Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными нелинейностями

Предметом исследования диссертации являются следующие краевые задачи:

— для уравнений эллиптического типа.

Lu (x) = д (х, и (х)), (0.1).

Виг = 0, (0.2) в ограниченной области U С Rn, п > 2 с границей Г класса С^а, а G (0,1], [14], где дифференциальный оператор п? d п д.

L = ~ +jg ?х)щ+с (ж) равномерно эллиптический вО, а (0.2) — либо однородное граничное условие Дирихле м|г — 0, либо третье краевое условие ди dnL du сг (ж)м|г = 0, а^(х)их.со8(п, хА, п — внешняя нормаль к границе дпь ??=1.

Г, соэнаправляющие косинусы нормали п, функция, а? СЛДГ) неотрицательна на Г.

Коэффициенты, а у, Ь^ с оператора Ь непрерывны по Гельдеру с показателем, а вместе с частными производными на О, а у г е Ci>e®.

Нелинейность д (х, и) равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х, и) и д (х, и), неубывающих по переменной и. Непрерывность д{х./и) по и не предполагается.

Сильным решением задачи (0.1)—(0.2) называют функцию и? д > 1, удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду на О, для которой след Ви{х) на Г равен нулю.

Будем говорить, что для уравнения (2.1) выполнено А1-условие, если найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {Д-, г 6 /},.

5, — = {(ж, и) € Нп+1 и = <�рг (х), х е ,.

Рг 6 W/2oc, l (0) для которых при почти всех ж Е О неравенство дх^х^и—) < д (х, и+) влечет существование г 6 I такого, что и = <�Р{(х) и либо.

Ь (рг (х) + дг (х, (рг (х)-) — д2(х, <�Р{(х))) X X (1(рг (х) + дг (х, (р{(-х)+) — д2(х, <�р{(х))) > 0, либо Ь (рг (х) = д (х, (рг (х)).

— для уравнений параболического типа.

Ьи (х,{) = д (х^, и (х^)), (0.3) гт = 0, (0.4) в цилиндрической области С}т = О х (О, Г), где О, — ограниченная область в^с границей $ класса О2 [15], где д п д д п д.

— равномерно параболический дифференциальный оператор в С^т, коэффициенты а^, Ь^ с которого и прозводные (а^)^ принадлежат пространству Ьоо ((¿-т).

Тт = (Б х [О, Г)) и {(ж, 0)|ж Е П} - параболическая граница цилиндра С^т.

Функция д: (¿-т х И И равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х^, и) и б/1 (ж, и), неубывающих по и. Непрерывность д (х^, и) по фазовой переменной и не предполагается.

Сильным решением задачи (0.3)-(0.4) называется функция и Е тоу (Ят) с нулевым следом на Гу, которая для почти всех (х, ?) Е <5т удовлетворяет уравнению (0.3).

Требуется, чтобы для уравнения (0.3) было выполнено А1-условие, то есть найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {5,-, г Е /}, 5, — = Е 11п+2 и = (р{(х,?),(х,?) Е фг}, 2 1.

Уг € такое, что для почти всех (х,{) Е (¿-т неравенство д{х^^и—) < дх (х, м+) влечет существование г Е /, для которого и = ц>{(х, ?) и либо.

Ь (рг (х, ?) + 01 (х, *, и-) — д2(х, и)) х х + (ж, м+) — д2(х, и)) > 0, (0.5) либо Ь (рг (х, 1) = д (х^, (рг (х,{)).

Устанавливаются предложения о существовании сильных решений задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) в предположении, что существуют верхнее и нижнее решения и и и этой задачи, причем, й > и почти всюду на фгДоказательства базируются на абстрактной схеме метода верхних и нижних решений, обобщающей соответствующий результат В. Н. Павленко из [23].

Далее будем пользоваться следующими обозначениями: д-(х, и) =)mg (x, s), д+(х, и) =.

8—*U.

-(М,") = ]img (x, t, s), g+(x, t, u) = lim g (x, t, s). s—*u g (x, u+) = limi g (x, s), g (x, u~) = lim g (x, s).

§—s— g (x, t, u+) = lini g (x, t, s), g (x, t, u—) = lim g (x, t, s).

Разрыв нелинейности g (x, u) в точке и будем называть «падающим», еслж д (х, и—) > д (х, и+)] «прыгающим», если д (х, и—) < д (х, и+).

