Зависимость от области решений краевой задачи для уравнений динамики вязкого сжимаемого газа

В работе доказывается корректность постановки и приводится анализ чувствительности решения неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротропного газа к изменению формы области течения. Под анализом чувствительности решения краевой задачи мы понимаем анализ того, насколько сильно изменится решение при малом изменении исходных данных задачи (к примеру, формы области течения). В ходе данного анализа, в частности, выводятся оценки на норму решения краевой задачи через нормы варьируемых исходных данных.

Пусть, например, найдена оптимальная форма тела, движущегося в вязком газе, такая, что действующая на тело сила сопротивления минимальна. Если при малом изменении формы области течения решение краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого газа существенно меняется, то действующая на тело сила сопротивления также существенно изменится (возрастет). Таким образом, данная математическая модель будет неудобной для практических приложений.

В диссертации исследуется вопрос об оптимизации формы области течения в случае установившегося движения вязкого сжимаемого баротропного газа. Предложенные в работе методы носят общий характер и могут быть использованы для анализа более широкого класса оптимизационных задач для нелинейных эллиптико-гиперболических уравнений.

В работе предполагается, что вязкий газ заполняет ограниченную односвязную область! г2 = ВБ с границей дП класса с°°, где В с к3 — внешняя область с границей Е = дВ, а 5 с с В — компактная подобласть. Скорость газа совпадает с заданным векторным полем и € С°°(Е3)3 на поверхности? и равна нулю на границе dS обтекаемого препятствия S. В этих предположениях границу области течения Q можно разделить на три части: область втекания Ein, область вытекания Eout и характеристическое множество Е0, которые определены следующим образом:

Ein = {ж G дП: U • п < 0}, Eout = {i? дП: U • п > 0}, (0.0.1).

Е0 — {х? 8Q,: U • п = 0}, где п — внешняя нормаль к dil = Е U dS.

Рис. 1.

Таким образом, многообразие Г =: (cl (Ejn)) П (cl (Eout U Е0)) делит поверхность Е на три непересекающиеся части Ein, Eout и Г.

Состояние газа описывается распределением плотности д (х), давления р (х) и полем скоростей и (х), которые удовлетворяют следующим уравнениям и краевым условиям: R.

Ли + AV div и = Rgu • Vu + — Vp (g) в ft, (0.0.2а) div (¿-«и) = 0 в П, (0.0.2Ь) u = U на Е, и = 0 на dS, (0.0.2с) д=во на Ein, (0.0.2d) где давление р = р (д) — гладкая строго монотонная функция плотности, е — число Маха, R — число Рейнольдса, до — положительная константа, А = 1/3 + z/2/Vi, где и — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), щ — объемная вязкость. Уравнения (0.0.2а), (0.0.2Ь) записаны в безразмерной форме, вывод данных уравнений приведен в монографии [12].

Общая теория краевых задач для уравнений Навье-Стокса динамики вязкой жидкости и газа представлена в работах [36], [48] и [53]. В монографии [48].

П. Л. Лионсом получены основные результаты о глобальном существовании слабых (обобщенных) решений однородных краевых задач для уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа. Эти результаты были существенно улучшены в монографиях [36] и [53]. См. также [40], [18], [17] для последующих обобщений.

В литературе представлено много работ, посвященных исследованию решений однородных краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа в предположении малости чисел Маха, Рейнольдса и отношения коэффициентов динамической и объемной вязкости. Напомним, что существуют разные подходы к решению подобных задач, предложенные в работах [28], [54] и [51]. К примеру, метод, предложенный М. Падулой, состоит в том, чтобы ввести так называемое эффективное вязкое давление и выразить дивергенцию скорости через плотность газа, получив, таким образом, транспортное уравнение для нахождения плотности газа. Основные результаты о локальном существовании и единственности сильных решений однородных краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого газа представлены в работе [53]. Также интерес представляют результаты, полученные в работе [55].

Неоднородные краевые задачи были исследованы в работах [46], [47], где получены результаты о локальном существовании и единственности решений в двухмерной области в предположении, что на границе области течения скорость и близка к заданному постоянному вектору.

