К теории линейных управляемых систем

Математическая теория линейных управляемых систем, развитие которой во многом обязано трудам Н. Н. Красовского [40], [41], [42], Р. Калмана [34], [35], Р. В. Гамкрелидзе [18], [19], А. Б. Куржанского [47], [48], Р. Конти [93], [94], [95] и ряду других исследователей (см, обзоры [16], [17]) представляет важный раздел общей теории управляемых процессов. За последние 25 лет в линейной теории получен ряд фундаментальных результатов общего характера, связанных в первую очередь с задачами полной управляемости, наблюдаемости, стабилизируемос-ти уравнения х — А0сЪх + В0сЬи, хеЯ^ие^™-, (0.1) структурой оптимальных управлений и структурой множества управляемости. Стационарное уравнение х = А0х + £0и, хе1? а, ие Й^" 1, (0.2).

А^ооавО изучено наиболее полно и большинство фактов, относящихся к уравнению (0.2), выражено в эффективных терминах. Значительно меньше изучено уравнение (ОД), в теории которого оформился ряд задач, не поддающихся решению в течение длительного периода времени. К числу таких задач относится задача о глобальной управляемости уравнения (ОД). Остановимся на этой задаче более подробно.

Пусть задано множество и, расположенное в К" 1″ Обозначим через I) ce, U) — множество управляемости в нуль уравнения (ОД) на [о, si (сс0&euro- 3>ce, lh в том и только в том случае, если существует измеримое управление U, такое, что уравнение (0,1) при u=uotfci имеет решение, удовлетворяющее условиямэссо)=хо, = Уравнение (0.1) называется глобально управляемым, если множество Ъс. Щ = и Xe, U} совпадает с в е-о.

Хорошо известно (см., например, [52], стр.102) следующее утверждение, относящееся к стационарному уравнению (0.2)-пусть.

1Х — компакт в (Rm и о е Crut (coriv II) — (0.3) тогда уравнение (0.2) глобально управляемо в том и только в том случае, если гаак СВ0, А0В0, B0N — а" (0.4).

Re l= а, гъ, (0.5) где — собственные значения оператора А0. Это утверждение в работе А. К. Керимова [36] обобщено на уравнение (0.1) с со-периодическими A0cb, B>0tb: пусть уравнение (0,1) сопериодично и множество U удовлетворяет условию (0.3) — тогда уравнение (0.1) глобально управляемо, если дополнительно выполнены следующие условия: (0.6) ^V*0' (0.7) где А. с А^- показатели А. М. Ляпунова ([Ш, глава I) уравнение.

0.8).

В случае уравнения (0.2) условие (0.6) эквивалентно условию (0.4), а условие (0.5) ~ условию (0,7).

Отметим, что отказ от периодичности уравнения (0.1) (с сохранением условий (0.3),(0.б) и (0.7)) уже не обеспечивает глобальную управляемость уравнения (0.1). Более того, из условий (0.3), (0.6) и (0.7) не следует глобальная управляемость уравнения (0.1) даже в том случае, когда уравнение (0.1) условно-периодическое с двумерным базисом частот, а уравнение (О.в) — правильное (соответствующий пример приведён в § 10 главы И),.

Решение задачи о глобальной управляемости уравнения (ОД) потребовало привлечения математического аппарата, ранее не привлекавшегося в теории управляемых систем: уравнению (0.1) ставится в соответствие так называемая динамическая система сдвигов, исследование Q — предельного множества которой приводит к ответу на вопрос о глобальной управляемости уравнения (ОД). Динамическая система сдвигов описана в монографии В. В, Немыцкого и В. В. Степанова ([613, гл. 6, § 9) и активно применялась В. М. Миллионщиковым [58] для исследования свойств показателей А. М. Ляпунова. Использование динамической системы сдвигов при исследовании уравнения (ОД) привело также к возникновению ряда понятий (названых в данной работе равномерной полной управляемостью, равномерной локальной управляемостью, равномерной глобальной управляемостью и равномерной стабилизиру-емостью), представляющих, как мне кажется, определённый интеpec в задачах управления в условиях неопределённости [48], [68] и в игровых задачах [43],[441,т.е. в тех случаях, когда возникает необходимость в позиционном управлении объектом.