Аналогично определим «падающий» и «прыгающий» разрыв в точке и для нелинейности g (x, t, u), если g (x, t, u—) > g (x, t, u—) и если g (x, t, u—) < g (x, t, u+), соответственно.

Математические модели ряда прикладных задач сводятся к краевым задачам эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Так к задаче (0.1)—(0.2) сводятся математическая модель М. А. Гольдштика [5] отрывных течений несжимаемой жидкостирассмотренная H.J. Kuiper [69] задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. К задаче (0.3)-(0.4) сводятся задачи о нагреве проводника при постоянном напряжении (нестационарный случай) и о подземной газификации угля в постановке Г. И. Баренблатта [35]. На необходимость исследования распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано в монографии [15] O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, В.А. Со-лонниковым в 1967 г.

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в этой области. В связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений М. А. Красносельским и A.B. Покровским в [9] было введено понятие полуправильного решения интегрального уравнения вида ь x (t) = / K (t, s) g (s, x (s)) ds a с непрерывным ядром K (t, s) и нелинейностью g (s, x) непрерывной по s, неубывающей, но х, для которой lim sup х~гд^, х) ~ 0. решение такой задачи называют полу правильным, если для почти всех х? О, значения и (х) являются точками непрерывности функции д (х, •)). При этих предположениях в [9] устанавливается существование полуправильных решений с помощью теорем о неподвижных точках для уравнений с монотонными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. В [10] этими же авторами был рассмотрен вопрос о существовании полуправильного решения задачи Дирихле.

Ли + д (х, и) = 0, м|г = 0 в ограниченной области О, с достаточно гладкой границей Г, при условии, что нелинейность д (х, и) ограничена на О х R, суперпозиционно измерима и удовлетворяет одностороннему условию Липшица по переменной и: и — v)(g (x, и) — g (x, v)) > —ц (г)(и — v)2, i/|,|v| < г, х G О, ?1: R+ R. Отметим, что последнее условие допускает лишь «падающие» разрывы по и у функции д (х, и).

В работе [13] этими же авторами были получены достаточные условия существования решения задачи Дирихле для уравнения (0.1), значения которых лишь на множестве нулевой меры могут быть точками разрыва нелинейности д (х, и). Требуется, чтобы д (х, и) как и в [10] удовлетворяла по переменной и одностороннему условию Липшица, и, кроме того, д (х, и) <? < со, х ей, и G R.

Доказательство проводится с помощью метода неподвижных точек монотонных операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах.

В [8] М. А. Красносельским и A.B. Лусниковым были получены общие предложения о неподвижных точках, являющихся точками непрерывности изучаемого монотонного отображения обобщающие [9], [10]. Здесь вводятся определения монотонного и монотонно компактного (ММК) оператора в полуупорядоченном конусом К банаховом пространстве Е, приводятся достаточные условия существования неподвижной точки ММК-оператора на конусном отрезке, обладающей свойством /¿—непрерывности, при этом х* точка h-непрерывности оператора А, если \А (х*—eh) — —"¦ О и \A{x* — ?h) — Ax*\ —> 0 при е —> +0- полученные результаты применительно к задаче (0.1)-(0.2) позволяют установить существование полуправильного решения в предположении, что нелинейность д (х: и) удовлетворяет односторонннему условию Липшица и ограничена (см. [9], [10]).

Наиболее общие теоремы о существовании сильных решений краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями были получены К.-С. Chang, S. Carl, S Heikkila и B.H. Павленко. В [63] К.-С. Chang было доказано существование обобщенного решения задачи (0.1)—(0.2) методом обобщенных градиентов Кларка в случае, когда оператор L имеет вид ь J—1 о.

Напомним [63], что элемент и? W* (О) называется обобщенным решением задачи (0.1)—(0.2), если для него почти всюду на О имеет место включение.

L (u (x))? [д~(х, и (х)), д+(х, и (х))], где д~(х, и (х)) = тт (д (х, и (х)—), д (х, и (х)+)), д+(х, и (х)) = maх.(д (х, и (х)—), д (х, м (ж)+)).