Вопрос о существовании и единственности сильных решений неоднородных краевых задач в трехмерной области с гладкой границей до сих пор не исследован до конца, поскольку существует ряд сложностей в решении данной задачи, включая проблему контроля общей массы газа, а также проблему слабой сингулярности решения на характеристическом многообразии Г =: (с1 (Цп)) П (с1 (Еоик и Е0)).

Поясним проблему контроля общей массы газа на примере задачи протекания (0.0.2). Поскольку течение является установившимся, то можно считать, что оно происходит «вечно» и поскольку нет данных о том, весь ли втекающий в ограниченную область О. С К.3 вязкий сжимаемый газ вытекает из нее, то, вообще говоря, газ может накапливаться. Таким образом, при исследовании вопроса о существовании сильных непрерывных решений задачи (0.0.2) необходимо контролировать общую массу газа и она должна быть конечна.

Поясним проблему слабой сингулярности плотности на характеристическом многообразии Г на следующем простом примере. В области D = {(гг, у): у > х'2} с R2 рассмотрим линейное транспортное уравнение др (х, у).

-= 1, их.

В данном случае U = (1,0), а области втекания, вытекания и характеристическое многообразие Г заданы следующим образом:

Sin = {х = у2, х> 0}, Eout = {х = у2, х < 0}, Г = {(0,0)}.

Зададим краевое условие р (х, у) = 1 на Ein, тогда решение данной краевой задачи для транспортного уравнения может быть выписано в явном виде р (х, у) = 1 + у/у + х, а производная решения по переменной у др (х, у) 1.

ГЧ/ ' ду у/у обращается в бесконечность при х = у — 0. Таким образом, имеет место слабая сингулярность решения на Г.

В диссертации доказывается локальная теорема существования и единственности сильных решений задачи (0.0.2) в пространствах Соболева с вещественным индексом s в предположении, что число Маха, число Рейнольдса, отношение коэффициентов динамической и объемной вязкости малы, а заданное векторное поле U и многообразие Г удовлетворяют условию возникающего поля.

2.1.3. «Условие. Г является замкнутым одномерным многообразием класса С°°. Существует константа с (0, U) такая, что справедливо неравенство.

U • V (U • п) > с > 0 на Г. (0.0.3).

Поскольку векторное поле II является касательным к дП на Г, то левая часть предыдущего неравенства определена значениями векторного поля на Г. Очевидно, что данное условие выполнено для всех строго выпуклых областей и постоянных векторных полей. Условие (0.0.3) имеет простую геометрическую интерпретацию, а именно: величина и ¦ п обращается в ноль на Г только до первого порядка, в любой точке Р? Г вектор и (Р) касается части ЗГ2 где и — внешнее векторное поле. Впервые условие возникающего поля было введено Л. Хёрмандером, оно играет важную роль в теории задач с наклонной производной для эллиптических уравнений, см. [23]. Данное условие мы задаем для того, чтобы гарантировать непрерывность плотности газа д.

Одними из первых работ, посвященных исследованию задач оптимального управления и управляемости для уравнений Навье-Стокса, являются работы [19], [20], [21], [22], [24], [34].

В работе [41] исследована задача оптимального управления для трехмерной нестационарной системы Навье-Стокса во внешности ограниченной области. Цель управления состояла в том, чтобы минимизировать функционал работы по преодолению сопротивления тела, а в качестве управления бралась скорость жидкости на границе области. Было доказано существование решения задачи оптимального управления и выведена система оптимальности.

Задачи оптимального управления для стационарного уравнения конвекции-диффузии исследованы в работах [7], [27], [61]. Экстремальные задачи для стационарной модели массопереноса исследованы в работах [2], [8]. В работах [6], [9] и [35] рассмотрены задачи оптимального управления для стационарных уравнений тепловой конвекции. Экстремальные задачи для стационарной модели, описывающей совместный перенос тепла и масс, исследованы в работах [3] и [1]. В монографии [10] рассмотрены задачи управления и обратные экстремальные задачи для стационарных моделей гидродинамики и тепломассопереноса. В монографии [4] исследованы задачи управления для стационарных уравнений тепломассопереноса и магнитной гидродинамики.

