Инвариантные множества систем разностных уравнений

Многие оадачи математики, механики, фшзики, экономики, биологии и других областей естествооианжя приводят к исследованию систем разностных уравнений. Все более отчетливо вырисовывается та фундаментальная роль, которую разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом играют для понимания нелинейных явлений и процессов, происходящих в системах самой различной природы. Вооросший интерес к разностным уравнениям отчасти объясняется и простотой в обращении с ними. Уравнения в конечных разностях оказались весьма удобной моделью для описания дискретных динамических систем, а. также для математического моделирования импульсных систем.

Начало исследованиям равностных уравнений было положено в работах Эйлера, Лагранжа, Пуанкаре, Перрона, Виркгофа. Однако систематическое изучение таких уравнений началось в последние десятилетия. Дальнейшие исследования /теории р. ааносткмх уравнений в (значительной мере были обусловлены развитием импульсных систем, возникших из запросов практики [29, 97, 100−102]. Также это развитие стимулируется методом точечных отображений, применя емым при исследовании непрерывных систем [68].

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных разностным уравнениям. Если в первых работах содержались лишь отдельные разностные уравнения, то последние десятилетия характеризуются исследованием целых классов уравнений в самых различных направлениях.

Расширение области применения разностных уравнений ведет к необходимости более глубокого изучения ряда вопросов качественной теории таких уравнений. Вопросам исследования общих свойст в систем нелинейных и линейных раоностных уравнений, устойчивости их решений, качественных исследований таких систем, в частности, существование ограниченных, периодических, почти-периодических решений посвящено очень большое число работ, среди которых наоовем монографии А. Я. Быкова, В. Г. Линенко [9], А.О.Гельфон-да [12], А .Я. Дороговцева [30], Д. И. Мартышока [46], А .А .Миролюбова, М. А. Солдатова [57, 58], А. А. Самарского, Ю. П. Карамоина [84], А. Ха,-ланая, Д. Векслера [97], А. Н. Шарковского, Ю. Л. Майстр енко, Е.Ю.Ро-маненко [103] и другие.

Изучению периодических, почти-периодических решений различных классов квазилинейных и нелинейных решений систем раоностных уравнений также посвящены работы [7−9, 22, 23, 74, 82, 111, 119, 128]. В работах [94, 95] исследованы вопросы существования непрерывных и периодических решений линейных и нелинейных раоностных уравнений и их структур. Правильные системы линейных разностных уравнений поучались в работе [27], в которой получен также аналог теоремы Перрона [26] об условиях правильности систем.

A.M.Ляпунов и А. Пуанкаре, исследуя устойчивость движения, пришли к понятию устойчивости решений дифференциальных уравнений, Понятие устойчивости решений системы раоностных уравнений с постоянными коэффициентами по аналогии с этим понятием в дифференциальных уравнениях сформулировал Перрон [131]. Затем исследование устойчивости решений раоностных уравнений продолжали Та Ли, Р. Беллмаи и другие.

Многие факты ш теории дифференциальных уравнений верны и для соответствующих разностных уравнений. Хорошо известный пример — опубликованная в 1885 г. знаменитая теорема Пуанкаре [12] об асимптотическом поведении решений раоностных уравнений. Или аналитическая теория раоноетных уравнений Дж.Д.Биркгофа [107]. Теорема Пуанкаре послужила толчком к исследованиям Дж.Д.Биркгофа и его учеников, построивших в определенном смысле общую аналитическую теорию линейных обыкновенных дифференциальных, разностных и^{-разностных} уравнений.

В работах [32, 33] исследуется устойчивость решений линейных систем раоноетных уравнений первого и высших порядков с переменными коэффициентами. В работе [34] понятие приводимой системы дифференциальных уравнений переносится на систему раоноетных уравнений и испольоуется для иоучения устойчивости решений этой системы. Элементы второго метода Ляпунова [44] для разностных уравнений положены, например, в работах [46, 51, 97, 100, 102]. Поучены также основные критические случаи, вооникающие при исследовании устойчивости автономных и периодических систем разностных уравнений [104, 105].