Кроме того, К.-С. Chang были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения первой краевой задачи являются сильными решениями, а именно: для почти всех х? Q значение д (х, и)? [д-(х, и), д+(х, и)] и для любого и? R функция д (х, и) удовлетворяет С-условию, т. е. множество D = {(ж, и) G fix R|g (x, w—) ф д (х, и+)} является объединением не более чем счетного семейства поверхностей класса Wf ioc за исключением, быть может, множества, проекция которого на О имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из этих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки, и для почти всех х G О из неравенства д (х, и—) ф д (х, и+) следует, что (х, и) лежит на одной из поверхностей D, и, если (р (х) -локальное представление этой поверхности вблизи точки (х, и), то либо L (.

Аналогично формулируются условия, при которых обобщенное решение задачи (0.3)-(0.4) является сильным решением этой задачи.

В [62] К.-С. Chang к исследованию краевых задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) применил теорию топологической степени для многозначных операторов. Предполагая, что нелинейность g (x, t, u) су-перпозиционно измерима и для нее верна оценка g (x, t, u).

V (x, t) G Qt, и G R, M G Lp (Qr), p > n, L = ^ — Д, он доказал существование обобщенного решения задачи (0.3)-(0.4).

В [64] К.-С. Chang было доказано предложение о существовании сильного положительного решения задачи (0.1)—(0.2) в предположениях, что i) —д (х, и) = д0(х, u) + gi (x, u)-g2(x, u), где д0(х, и) — каратеодориева функция,, и) — непрерывная по х при фиксированном и ж неубывающая по и при фиксированном х функция, причем существует конечное или счетное множество {мг-, ъ Е /} в R, такое, что для почти всех х Е О из д{(х, и—) ф gi (x, u+) следует, что и = щ для некоторого i Е I. и) функция д (х, и) ограничена снизу положительной функцией, не зависящей от и.

Основы метода исследования краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов (в том числе с нелинейными граничными условиями) с гладкими нелинейностями, основанного на использовании верхних и нижних решений были заложены в работах H. Amman [39]—[43], Н. Amann и М. Crandal [43], Н. Brill [51] и других авторов. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Badial М. 45], N. Basil и M. Mininni [46], I. Massabo [72], C.A.Stuart и J.F.Toland [75]. Характерным для этих работ является предположение о существовании верхнего Ш и нижнего и решений соответствующей краевой задачи с и < й. Как правило, помимо существования решения краевой задачи в конусном отрезке < и, й >, изучается проблема существования максимального и минимального решения в этом отрезке. В случае, когда нелинейность д (х, и) в уравнении (0.1) гладкая и возрастающая по и, минимальное (максимальное) решение в < и,ü- > задачи (0Л)—(0.2) может быть найдено с помощью итерационной схемы:

Luk+i = д (х, щ) в О, 11.

Вщ+1 = 0 на сЮ, к = 0,1,2,.- «о = и (щ = w) [41]. Более тонкая техника используется в случае, когда предположение о неравенстве и < й отсутствует [65], с такой стуацией приходится сталкиваться при изучении резонансных краевых задач. Важно отметить, что предположение о существовании упорядоченных верхнего и нижнего решений краевой задачи позволяет сильно ослабить ограничения на рост нелинейности по фазовой переменной на бесконечности. C.A.Stuart и J.F.Toland применяя вариационные методы и метод верхних и нижних решений установили существование сильных решений задачи (0.1)—(0.2) в случае, когда коэффициент с дифференциального оператора L равен нулю и д (х, и) = д (и) не зависит от ж и имеет ограниченную вариацию на любом отрезке прямой.

Различные подходы к изучению краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, использующие верхнее и нижнее решения, были реализованы в работах S. Heikkila, S. Carl и V.Lakshmikantham. Предложенный S. Heikkila в [67] метод обощенных итераций был применен в [56] к задаче (0.3)—(0.4), в предположении, что существуют слабые нижнее и и верхнее и решения этих задач, и < м, и постоянная М > 0 такие, что д (х, t, s) + Ms — возрастающая по s на [и, й]. Устанавливается существование минимального и максимального слабых решений задачи (0.3)-(0.4) на < и, и >. В [57] рассматривается включение.

