j к совместных аппроксимаций Паде для набора (о.^) определяются соотношениями:

Q тф О, deg Q $ Inj i = /7.. •, /с М.

R.(no^J/, ^ = .

Сами аппроксимации = Р- / Q. мы будем рассматривать только в случае единственности многочлена Q. Легко видеть, что эти аппроксимации при замене ^ = 4 / ос соответствуют диагональным аппроксимациям С = / /г/, г* = /г) в общей таблице Паде. Коэффициенты Тг =ТгС • - •, I 2), /=/,., к и & =. и О) формы.

1с.

— п., Лк (я) (о.?).

1к определяются соотношениями с/ед ^ п{ к, В.

В теории классических аппроксимаций Паде центральное место занимает теорема А. А. Маркова (см. С 6]), которая утверждает, что диагональные аппроксимации Паде, построенные в бесконечности к функции вида.

1 J х — Я д сходятся к f (при п —> оо) равномерно на компактах вне й. Здесь уч — положительная мера с бесконечным числом точек роста и носителем, лежащем на компактном отрезке Л вещественной оси. Функции вида (о. §>) называются марковскими. Представляет интерес изучение сходимости совместных аппроксимаций Паде к набору марковских функций.

Ещё в работе С 4 3 ] 1919 года Анжелеско рассмотрел конструкцию (о. 6) для набора марковских функций с мерами на неперекрывающихся отрезках вещественной оси. Анжелеско по существу доказал совершенность (определение см. в с 17 Л) такого набора функций. Случай разложения в бесконечности вновь рассмотрел Е. М. Никишин (см. С 3 1 ], [32]7[ЗЗ^и использовал совместные аппроксимации и формы в этом случае для решения некоторых задач теории чисел (см. 1333, I3¹).

В работе С 3 2 1 Е. М. Никишин нашёл достаточное условие совершенности системы марковских функций, носители мер которых совпадают, и доказал в этом случае общую теорему сходимости для двух марковских функций. Отметил также, что в работе 13?] В. И. Парусников определил и исследовал так называемый алгоритм многомерных рдробей, подходящие дроби которых являются некоторыми совместными диагональными аппроксимациями Паде в случае разложения в бесконечности.

В.А.Калягину принадлежит результат о сходимости совместных аппроксимаций Паде для двух марковских функций, носители мер которых не пересекаются (см. [ 2 5″ ], 1273) А именно, он рассмотрел случай индексов п4 = п и две марковские функции = Г «х)с/х, ?-/.2. с-а).

О осЯ где Д 1 = о 1 9 ¿-и = С о 7 А }, а весовая функция /э (*) — несколько более общая чем классический вес Якоби: 3 рсх) = I х1Ы I 4 + х*х — ?>

Сходимость (при п оо) аппроксимаций к функции / • (%) равномерно на компактах в С С- /, У ] получается у Калягина как следствие установленных им точных асимптотических формул для многочленов О. п ^ п и функций второго рода /?г- (п, п Iг). Эти результаты формулируются следующим образом. Через (¦/ / %), обозначим голоморфные вне отрезков С — ¦/, 7 ] «I — 1,, I о, 1 ] соответственно функции — корни уравнения.

1 (и — 4)3- 2? Ц7* = о.

Тогда, тёа (¿-к*)" I* <�г)] (а <0) и г— / 1 п 1 (он).

Л4(п, ш*) (¿-^щ) [ ъ <*) + *,.<4 где п >, п ' ° (при а.

Д)о, и & - некоторые (явно выписываемые) функции, голоморфные вне отрезков 1−4, 4] «С-Л 0 1 и [я. соответственно. При этом и"с*/г) < ц< а/г)1, ц0 (</г)<�Шлш) при 2 € С [-/,</].

Заметим, что многочлен С1 п 7 п является так называемым 2-ортогональным многочленом. А именно, он ортогонален с весом р (х) всем многочленам степени не выше /2 — / на каждом из отрезков ?} 1 и Д^. Такие (и аналогичные юл) многочлены рассматривались уже в работах С4-/Э, 1443 7149], Попытку вычислить асимптотику многочленов О. п п (в случае ы = /з = У = о) впервые предпринял Абрамеско в работе С 4 2. ] 1922 года. Отметим, что асимптотика (о. -/о) существенно отличается от асимптотической формулы Сегё (см. Г 7]) для обычных ортогональных многочленов.