Вопрос об устойчивости по первому приближению для конечно-разностных уравнений в более общем случае, т. е. когда первое приближение — линейная система с переменными коэффициентами изучен в работе [92]. В работе [93] поучается вопрос о колебаниях решений конечно-разностных уравнений, о сохранении колебаний при переходе от дифференциального уравнения ж разностному. Асимптотическое поведение решений раоноетных уравнений изучено также в работе [96].

Ряд работ посвящен исследованию критериев экспоненциальной дихотомии решений разностных уравнений [134, 139], экспоненциальной устойчивости систем линейных разностных уравнений [140] и структурной устойчивости линейных дискретных систем через экспоненциальную дихотомию [122, 123].

Качественное исследование систем нелинейных разностных уравнений проводилось также в работах Г. П. Пелюха [72, 74]. В этих работах автор исследует задачи существования и построения как общих, так и ограниченных решений вблизи особой точки. В [76] рассматривается вопрос о построении общего решения некоторых классов линейной разностной системы с периодическими (с рациональным периодом) коэффициентами. Затем рассматривается случай, когда коэффициент удовлетворяет более общему уравнению, ж при некоторых условиях, налагаемых на него, строится общее решение, Отметим, что исследования нелинейных систем разностных уравнений в окрестности особых точек также проводились в [69, 70]. Пользуясь теорией дифференциальных уравнений, автор дает классификацию особых точек для системы разностных уравнений и исследует поведение решения таких уравнений в окрестности особых точек.

В работе [40] подучены оценки решений системы линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами, а также дискретный аналог неравенства Важевского. Для построения периодических решений квазилинейных разностных уравнений в резонансном случае предлагается [82] метод итераций, аналогичный методу построения периодических решений квазилинейных дифференциальных уравнений. Для оценки области сходимости построенных итераций используется метод мажорирующих функциональных уравнений Ляпунова,.

Поскольку главным при установлении устойчивости линейных однородных разностных систем является изучение ограниченности их решений, то представляет большой интерес исследование ограниченных решений разностных уравнений. Условия существования и единственности ограниченных решений для линейных и нелинейных систем исследованы в [14, 15, 28, 30, 125]. Свойствам ограниченности, монотонности решений и условиям колеблимости разностных уравнений также посвящены работы [111, 113].

Значительный интерес представляют вопросы, связаные с развитием теории интегральных многообразий и их устойчивости, успешно применяемые в нелинейной механике. Источниками теории интегральных многообразий являются труды А. Пуанкаре [81] по качественной теории дифференциальных уравнений, А. М. Ляпунова [44] по теории устойчивости движения и Н. Н. Боголюбова [3] по развитию асимптотических методов нелинейной механики.

Исследуя системы дифференциальных уравнений на плоскости, А. Пуанкаре установил существование инвариантных кривых и paw-внл метод их построения. А. М. Ляпунов доказал теорему о существовании интегральных многообразий, заполненных графиками решений, стремящихся ж нулевому решению при возрастании и убывании независимого переменного (времени). Позже О. Перрон [131], рассматривая неаналитический случай, обобщил эту теорему, которая: называется теоремой Ляпунова-Перрона [80].

Решая проблему обоснования асимптотических методов нелинейной механики, Н. Н. Боголюбов [3] получил фундаментальные результаты об интегральных многообразиях. Н. Н. Боголюбов доказал теоремы существования интегральных многообразий систем в стандартной форме, исследовал свойства этих многообразий, предложил метод последовательных приближений для построения интегральных многообразий, проанализировал поведение интегральных кривых на интегральных многообразиях и в их окрестностях. Результаты и методы Н. Н. Боголюбова обобщены и получили окончательную форму в монографии Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [5],.

Идеи Н. Н. Боголюбова получили дальнейшее ра&витие в работах Ю. А. Митропольского, А. М. Самойлеико и их учеников и сотрудников при исследовании интегральных многообразий различных жя&ссов систем дифференциальных уравнений. В 1961 г. на Международном симпозиуме по нелинейным колебаниям был представлен обзорный доклад IIЛ. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [4], посвященный интегральным многообразиям в нелинейной механике, в котором были сформулированы наиболее актуальные проблемы теории интегральных многообразий и намечены пути ее развития. Высказанные в докладе идеи послужили толчком к дальнейшему развитию теории интегральных многообразий.