Au + ?(u) Э F (u) в П, (0.6) и = 0 на Ш, (0.7) где О — ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей «90, А = - Е -???:(a, ij (x)-?-) + Е — - равномерно эллиптический дифференциальный оператор с а^, Ьг-? L°°, Fu (x) = f (u (x)), /: R —> R, такая, что для некоторой М > 0 /(s) + М — неубывающая на R,?: R —> имеет максимально монотонный график в R2. Доказывается, что, если существуют нижнее м и верхнее й решения задачи (0.6)—(0.7) и и < м, то в конусном отрезке < и, й > существуют минимальное и максимальное слабые решения этой задачи. Доказательство использует метод обобщенных итераций из [67]. При этом задача (0.6)-(0.7) заменяется на эквивалентное вариационное неравенство, порождающее монотонное в < > отображение, неподвижные точки которого совпадают с решениями вариационного неравенства.

В [59] эти же авторы изучают задачу.

Au = f (u, u) в О, (0.8) ди = д (и, и) на <90, (0.9) где О и, А те же, что и в (0.6), Jj — конормальная производная на <90, f (u, v), g (u, v) — непрерывны по первой переменной на R и существует М > 0 такая, что f (u, s)+ Ms, g (u, s) + Ms неубывающие по s функции на R. В предположении, что задача (0.8)-(0.9) имеет слабые нижнее и и верхнее й решения, и < й, устанавливается, что в конусном отрезке < и, й > она имеет минимальное и максимально е слабые решения. Доказательство базируется на результатах о существовании решений вспомогательной краевой задачи вида.

Аи = /(ж, и) в О, = д (х, и) на <90, с непрерыыными по и нелинейностями / и д. и обобщенном итеративном методе из [58].

В [61] изучается задача Дирихле для нелинейного эллиптического дифференциального включения вида.

Аи + Р (и, и) Э д (и, и) в О, и = 0 на <90, в ограниченной области О 6 R" с достаточно гладкой границей, где Аи = —? нелинейный равномерно эллипти.

1 ^ ческий дифференциальный оператор в О,: R х R —{0} имеет максимально монотонный график в R по отношению ко второму аргументу, и /?(г, s) = [/(г, s — 0), /(г, s + 0)], где / непрерывная по первому аргументу и неубывающая по второму функция. Нелинейность д: R х R —> R предполагается непрерывной по первому аргументу и неубывающей по второму. В предположении о существовании нижнего и и верхнего и слабых решений, и<�й, и некоторых дополнительных технических ограничениях устанавливается существование минимального и максимального слабых решений этой задачи. Доказательство проводится с помощью перехода от исходной задачи к эквивалентному квазивариационному неравенству с разрывной нелинейностью.

В [68] рассматривается начальная задача х1 = A (t)x + g (t, x), ж (0) = ж0, (О.Ю) t е J — [0, с], в банаховом пространстве Е, где {A (t), t Е J} семейство замкнутых линейных операторов с плотными областями определения D (A (t)) из Е, действующих в Е. С этим семейством связано семейство (T (t, s), 0 < s < t < с}, линейных ограниченных операторов в Е, таких, что A{t)x ~ lim T (t+hJ)x х? D (A (t)) и i) T (t, t) = I, I — тождественный в Е оператори) T (t, s) • T (s, г) = T (t, v), 0 < s< s < t < cj.

Непрерывность g (t, x) по x не предполагается. Если g: J xE —" E непрерывная и, если x дифференцируемое решение интегрального уравнения t x (t) = T (i, 0) х0 + J T (t, s) g (s, x (s))ds (0.11) о на J, то x решение задачи (0.10). Решение уравнения (0.11) называют тг’Ы-решением задачи (0.10). Устанавливаются результаты о существовании и единственности mild решений уравнения (0.11) и характере их зависимости от начальных данных, в предположении, что д (х, s) неубывающая по х (Е предполагается полуупорядоченным) и задача (0.10) имеет верхнее х и нижнее х mild-решения, х<�х. Общие теоремы применяются к задаче (0.3)-(0.4) в случае неограниченной области О, когда g (x, t, u) неубывающая по и и существуют верхнее и и нижнее и решения, такие, что и<�Ш.

Исследованию вопроса разрешимости поставленных задач посвящен ряд работ В. Н. Павленко [16]—[34]. В [16]—[19], [21], [24] к исследованию задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) применяется метод монотонных операторов. Приводятся общие теоремы существования операторного уравнения.

Ах + F (x) = 0, (0.12) являющихся точками радиальной непрерывности оператора Т (возможно разрывного). Оператор, А — линейный замкнутый с плотной в вещественном рефлексивном банаховом пространстве Е областью определения. С помощью установленных автором общих теорем доказывается существование полуправильного решения задачи (0.1)—(0.2) в случае граничного условия Дирихле, в предположении, что нелинейность д (х, и) из уравнения (0.1) измерима по х, имеет только «прыгающие» разрывы и непрерывна справа на R, а коэффициенты bj и с оператора L равны нулю.