Ещё одно обстоятельство следует отметить особо. Среди уравнений вида (ОД) существуют уравнения со следующими свойствами (§ II, глава Ш):

A) уравнение (0.1) с фиксированным множеством U, удовлетворяющим условию (0.3), глобально управляемо;

Б) для любого a^elR" ' и любогоfco⁰ найдётся такое т = t, что время быстродействия Т^х^из точки зссс>=эс0 в нуль удовлетворяет неравенству Тст,*:^ ^ i"0i;

B) для всякого е>1 найдутся такие t=tce)>o и x0eRa, что и при этом время быстродействия Ttt, x0>>®.

Причины существования уравнений со свойствами (А) — (В) удалось объяснить в терминах вероятностных мер, определённых напредельном множестве соответствующей динамической системы, а это в свою очередь привело к некоторым новым задачам, связанным с вероятностными характеристиками множества управляемости.

Другая задача, которой в данной работе уделено достаточное внимание, состоит в изучении границы 6Dce, U) множества управляемости ЪСбД} уравнения (0.1) при малых s (точнее при не превосходящих некоторого критического значения е0, которое может быть и достаточно большим). Вопрос о структуре дЗкеДЛ) тесно связан с задачей построения синтезирующей функции. При исследовании этих вопросов (которые достаточно изучены для стационарного уравнения (0.2)) в работе привлекаются классические методы, связанные с теорией чебышевских систем и теорией неосцилляции в смысле Ш. Валле-Пуссена. Правда, понятие неосцилляции в смысле Ш. Валле-Пуссена относится только ¡-с уравнению ¦+ =0, что оказалось недостаточным для наших целей. Поэтому один из параграфов данной работы посвящен обобщению теории неосцилляции на линейные уравнения вида (0.8). При этом получились результаты, представляющие самостоятельный интерес. *.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.

1. Г о м е с Х. А. Стабилизация неустойчивых положений равновесия линейных управляемых систем, Дифференц. уравне-ния, 1983, 19, № 9, с.1644−1645.

2. Гришин С. А, Розов Н. Х. Метод поворотов в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия линейных динамических систем, Автоматика и телемеханика, 1975, № 12, с.18−26,.

3. Г р и ш и н С. А, Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем. Дифференц. уравнения, 1982, 18, № II, с.1862−1869.

4. Демидович Б .П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. — 472 с.

5. Е р у г и н Н, П, Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Минск, 1963, — 272 с.

6. Забелло Л. Е. К теории управляемости нестационарных систем. Докл. АН БССР, 1980, 24, № 6, с.497−499,.

7. Захаров Т. К., С е н я в и н М. М. Достаточные условия полной управляемости неавтономных систем. Дифференц. уравнения, 1981, 17, № 3, с. 423−430.

8. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. — 494 с.

9. Зубов В. И, Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. — 400 с.

10. И в, а н о в А, Г., Т о н к о в Е.Л., Ш н е й б е р г И.Я. О мере множества глобально управляемых систем. В кн.: нелинейные колебания и теория управления (Ижевск), 1981, вып. З, с, 3−32 .

11. И в, а н о в, а И.П., Иванов А. Г, К вопросу о полной- 260 управляемости линейной периодической системы. В кн.{Нелинейные колебания и теория управления (Ижевск), 1982, вып. 4, с .10−19.

12. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матем. анализ. Итоги науки и техники, 1974, т.12, с.71−146.

13. И з о б о в H.A. Об уточнении оценок крайних показателей в методе замораживания. Дифференц. уравнения, 1983, 19, № 8, с.1454−1456.

14. И о ф ф е А.Д., Тихомиров В. М, Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1968. 475 с.

15. К, а л м, а н P.E. Об общей теории автоматического управления. В кн.: Труды I конгресса ИФАК, Из-во АН СССР, 1961, т. 2, с. 521−547.

16. Калман Р., ФалбП., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. — 507 с.

