К геометрии регулярных конусов в банаховых пространствах

В настоящее время теория упорядоченных векторных пространств составляет важное математическое направление, фактически один из основных разделов современно1 о функционально! о анализа.

Честь выделения класса порядково полных векторных решеток принадлежит Л. В. Канторовичу. Работая над дескриптивной теорией функции вещественной переменной, Л. В. Канторович решил вводить дескрипцию с позиции функционального анализа. Однако в банаховых пространствах отсутствовало упорядочение. Тогда и возникла идея обогащения аппарата функционального анализа — введения пространств, в которых определено отношение порядка. В 1935 году была опубликована первая заметка Л. В. Канторовича о линейных полуупорядоченных пространствах в Докладах Академии наук СССР, в которой он писал: «В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами.

Введение

этих пространств позволяет изучать линейные операции одною общею класса (операции, значения которых принадлежат такому иросхранству) как линейные функционалы". Выделенный Л. В. Канторовичем класс упорядоченных векторных пространств, обладающих порядковой полнотой, имеет ряд принципиально важных специфических свойств, позволивших предложить новые методы исследования функциональных объектов. Теория таких пространств — их называют теперь пространствами Канторовича или /^-пространствами — стала одним из основных разделов функционального анализа.

В 1940 г. Л. В. Канторович приступил к подготовке итоговой монографии. Однако работа над этой монографией была завершена совместно с Б. 3. Вулихом и А. Г. Пинскером лишь к концу 40-х годов. В книге «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (1950) впервые дается систематическое изложение теории Кпространств [24]. Она до сих пор является ценным пособием для специалистов в этой области.

С середины 1960;х гг на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета работал городской семинар по теории полуупорядоченных пространств, который возглавлял Б. 3. Вулих, заведующий кафедрой математического анализа и ученик Л. В. Канторовича. В конце семидесятых годов вышли две фундаментальные книги Б. 3. Вулиха [16], [17], в которых детально излагалась общая теория конусов в нормированных пространствах. В [16] рассмотрены нормированные пространства «с одним конусом», а более тонкие вопросы теории конусов приведены в [17].

Близкую к этому теорию пространств с конусами положительных элементов развил М. Г. Крейн и его ученики во главе с М. А. Красносельским. В книге [33] содержится сравнительно небольшое количество материала по теории конусов в банаховых пространствах, получившей значительное развитие в более поздние годы. В большом цикле работ М. А. Красносельского совместно с П. П. Забрейко, Е. А. Лифшицем, Ю. В. Покорным, А. В. Соболевым, В. Я. Стеценко ([34], [40]) в новых направлениях развивается теория М. Г. Крейна конусов и положительных операторов. Здесь выделены новые классы операторов с ведущими простыми собственными значениями, оценены спектральные зазоры, решен ряд геометрических задач и т. д. Выделенные классы охватывают, как оказалось впоследствии, операторы многих задач математической физики.

Теория полуупорядоченных пространств интенсивно разрабатывалась и на Западе, где этих вопросов касались работы Гаррета Биркгофа, X. Фрейденталя, Дж. фон Неймана, Ф. Рисса.

Все рассматриваемые обычно в функциональном анализе пространства естественным образом подходят под определение полуупорядоченного пространства. Существенное отличие таких пространств состоит в том, что здесь приходится рассматривать две сходимости. В 1964 г. американский математик Р. Демарр [52] опубликовал теорему о том, что в любом нормированном пространстве можно ввести такое частичное упорядочение, при котором сходимость по упорядочению (о-сходимость) совпадает со сходимостью по норме (Ь-сходимостью). При этом, если исходное нормированное пространство полно, то по отношению к вводимому упорядочению оно оказывается дедекиндово полным. Однако детальный анализ книги М. А. Красносельского [33], вышедшей еще в 1962 г., показывает, что в существенной своей части теорема Демарра уже содержится в этой книге, хотя и не сформулирована явно. При этом теорема оказывается верной и при гораздо более общем способе введения упорядочения, чем у Демарра, что показано в статье Б. 3. Вулиха и И. Ф. Даниленко [18]. Там рассмотрен конус вида К = ид>0 AF, где ^ - произвольное выпуклое множество. Естественным образом возникает задача исследования конусов данного вида, чему и посвящена одна из глав данной диссертации (задачи 1 и 2 см. ниже).