Задача оптимизации формы области течения, описываемого стационарными уравнениями Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротропного газа, исследовалась в работах П. И. Плотникова и Я. Соколовского [17], [56] и [60]. В частности, в работе [60] методом минимизации функционала исследован вопрос о существовании оптимальной формы области в предположениях на область течения, краевые условия и коэффициенты уравнений, сравнимых с предположениями, используемыми в данной работе. Отметим, что действующая на обтекаемое тело сила сопротивления зависит от формы тела. Задача минимизации сопротивления включает в себя поиск оптимальной формы обтекаемого тела, а также контроль течения путем изменения формы тела. Последний вопрос был исследован в работе [43], кроме того, в указанной работе представлен обзор оптимизационных задач.

Зависимость решений краевых задач для нестационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкой сжимаемой жидкости от формы области течения и разрешимость задачи оптимизации формы области течения исследовались в работах [37], [38].

В диссертации исследуется задача минимизации силы сопротивления, действующей на твердое неподвижное тело S, обтекаемое потоком газа, скорость которого на внешней границе Е области течения I2 = BS равна постоянному вектору U^. Действующая на тело S гидродинамическая сила определена следующим образом (см. [62]):

J (S) = - [ (Vu + (Vu)* + (А — l)(div u) I — ~p{g)l) ¦ ndS, Jas c где I — единичная матрица размера 3×3, п — внешняя единичная нормаль к DS.

Функционалом сопротивления Jd (S) является компонента J, параллельная Uoo,.

Jd (S) = U00. J (S), (0.0.4) подъемной силой является компонента J, ортогональная Uoo. В случае, когда скорость и плотность течения заданы, функционал сопротивления можно рассматривать как функционал, зависящий от формы обтекаемого тела S. Наибольший практический интерес представляют задачи минимизации функционала сопротивления и максимизации подъемной силы.

Зададим в пространстве IR3 отображение х —" у (х) = х + ?Т (ж), 8 которое описывает возмущение формы обтекаемого тела S. Пусть векторное поле Т € C2(R3)3 и равно нулю в окрестности Е. Для малого числа в > 0 отображение х —> у диффеоморфно переводит область течения Г2 на область fte = В Se, где S? = y (S) — возмущенное обтекаемое препятствие. Обозначим через (й?(у), д?(у)) -решение задачи (0.0.2) в возмущенной области Ое. а через 3(S?) — силу, действующую со стороны течения на возмущенное препятствие SE.

Рассмотрим присоединенную матрицу N матрицы Якоби (I + еТ'), заданную формулой.

N (x) = del (I + еТ'(ж))(1 + еТ^ж))" 1, положим д (х) = л/det N.

Матрица N (x) аналитически зависит от малого параметра е и имеет представление.

N = I + eD (a-) + e2Dx (e, х), где D = div (T)I — Т'. (0.0.5).

Для того, чтобы провести анализ чувствительности решений краевой задачи (0.0.2) к изменению формы области течения, в невозмущенной области (1 зададим функции и?(ж) = Nu?(z + еТ (л)), д?(х) = д?(х + еТ (х)) и сведем краевую задачу (0.0.2) с неизвестными функциями ue, д£, заданными в области к краевой задаче (0.0.6) с неизвестными функциями и£, дг. заданными в области Г2.

Au, + V (As" 1 div u? — ^p{g?)) = + Ra$(g?, u?, u?) в Г2, (0.0.6a) div (p?u?) = 0 в П, (0.0.6b) u? = U на E, Ue = 0 на dS, (0.0.6c).

Qe = Qo на Ein. (0.0.6d).

Здесь линейный оператор ¿-г/ и нелинейное отображение 38 зависят от N и определены следующим образом: и) = Ли — (N*)-1 div (fl1NN*V (N1u)),.

0.0.7) g, VL, vr) = g{N*)" 1 iи — V^^J.

В переменных ие (ж), дЕ (х) выражения для силы Л^Д.) и функционала сопротивления JD (Se) перепишутся в виде где 77 6 С°°(£2) — произвольная функция, равная 1 в окрестности тела 5 и 0 в окрестности Е. Отметим, что значение 3 не зависит от выбора функции т/.