В то время как асимптотика совместных аппроксимаций Паде для марковских функций (о. д) была найдена, вопрос об асимптотическом поведении линейных форм с о. у) для тех же фикций оставался открытым. В первой главе диссертации мы устранили этот пробел (в случае, а = р — о). В § 1 главы I мы нашли связь многочленов =1^(n.njx) и Т2 =1? Ln, noc)} показали, что многочлен ~ТЯ («степени п) может быть определён как многочлен, ортогональный на отрезке L о, л 3 с у весом I xl всем нечётным многочленам степени не выше 2n-i. Исходя из этих соотношений ортогональности мы нашли дифференциальное представление многочленов Ту и ~ аналог фор-i/гулы Родрига для классических ортогональных многочленов. Основываясь на формулах Родрига мы получили явные аналитические выражения для производящих функций р и р^ последовательностей многочленов Тл (п, п I х) и ~ТХ (п, nix), П — 0,12,., соответственно, а также интегральное представление формы Ln>n, из которого в свою очередь также получили явное аналитическое выражение для производящей функции ф последовательности форм L h? п, п- = о, 1, 2,. .

Для получения точных асимптотических формул мы применяем метод Дарбу, основанный на изучении особых точек на границе круга голоморфности производящих функций. В соответствии с этим § 2 и § 3 главы I посвящены изучению особых точек функций F1, Гя и ф соответственно. На основании этого исследования мы получаем в § 4 основные результаты первой главы. А именно, имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА. 0.1. а) Если х $? д, /г = /, %, то.

Тк (п, ш*) = ' ик u/xf [ 3Ah (х), екя м], где 4″ (х) О (ПРИ К-*, оо) равномерно по ос на компактах в?^, а /) ^ - некоторая голоморфная в этой области функция.

Если х е Д к, 1с = }, ТО где под ?^ ^ у/ х) и понимаются предельные значения на интервале X ^ ?1 ^ из нижней полуплоскости, л ^ ^—" О (при я—=> оо) равномерно по х на компактах в интервале I /г/" ^ ^ , — а^д ¿—/д. (4/ос)т.

ТЕОРЕМ 0.2. Если х? ? С — У,, то и*"'*? ["/"0^ + где? и (х) —о (при /2 —=> о®-) равномерно по эс на компактах в ^ [-/, У], а /)с — некоторая голоморфная в этой области функция.

Функции и 0, Ц , — те же, что ив (о. -/о — о. у-/).

В конце § 4 мы обощаем полученные нами результаты, а также результаты работы [ ^ на случай индексов пл — п, пя = п — </. Заметим, что наши результаты являются более общими чем результаты Калягина, так как последние могут быть получены (в случае ^ =• р> - о) в качестве следствия из теорем главы I. Для этого достаточно воспользоваться формулами (см. 13 1],[3% 1)> выражающими общий знаменатель О. п> п совместных аппроксимаций и функции второго рода, Я ^ через многочлены ~Г, Т и форму.

I ^ I ^ П, П. '.

Как говорилось выше, в настоящее время имеется довольно мало результатов о сходимости совместных аппроксимаций Паде. Часть из них относится к набору марковских функций. Однако нигде не изучались аппроксимации для функций такого вида, когда одна или несколько мер имеют неограниченный носитель. В главе II гш изучаем одну задачу такого типа. А именно, рассматриваются совместные аппроксимации Паде (в случае индексов кл=пл) для двух степенных рядов с центром в бесконечности, соответствующих функциям '(*) = Г е’Х (/х, 1с = о7 *>, к х- % гДе Л о = Г — /, 4 ]. Д оо = И, <�х> 1 •.