В [21] В. Н. Павленко были получены достаточные условия существования решений уравнения (0.12), являющихся точками радиальной непрерывности оператора, А + Т, при более слабых, чем в [19] ограничениях на точки разрыва оператора Т, в предположении, что оператор, А нелинейный в Е. Общие результаты применены для доказательства полуправильных решений задачи (0.3) (0.4) в случае, когда оператор из уравнения (0.3) имеет вид:

Работы [17], [20], [22], [25] посвящены вариационному методу исследования разрешимости задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4). В [20] и [22] устанавливаются предложения о разрешимости уравнения Тх = 0, в случае, когда Т — квазипотенциальный операторпри этом не делается предположений о монотонности Т. В качестве приложений полученных общих результатов здесь же доказаны теоремы существования полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (0.1), при более слабых, чем в [19] и [21] ограничениях на характер разрывов и рост нелинейности д (х, и).

В [23] В. Н. Павленко была предложена абстрактная схема метода верхних и нижних решений, основным элементом которой является теорема о существовании обобщенных (в определенном смысле) решений для уравнений с разрывными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. Здесь же приводятся условия достаточные для того, чтобы обобщенное решение было сильным. Рассматривается задача (0.3)—(0.4), когда дифференци.

Г ТЬ, А е альный оператор Ь имеет вид: Ь = ^ —? а нелинейность д (х^, и) для почти всех (х, имеет по и подлинейный рост и ограниченную вариацию на любом отрезке. Кроме того предполагается, что д (х, и) равна разности суперпозиционно измеримых и почти всюду на фг неубывающих по и функций. При этом на разрывы д (х^, и) по переменной и накладываются более жесткие ограничения, чем А1-условие для уравнения (0.3): существует не более чем счетное семейство поверхностей {5г-, г? /}, 5, — = {(М, к)|и = <�А'(М),(М) € Яг}-. Щ € W/2¿-1(gт) такое, что для почти всех (х,? (^т неравенство д (х, и—) < д (х, ?/+) влечет существование г? /, для которого и = ср{(х,?) и справедливо неравенство (0.5).

Перейдем к содержанию диссертации.

1. Агмон С., Дуг лис А., Ниринберг JX. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

3. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

5. Гольдштик М. А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Дан СССР. 1962. Т.147,№ 6. С.1310−1313.

6. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

7. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа М.: Наука, 1975.

8. Красносельский М. А., Лусников A.B. Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов //Функц. анализ и приложения. 1996. Т. ЗО, вып.З. С.34−46.

9. Красносельский М. А., Покровский A.B. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями //Докл. АН СССР. 1976. T.226,N?3. С.506 509.

10. Красносельский М. А., Соболев A.B. О неподвижных точках разрывных операторов //Сиб. мат. журн. 1973. T. XIV,№-3. С. 674−677.

11. Красносельский М. А. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

12. Красносельский М. А., Покровский A.B. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями //ДАН, 1995. Т.342, № 6. С.731−734.

13. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

14. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Павленко В. Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вест. Моск. ун-та. Мат.мех. 1973. № 6. С.21−29.

16. Павленко В. Н. О разрешимости нелинейных уравнений с разрывными операторами //Докл. АН СССР. 1972. Т.204, № 3. С. 506−509.

17. Павленко В. Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. 1979. Т.31, № 5. С. 569−572.

18. Павленко В. Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Укр. мат. журн. 1981. Т. ЗЗ, NЧ. С.547−551.

19. Павленко В. Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 8. С. 1397−1402.

20. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1989. Т.41, N42. С.1659−1664.

21. Павленко В. Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1991. Т.43, № 2. С.230−235.

22. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью //Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, № 3. С.520−526.

23. Павленко В. Н. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 1991. № 6. С.38−44.

24. Павленко В. Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами // Вестн. Челябинского ун-та. Математика, Механика. 1991. №-1. С. 29−37.

25. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 1992. Т.33, N-3. С. 216 Деп. ВИНИТИ за № 2778-В91.

26. Павленко В. Н. О разрешимости вариационных неравенств с разрывными полумонотонными операторами // Укр. мат. журн. 1993. Т.45, № 3. С.443−447.

