Коллективные тождества полугрупп

Бурное развитие теории полугрупп, произошедшее за последние несколько десятилетий, сопровождается развитием методов исследований, в процессе которого возникают все новые и более общие конструкции и подходы. Одним из таких подходов к изучению классов полугрупп, является использование языка первой ступени, впервые предложенное А. И. Мальцевым (например, [31]) для классификации алгебраических систем в соответствии с их свойствами. Такой, достаточно общий подход, может быть разделен на несколько самостоятельных направлений, значимость которых, в настоящий момент, не вызывает сомнений. К числу таковых относятся теории многообразий, квазимногообразий и дизъюнктивных многообразий полугрупп.

Но как известно, не все свойства полугрупп можно выразить с помощью языка первой ступени. Использование же языка второй ступени представляется крайне затруднительным в силу отсутствия, в общем случае, логической простоты утверждений. Этим и продиктована необходимость в использовании конструкций, которые с одной стороны являлись бы некоторым обобщением ряда «классических» понятий и, с другой стороны, были бы достаточно наглядны и естественны.

Одной из таких конструкций является понятие коллективного тождества, введеное Е. С. Ляпиным в работе [30] в 1991 году. Там же показано, что понятие тождественного включения, введенного ранее, в 1974 году в XII главе монографии [44], эквивалентно понятию коллективного тождества с точки зрения выполнимости в полугруппах.

Коллективные многообразия (определяемые коллективными тождествами классы полугрупп) неоднократно исследовались различными авторами. Основополагающими для теории работами являются исследования Е. С. Ляпина. Им описаны (см. [26, 27]) некоторые участки решетки коллективных многообразий, введено понятие полугруппы, слабо свободной в классе и доказано существование таких полугрупп в некоторых коллективных многообразиях (см. [46]). Строение некоторых коллективных многообразий изучалось в работах А. Е. Евсеева (см. [13, 14])." Проблема конечного базиса для коллективных тождеств рассматривалась Г. И. Машевицким (см. [47]). Отметим также работы Л. Н. Бобриковой [2, 3, 40] и Г. А. Шестакова [37], посвященные изучению коллективных тождеств полугрупп.

Известно, какую важную роль в теории полугрупп (да и вообще алгебраических систем) играет понятие тождества. Достаточно указать обзорные статьи Т. Evans [41], А. Я. Айзенштадт и Б. К. Бо-гуты [1], Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [36], посвященные этому направлению.

Понятие коллективного тождества является достаточно естественным обобщением понятия тождества. Поэтому теорию многообразий можно рассматривать как часть теории коллективных многообразий. В связи с этим, в теории коллективных тождеств остается актуальной проблематика теории тождеств. Тем не менее, первая имеет существенные отличия по многим вопросам. В настоящей работе будут выявлены некоторые из них.

Другим обобщением понятия тождества является дизъюнктивное тождество (позитивная V-формула языка I ступени). Связь между коллективными и дизъюнктивными многообразиями ранее уже рассматривалась, например, С. Ю. Кулабуховым (см. [17]). В данной работе так же будут выявлены некоторые соотношения между ними.

Помимо того, что теория коллективных многообразий включает в себя достаточно развитое направление теории полугрупп — теорию многообразий, интерес к ней продиктован так же тем, что многие классы полугрупп, привлекающие внимание исследователей, являются коллективными многообразиями.

Приведем примеры таких коллективных многообразий.

1. И{хх2 ё {^1, Х2}) — класс полугрупп, в которых всякое непустое подмножество является подполугруппой. Полугруппы этого класса не раз исследовались различными авторами. При помощи конструкции последовательно аннулирующей связки они описаны в работе Е. С. Ляпина [24].

2. П (жхж2?з ё {яъ-?2,жз}) — класс полугрупп, в которых всякое непустое подмножество тернарно замкнуто. Строение полугрупп этого класса описано Е. С. Ляпиным [29].

3. ЩХ1Х2Х3 ё {xx2->%2%z, xi%z}) — класс эксклюзивных полугрупп. Строение данного класса полугрупп неоднократно изучалось различными авторами (Т. Tamura [52], L. О’Corroíи Б. М. Шайн [48], М. Jamada [42]). 4. П ({ж, у, ху} = {ж, у, ух}) — класс полугрупп, у которых произведение любых двух неперестановочных между собой элементов равно одному из сомножителей.

5. П (хуг ё {х, у, г, ху, у: г}) — класс полугрупп, в которых всякое подмножество является катенарно ассоциативным (подмножество В полугруппы, А называется катенарно ассоциативным если (Ух, у, г € В)(ху, уг € В =Фхуг € В). Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами изучались А. Е. Евсеевым [14].