Включение упорядочения в исследование объектов функционального анализа значительно обогащает и разнообразит их. Кроме того, элементы полуупорядоченного пространства во многом очень близки к понятию числа по своим свойствам.

Ряд авторов рассматривали пространства, в которых введены две полуупорядоченности, т. е. определено два конуса. Соответствующие задачи рассматривали В. Я. Стеценко [40], И. А. Бахтин [7], Б. С. Кубекова [36] .

Начиная с середины пятидесятых годов, математики разных стран, следуя общей линии развития функционального анализа, приступили к изучению конусов в линейных топологических пространствах, обобщая многие понятия, введенные раннее в нормированных пространствах. В начале 1970;х годов началось интенсивное изучение выпуклых операторов со значениями в упорядоченных векторных пространствах. В этот период произошел синтез методов выпуклого анализа с теорией упорядоченных векторных пространств. Изложение локальной теории выпуклых операторов имеется в книге Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [6]- современное состояние теории представлено в монографии А. Г. Кусраева [38].

Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов. Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом — банахова решетка. Существует ряд книг, в том числе переведенная на русский язык книга X. Шефера «Топологические векторные пространства» [46], в которых излагается общая теория конусов в линейных топологических пространствах. Однако развитие более общей теории конусов не лишает интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах. Во-первых, многие результаты имеют в нормированных пространствах более простой вид и получаются значительно проще, чем в общем случае, а в то же время в ряде приложений функционального анализа нормированные пространства продолжают играть основную роль. Во-вторых, в нормированных пространствах конусы поддаются более детальному изучению и здесь удается установить ряд специальных результатов, пока еще не перенесенных на общий случай.

Особое значение имеет определение регулярного конуса, которое впервые ввел Дэвис [51]. Оно нашло широкое применение в теории тензорных произведений и теории банаховых решеток. Понятие строго регулярного конуса было впервые подробно исследовано в работах В. Т. Худалова. Ему удалось описать регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве [43], установить, что в гильбертовом пространстве регулярность равносильна самосопряженности [44]. В [45] он впервые изучил аппроксимативные свойства положительной и отрицательной части элемента в банаховом пространстве. Кроме того, в [14] дано описание всех регулярных круглых конусов в пространстве Основные результаты В. Т. Худалова собраны в его монографии [42]: изложены свойства пространств со строго регулярными конусами, приведены соответствующие примеры. Отдельные главы посвящены изучению тензорных произведений банаховых пространств с конусами и исследованию порядков в различных подклассах непрерывных линейных операторов.

Под руководством В. Т. Худалова изучением некоторых свойств регулярно упорядоченных банаховых пространств занималась Энеева Л. М. В ее работе [47] устанавливается изометрия банаховых пространств определенных операторов, следствием которой является ассоциативность тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств с введенной кросснормой.

Исследуя свойства упорядоченных банаховых пространств, В. Т. Худалов рассматривал примеры разложения конкретных элементов на положительную и отрицательные части, вычисления проекций элементов, тогда же возникла задача описания этих множеств для произвольного элемента, а также изучения расположения проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных элементов (задача 3 см. ниже).

Эта задача перекликается с одной из основных задач теории аппроксимации: Приближение фиксированного элемента х Е X фиксированным множеством F из X. В работах [25] и [41] доказаны условия существования и единственности элемента наилучшего приближения, общие критерии ближайшего элемента в выпуклом замкнутом множестве, в качестве частных случаев рассмотрены пространства С и Ьр. Однако редко можно встретить вывод явных формул, определяющих проекцию произвольного элемента на множество, а также величину наилучшего приближения. Данный вопрос для случая, когда F — круглый строго регулярный конус, решается на протяжении всей работы для различных пространств (задача 4 см. ниже).