По результатам исследований интегральных многообразий были написаны монографии, среди которых отметим монографии Ю.А.Ми-тропольского и О. Б. Лыковой [61], Н. Н. Боголюбова, Ю.А.Митропояь-ского и А. М. Самойленко [6], А. М. Самойленко [88], Ю. А. Митропольского, А .М .Самойленко и В Л. Кулика [63], В. А. Плисса [80], Дж. Хейла [98] и другие.

В теории интегральных многообразий центральное место занимают качественные методы исследования. Они являются орудием доказательства существования интегральных многообразий, изучения их свойств и поведения интегральных кривых на интегральных многообразиях и в их окрестностях.

Используя метод ускоренной сходимости А. М. Самойленко [6] получил глубокие результаты, относящиеся к изучению расположения интегральных кривых систем нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности гладкого инвариантного тороидального многообразия и компактного инвариантного многообразия неавтономной системы.

Благодаря разработке метода ускоренной сходимости наметилась возможность проведения достаточно полного исследования вопроса приводимости систем разностных уравнений. В связи с этим укажем результаты, принадлежащие Д. Й. Мартынюку и Н. А. Перестюку [52−54], Д. Й. Мартынюку [47], Д. Й. Мартынюку и В .Я. Данилову [48].

В работе [31] В. В. Ищу к и Н. А. Перестюк исследуют вопрос приведения одного класса нелинейных систем разностных уравнений ж каноническому виду в окрестности инвариантного компактного многообразия. Получены также достаточные условия приводимости ж указана форма приближенных решений рассмотренных уравнений. Вопросу приводимости линейных систем разностных уравнений с вксноненциадьными коэффициентами посвящена работа [10]. помощью методов ускоренной сходимости и инвариантных множеств для нелинейных систем разностных уравнений В .Я.Данилов [22, 23] исследует вопрос существования семейства кваоипериодиче-ских решений, в окрестности которых исходная система приводится к чистому вращению. Показано, что для исходной системы при выполнении ряда условий существует инвариантное многообразие, притягивающее любые решения этой системы, начальные значения которых находятся в некоторой окрестности данного многообразия. Исследуется также вопрос построения общего решения системы нелинейных разностных уравнений и поведения его в окрестности квазипериодического решения.

Весьма плодотворным в теории нелинейных колебаний оказался метод точечных отображений. Ю. И. Неймарк в [68] получил существенные результаты, относящиеся ж вопросам существования, единственности. сохранения гладких инвариантных многообразий точечных отображений.

Развивая метод интегральных многообразий. А. М*Самойяежо в работе [87] предложил новый подход к теории возмущенияинвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использованием функции Грина для линеаризованной задачи.

Этот подход позволил с единой общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и недифференциру емых инвариантных многообразий динамических систем и установить ряд теорем существования таких многообразий. Эти результаты обобщены и получили окончательную форму в монографии А. М. Самойленко [88].

Такой подход открыл возможности более широкого исследования вопросов, связанных с существованием инвариантных многообразий систем разностных уравнений. Основополагающие результаты в этом направлении получены А. М. Самойленко, Д. И. Мартынюком, Я, А Лересткжом в [90] В настоящее время подучен ряд важных результатов в данном направлении [25, 45, 49, 50, 71, 89], а также [19].

Исследования, связанные с существованием инвариантных многообразий различных классов разностных уравнений, представляют собой еще мало изученную, но весьма актуальную тему.

Настоящая работа продолжает исследования: в указанных выше направлениях.

