Марковские разбиения для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей

Актуальность темы

Работа относится к теории гиперболических динамических систем. В ней изучаются множества марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора. Такие разбиения (наборы подмножеств фазового пространства с определёнными структурой и поведением под действием отображения, определения см. ниже) позволяют строить удобные символические модели для указанных отображений, что может применяться при изучении свойств последних.

Диффеоморфизм двумерного тора, задаваемый формулой х ь-> Ах (mod Z2), (*) где A Е GLiffi) — гиперболическая матрица, (его называют гиперболическим автоморфизмом тора) и в частности, такой диффеоморфизм с, А = (? }), послужил при построении гиперболической динамики в 1960;х гг. важным примером динамической системы, в которой всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (системы Аносова). Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма тора было осуществлено Р. Адлером и Б. Вейссом, [2].

В дальнейшем обобщения конструкции марковских разбиений происходили в двух направлениях. Один путь, принадлежащий Р. Боуэну (см. [3]), состоял в рассмотрении динамики на произвольном локально максимальном гиперболическом множестве. (Первые шаги в этом направлении, практически одновременно с работой Адлера и Вейсса, были сделаны Я. Г. Синаем: он начал, частично совместно с Б. М. Гуревичем, построение марковских разбиений для гиперболических автоморфизмов n-мерного тора.) В этих условиях Боуэном было установлено существование марковского разбиения, однако платой за столь общие условия стала неконтролируемо сложная геометрия множеств, составляющих разбиение.

Позже выяснилось, что существенную роль в наличии простой геометрии элементов разбиения играет двумерность фазового пространства. Так, уже для аналогичного (*) автоморфизма трёхмерного тора элементы марковского разбиения не могут иметь кусочно гладкую границу (см. [4]).

Поэтому возник также другой путь:) при сохранении дву-мерности фазового пространства ослабить требования к отображению. Таким расширением класса отображений являются псевдоаносовские диффеоморфизмы двумерных компактных ориентируемых поверхностей. Они возникают естественным образом как представители некоторой части классов эквивалентности при принадлежащей Я. Нильсену и У. Тёрсто-ну классификации гомеоморфизмов поверхностей с точностью до изотопии. j.

Определение псевдоаносовского диффеоморфизма основывается на аналогии со следующими свойствами гиперболического автоморфизма тора. Для последнего существуют два одномерных трансверсальных слоения, инвариантных под действием диффеоморфизма — разбиения на прямые, параллельные устойчивому или неустойчивому направлению. На слоях этих слоений есть меры (совпадающие со стандартной одномерной мерой Лебега), которые голономно инвариантны: если отрезок перенести с одного слоя устойчивого (неустойчивого) слоения на другой вдоль слоев неустойчивого (устойчивого) слоения, то меры этих отрезков будут равны. Наконец, образы этих мер под действием автоморфизма есть исходные меры, умноженные на Л и 1/А соответственно.

В случае псевдоаносовского диффеоморфизма (для простоты рассмотрим случай поверхности без края) инвариантные слоения могут иметь особые точки вида^{стандартной} особенности с п ^ 3 сепаратрисами" (например, при п — 4 слоение в окрестности такой точки гомеоморфно слоению на компоненты связности гипербол ху = с и координатные полуоси). Устойчивое и неустойчивое слоения трансверсальны всюду, кроме особых точек, на них заданы трансверсальные меры, которые голономно инвариантны, а их образы есть они сами, умноженные на, А и 1/А соответственно.

Для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей без края марковские разбиения были построены А. Фати и М. Шубом, [5]. Эти же авторы (а впоследствии и другие) использовали марковские разбиения для анализа динамики псевдоаносовских диффеоморфизмов.

А. Ю. Жиров использовал для классификации псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей (см. [7], [8]) введённые им ленточные разбиения — предмарковские (он называет их просто марковскими) разбиения с некоторыми дополнительными свойствами.

Актуальность темы

вытекает из вышесказанного — значимости марковских разбиений как инструмента в исследовании различных вопросов теории псевдоаиосовских диффеоморфизмов поверхностей.

