Некоторые вопросы теории случайных колебаний в нелинейных стохастических дифференциальных уравнениях высших порядков

Теория случайных колебаний находит все большее применение в технике в связи с тем, что большинство динамических возмущений, действующих в машинах и конструкциях, носит нерегулярный характер и не может быть описано детерминированными функциями времени. Под действием таких возмущений в рассматриваемых объектах будут возникать случайные колебания. Примерами случайных колебаний могут служить электрические флуктуации, шумы в радиотехнических системах, колебания различных упругих конструкций при землетрясениях или при действии ветра, колебания морских сооружений из-за нагрузки от волнения моря и т. д. Изучение влияния случайных возмущений на колебательные системы и случайных колебаний в них имеет большое значение для практических задач, связанных с повышением чувствительности и помехоустойчивости радиоприемных и измерительных устройств, устойчивости строительных конструкций при случайных воздействиях. В настоящее время изучение случайных колебаний принадлежит к одному из перспективных направлений современной прикладной механики t 3,9, 21, 22].

Во многих задачах, связанных с исследованием колебаний динамических систем, приходится изучать колебательные системы со слабыми нелинейностями и слабыми случайными силами. Как известно, точных методов исследования нелинейных систем не существует, и в связи с этим большое значение приобретают приближенные методы. Особенно эффективными являются методы нелинейной механики, в частности, асимптотический метод, метод усреднения, метод гармонического баланса и метод эквивалентной линеаризации, предложенные и обоснованные в известных трудах H.Li. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского 11,2,17,203. В области случайных колебаний в нелинейных системах асимптотические методы нелинейной механики в! сочетании с методами теории марковских процессов дают интересные и важные результаты. Хотя многие реальные процессы в нелинейных системах не являются марковскими, их иногда целесообразно рассматривать как марковские ввиду эффективности их математических методов. По общей классификации марковские процессы являются особым видом случайных процессов, однако они занимают среди других случайных процессов особо важное место. Можно указать два основных обстоятельства, при которых оправдано применение аппарата теории марковских процессов Г 3,5,6⁹, 21,34]. а) Если случайное возмущение на сравнительно инерционные системы конечного порядка являются широкополосной нормативной помехой или флуктуационным шумом, то действие такой помехи на систему в известных рамках аналогично воздействию некоторого эквивалентного «белого шума». В таких случаях оказывается допустимым рассматривать процессы в системе как марковские. б) Если случайное воздействие не является «белым шумом», но его спектральная плотность может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией.'Это означает, что такое воздействие можно считать сформулированным из «белого шума» при помощи линейного формирующего фильтра. Дополнив уравнение движения системы дифференциальным уравнениям фильтра, можно получить расширенную систему уравнений, решение которой будет представлять собой векторный марковский процесс.

К необходимости рассмотрения стохастических дифференциальных уравнений привели задачи исследования механических систем, находящихся под воздействием случайных сил. Рассматривая предельное поведение линейной колебательной системы, находящейся под воздействием случайной силы, в пределе превращающейся в «белый шум», Н. Н. Боголюбов IZJ показал, что движение этой системы описывается марковским процессом. Наиболее общие уравнения для марковских процессов были получены А. Н. Колмогоровым [II]. Развивая идеи Н.1,1. Крылова и Н. Н. Боголюбова, И. И. Гихман (4-j дал общее определение динамической системы, находящейся под действием случайного процесса с независимыми приращениями, доказал, что такая система описывается марковским процессом и вывел для плотностей переходных вероятностей уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка' (КФП). Для строго обоснования предельного перехода И. И. Гихман [5J построил теорию стохастических дифференциальных уравнений, решение которых является марковским процессом. В последнее время И. И. Гихман и А. В. Скороход T6J создали наиболее общую теорию стохастических дифференциальных уравнений.

В пятидесятых годах японский математик К. Ито Гю] независимо от работ И. И. Гихмана провел прямое построение траекторий диффузионных марковских процессов с помощью стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, ввел понятие стохастического интеграла по винеровскому процессу и определил стохастический дифференциал, которые получили название интеграла и дифференциала Ито. Теория стохастических дифференциальных уравнений стала мощным аппаратом для самых различных классов случайных процессов. Она сделала возможным математически описывать заданные сложные нелинейные системы, находящиеся под воздействием случайных возмущений. Возросший интерес к изучению дифференциальных уравнений со случайными параметрами и функциями стимулировал развитие их математической теории и исследования прикладного характера. Особо эффективными при исследовании случайных колебаний в квазилинейных динамических системах являются асимптотические методы Крылова-Боголюбова-Митропольского.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков имеют большое применение в теории автоматических систем Г12,28,293,| в теории ползучести [32], в проблеме стабилизации судов Г34], в 1 электронной теории, в электрических лампах 8 и во многих других областях техники. Изучению детерминированных колебаний в квазилинейных дифференциальных уравнениях высших порядков посвящены работы Г38−46] и многие другие. В работе Гань Чань-цюаня [^рассмотрены стохастические дифференциальные уравнения высших порядков и доказаны существование и единственность их решений.