27. Павленко В. Н. Метод монотонных операторов в задачах управления распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями //Изв. вузов. Математика. 1993. № 8. С.49−54.

28. Павленко В. Н. Об одном классе задач управления распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Известия РАН. Техническая кибернетика.1994. № 4. С.204−209.

29. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челябинского ун-та. Математика. Механика. 1994. № 1(2). С.87−96.

30. Павленко В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейно-стями // Укр. мат. журн. 1994. Т.46, № 6. С.729−736.

31. Павленко В. Н. Вариационныйметод для уравнений эллиптического типа с разрывной нелинейности // УМН. 1994. Т.49,№ 1(2). С. 138.

32. Павленко В. Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями //Дифферент уравнения. 1995. № 9. Деп. ВИНИТИ за № 769-В95.

33. Павленко В. Н. Существование сильных решений уравнений параболического типа с разрывынми нелинейностями // УМН. 1995. Т.50, № 4. С.127−128.

34. Павленко В. Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук Екатеринбург, 1995.

35. Покровский А. В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1984. Т.274, № 5. С.346 347.

36. Рязанцева И. П. Об уравнения с полумонотонными разрывными отображениями // Мат. заметки. 1981. Т.30, N-1.

37. Соболев C. JL Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во Ленингр. ун-та, 1950.

38. Amann Н. On the number of solutions of nonlinear equation in ordered Banach spaces //J. Funct. Anal. 1972. Vol.11. P.346−384.

39. Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces //SIAM Review. 1976. Vol.18, № 4. P.620−709.

40. Amann H. Supersolutons, monotone iterations, and stability //J. Different. Equat. 1976. Vol.21. P.363−377.

41. Amann H. Existense and multiplicity theorems for semi-linear elliptic boundary value problems //Math. Z. 1976. Vol.150. P.281−295.

42. Amann H., Crandall M.G. On some existence theorems for semilinear elliptic equations //Indiana Univ. Math. J. 1978. Vol.27, № 5. P.779−790.

43. Badiale M. Semilinear elliptic problems in Rn with discontinuous nonlinear //Atti Semin. mat. e fis. Univ. Modena. 1995. Vol.43,2. c.293−305.

44. Badial m., Tarantello G. Existence and multiplicity results for elliptic problems with critical growth and discontinuous nonlinearities //Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1997. Vol.29,№ 6. P. 639−677.

45. Basile N., Mininni M. Some solvability results for elliptic boundary value problems in resonance at the first eigenvalue with discontinuous nonlinearities // Boll. Un. Math. Ital., Ser. 5. 1980. Vol. l7-B, № 3. P.1023−1033.

46. Berkovits J., Tienari M. Topological degree theory for some classes of multis with applications to hyperbolic and elliptic problems involuing discontinuons nonlinearities // Dyn. Syst. and Appl. 1996. Vol.5, № 1. C. l-18.

47. Bocea M., Radulescu V. Probl’emes elliptiques avec non-lin'eariti'e discontinue et second membre L1 //C. r. Acad, sci Ser. 1. 1997. Vol.324, № 2. C.169−172.

48. Bouguima S.M. On differential equations with discontinuous nonlinearities // Abst. Invit. 7 th Int. Colloq. Differ. Equat., Plovdiv Aug. 18−23, 1996. Sofia. 1996. P.37.

49. Bougima S.M., Boucherif A. A discontinuous semilinear elliptic problems without a growth condition // Dyn. Syst. and Appl. 1993. Vol.2, № 2. P. 183−188.

50. Brill H. On the solvability of semilinear elliptic equations with nonlinear boundary conditions // Math. Anall. 1976. Vol.222. P.37−48.

51. Browder F.E. Nonlinear maximal monotone operators in Banach space // Math. Ann. 1968. Vol.175. P.89−113.

52. Browder F., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type Banach spaces // Funct. Anall. 1972. Vol.11, № 3.

53. Cardinali T., Fiacca A., Papageorgiou H.S. Extremal solution for nonlinear parabolic with discontinuities //Monatsh. Math. 1997. Vol.124, № 2. P.119−131.

54. Carl S. The monotone iterative technique for a parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1989. Vol.13, № 12. P.1399−1407.

55. Carl S., Heikkila S. On a parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1990. Vol.15, № 11. P.1091−1095.

56. Carl S., Heikkila S. An existence result for elliptic differential inclusions with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anall/ 1992/ Vol/18, №-5. P.471−479.