В § 1 главы II дана постановка задачи и получены основные формулы, необходимые в дальнейшем исследовании. Так многочлен уу (степени 2 п) — общий знаменатель рациональных аппроксимаций йТо и ТС является (как и в общей ситуации) 2-ортогональным многочленом. А именно, он ортогонален с весо V вой функцией е всем многочленам степени не выше П — 1 на каждом из отрезков, А 0 и Л Л. Для многочленов /{ нам удалось получить дифференциальное представление. На основе этого представления мы находим явное аналитическое представление для производящей функции ф последовательности, а также интегральные формулы для функций второго рода! Р0 и (п .Ш интегрального представления функции Р0 мы получаем явное аналитическое выражение для производящей функции ф последовательности (Ш, П = о, 2,.

В § 2 главы II мы получили точные асимптотические формулы при П оо для многочленов Л п и функций (п / ?). При этом мы применяем (как и в главе I) метод Дарбу. В результате проведённого исследования нами обнаружен следующий эффект. Многочлены /1 п имеют при п —"оо точную асимптотику такого же вида, что и обычные ортогональные на отрезке С — /, 4 ] многочлены с мерой, удоволетворяющей условию Сегё. Аналогичное замечание относится и к функциям второго рода отвечающих конечному отрезку ?3 0 .В частности, нули многочлена, принадлежащие интервалу С — У, /) «в пределе образуют стандартное чебышёвское распределение, а нули, принадлежащие интервалу (/,&>), с ростом п стремятся к бесконечности. Следовательно, полюса аппроксимаций и ЗТ, лежащие на интервале (4, оо) «не препятствуют сходимости этих аппроксимаций в точках указанного интервала. Из асимптотических формул § 2 вытекает следующий результат о сходимости дробей ^ (п I %).

ТЕОРЕМА 0.3. Аппроксимации УГ0 (п/Я) при П оо сходятся к функции (равномерно на компактах в Сйа'.

При этом скорость сходимости следующая.

I т / /о сзга Спъ) I Е-у/г-4 I,.

К —" оо гДе > о ПРИ? > /.

В § 3 главы II мы получили точную асимптотическую формулу для функций второго рода (п 1&) > отвечающих бесконечному отрезку Д. При этом мы применили к интегральному представлению функций р^ некоторую модификацию метода перевала. В результате чего получена следующая.

ТЕОРЕМ 0.4. При /2 оо функции второго рода ]?0 (п1%) имеют равномерно на компактах в области € Л ^ следующую асимптотику.

11 Сп/г) = сп- /)!е*[ / + 0(1)].

Таким образом мы видим, что величины / J^ⁿ | | растут с ростом П быстрее любой геометрической прогрессии. Следовательно, аппроксимации ¿-ГГ^ (п / Я) не сходятся ни в одной точке комплексной плоскости.

Выше отмечалось, что как совместные аппроксимации Паде так и формы с полиномиальными коэффициентами находят самое широкое применение в различных областях математики. Причём обе эти конструкции тесным образом связаны между собой. В главе III мы даём дальнейшее развитие этой точки зрения доводя её до максимальной степени общности. Так что обе указанные конструкции становятся совершенно равноправными и формально не различимыми в нашей общей постановке. В § 1 главы III мы даём постановку новой общей задачи, содержащей в качестве своих частных случаев задачи о классических и совместных аппроксимациях Паде, о линейной форме с полиномиальными коэффициентами, о матричных аппроксимациях. (Матричный аналог классической проблемы моментов, аппроксимаций Паде, ортогональных многочленов — все эти теории были в значительной степени разработаны М. Г. Крейном и успешно применялись им в спектральной теории симметрических операторов с конечнократным спектромсм. работы С[59], а также монографию [ 1 ], в которой имеется подробная библиография по данному вопросу.) Итак, пусть дана п * т —матрица / из степенных рядов /. • с центром в бесконечности. Ищутся многочлены (не все равные тождественно нулю) л 9 «•••» «степени которых не превосходят заданные числа *гл — /, Гг1 — 1 4 соответственно, такие что для некоторых многочленов /з ,., рп ряды м.

Ъ — Г ЪуА-, * =.

1=4 начинаются со степени 1 / % не меньшей чем $? + у, где ,." - заданные целые неотрицательные числа, связанные с числами ч «• • •» (7т соотношением п *п = Г ъ — /. с*'".