Зададим производные по области решений краевой задачи (0.0.6) и функционала сопротивления (0.0.9) по следующим формулам:

В работах [30], [31] и [63] исследовались вопросы о дифференцируемое&tradeпо области решений неоднородных краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого несжимаемого газа, а также функционала сопротивления. В частности, в работе [30] доказано существование производных по области решений неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого несжимаемого газа в трехмерной ограниченной области с липшицевой границей, получена формула для производной по области функционала сопротивления и выведены уравнения сопряженного состояния. Данные результаты были обобщены в [64] и [65]. Подробный обзор результатов, посвященных численным методам и приложениям, представлен в [44] п [50]. В случае, когда течение описывается стационарными уравнениями Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа подобных результатов в литературе представлено не было.

В диссертации доказывается существование производных по области решений неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротропного газа, а также выводится формула для производной по области функционала сопротивления, которая, в частности, может быть использована для записи условий оптимальности в явном виде (см. [57], [59]). -J [б" 1 (N^(N" 4) + УС^ГЧГN — (^у ие)1) (0.0.8) п.

-(ДрЫ/б2 — лд~41уи?)1- Д&(]>гЧ) ® (N-4)]N⁷⁷ ¿-Г,.

Ы8е) = и00'3(3е),.

0.0.9).

Для того, чтобы вычислить производную по области функционала сопротивления, мы, в соответствии с предложенным Ж. Симоном в работе [63] методом, применяем производные по области решений краевой задачи (0.0.6), а также подходящее сопряженное состояние. Кроме того, поскольку газ обтекает препятствие с гладкой границей, то из формулы Адамара следует, что формулу для производной по области функционала сопротивления можно преобразовать таким образом, чтобы она зависела только от тех значений возмущения, которые заданы на границе обтекаемого препятствия. Таким образом, в итоговой формуле для производной по области функционала присутствуют только нормальные возмущения границы обтекаемого тела.

По своей структуре диссертация состоит из введения, пяти глав, состоящих из параграфов, двух иллюстраций и списка литературы. В диссертации принята единая нумерация формул. Например, в формуле (2.4.7) первая цифра обозначает номер главы, вторая цифра обозначает номер параграфа данной главы, а третья цифра — порядковый номер формулы в данном параграфе. Нумерация формулируемых в работе теорем, следствий, свойств, предложений, утверждений и определений также является единой. Например, номер 1.2.3 теоремы обозначает, что она сформулироваиа во втором параграфе первой главы.

1. Алексеев Г. В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., Т. 47, № б, 2007, С. 1055−1076.

2. Алексеев Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 2002, Т. 42, № 3, С. 380−394.

3. Алексеев Г. В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса // Сиб. матем. журн., Т. 42, № 5, 2001, С. 971−991.

4. Алексеев Г. В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Научный мир. 2010.

5. Алексеев Г. В. Классические методы математической физики. Владивосток. Изд-во Дальневост. ун-та. 2003.

6. Алексеев Г. В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. матем. журн., Т. 39, № 5, 1998, С. 982−998.

7. Алексеев Г. В., Прокопенко C.B., Соболева О. В., Терешко Д-А. Задачи оптимального управления для некоторых моделей распространения загрязнений // Вычисл. технологии, 2003, Т. 8 (спец. вып.), ч. 1, С. 65−71.

8. Алексеев Г. В., Соболева О. В., Терешко Д. А. Задачи идентификации для стационарной модели массопереноса // Прикл. мех. и тех. физ., 2008, Т. 49 (спец. вып.), № 4, С. 24−35.

9. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Сиб. журн. индустриальной матем., 1998, Т. 1, № 2, С. 24−44.

10. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008.

11. Берг Й., Лефстрем Я. Интерполяционные пространства. (Введение) М.: Мир, 1980.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

13. Мадженес Э. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных // Успехи математических наук, 21, 1966, С. 169−218.

14. Мазъя В. Г., Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций, ЛГУ, Ленинград, 1986.

15. Новотны А., Падула М. Существование и единственность стационарных решений уравнений сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости при больших потенциальных и малых непотенциальных внешних силах // Сиб. матем. журн., 34, 1993, С. 120−146.

16. Олейник O.A., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой М.: ВИНИТИ, 1971. (Итоги науки: математика. Математический анализ, 1969).

17. Плотников П. И., Соколовский Я. Стационарные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса с показателем адиабаты и < 3/2 // Докл. РАН., 2004, т. 397, N. 2, С. 166−169.

18. Плотников П. И., Соколовский Я. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса для двухатомных газов // Успехи мат. наук, 2007, Т. 62, N. 3, С. 561−593.