Кроме того, при решении упомянутых задач возникает необходимость изучения геометрических свойств строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы), что является одним из основных вопросов, поставленных и решенных в этой работе (задача 5 см. ниже).

Теория полуупорядоченных пространств широко используется при исследовании экономических систем [39]. Например, при изучении производственного процесса А. И. Абакумов в [1] рассматривает модель Неймана-Гейла, которая представляет собой выпуклый замкнутый конус 2 С Я" х Я". При выводе достаточных условий равновесия модели «затраты-выпуск, К. С. Демченко опирается на понятия и факты теории конусов [22].

Основным объектом изучения данной работы являются регулярные и строго регулярные конусы.

Целью диссертации является изучение геометрических свойств конкретных банаховых пространств, упорядоченных строго регулярными конусами.

Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств.

Интерес к пространствам, упорядоченным такими конусами, обусловлен тем, что:

1) рассматриваемый класс пространств является досхаточно широким, он содержит класс банаховых решеток и, кроме того, каждое банахово пространство эквивалентной перенормировкой можно превратить в пространство с регулярным конусом. В то же время известно, что существуют банаховы пространства, которые нельзя превратить в банахову решетку переходом к эквивалентной норме;

2) в этом случае норма и порядок согласованы наилучшим образом, что компенсирует в известном смысле отсутствие хорошего порядка;

3) в случае строго регулярного конуса удается найти аналоги положительной и отрицательной части элемента в банаховой решетке, а именно, определить множества положительных и отрицательных частей для произвольного элемента. При этом для некоторых пространств обнаруживается связь между проекцией элемента на конус и множеством его положительных частей и возникают вопросы об изучении расположения этих множеств.

Таким образом, в данной диссертации решаются следующие задачи:

1) Изучить возможность введения в конкретном банаховом пространстве строго регулярного конуса специального вида. В настоящей работе выделен класс конусов Демарра-Красносельского [52]. Доказано, что сопряженным к нему является круглый конусвыяснены условия, при которых конус Демарра-Красносельского является строго регулярным в гильбертовом пространстве и в пространствах п > 2.

2) Описать все такие строго регулярные конусы. В данной работе получено описание всех строго регулярных конусов Демарра-Красносельского в гильбертовом пространстве и в пространствах п > 2. Кроме того, доказано, что в гильбертовом пространстве сопряженным к конусу Демарра-Красносельскою является снова конус Демарра-Красносельского.

3) Для введенных строго регулярных конусов изучить вопрос о расположении проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных частей, получить описание этих множеств. В диссертации это сделано для:

1. Всех строго регулярных нерешеточных круглых конусов в пространствах I", п> 2.

2. Для всех нерешеточных строго регулярных конусов Демарра-Красносельского в пространствах п > 2.

3. Для конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе.

4. Для класса строго регулярных круглых конусов, порожденных функционалом 5Хд, в пространстве ограниченных на [а, Ь] функций, а также в пространстве непрерывных на [а, Ь] функций.

4) Получить явные формулы расстояния от произвольного элемента до произвольного строго регулярного конуса. Для всех перечисленных в пункте (3) пространств данные формулы найдены. Установлена интересная связь между нормой элемента и расстоянием от него до конуса.

5) Исследовать геометрические свойства строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы). Данные вопросы решаются в диссертации для всех упомянутых выше строго регулярных конусов.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Приведем краткое содержание каждой из глав. Первая глава — вводная, в ней собран необходимый для дальнейшего изложения материал по теории упорядоченных векторных и нормированных пространств (§§ 1.1 — 1.2), определены различные виды ортогональности (§ 1.3). Кроме того, рассмотрен метод построения круглого регулярного конуса в произвольном банаховом пространстве, приведены необходимые сведения и результаты о регулярных конусах, рассмотрен случай гильбертова пространства (§ 1.4). Приведены некоторые определения и факты из теории приближений (§ 1.5). В § 1.6 приведено известное описание всех регулярных круглых конусов в пространстве /" .