57. Carl S., Heikkila S., Kumpulainen M. On a generalized iteration method with applications to fixed point theorems and elliptic systems involving discontinuities // Nonlinear Anall. 1993. Vol.20, № 2. P.157−167.

58. Carl S., Heikkila S. On the existence of extremal solutions for discontinuous elliptic equations under discontinuous flux conditions // Nonlinear Anal. 1994. Vol.23, № 12. P.1499−1506.

59. Carl S., Heikkila S. Extremal solutions of quasilinear parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearities //Dyn. Syst. and Appl. 1994. Vol.3, № 2. P.251−258.

60. Carl S., Heikkila S., Lakshmikantham V. Nonlinear elliptic differential inclusions governed by state-dependent subdifferentials // Nonlinear Anal. 1995. Vol 25, № 7. P.729−745.

61. Chang K.-C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities // Comm. Pure Appl. Math. 1980. Vol.33, № 2. P.117−146.

62. Chang K.-C. Varitional methods for nondifferentiable functional and their applications to partial differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1981. Vol.80, № 1. P.102−129.

63. Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings //J. Different. Equat. 1983. Vol.49, № 1. P. l-28.

64. Gosser J.-P., Omari P. Non-ordrered lower and upper solutions in semilinear elliptic problems // Commun, in Partial differential equations. 1994. Vol.19, № 7−8. P. 1163−1184.

65. Gonsalves J.V., Correa F.J.S.A. //Dyn. Syst. and Appl. 1994. Vol.3, № 2. P.267−274.

66. Heikkila S. On fixed points through a generalized iteration method with applications to differential and integral equations involving discontinuities // Nonlinear Anal. 1990. Vol.14, № 5. P.413−426.

67. Heikkila S., Lakshmikantham V. On mild solutions of first order discontinuous semilinear differential equations in Banach spaces // Appl. Anal. 1995. Vol.56, № 1−2. P.131−146.

68. Kuiper M.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems //Rend. Circolo mat. Palermo. Ser.2. 1971. V.20,№ 2−3. P.113−138.

69. Liu Z. Monotone methods for elliptic boundary value problems with discontinuous nonlinearities // Ann. Univ. Sci. Budapest. Sec. Math. 1994. Vol.37, P.41−52.

70. Liu Z. On elliptic systems with discontinuous nonlinearities //Period, math. hung. 1995. Vol.30, № 3. P.211−223.

71. Massabo L Elliptic boundary value problems at resonance with, discontinuous nonlinearities. //Boll. Un. Math. Ital., Ser. 5. 1980. Vol. l7-B, № 3. P.1302−1320.

72. Rockafellar R.T. Local boundodness of nonlinear monotone operators // Michigan Math. J. 1969. Vol.16, N4. P.397−407.

73. Stuart C.A. Maximal and minimal solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //Math. Z. 1978. Vol.163. P.239−249.

74. Stuart C.A., Toland J.F. A varitional method for boundary, value problems with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. Vol. 21, № 2. P.319−328.

75. Stuart C.A., Toland J.F. A property of solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. Vol. 21, № 2. P.329−335.

76. Szil’agyi P. Differential inclusions for elliptic systems with discontinuous nonlinearity // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. 1993. Vol.38, № 2. P.21−30.

77. Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // XX студ. научн. конф. «Студент и научно технический прогресс». Тез. докл. Челябинск, ЧелГУ. 1996. С.9−10.

78. Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Материалы XXXV междунар. научн. студ. конф. Новосибирск: НГУ. 1997. С. 115−116.

79. Ульянова О. В. О модификации абстрактной схемы метода верхних и нижних решений //Конф. «Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия». Тез. докл. Челябинск: ЧГПУ. 1997. С.ЗО.

80. Ульянова О. В. Об одном обобщении абстрактной схемы метода верхних и нижних решений // Воронежск. вес. мат. школа «Современные методы в теории краевых задач. Понтрягин-ские чтения IX». Тез. докл. Воронеж: ВГУ. 1998. С. 200.

81. Павленко В. Н., Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными не-линейностями //Известия вузов. Математика. 1998. №-11. С. 69−76.

82. Ульянова О. В. О модификации абстрактной схемы метода верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями //Рук. деп. ВИНИТИ392 3 99 сОб: сл. уд.