19. Фурсиков А. В. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // ДАН СССР, 1980, Т. 253, № 5, С. 1066−1070.

20. Фурсиков А. В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сб. 1981, Т. 115, № 2, С. 281−306.

21. Фурсиков А. В. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Матем. сб. 1982, Т. 118, Л- 3, С. 323 349.

22. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.

23. Хёрмандер Л. Псевдодифференциальные операторы и неэллиитические краевые задачи. Сб. статей «Псевдодифференциальные операторы», М. Мир, 1967.

24. Abergel F., Тетат R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech., 1990, V. 1, P. 303−325.

25. Adams R.A. Sobolev spaces. Academic press, New-York, 1975.

26. Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. Springer-Verlag, New-York, second edition, 2001.

27. Becker R. and Vexler B. Optimal control of the convection-diffusion equation using stabilized finite element methods // Numerische Mathematik, Vol. 106, N. 3, 2007, P. 349 367.

28. Beirao da Veiga H. Stationary motions and the incompressible limit for compressible viscous fuids // Houston J. Math., 13, 1987, N. 14, P. 527−544.

29. Beirao da Veiga H. Existence results in Sobolev spaces for a stationary transport equation // Ricerche di Matematica, 36, 1987, suppl., P. 173−184.

30. Bello J.A., Fernandez-Cara E., Lemoine J., Simon J. The differentiability of the drag with respect to the variations of a Lipschitz domain in a Navier-Stokes flow // SIAM J. Control. Optim. 35, N. 2, 1997, P. 626−640.

31. Bello J.A., Fernandez-Cara E. and Simon J. Optimal shape design for Navier-Stokes flow. System Modelling and Optimization. Lecture Notes in Control and Inform Sei 180, D. Kall, ed., Springer-Verlag, Berlin, 1992.

32. Galdi G.P. An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations V.l. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg — New-York, 1998.

33. Grisuiard P. Caracterisation de Quelques Espaces, d' Interpolation // Arch. Rat. Mech. Anal. 25, 1967, P. 40−63.

34. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velosity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction // SIAM J. Contr. Optim., 1992, V. 30, N. 1, P. 167−182.

35. Ito K. and Ravindran S.S. Optimal control of thermally convected flows // SIAM J. Sei. Comp., Vol. 19, N. 6, 1998, P. 1847−1869.

36. Feireisl E. Dynamics of Viscous Compressible Fluids. Oxford University Press, Oxford, 2004.

37. Feireisl E., Novotny A.H., Peizeltova H. On the domain dependence of solutions to the compressible Navier-Stokes equations of a barotropic fluid // Math. Methods Appl. Sei. 25, 2002, N. 12, P. 1045−1073.

38. Feireisl E. Shape optimization in viscous compressible fluids // Appl. Math. Optim. 47, 2003, P. 59−78.

39. Fichera G. Sulle equazioni differenziali lineari elliptico-paraboliche del secondo ordine // Atti Accad. naz. Lincei, Mem. CI. sei. fls., mat. e natur., Sezl, 5, N. 1, 1956, P. 1−30.

40. Frehse J., Goj S., Steinhauer M. ZAestimates for the Navier-Stokes equations for steady compressible flow// Manuscripta Math. 116, 2005, N. 3, P. 265−275.

41. Fursikov A. V., Gunzburger M., Hou S. Optimal boundary control for the evolutionary Navier-Stokes system: the three-dimensional case / / SI AM J. Control Optim., 2005, V. 43, N. 6, P. 2191−2232.

42. Heywood G.J., Padula M. On the existence and uniqueness theory for steady compressible viscous flow. In Fundamental directions in mathematical fluids mechanics. Adv. Math. Fluids Mech., Birkhauser, Basel, 2000, P. 171−188.

43. Jager W., Mikelic A. Couette flows over a rough boundary and drag reduction // Comm. Math. Phys. 232, 2003, P. 429−455.

44. KawohlB., Pironneau O., Tartar L. and Zolesio J. Optimal Shape Design. Lecture Notes in Math, 1740, Springer-Verlag, 2000.

45. Kohn J. J., Nirenberg L. Degenerate elliptic-parabolic equations of second order 11 Comm. Pure and Appl. Math, 20, N. 4, 1967, P. 797−872.