При /72 — у поставленная задача сводится к задаче о совместных аппроксимациях Паде, а при П — / - к задаче о линейной форме. В нашей общей постановке под двойственной задачей понимается та же самая задача, но с матрицей / вместо (Здесь через / * обозначена матрица, получающаяся изр транспонированием и переходом к комплексно сопряжённым коэффициентам рядов.).

Оказалось, что поставленная нами задача допускает развитие содержательной формальной теории. Так мы показываем, что многочлены удоволетворяют соотношениям ортогональности специального видарешения прямой и двойственной задач удоволетворяют некоторому соотношению биортогональности. Далее, беря различные наборы чисел { у. | и { 1, связанных соотно шением (о. 42), мы получим П + т- /-мерную таблицу P^Y/J («решений общей задачи), являющуюся аналогом диагонали в классической и общей таблице Паде. Нами получены некоторые достаточные условия единственности решения общей задачи. При этом существенную роль играет введённое Е. М. Никишиным (см. С 321) понятие АТ-системы. Имеет место.

ТЕОРЕМА 0.5. Пусть /// - марковские функции: j oc- ^.

Предположим, что вьшолнено одно из следующих трёх условий. a) Для каждого i = S,-., п отрезки A г. .. , дг/п совпадают между собой и равны отрезку д t- - отрезки Д4,. ¦ • •? Z) п попарно не перекрываютсягг = (г. ,) -АТ-система на отрезке ?3, содержащем все ?2 t- - ywî—мера на отрезке ?3, Z J7, имеющая бесконечное число точек роста. Меры j* ¿-у определены следующим образом b) Для каждого / = m отрезки Д fJ-,. .. , д «• совпадают между собой и равны отрезку Л у — отрезки Л.

• • -? Л т попарно не перекрываютсяи = (и i, •. —, ип) -АТ-система на отрезке д, содержащем все д. мера на отрезке Aj, j =/,., fn, имеющая бесконечное число точек роста. Меры у* ¿-у определены следующим образом.

JjUy (х) = U{ (X)ctjuy (х), i = П, j= т¦

C) Все отрезки, i = /,., П ,/=/,.,/71, совпадают между собой и равны отрезку, А, V — (tfj,-,^) и Ц = (и¿-Jn) — две АТ-системы на отрезке, А, у^ -мера на отрезке, А, имеющая бесконечное число точек роста. Меры ju у j определены следующим образом dfij (х) = U+tx) IX, — (ос) с!/*(х), /= /,., Л,.

Тогда, для любых целых неотрицательных чисел 7 т и S i, •• • >, связанных соотношением С о. i z), поставленная нами общая задача имеет единственное решение. При этом, если (* Р) ~ решение задачи для указанных индексов, то для всех у = /7? степень?. в точности равна 7j — /.

Доказательство теоремы 0.5 представляет собой дальнейшее развитие свойств нулей ортогональных многочленов.

В § 2 главы III мы выделяем из всей таблицы JO (/) так называемые чисто диагональные решения, то есть решения соответствующие индексам вида t = С р.. ., р, Л., С- /) s = г б-,.. ., б-. <5—-/,.. ., 6—/-.

Именно последовательность таких решений является наиболее полным аналогом диагонали классической таблицы Паде. В § 2 мы вводим понятие нормальных индексов, даём детерминантное необходимое и достаточное условие нормальности, находим простые достаточные условия нормальности, получаем детерминантные формулы для чисто диагональных решений. Наиболее важным результатом этого параграфа является рекуррентное соотношение, которому удоволетворяют чисто диагональные решения.

ТЕОРЕМ 0.6. Пусть / - п * Щматрица из рядов, такая что все индексы к б + нормальны относительно /. Тогда, столбцы многочленов? с к *, входящие в кое чисто диагональное решение общей задачи с матрицей f и определённым образом нормированные, удоволетворяют следующему рекуррентному соотношению П + кпого порядка: г. Лл х, //У где 2 , — некоторые величины, однозначно определяете л матрицей /. ('Считаем, что в (о. 1з) при 1с < О.

Именно из чисто диагональных решений мы конструируем матричные рациональные аппроксимации для { - находим их порядок касания с /.