Цель работы. Целью работы является изучение всего семейства марковских (и сходных с ними предмарковских) разбиений для данного псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности, в частности, установление конечности числа предмарковских разбиений ограниченной сложности (определение см. ниже, для марковских разбиений это означает, что число элементов ограничено сверху) и получение явных формул для их количества в простейших случаях.

Методы исследования. В работе, помимо выработанных в гиперболической теории динамических систем методов, также применяются методы элементарной геометрии и топологии на поверхностях и теоретико-числовые методы, связанные с теорией цепных дробей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие два основных результата:

• Доказано, что для любого псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности множество классов эквивалентности (относительно действия степеней диффеоморфизма) предмарковских разбиений с ограниченной сложностью конечно.

• В случае гиперболического автоморфизма тора описана структура множества простейших предмарковских разбиений — разбиений на два параллелограмма с условием, что оба отрезка границы содержат неподвижные точки. В частности, получены явные выражения для числа классов эквивалентности таких разбиений относительно действия степеней автоморфизма.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к гиперболической теории динамических систем. Результат о структуре множества простейших предмарковских разбиений указывает динамический инвариант гиперболического автоморфизма тора, который может препятствовать топологической сопряжённости двух таких автоморфизмов даже с одинаковой жордановой формой матрицы (см. [14]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора В. М. Закалюкина в 2006 г.;

• на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. п., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2007 г.;

• на семинаре по теории динамических систем под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора А. М. Стёпина (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2008 г.;

• на конференции «Ламинации и групповые действия в динамике» (г. Москва, 19—23 февраля 2007 г.).

• на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённой 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (г. Москва, 17—22 июня 2008 г.).

• на семинаре по теории динамических систем в Университете Экс—Марсель I (г. Марсель, Франция) в июне 2008 г.

• на конференции.

• на школе.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [15] и [16].

Структура работы. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 16 наименований. Общий объем диссертации — 95 страниц.

1. А. Б. Каток, Б. Хасселблат.

Введение

в современную теорию динамических систем. — М.: Факториал, 1999.

2. R.L. Adler, В. Weiss. Entropy, a complete metric invariant for automorphisms of the torus, Proc. of Nat. Acad. Sci., 57:6 (1967), 1573−1576.

3. R. Bowen. Markov partitions for Axiom A diffeomorphisms, Amer. J. Math., 92 (1970), 725−747.

4. R. Bowen. Markov partitions are not smooth, Proc. Amer. Math. Soc., 17:1 (1978), 130−132.

5. Fathi A., Laudenbach F., Poenaru V. Travaux de Thurston sur les surfaces (Seminaire Orsay). Paris, Soc. Math. France, 1979 (Asterisque 66−67).

6. Э. Кэссон, С. Блейлер. Теория автоморфизмов поверхностей по Нильсену и Тёрстону. — М.: Фазис, 1998 (сер. Библиотека студента-математика, вып. 5).

7. Zhirov A. Yu. Complete combinatorial invariants for conju-gacy of hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces, J. Dyn. Control Syst., 6:3 (2000), 397−430.-fff.

8. Жиров А. Ю. Комбинаторика одномерных гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей, Труды МИАН, 244 (2004), 143−215.

9. Е. Rykken. Markov partitions for hyperbolic toral automorphisms of T2, Rocky Mountain J. Math. 28:3 (1998), 1103−1124.

10. А. Я. Хинчин. Цепные дроби. M.: УРСС, 2004.

11. О. Perron. Die Lehre von den Kettenbruchen. Bd. I: Elemen-tare Kettenbruche. — Stuttgart, Teubner, 1954.

12. P. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1998.

13. Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика.

Введение

в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.

14. D.V. Anosov, A.V. Klimenko, G. Kolutsky. On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions (preprint no. MPIM2008;54). — Bonn, Max-Planck-Institut fur Mathematik, 2008.

15. А. В. Клименко. О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора, Матем. сб., 200:8 (2009), 147−160.

16. А. В. Клименко. Конечность числа классов марковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, Матем. заметки, 86:2 (2009), 314—317.