1. Абакумов А. И. Модели Неймана-Гейла.—ДГУ.—2004.—44 с.

2. Абрамович Ю. Ф. О максимальном нормированном продолжении полуупорядоченных нормированных пространств.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1970—К01—С. 7−17.

3. Абрамович Ю. Ф. Некоторые теоремы о нормированных структурах.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1971—Я" 13— С. 5−11.

4. Абрамович Ю. Ф. Инъективные оболочки нормированных структур—Докл. АН СССР.—1971.—Т 194.—№ 4.-С. 743−745.

5. Абрамович Ю. Ф. Об одном критерии Амемия полноты по норме нормированных структур.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1973.— Я" 7.-С. 150−152.

6. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства, — Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

7. Бахтин И. А. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.— Учебное пособие для спецкурса. Воронеж: Изд-во ВГПИ.— 1984.

8. Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1973.—№ 19.—С. 5−12.

9. Бухвалов А. В. Приложения методов порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Ьр— Успехи мат. наук.—1983.—Т 38.— № б.-С. 37−83.

10. Бухвалов А. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций.—Итоги науки и техники. Математический анализ.—М.:ВИНИТИ, 1988;Т 26.-С. 3−63.

11. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Гейлер В. А. Нормированные решетки.—Итоги науки и техники. Математический анализ.—М.?ВИНИТИ, 1980.—Т 18.— С. 125−184.

12. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Лозановский Г. Я. Банаховы решетки — некоторые банаховы аспекты теории.—Успехи мат. наук.—1979.—Т 34.—№ 2.— С. 137−183.

13. Бухвалов А. В., Короткое В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров Б. М. Векторные решетки и интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1992.-214 с.

14. Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в /" .—Вестник СОГУ. Естественные науки.—1999.—№ 1,—С. 5−6.

15. Власов Л. П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах.—Успехи мат. наук.—1973.—Т 28.—Вып. 6.—С. 3−66.

16. Вулих Б. 3.

Введение

в теорию конусов в нормированных пространствах.— Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.-84 с.

17. Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.—Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.—84 с.

18. Вулих Б. 3., Даниленко И. Ф. Об одном способе частичного упорядочения нормированного пространства.—Вест.Ленинг.ун-та, 1970.—Вып. 19.—С. 18−22.

19. Вулих Б. 3.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физ-матгиз, 1961.—407 с.

20. Гейлер В. А., Чучаев И. И. Общий принцип локальной рефлексивности и некоторые е1 о применения в теории упорядоченных пространств,—Докл. АН СССР.—1980.—Т 254, № 1-С. 17−20.

21. Гейлер В. А., Чучаев И. И. Общий принцип локальной рефлексивности и некоторые его применения в теории двойственности конусов.—Сиб. мат.журн.—1982.—Т 23, № 1-С. 32−43.

22. Демченко К. С. Теоремы о неподвижной точки отображения и равновесие в экономических системах,—Воронеж: Вестник ВГУ.—2001.—№ 2—С. 93−95.

23. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—Москва.: Изд-во «Наука» -1977.-742 с.

24. Канюрович JI. В., Вулих В. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—Москва.: Гостехиздат.—1950.—548 с.

25. Корнейчук Н. П. Эксремальные задачи теории приближения.—Москва.: Изд-во «Наука» .—1976.—320 с.

26. Коробова К. В О геометрии регулярных круглых конусов в пространствахи /i-Влад. мат. журн.-2003.-Т. 5, № З.-С. 46−50.