При написании диссертации ставились следующие задачи:

— установить условия существования, единственности ограниченных решений линейных и нелинейных систем разностных уравнений как с постоянными, так и с переменными коэффициентами;

— исследовать существование последовательности интегральных поверхностей слабонелинейных систем разностных уравнений;

— построить функцию Грина-Самойленко для задачи об интегральных множествах системы разностных уравнений и изучить ее свойства:

— исследовать вопрос о существовании асимптотически устойчивых инвариантных тороидальных множеств систем разностных уравнений.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка.

1. Ахметов М. У., Перестюк H.A. Интегральные множества квазилинейных импульсных систем // Укр. мат. журн. — 1992. — Т.44, N 1. — С. 5−11.

2. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения.- М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Боголюбов H.H. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов: Изд-во АН УССР, 1945. — 140 с.

4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Метод интегральных мно-гообраоий в нелинейной механике. В кн.: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 1, 1963. — С. 93−154.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. — 502 с.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. К.: Наук, думка, 1969. — 248 с.

7. Быков Я. В., Линенко В. Л. О периодическом предельном режиме для систем разностных уравнений // Изв. вузов. Математика.- 1967. N 2. — С. 9−19.

8. Быков Я. В., Линенко В. Л. Качественное исследование траекторий нелинейных систем разностных уравнений // Иов. вузов. Математика. 1967. — N 1. — С. 21−29.

9. Быков Я. В., Линенко В. Л. О некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравнений. Фрунзе: Илим, 1968. -139 с.

10. Валеев К. Г. Линейные разностные уравнения с экспоненциальными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1969. — Т.5, N 6. — С. 499−506.

11. Вышеиская О. В., Перестюк H.A. Интегральные множества одного класса разрывных динамических систем // Укр. мат. журн.1992. Т.44, N 5. — С. 589−596.

12. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. — 375 с.

13. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. — 400 с.

14. Гулов Х. М. Инвариантные множества одного класса разностных уравнений. К., 1992. — 17 с. — Ден. в УкрИНТЭИ 27.05.92, N 759-Ук92.

15. ГУлов Х. М. Ограниченные решения систем разностных уравнений // В сб.: Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. К.: Ин-т математики АН Украины.1993. С. 43−44.

16. Гулов Х. М. Существование сепаратрисных множеств систем разностных уравнений. К., 1993. — 9 с. — Деп. в ГНТВ Украины 20.12.93, N 2482-Ук93.

17. ГУлов Х.М. Інтегральні множини нелінійних систем різницевих рівнянь //В зб.: Конструктивні методи дослідження диференціальних рівнянь. К.: Ін-т математики АН України. — 1993. -С. 128−137.

18. Гулов Х. М., Перестюк H.A. Интегральные множества систем разностных уравнений // Укр. мат. журн. 1993. — Т.45, N 12. — С. 1613−1621.

19. ГУлов Х. М. Существование интегральных поверхностей систем разностных уравнений // Украинская коференция «Моделирование и исследование устойчивости систем». Тезисы докл. К.: Киевский ун-т, 1994 — С. 31.

20. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. — 534 с.

21. Данилов В. Я. Исследование квазипериодических решений нелинейных систем разностных уравнений. К., 1981. — 32 с. -/Препр./ - АН УССР, йн-т математики- 81.8/.

22. Данилов В. Я. Построение квазипериодических решений нелинейных систем разностных уравнений //В сб.: Матем. физика. -К.: Наук, думка, 1982. Вып. 31. — С. 14−20.

23. Данилов В. Я., Ищук В. В. О расщепляемости линейных систем разностных уравнений на торе //В сб.: Асимптотические методы в задачах математической физики, К.: Ин-т математики АН УССР. — 1989. — С. 42−45.

24. Данилов В. Я., Мартынюк Д.й. Инвариантные тороидальные многообразия систем разностных уравнений с медленно меняющейся фазой // Докл. АН УССР. Серия А. 1981. — N И. — С. 8−11.

25. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. — 472 с.

26. Демидович В. Б. Правильные линейные разностные системы // Дифференц. уравнения. 1977. — Т.7, N 5. — С. 902−909.

27. Джумаев С., Мухамадиев Э., Ризокулова Т. Д., Юмагулов М. Г. Ограниченные решения систем разностных уравнений с переменными коэффициентами. Деп. в ТаджикНИИНТИ. — 1993, вып. 1, N 45(834) Та93.

28. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования.- M.: Физматгиз, 1963. 455 с.

29. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохастических динамических систем. К.: Вища школа, 1992. — 319 с.

30. Ищук В. В., Перестюк H.A. Каноническая форма систем разностных уравнений в окрестности компактного инвариантного многообразия. К., 1984. — 36 с. — /Препр./ АН УССР. Ин-т математики- 84.57/.

31. Коваль П. И. Об устойчивости решений систем разностных уравнений // Докл. АН УССР. 1955. — Т.103, N 4. — С. 549−551.

32. Коваль П. И. Об устойчивости решений систем линейных разностных уравнений // Укр. мат. журн. 1957. — Т.9, N 2. ~ С. 141−153.

33. Коваль П. И. Приводимые системы разностных уравнений и устой чивость их решений // Успехи мат. наук. 1957. — Т.12, N 6. -С. 143−146.

34. Ковач Ю. И., Галь М. М. К теории линейных разностных уравнений. К., 1988. — 59 с. — /Препр./ АН УССР. Ин-т математики- 88.7/.

35. Колмогоров А. Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН УССР. 1953. — Т.93, N 5. — С. 763−766.

36. Крылов Н. М., Боголюбов H.H. Приложение методов нелинейной механики в теории стационарных колебаний. К.: Вид-во ВУ АН, 1934. — 112 с.

37. Крылов Н. М., Боголюбов H.H. Новые методы нелинейной механики. К.: ГТТИ, 1934. — 243 с.

38. Крылов Н. М., Боголюбов H.H.

Введение

в нелинейную механику.- К.: АН УССР, 1937. 363 с.

39. Кузнецов В. П. К оценке решения систем линейных разностных уравнений // Диференц. уравнения. 1973. — Т.9, N 12. — С. 2255−2256.

40. Кузнецов В.II. Об устойчивости инвариантного множества разностных уравнений // Диференц. уравнения. 1975. — Т.9, N 12. — С. 2271−2272.

41. Курцвейль Я. Инвариантные многообразия дифференциальных систем // Диференц. уравнения. 1968. — Т.4, N 5. — С. 785−797.

42. Ланкастер II, Теория матриц. М.: Наука, 1978. — 280 с.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Лл Изд-во АН СССР, 1956. — Собр. соч. — Т.2. — 475 с.

44. Марданов И.Дж. Построение интегрального многообразия решений системы разностных уравнений // Докл. АН СССР. Серия матем. 1991. — Т.320, N 3. — С. 543−544.

45. Мартынюк Д.й. Лекции по качественной теории разностных уравнений. К.: Наук, думка, 1972. — 246 с.

46. Мартынюк Д. И. Исследование окрестности инвариантного тороидального многообразия системы разностных уравнений // Дифференц. уравнения. 1975. — Т.11, N 8. — С. 1474−1484.

47. Мартышок Д. Й., Данилов В .Я. Приводимость систем разностных уравнений к диагональному виду // Докл. АН УССР. Сер. А. -1980. N 4. — С. 21−22.

48. Мартынюк Д. И., Данилов В .Я. Условия существования асимптотически устойчивого инвариантного тора систем разностных у равнений // В сб.: Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. К.: Ин-т математики АН УССР. -1990. — С. 78−83.

49. Мартынюк Д. И., Данилов В. Я., Итцук В. В. К вопросу о сепара-трисных многообразиях линейных систем разностных уравнений Ц В сб.: Дифференциальные уравнения с параметром. К.: Ин-т математики АН УССР. — 1989. C.58−6S.

50. Мартынюк Д. И., Миронов Н. В., Харабовская JLB. Устойчивость решений разностных уравнений // В сб.: Дифференциально-разностные уравнения. К.: Ин-т математики АН УССР. — 1971. -С. 45−58.

51. Мартынюк Д. И., Перестюк H.A. О приводимости линейных систем разностных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Выч. и прикл. матем. 1974. — Вып. 23. — С. 116−127.