Нумерация теорем, утверждений, лемм, а также формул принята следующая: первая цифра указывает номер параграфа в данной главе, второе число — порядковый номер в данном параграфе. При этом нумерация в каждой главе независимая. Обозначения, используемые в каждой главе, также не зависят от других глав.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора I #91, [ > С ^ 1 •.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору Е. М. Никишину за большое внимание, уделённое этой работе.

1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.

2. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. М.: Физматгиз, 1961.

3. Де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961.

4. Клейн Ш. Элементарная математика с точки зрения высшей, том I, арифметика, алгебра, анализ. М.-Л.: Гостехиздат, 1933.

5. Крейн М. Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.

6. Марков A.A. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.: Гостехиздат, 1948.

7. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Шизматгиз, 1962.

8. Стильтьес Т. Исследования о непрерывных дробях. Харьков — Киев: ОНТИ, 1936.

9. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.

10. Чебышёв П. Л. Полное собрание сочинений, т. 3. М.: Изд. АН СССР, 1948.

11. Bake? A. fssentiais of Paje atf>*ox/man.u. Л/ew Yo-гЬ: Akademie, 197 Г.

12. Pac/e and taiionol apjo70K? mJ?oti. fJ*w Уогк: /? kademic, 1177.xLne.

13. Аптекарев А. И. Асимптотика определителей Адамара и сходимость строк аппроксимаций Паде для суммы экспонент. Ма-тем. сб., 1980, т. 113(155), № 4, с. 520 — 537.

14. Аптекарев А. И. О сходимости рациональных аппроксимаций к набору экспонент. Вестник МГУ, матем., мех., 1981, № 1, с. 68 — 74.

15. Аптекарев А. И. Об аппроксимациях Паде к набору (/,.

16. Аптекарев А. И. Сходимость аппроксимаций Паде и совместных аппроксимаций для некоторого класса целых функций: Дис. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук: М.: МГУ, 1980, 70 с.

17. Вавилов В. В. О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций. Матем. сб., 1976, т. 101 (143), с. 44 — 56.

18. Гончар A.A. О сходимости обобщённых аппроксимаций Паде мероморфных функций. Матем. сб., 1975, т. 98(140), IM, с. 564 — 577. .

19. Гончар A.A. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций. Матем. сб., 1975, т. 97(139), № 4, с. 607 — 629. Вестник МГУ, матем., мех.,.

20. Гончар А. А., Гиермо Лопес Л. О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде. Матем. сб., 1978, т. 105 (147), Н°4, с. 512 — 524.

21. Дзядык В. К. Об асимптотике диагональных аппроксимаций Паде S½ Я, cos 2, с к Z. Матем. сб., 1979, т. 108(150), Н°4.

22. Калягин В. А. Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности. Матем. сб., 1979, т. 110(152), № 4, с. 609 — 627.

23. Калягин В. А. Замечание о структуре таблицы Паде. Вестник МГУ, матем., мех., 1980, № 5, с. 38 — 41.

24. Калягин В. А. Вопросы нормальности и сходимости совместных аппроксимаций Паде: Дис. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук: М.: МГУ, 1980, 68 с.

25. Крейн М. Г. Основные положения теории представления эрмитовых операторов с индексом дефекта (WI, I7l). Укр. матем. журнал, 1949, 1:2, с. 3 — 66.

26. Крейн М. Г. Бесконечные Т-матрицы и матричная проблема моментов. ДАН СССР, 1949, 69, с. 125 — 128.

27. Никишин Е. М. О сходимости диагональных аппроксимаций Паде некоторых функций. Матем. сб., 1976, т. 101 (143), № 2, с. 280 — 292.

28. Никишин Е. М. О системе марковских функций. Вестник МГУ, матем., мех., 1979, Р4, с. 60 — 63.

29. Никишин Е. М. О совместных аппроксимациях Паде. Матем. сб., 1980, т. 113(155), Н°4, с. 499 — 519.

30. Никишин Е. М. О логарифмах натуральных чисел. Известия АН СССР, серия матем., 1979, т. 43, с. 1319 — 1327, атакже IS80, т. 44, ??§ 4.

31. Никишин Е. М. Об иррациональности значений F (эс, S).- Матем. сб., 1979, т. 109(151), № 3, с. 410 417.