17. Керимов А. К. Управляемость в целом линейных периодических систем при наличии ограничений на управления. -Дифференц.уравнения, 1975, II, № 9, с.1575−1583.

18. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Ф о м и н С.В.Эр-годическая теория. М: Наука, 1980. 383 с.

19. Коробов В, И, Решение систем синтеза с помощью функции управляемости. Докл. АН СССР, 1979, 248, 15, с. Ю51−1055.

20. К о р о б о в В. И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости. Матем.сб., 1979, 109 (151), № 4 (8), с.582−606.

21. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. Прикл. матем. и мех., 1959, 23, № 4, с.625−639.

22. К р, а с о в с к и й H.H. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем, В кн.: Труды II Всесоюзн, съезда по теор. и прикл, механике.1964, Обзорн.докл. ~М.: Наука, 1965, вып.1, с.77−93.

23. Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. М.- Наука, 1968. — 475 с.

24. Красовекий Н. Н, Игровые задачи о встрече движения. М.: Наука, 1970. — 420 с.

25. Красовский H.H., Субботин А, И. Позиционные дифференциальные игры. М#: Наука, 1974, — 455 с.

26. К р е й н М. Г, Нудельман А, А, Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973, — 551 с.

27. Култышев С. Ю, Т о н к о в Е. Л. Управляемость линейной нестационарной системы, Дифференц, уравнения, 1975, II, № 7, с, I206-I2I6.

28. К уржанский А.Б. О двойственности задач оптимального управления и наблюдения. Прикл. матем. и мех., 1970, 34, вып. З, с. 429−434.

29. Куржанский А, Б, Управление и наблюдение в условиях неопределённости. М.- Наука, 1977. — 392 с.

30. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения +Успехи матем. наук, 1969, 24, вып, 2146., с. 43−96.

31. Левитан Б. М, Почти-периодические функции. M, t ГИТТЛ, 1953. — 395 с,.

32. Левитан Б. М., Ж и к о в В. В, Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения, М.: МГУ, 1978. -204 с.

33. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. — 574 с.

34. Л я п у н о в A.M. Общая теория об устойчивости движения. М.: ГИТТЛ, 1950. — 471 с.

35. М, а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. — 530 с.

36. М, а с с е р, а X., Ш е ф ф е р X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, М.: Мир, 1970. — 456 с,.

37. Миллионщиков В. М" О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1967, 3, «12, с. 2127−2134.

38. Миллинщиков В. М. К теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Докт. диссертация, МГУ, 1968 (автореферат опубликован в Матем. заметках, 1968, 4, вып.4, с.483−490),.

39. Миллионщиков В. М. Критерий устойчивости вероятного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти-периодическими коэффициентами. Матем. сборник 1969, 78:2,с, 179−201,.

40. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений, М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

41. Никольский М. С, Об идеально наблюдаемых системах, Дифференц, уравнения, 1971,7,1 4, с, 631−638.

42. Н и к о л ь с к и Й М. С, Линейная теория наблюдаемости. В кн.- Исследование операций, 1974, вып.4, c. III-125.64Л о л и, а Г., С е г е Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть первая.-М.:Наука, 1978. 391 с.

43. Понтрягин Л. С, Болтянский В, Г., Гамкрелидзе Р, В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

44. С, а т и м о в Е.Я., Азамов А, 0 числе переключений в линейных системах. Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1982, № 2,с, 20−23.

45. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: ЛГУ, 1981. — 198 с.

46. Субботин А. И, Ч е н ц о в А, Г. Оптимизация гарантии в задачах управления, М.: Наука, 1981, — 287 с.

47. Т о н к о в Е. Л. Число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию. Тезисы I республ. конф. матем. по дифференц. уравнениям, Ашхабад, 1972, с, 35−39,.

48. Тонков Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию. Дифференц. уравнения, 1973, 9, № 12,с, 2180−2185,.

49. Т о н к о в Е. Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению. Прикл.матем. и мех., 1974, 38,№ 4, с.599−606,.

50. Т о н к о в В. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями. Дифференц. уравнения, 1976, 12, № 6, с.1007−1011.