46. Kweon J. R., Kellogg R. B. Compressible Navier-Stokes equations in a bounded domain with inflow boundary condition // SIAM J. Math. Anal., 28, N. 1, 1997, P. 94−108.

47. Kweon J. R., Kellogg R. B. Regularity of solutions to the Navier-Stokes equations for compressible barotropic flows on a polygon // Arch. Ration. Mech. Anal., 163, N. 1, 2000, P. 36−64.

48. Lions P. L. Mathematical topics in fluid dynamics, Vol. 2, Compressible models. Oxford Science Publication, Oxford, 1998.

49. Lofstrom J. Interpolation of boundary value problems of Neumann type on smooth domains //J. London Math. Soc. 46, 1992, P. 499−516.

50. Mohammadi B., Pironneau 0. Shape optimization in fluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech., 36, P. 255−279, 2004, Ann. Reviews, Palo Alto, CA.

51. Novotny A. About steady transport equation. I. ZAapproach in domains with smooth boundaries // Comment. Math. Univ. Carolin., 37, N. 1, 1996, P. 43−89.

52. Novotny A. About steady transport equation. II. Schauder estimates in domains with smooth boundaries // Portugal. Math., 54, N. 3, 1997, P. 317−333.

53. Novotny A., Straskraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, Vol. 27. Oxford University Press, Oxford, 2004.

54. Padula M. Existence and uniqueness for viscous steady compressible motions // Arch. Rational Mech. Anal., 97, N. 1, June 01, P. 89−102, 1987.

55. Padula M. Steady flows of barotropic viscous fluids. Classical Problems in Mechanics, 1, 1997, Dipartamento di Matematika Seconda Universita di Napoli, Caserta, P. 253−345.

56. Plotnikov P.I., Sokolowski ./. On compactness, domain dependence and existence of steady state solutions to compressible isothermal Navier-Stokes equations //J. Math. Fluid Mech. 7, 2005, N. 4, P. 529−573.

57. Plotnikov P.I., Ruban E.V., Sokolowski J. Inhomogeneous boundary value problems for compressible Navier-Stokes equations, well-posedness and sensitivity analysis // SIAM J. Math. Analysis 40, 2008, P. 1152−1200.

58. Plotnikov P.I., Ruban E.V., Sokolowski J. Inhomogeneous boundary value problems for compressible Navier-Stokes and transport equations // Journal des Mathematiques Pure et Appliquees, electronic, 2009, P. 113−162.

59. Plotnikov P.I., Ruban E. V., Sokolowski J. Shape Sensitivity Analysis for Compressible Navier-Stokes Equations. System Modelling and Optimization, 23rd IFIP TC 7 Conf., Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009, P. 430−447.

60. Plotnikov P.I., Sokolowski J. Domain dependence of solutions to compressible Navier-Stokes equations // SIAM J. Control Optim., Volume 45, Issue 4, 2006, P. 1147−1539.

61. Richter G.R. An Inverse Problem for the Steady State Diffusion Equation // SIAM J. Appl. Math., 1981, N. 2, P. 210−221.

62. Schlichting H. Boundary-layer theory. (McGraw-Hill series in mechanical engineering) New York: McGraw-Hill, 1955.

63. Simon J. Second variation for domain optimization problems. Control and Estimation of Distributed Parameter Systems, Internat. N Ser. Numer. Math. 91, F. Kappel, K. Kuninisch, and W. Schappacher, eds., Birkhauser, Basel, 1989, 361−378.

64. Slawig T. A formula for the derivative with respect to domain variations in Navier-Stokes flow based on an embedding domain method // SIAM J. Control Optim., 42, N. 2, 2003, P. 495−512.

65. Slawig T. An explicit formula for the derivative of a class of cost functionals with respect to domain variations in Stokes flow // SIAM J. Control Optim., 39, N. 1, 2000, P. 141−158.

66. Sokolowski J., Zolesio J.-P. Introduction to Shape Optimization. Shape Sensitivity Analysis. Springer Series in Computational Mathematics Vol. 16, Springer Verlag, 1992.

67. Tartar L. An introduction in Sobolev spaces and interpolation spaces. Lecture notes of the Unione Matematica Italiana 3, Springer, BerlinUMI, Bologna, 2007.