52. Мартынюк Д. Й., Перестюк H.A. О приводимости разностных уравнений на торе // Выч. и прикл. матем. 1975. — Вып. 26. -С. 42−48.

53. Мартынюк Д. Й., Перестюк H.A. Приводимость линейных систем разностных уравнений с гладкой правой частью // Выч. и прикл. матем. 1975. — Вып. 27, — С. 34−40.

54. Мартынюк Д. И., Перестюк H.A., Харабовская Л. В. Периодические решения одного класса систем разностных уравнений // Математическая физика. К.: Наук, думка. — 1974. — Вып. 15. — С. 98−104.

55. Мартынюк Д. И., Самойленко А. М. О поведении системы разностных уравнений в окрестности тороидального многообразия. В кн.: Нелинейные эффекты в микроэлектронике и их применения. К.: Знание, 1973. — С. 3.

56. Миролюбов A.A., Солдатов М. А. Линейные однородные разностні уравнения. М.: Наука, 1981. — 208 с.

57. Миролюбов A.A., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986. — 128 с.

58. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. — 512 с.

59. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И., Данилов В .Я. О поведении решений нелинейных систем разностных уравнений в окрестности инвариантного многообразия // Укр. мат. журн. 1989. Т.41, N 1. С. 56−63.

60. Митропольский Ю. А., Самойленко A.M., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. К.: Наук, думка, 1990. — 272 с.

61. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения // Успехи мат. наук. 1968. -Т.23, вып. 4. — С. 179−238.

62. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973, — 178 с.

63. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969. 379 с.

64. Неймарк Ю. И. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. — Т.10, N 3. — С. 321−334.

65. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. — 351 с.

66. Панов A.M. Качественное исследование траектории разностных уравнений в окрестности неподвижной точки // Изв. вузов. Математика. 1960. — N 1. — С. 166−174.

67. Панов A.M. Качественное поведение траекторий системы разностных уравнений в окрестности особой точки // Изв. вузов.Математика. 1964. — N 3. — С. 111−115.

68. Паньков В. Г. Некоторые вопросы существования инвариантных тороидальных множеств систем разностных уравнений // Укр. мат. журн. 1988. — Т.39, N 2. — С. 272−275.

69. Пелюх Г. II. О поведении решений систем нелинейных разностных уравнений. В кн.: Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений. К.: Ин-т математики АН УССР. — 1973. — С. 73−80.

70. Пелюх Г. П. О представлении решений систем нелинейных функциональных уравнений в окрестности особых точек // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. — N 6. — С. 22−25.

71. Пелюх Г. П. О представлении асимптотически периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат. журн. -1990. Т.42, N 7. — С. 939−943.

72. Пелюх Г. П., Шарковский А. И.

Введение

в теорию функциональных уравнений. К.: Наук, думка, 1974. — 119 с.

73. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. О линейных разностных уравнениях с периодическими коэффициентами. В кн.: Качественные методы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. К.: йн-т математики АН УССР. — 1977. — С. 91−100.

74. Перестюк Н. А. Инвариантные множества одного класса разрывных динамических систем // Укр. мат. журн. 1984. — N 1. -С. 63−68.

75. Плис с В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. — 368 с.

76. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, Избранные труды.- Т.1, 2. М.: Наука, 1972.

77. Сака Е. В. Построение периодических решений разностных уравнений с малым параметром // Иов. АН МССР. Серия фиоико-технических и матем. наук. 1971. — N 2. — С. 23−31.

78. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. -616 с.

79. Самарский A.A., Карамзин Ю. Н. Разностные уравнения. Мл Знание, 1978. — 64 с.

80. Самойленко A.M. О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности гладкого тороидального многообразия // Иов. АН СССР. Серия матем, 1966. -Т.ЗО, N 5. — С. 1047−1072.

81. Самойленко A.M. О локальных интегральных многообразиях в окрестности периодических решений систем дифферернциаль-ных уравненийю // Труды семинара по матем. фио. и нелин. колебаниям. К.: Ин-т математики АН УССР. — 1963. — Вып.1 -С. 60−87.