В теории случайных колебаний механических систем, даже таких, как механических систем с одной степенью свободы, обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков имеют важное значение, если только спектральная плотность случайного возмущения.

W может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией. Действительно, пусть уравнение движения механической системы с одной степенью свободы имеет вид х + б/х ^ F (t — х, х) + (I) где f|0tr) — результат прохождения «белого шума» % Ci) «че-рез линейный фильтр

Исключая ^ (t) из системы (I), (2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение Си*5-) -го порядка при наличии «белого шума» .

Цх+сЛО^ L t ^ CtJ (з).

В настоящей диссертационной работе рассматриваются некоторые вопросы теории случайных колебаний в нелинейных неавтономных дифференциальных уравнениях высших порядков, подверженных «белого шума» .

Работа состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена сильно нелинейным дифференциальным уравнениям высших порядков при наличии «белого шума». В § I вводятся основные понятия статистической динамики случайных процессов и уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка для системы стохастических дифференциальных уравнений. В § 2 предлагается один метод интегри рования соответствующих уравнений КФП для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков при наличии «белого шума». Получены конкретные стационарные решения уравнений КФП для сис тем третьего порядка. На основании полученного в § 2 решения линейной системы третьего порядка в § 3 рассматривается конкретное применение метода статистической линеаризации к линейным системам третьего порядка.

В главе П изучаются случайные колебания одного важного с практической точки зрения класса квазилинейных дифференциальных: уравнений третьего порядка при наличии в правой части «белого шума» .Характеристическое уравнение соответствующего порождающего линейного уравнения имеет один отрицательный действительный корень и пару чисто мнимых корней. Оказывается, что в таких квазилинейных дифференциальных уравнениях возможны одночастотные случайные коле-i бания. В § 4 изложено применение асимптотического метода Крылова.

Боголюбова-Митропольского к системам третьего порядка с учетом i «белого шума». Автономные системы третьего порядка рассматриваются в § 5.Ввиду того, что соответствующие уравнения КФП для неавто номных систем третьего порядка становятся сложными, в § б рассматривается вопрос интегрирования этих уравнений. Для одной линейной неавтономной системы третьего порядка решено соответствующее уравнение КФП. В § 7 изучаются линейные системы третьего порядка с запаздыванием. Показана возможность приближенной аппроксимации систем с запаздыванием соответствующими системами без запаздывания. В § 8 приводится важное практическое применение систем третьего порядка к исследованию случайных колебаний в механической системе с одной степенью свободы под действием экспоненциально-коррелированного центрированного стационарного процесса. Изучается влияние такого случайного воздействия на колебания системы Ван-дер-Поля.

Автор выражает глубокую благодарность Ю. А. Митропольскому за постоянное внимание и ценные советы при написании работы.

Г Л, А В A I.

СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПРИ НАЛИЧИИ В ПРАВОЙ ЧАСТИ «БЕЛОГО ШУМА» .

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков находят большое применение во многих областях науки и техники, таких как теория автоматических систем [12,28,29], теория ползучести С 323″ стабилизация судов 134-], электронная теория в электрических лампах [8] и т. д. Изучению детерминированных колебаний в квазилинейных дифференциальных уравнениях третьего порядка посвящены работы [38−46] и многие другие.

В теории случайных колебаний механических систем даже таких, как механические системы с одной степенью свободы, обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков имеют важное значение, если только спектральная плотность случайного возмущения может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией. На практике такая аппроксимация, как правило, допустима, и это означает, что случайное возмущение (№) можно считать сформулированным из процесса типа «белого шума» при помощи некоторого линейного формирующего фильтра порядка п/. Как было показано во введении, исключая о| (t) из уравнений движения механической системы, мы приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению — порядка с «белым шумом» .

В главе I рассматриваются некоторые общие статистические методы, применяемые для исследования сильно нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков с учетом «белого шума» .