32. Никишин Е. М. Об одном наборе степенных рядов. Сибирский матем. журнал, 1981, т. 22, \Ч, с. 164 — 168.

33. Панников Д. В. Полюса приближений Паде к^ (¦/, с j?) — Вестник МГУ,.

34. Парусников В. И. Алгоритм Якоби-Перрона и совместное приближение функций. Матем. сб., 1982, т. 114 (15б), с. 322 333.

35. Рахманов Е. А. Об асимптотике отношения ортогональных многочленов. Матем. сб., 1977, т. 103(145), с. 237 — 252.

36. Рахманов Е. А. О сходимости аппроксимаций Паде мероморф-ных функций. Матем. сб., 1977, т. 104(14б), с. 271 — 291.

37. Суетин С. П. О теореме Монтессу де Болopa для нелинейных аппроксимаций Паде ортогональных разложений и рядов Шабера. ДАН СССР, 1980, т. 253, № 6.

38. Энгелис Г. К. О полиномах заданных формулой Родрига. Уч. зап. Латв. гос. ун-та, 1958, т. XX, с. 137 — 143.

39. AL Ъамеъсо Л/, ?aile setie Ji? ool. no mi J? una vcuubi le complejo., Le seiie Ji ftavboux.- /1/1/7. Mai. Puta A/>f>f., 1021 t 3, i.31, p. 20?

40. Angeiesco М.Д. Jtux extensions Jes h actions continues? jliq^u BS. Сотр. Rend., 1919, v. 16e, />. 262 -263.

41. AppeM .?. Su? une suite Jes polinomio. / a^ant iouies? euzs tacines te-ele^s. /]tc?v da MaUem. unj Pkysic (j), 1 go1, ?. 1, p. 60−71.

42. Je B^utn M. G>. Th-zee new examptes pj cjene-tali^eJ PaJe ta (!>le$>} wktji ctne pa-iily yioimo?.depaz. oi Matkem. Un-ii/ltS. AmsteiJam 7 Repeti16 11, /0. /-/J.

43. Je Btuin M. G-. Convela erice along. s~te/> ?ine ?n a genetai PaJe iabfes. — L 1 } p.

44. Je! diu?n M. G-. The? nieizapofion fetiomencifot (ji-eneza ??jeJ codinueJ f^actions.- &u? Ausi.M.&., y. 19, />• F-273.

45. Je 8 tuc’n ti. G,. Con/e*(jfence ??/ Qenevai C-J-zactions. Joutnai AfpzoX. theo’tp, 1 97 f, K 2 * 3, />. 17?-?O?.

46. Clxosh A/. On a cfen?? aiija~???>/z of Lejenc/?e poHynu"ua?. o*?caita Matt. 19X9, v. p. i*.

47. Coaies On tke aljel>7a?c a^zoximation oi fundions, I m. — k. A/eJeti*. Ak. W&iensL, ?e*/l, 1 966, S. 69, /o. — .

48. Coaie $ T. On. the aljeLtaic afftoti wat ion of iundtons, ?y. k. A/ec/tti. Ak. Weiens h.7 $>ei A, 1967, l ?0, p. 205 — 2 1S.52. Aeimite С. /а ехропе^сеНе. -Оеи^ъех, ¿-от Ж, />• 4ГО 4 81 .

49. Т^у/ М. Оп, а /о-о^йг^сгС-еь и^Угеск ка% оп1ху а1уу#Ьъсис &-¿-ncyuí-a'ъ¿-t¿-es оп ¿-А согьуеЪсу епс е см/е.-^Гарап Т. МаИ., 4926, еэ-гг.

50. Сорокин В. Н. О совместном приближении нескольких линейных форм. Вестник МГУ, матем., мех., 1983, № 1, с. 44 — 47.

51. Сорокин В. Н. Асимптотика линейных функциональных форм от двух логарифмов. УМН, 1983, т. 38, вып. I, с. 193 — 194.

52. Сорокин В. Н. Асимптотика линейных функциональных форм для одного класса марковских функций. Деп. № 4526 — 82 16 августа 1982 года ВИНИТИ АН СССР, 69 с. 56.