6. П (ху ё {х, ж2,.}) — класс полугрупп, в которых каждая подполугруппа есть правый идеал (данный класс совпадает с классом П (жу ё {х2,х3}) [13]). Полугруппы этого класса изучались Э. Г. Шутовым [38, 39]. Им получены структурные теоремы и, по-видимому, впервые показана аксиоматизируемость этого класса.

7. Щху ё {у, х, х2,. .}, ху ё {х, у, у2,.}) — класс полугрупп, в которых все подполугруппы единично идеальные. Описание полугрупп, принадлежащих данному классу получено Е. С. Ля-пиным и А. Е. Евсеевым [23].

8. И (Х1Х2. хп ё {х, х,., Х2, х2, ¦. ¦, хп, ж2,.}) — класс полугрупп, в которых объединение любых п подполугрупп является подполугруппой. Некоторые подклассы такого коллективного многообразия для п = 2 описаны А. Е. Евсеевым [13].

9. П (х1Х2Хз = У1У2УЪ, ХУ% ё {ху, уг}) — класс всех трехступен-но нильпотентных полугрупп, каждая из которых вложима в некоторую вполне 0-простую полугруппу.

Наиболее близкими к понятию коллективного тождества [коллективного многообразия], как уже отмечалось выше, являются понятия тождества [многообразия] и дизъюнктивного тождества [дизъюнктивного многообразия].

Проблематика в изучении и характеризации коллективных тождеств, очевидно, заимствована из теории многообразий. Она включает в себя:

1) описание коллективных теорий полугрупп;

2) характиризацию решеток коллективных подмногообразий коллективных многообразий;

3) вопросы базируемости коллективных тождеств.

Изучение связи коллективных многообразий с дизъюнктивными приводит к рассмотрению следующих вопросов:

4) аксиоматизируемость коллективных многообразий полугрупп;

5) порождаемость коллективных многообразий некоторыми своими полугруппами при помощи гомоморфизмов.

При выполнении этой работы автор придерживался этого плана.

1. Айзенштадт А. Я., Богута Б. К. О решетке многообразий полугрупп/ / Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов. Сб. науч. трудов. Л., 1979. С. 3−46.

2. Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных циклических групп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2(22). С. 6−9.

3. Бобрикова Л. Н. Решетка тождественно включительных многообразий тернарно замкнутых полугрупп// Третий сиб. конгр. по прикладн. и индустр. матем., посвягц. памяти С. Л. Соболева. Новосибирск, 1998. Тез. докл. Ч. V. С. 6.

4. Бобрикова Л. Н. Тождественные включения конечных моногенных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 8−10.

5. Братчиков С. Н. Об одном операторе замыкания полугрупповых многообразий// Междунар. геометр, школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1996. С. 100−101.

6. Братчиков С. Н. О тождественно включительных многообразиях полурешеток// Междунар. алгебраич. конф., посвящ. памяти проф. Л. М. Глускина. Славянск, Украина, 1997. С. 3.

7. Братчиков С. Н. О решетке тождественно включительных многообразий полугрупп идемпотентов// Междунар. алгебр, конф. пам. Д. К. Фаддеева. С.-Петербург, 1997. Тез. докл. С. 172−173.

8. Братчиков С. Н. Тождественно включительные многообразия полурешеток// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2 (22). С. 18−24.

9. Братчиков С. Н. Решетка тождественно включительных многообразий полугрупп с единственным порождающим множеством// Третий сиб. конгр. по прикл. и индустр. матем., посвящ. памяти С. Л. Соболева. Новосибирск, 1998. Тез. докл. Ч. V. С. 8.

10. Братчиков С. Н. О существовании слабо свободных полугрупп в тождественно включительных многообразиях полугрупп/ / Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1998. С. 182−183.

11. Братчиков С. Н. Тождественные включения аннулирующих связок полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 27−31.

12. Братчиков С. Н. Конечная базируемость коллективных тождеств трехэлементных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 3242.

13. Евсеев А. Е. Полугруппы с некоторыми степенными тождественными включениями// Алгебраические системы с одним действием и отношением. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1985. С. 21−32.

14. Евсеев А. Е. Полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами// Современная алгебра, (в печати).

15. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М., 1977. 240 с.

16. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972. Т. 1. 287 с. Т. 2. 422 с.

17. Кулабухов С. Ю. О полугрупповых классах, заданных замкнутыми универсальными дизъюнктивными формулами/ / Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1. С. 41−48.