27. Коробова К. В. Геометрические свойства пространства /", упорядоченного произвольным регулярным круглым конусом,—Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР» .—2004.—С. 118.

28. Коробова К. В. Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве /" .—Труды мол. ученых.—2005.—Вып.1—С. 11−24.

29. Коробова К. В. Регулярные круглые конусы в пространствах ограниченных и непрерывных функций.—Вестник Тамбовск. универ-та.—2006,—Т. 11, Вып З.-С. 278−280.

30. Коробова К. В., Худалов В. Т. О порядковой структуре абстрактного спин-фактора.-Влад. мат. журн.-2004.-Т. 6, № 1.-С. 46−57.

31. Коробова К. В., Худалов В. Т. О регулярных конусах Демарра-Красносельского .—Влад. мат. журн.—2006.—Т. 8, № 2—С. 39−44.

32. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений.— Москва.:Физматгиз—1962.—394 с.

33. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. И. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов.—М:Наука, 1985.—255 с.

34. Крсйн М. Г. Основные свойства нормальных конических множеств в пространствах Банаха.—ДАН СССР, 1940.-ДО 4.-С. 13−17.

35. Кубекова Б. С. Приближенные решения операторных уравнений с монотонными операторами в пространствах с двумя полуупорядоченностями.— ННГУ, 2001.-20 с.

36. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. II.-Новосибирск: Наука, 2003.-372 с.

37. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

38. Макаров В. JJ., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия—М.: Наука, 1973.—336 с.

39. Стеценко В. Я., Галкина В. А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.-145 с.

40. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.—Москва.:ДАН СССР, 1960.-81−120 с.

41. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.— Владикавказ: Иристон, 1999,—200 с.

42. Худалов В. Т. Регулярные конусы в гильбертовом пространстве.— Сиб.мат.журн., 1996.—Т 371.-С. 193−196.

43. Худалов В. Т. В гильбертовом пространстве регулярность конуса равносильна самосопряженности.—Матем. заметки., 1998.—Т 64— Вып. 4.—С. 616−621.

44. Худалов В. Т. Аппроксимативные свойства положительной и отрицательной частей элемента в упорядоченных банаховых пространствах.—Мат. заметки. 1996.—Вып. 5.-С. 793−798.

45. Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—359 с.

46. Эпеева Лейл, а М. О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств .—Влад. мат. журн,—1999.—'Т 1, № 4, — С. 55 -59.

47. Aliprantis C. D., Burkinshaw 0. Locally solid Riesz spaces.—New York ets.: Acad. press, 1978.-xii.-198 p.

48. Aliprantis C. D., Burkinshaw 0. Positive operators.—New York: Acad. press, 1985.-xvi.-367 p.

49. Ando T. On fundamental properties of a Banach space with a cone.—Pacific J. of Math., 1962.-12.-P. 1163−1193.

50. Da vies E. B. The structure and ideal theoy of the predual of a Banach lattice.— Trans.Amer.Math.Soc., 1968.-V 131.—P. 544−555.

51. DeMarr R. E. Order convergence in linear topological spaces.—Pacific J. of Math., 1964.-MP. 17−20.

52. Jameson G. J. 0. Ordered linear spaces.—Berlin ets.: Springer, 1970.—194 p.— (Lecture Notes in Math.- 141).

53. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V.2. Function spacesBerlin ets.: Springer, 1979;x, 243 p.

54. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces.—Berlin ets.: Springer, 1973.

55. Meyer-Nieberg P. Banach lattices.—Berlin ets.: Springer, 1991.

56. Peressini A. I. Ordered topological vector spaces.—New York: Harper&Rovv, 1967.-228 p.

57. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner, 1984.—208 p.

58. Wong Y.-Ch., Ng K.-F. Partially ordered topological vector spaces.—Oxford: Clarendon press, 1973.-217 p.

59. Zaanen A. C. Riesz spaces. V/2—Amsterdam ets.: North-Holland, 1983.-720 p.