82. Самойленко A.M. О сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР. Серия матем. 1970. — Т.34, N 6. — С. 1219−1240.

83. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987. 304 с.

84. Самойленко A.M., Мартынюк Д. И., Паньков В. Г. Свойства инвариантных ТОрОИДаЛЬНЫХ МНОЖеСТВ НеДИНеЙНЫХ СЙСТеМ pttö-ностных уравнений. К., 1990. — 47 с. — /Препр./ АН УССР. Ин-т математики- 90.7/.

85. Самойленко A.M., Мартынюк Д. И., Перестюк H.A. Существование инвариантных торов систем разностных уравнений // Дифферент уравнения. 1973. — Т.9, N 10. — С. 1904;1910.

86. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. К.: Вища школа, 1987. — 288 с.

87. Скалкина М. А. Об устойчивости по первому приближению систем уравнений в конечных разностях // Труды Уральского политехнического института. Сб.74. 1958. — С. 63−71.

88. Скалкина М. А. О колебаниях решений уравнений в конечных разностях // Изв. вузов. Математика. 1959. — N б. — С. 138−144.

89. Тураев X. О существовании и единственности периодических решений систем нелинейных разностных уравнений // Иов. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1989. — N 5. — С. 28−32.

90. ТУраев X. О структуре непрерывных решений систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Краевые задачи для дифференциальных уравнений смешанных типов. Ташкент: Ин-т математики АН УзССР. — 1991. — С. 195−199.

91. Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений // Докл. АН СССР. 1955. — Т.100, N 6. — С. 1045−1048.

92. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1972. — 310 с.

93. Хейл Дж, Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. -229 с.

94. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. -655 с.

95. Цыпкин Я. З. Теория линейных импульсных систем. М.: Фиоматгио, 1963. 968 с.

96. Цыпкин Я. З. Критерий абсолютной устойчивости импульсных автоматических систем с монотонными характеристиками нелинейного элемента // Докл. АН СССР. 1964. — Т.15, N 5. — С. 1029−1032.

97. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. — 414 с.

98. Шарковский А. Н., Майстренко ЮЛ, Романенко Е. Ю. Раопостны уравнения и их приложения. К.: Наук, думка, 1986. — 280 с.

99. Шиманов С. Н., Каоеева Н. И. Основная теорема о критических случаях раоностных систем // Дяфференц. уравнения. 1971. -Т.7, N 5. — С. 910−918.

100. Шиманов С. Н., Каоеева Н. И. Устойчивость систем раоностных уравнений в критическом случае двух пар комплексных корней равных по модулю единице // Матем. зап. уральского ун-та. -1977. Т.10, N 2. — С. 170−176.

101. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

102. Birkhoff G.D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1911. — V.12, N 2. — P.243−284.

103. Brand L. Differential and difference equations. New York: John Wiley and Sons Inc. — 1966. — 698 p.

104. Bucy R.C. Stability and positive supermartingales // J. Differ. Equafc.- 1965. V. l, N 2. — P. 151−155.

105. Burgat CM Benzaouia A. Stability properties of positively invariant linear discrete time systems // J. Math. Anal, and Appl. 1989. -V.143, N 2. — P. 587−596.

106. L Cheng Sui-Sun, Li Horng-Jaati, Patula W.T. Bounded and zero convergent solutions of second-order difference equations //J, Math. Anal, and Appl. 1989. — V.141, N 2. — P. 463−483.

107. Clark M.E., Gross L.I. Periodic solutions to nonautonomous difference equations // Math. Biosci. 1990. — V.102, N 1. — P. 105−119.

108. Cooke K.L. Forced periodic solutions of a stable nonlinear differntial-difference equation // Ann. Math. 1955. — V.61. — P. 381−387.

109. Diliberto S. Application of periodic surfaces to a special class of problems // J. Differ. Equat, 1969. — V.6, N 1. — P. 40−49.

110. Driver R. Note on a paper of Halanay on stability for finite difference equations // Arch. Rat. Mecli. and Analysis. 1965. — V.18, N 3. -P. 241−243.