1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. — 501 с.

2. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: йзд-во АН УССР, 1945. — 137 с. Г •.

3. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.:Наука, 1979. — 336 с.

4. Гихман И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. Укр.мат.журн., 1950, 2, № 3,с. 45−69.

5. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук, думка, 1968. — 354 с.

6. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1982. — 612 с.

7. Гихман И. И. Дифференциальные уравнения со случайными функциями. В кн.: Зимняя школа по теор. вероятностей и мат.статистике. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1964, с. 48−65.

8. Горелик Г. С. К теории запаздывающей обратной связи. Журн. техн. физики, 1939, 9(50), с. 17−25.

9. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. — 368 с.Ю.Ито К. Стохастические дифференциальные уравнения. Математика (сб. переводов иностр. статей), I957, I,№ I, c. 78−116.

10. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи мат. наук, 1938, в. 5, с. 5−41.

11. Козаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. — 332 с.

12. Коломиец В. Г. Случайные колебания нелинейных систем с сосредоточенными параметрами. Киев, 1980. — 60 с. (Препринт) АН УССР, Ин-т математики ,№" 80 , — 28 с).

13. Коломиец В. Г. Некоторые замечания по поводу методов линеаризации в теории нелинейных колебаний. Укр.мат.журн., 1981,33, № I, с. 63−68.

14. Кореневский Д'.Г., Коломиец В. Г. Некоторые вопросы теории нелинейных колебаний квазилинейных систем со случайным запаздыванием. Мат. физика, 1967, вып. 3, с. 91—I13.

15. Козубовская И. Г., Хрисанов С. М. Метод усреднения в задачео случайном параметрическом резонансе. Укр.мат.журн., 1982,34, № 4, с. 444−452.

16. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964. — 431 с.

17. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наук, думка, 1971. — 440 с.

18. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1979. — 248 с.

19. Митропольский Ю. А., Хома Г. П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. Киев: Наук. думка, 1983. — 216 с.

20. Митропольский Ю. А., Коломиец В. Г. Применение асимптотических методов в стохастических системах. В кн.: Приближенные методы исследования нелинейных систем. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976, с. 102−147.

21. Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. — 232 с.

22. Нгуен Донг Ань. К вопросу исследования уравнений ФПК методом параметра управления. Механика, Ханой, 1979, № Iс. 20−27.

23. Нгуен Донг Ань, Кьеу Тхе Дак. Случайные колебания в системах третьего порядка. Укр.мат.дур., 1980,32 Jfe 5, с.674−678.

24. Нгуен Донг Ань (в соавт. с Кьеу Тхе Дык). Случайные колебания в системах третьего порядка под действием «белого шума» .- Механика, Ханой, 1981, 14, с. 6−11 (На Вьетнамском языке, резюм.русск.).

25. Нгуен Донг Ань. Об одном нестационарном решении уравнения ФПК для линейной динамической системы с одной степенью свободы. Механика, Ханой, 1981, № I, с.7−12 (на Вьетнамском языке, резюм.франц.). ;

26. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз., 1962. — 351 с.

27. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, I960. 792 с.

28. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применения к задачам автоматического управления. -М.: Физматгиз, I960. -883 с.

29. Рытов С. М.

Введение

в статистическую радиофизику. И.: Наука, 1966. — 404 с.

30. Рубаник В. П. Случайные колебания сложных нелинейных систем с запаздыванием. Теортич. и прикл. механика, 1978, № I, с. 16−20.

31. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М.: Изд-во лит. по стр-ву, 1968.-415 с.

32. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. M. s Советское радио, 1961. — 558 с.

33. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. -М.: Наука, 1968. 468 с.

34. Тильнов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. — 483 с.

35. Хасьминский Р. З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией. Теория вероятностей и ее применение, 1963, 8, Ш I, с. 3−25.

36. Хасьминский Р. З. О случайных процессах, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром. Теория вероятностей и ее применение, 1966, П., № 2, с. 240−259.

37. Хоанг Ван Да. Параметрические колебания тонкой прямоугольной вязкоупругой пластины. Прикладная механика, 1983,19, № 12, 120−124.

38. Чан Ким Тьи. Асимптотические решения уравнений в частных производных высшего порядка. Укр.мат.журн., 1982, 34 ,№ 3, с. 253−256.

39. Чан Ким Тьи. Построение асимптотических решений для квазилинейных дифференциальных уравнений третьего порядка с запаздыванием. Укр.мат.журн., 1983, 35, с. 392−397.