18. Кулабухов С. Ю. Слабо свободные полугруппы в дизъюнктивных многообразиях// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1. С. 49−55.

19. Кулабухов С. Ю. О решетке Б-многообразий конечных полугрупп// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2 (22). С. 50−55.

20. Кулабухов С. Ю. Теорема о полноте для полугрупповых дизъюнктивных тождеств// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып. 3 (23). С. 78−85.

21. Ляпин Е. С. Нормальные комплексы ассоциативных систем// Известия АН СССР. Математика. 1950. Т. 14. № 2. С. 179−192.

22. Ляпин Е. С. Полугруппы. М., 1960. 592 с.

23. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Полугруппы, у которых все подполугруппы единично идеальные// Изв. ВУЗов. Математика. 110 (101). 1970. С. 44−48.

24. Ляпин Е. С. Единично идеальные элементы полугрупп/ / Теория полугрупп и ее приложения, Вып. 2, Саратов. 1971. С. 41−50.

25. Ляпин Е. С. О включении полугрупповых тождеств в бесконечные неприводимые совокупности// Мат. заметки. 1972. Т. 12. № 1. С. 95−104.

26. Ляпин Е. С. Атомы решетки тождественно включительных многообразий полугрупп// Сиб. мат. ж. 1975. Т. 16. № 6. С. 12 241 230.

27. Ляпин Е. С. Тождественные включения в полугруппах, у которых всякое подмножество есть подполугруппа// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1978. С. 118−133.

28. Ляпин Е. С. Тождества последовательно аннулирующих связок полугрупп// Изв. ВУЗов. Матем., 1979, № 1. С. 38−45.

29. Ляпин Е. С. Полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты// Алгебраические действия и упорядоченности Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1983. С. 82−88.

30. Ляпин Е. С. Порождаемость классов полугрупп при помощи гомоморфизмов/ / Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 3953.

31. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970. 392 с.

32. Плоткин Б. И., Вовси С. М. Многообразия представлений групп. Рига, 1983, 338 с.

33. Свердловская тетрадь. Нерешенные вопросы теории полугрупп. Свердловск. 1979. 41 с.

34. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1982.

35. Трахтман А. Н. Конечность базиса тождеств пятиэлементных полугрупп// Полугруппы и их гомоморфизмы. Л., 1991. С. 7697.

36. Шеврин Л. Н., Волков М. В. Тождества полугрупп// Изв. ВУЗов. Математика, № 11, 1985, С. 3−47.

37. Шестаков Г. А. Не аксиоматизируемые тождественно включи-тельные многообразия полугрупп// Третий сиб. конгр. по прикл. и индустр. матем., посвящ. памяти С. Л. Соболева. Новосибирск, 1998. Тез. докл. Ч. V. С. 32.

38. Шутов Э. Г. Полугруппы с идеальными подполугруппами// Мат. сб. 1962. 57 (99). № 2. С. 179−186.

39. Шутов Э. Г. Полугруппы с идеальными подполугруппами// Современная алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов. Л., 1975. Вып. 3. С. 134−158.

40. Bobricova L. N. On semigroup identical inclusive varieties, not being varieties// Quasigroups. Kishinev, (в печати).

41. Evans Т. The lattice of semigroup varieties// Semigroup Forum. 1971. 2. № 1. P. 1−43.

42. Jamada М. Note on exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. № 2. P. 160−167.

43. Kulabuhov S. Problem of deriving of corollaries from disjunctive identities of semigroups// Quasigroups. Kishinev, (в печати).

44. Ljapin E. S. Semigroups. Third ed. AMS. 1974. Chapter XII.

45. Ljapin E. S. Identities valid globaly in semigroups// Semigroup Forum. 1982. V. 24. P. 263−269.

46. Ljapin E. S. Weakly free semigroups in identity inclusive varieties/ / Semigroups. Colloquia* Mathematica Societatis Janos Bolyai. 39. North-Holland, 1985.

47. Mashevitzky G. On a finite basis problem for universal positive formulas// Algebra Universalis, 35 (1996) P. 124−140.

48. O’Corrol L.- Shein В. M. On exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1972. V. 3. № 1. P. 338−348.

49. Pelikan. J. On semigroups, in which products are equal to one of the factors// Per. Math. Hungar., V. 4 (2−3), 1973, P. 103−106.

50. Perkins P. Bases for equational theories of semigroups// J. Algebra, V. 11, № 2, 1969, P. 298−314.

51. Reserch problems// Semigroup Forum. 1970. V. 1. P. 91−92.

52. Tamura T. On commutative exclusive semigroups// Semigroup Forum. 1971. V. 2. № 2. P. 181−187.