111. Feldman L. On linear difference equations with constant coefficients // Periodics Polytechn. Electr. Eng. 1959. — V.3, N 3. — P. 247−257.

112. Ghermanescu M. Sur les equations aux differences finies //' Acta Math. 1933. — V.62, N 3−4. — P. 239−287.

113. Halanay A. An invariant surface for some linear singularly perturbed systems with time lag // J. Differ. Equat. 1966. — V.2, N 1. — P. 47−56.

114. Halanay A., Rlsvan V. Absolute stability of discrete system with slope restricted nonlinearity // Rev. Roum. Sci. Techn. Ser. Elec-trotechn. et Energ. 1990. — V.35, N 1. — P. 101−111.

115. Hale J.K. Linear functional-differential equations with constant coefficients // Contrib. different, equat. 1963. — N 2. — P. 291−3J9.

116. Kurzweil J. Invariant Manifolds for Flows Differ. Equat. and Dynamic. Systems // Proc. Internat. Sympos. Mayaquez. Puerto Rico, Decern. 27−30, 1965. Academie Press. — New York-London. — 1967. — P. 431−468.

117. Kurzweil J., Papaschinopoulos G. Topological equivalence and structural stability for linear difference equations // J. Differ Equat.1991, V.89, N 1. — P. 89−94,.

118. Kurzweil J., Papaschinopoulos G. Structural stability of linear discrete systems via the exponential dichotomy // Czechosl. Math. J.- 1988. V.38, N 2. — P. 280−284.

119. Kwapisz M. On the existence of periodic solutions of functional-differential equations. В кн.: Тр. семинара по теории дифференц. уравн. с откл. аргум. 1969. — Выи. 7, — С. 43−54.

120. Moadab M.H. Existence of bounded solutions to nonlinear discret equations // Libert. Math. 1989. — V.9. — P. 127−132.

121. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations // Proc. Nat. Acad. Sei. 1961. — V.47, N 11. — P. 1824−1831.

122. Moser J. On invariant surfaces and almost periodic solutions for ordinary differential equations // Notices Amer. Math. Soc. 1965. V.12, N 1. P. 124.

123. Musielak R. The periodic solution of the system of difference equations // Fasc. math. 1987. — N 17. — P. 79−85.

124. Norland N.E. Differeiizenrechmmg: Vorlesungen uber Differenzeii-rechnung. Berlin: Springer, 1924. — 551 p.

125. Papaschinopoulos G. On the summable manifold for discrete system // Math. Jap. 1988. — V.33, N 3. — P. 457−468.

126. Perron O. Uber Stabiiitat und asimptotisches Verhalten der Jnter-grale von Differentialgleichungssystemen // Math. Z. 1929. — B.29. S. 129−160.

127. Perron O. Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten // Math. Ann. 1921. — B.84. S. 31−42.

128. Popenda J. On the solutions of finite difference equations // Fasc. math. 1991. — N 22. — P. 123−135. 121.

129. Preda P., Megan M. Criteria for exponential dichotomy of difference equation // An. Univ. Timisoara, Sti. Math. 1988. — V. 26, N 2.-P. 49−55.

130. Sell G. Almost periodic and periodic solutions of difference equations // Bull. Am. Math. Soc. 1966. — V.72, N 2. — P.261−265.

131. Siegel C. Note on differential equations on the torus // Ann. Math. 1945. — V. 46, N 2. — P. 423−428.

132. Stenberg Sh. On differential equations on the torus // Amer. J. Math. 1957. — V.79, N 2. P. 397−402.

133. Szego G.P. Sur la stabilite absolue d’un systeme non lineare discret // CR. 1963. — V.257. — P. 1749−1751.

134. Talpalaru P. Nonuniform dichotomy for linear difference equations // Bui. Inst, politechn. lasi. Sec. 1. 1990. — V.36, N 1−4. -P.29−33.

135. Wu Jinn-Wen, Brown D.P. Exponentially linear discrete systems // J. Franklin Inst. 1989. — V.326, N 1. — P. 139−150.