51. Т о н к о в Е. Л, Линейное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Матем. физика, 1978, вып.24, с.58−69.

52. Тонков Е. Л. Замечание об управляемости линейной периодической системы. Дифференц. уравнения, 1978,14, № 9, с.17X5−1717.

53. Тонко в Е. Лу Равномерная локальная управляемость и стабилизация нелинейной рекуррентной системы, В кн.:Ма-териалы Всесоюзн. конференции по динамич. управлению, 1979, с.262−263.

54. Т о н к о в Е. Л, Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы. Дифференц. уравнения, 1979, 15, К 10, с.1804−1813.

55. Тонков Е. Л, Стабилизация и глобальная управляемость почти-периодической линейной системы. -Дифференц, уравнения, 1979, 15, № 4, с, 757−758,.

56. Тонков Е. Л, Некоторые свойства линейных периодических систем. Дифференц. уравнения, 1980, 16, № 4, с. 756 757.

57. Тонков Е. Л. Динамическая система сдвигов и вопросы глобальной управляемости линейной почти-периодической системы. Успехи матем. наук, 1981, 36, вып.4 (220), с. 226,.

58. Тонков Е. Л. Динамическая система сдвигов и вопросыравномерной управляемости рекуррентной системы. Докл, АН СССР, 1981, 256, № 2, с. 290−294.

59. Т о н к о в ЕЛ. Равномерная локальная управляемость и стабилизация нелинейной рекуррентной системы. Дифференциальные уравнения, 1982, 18, № 5, с. 908−910.

60. Т о н к о в ЕЛ. Вероятностные характеристики множества управляемости линейного дифференциального уравнения. -Успехи матем. наук, 1982, 37, № 4, с. 121.

61. Т о н к о в ЕЛ. К вопросу о неосцилляции линейной системы. В кн.- Нелинейные колебания и теория управления (Ижевск), 1982, вып.4, с.62−74.

62. Т о н к о в ЕЛ" 0 равномерной локальной управляемости линейного уравнения, Матем. физика, 1983, № 33, с.

63. Т о н к о в E.JI. О множестве управляемости линейного уравнения. Дифференц, уравнения, 1983, 19, № 2, с, 269 -278.

64. Т о н к о в ЕЛ. Неосцилляция и структура множества управляемости линейного уравнения. ~ Успехи матем. наук, 1983, 38, № 5 (233), с. 131.

65. Филлипов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Матем, сборник, I960, 51, № I, с, 99−128.

66. Халанай А., ВекслерД. Качественная теория импульсных систем. М.: ДОир, 1971. — 309 с.

67. H a r t m a n P. Unrestricted n-parameter families.- Rend, circ. mathem. Palerrao, 1953,7,2,p.123−142.

68. E a r t m a n P. Principal solutions of disconjuqate nth order lineal' differential equations.- Amer. J.Math., 1569,91,2,p.306−362.-267 102″ K a 1 m a n R.E. Contributions to the theory of optimal control.- Bol.Soc.mathem.mexis., I96o, 5, I, p. I02-II9.

69. K e r n G. Uniform controllability of a class of linear time-varying systems.- IEEE Trans.Autom.Contr., 1982,27,15p-208−210.

70. Nik olson L.S. Disconjugate systems of linear differential equations.- Journal of Different.Equat., 1970,7,p.570−583.

71. S i 1 v e r rn a 11 L.M., LI e a d 0 w s II. E. Controllability and observability in time-variable linear systems.- SJAM J.Control., 1967,5,I, p.64−73.

72. S u s s m a 21 H.J. A bang-bang theorem with bondes on the number of switchings.-SJAMJ.Contr. and Optim., 1979, 5, p.629−651.

73. S u s s m a n H.J. Piecewise analyticity of optimal cost function and optimal feedback.- AACC Proc.Joint. Autom. control Conf.Denver, Colo, 1979, Nev York, N.Y., 1979, p.17−22.

74. Trench «k7.P. Canonical forms and principial systems for general aisconjugate equations.- Transact. of the Amer. mathem.society. 1974,189,p.319−327.