О степенях неприводимых характеров конечных групп

Теория характеров, наравне с теорией представлений, является одним из классических объектов современной теории групп. Большое число результатов теории конечных групп, связанных с простотой или разрешимостью, получено при помощи теории характеров. Построенная в 1896—1899 гг. г. Фробениусом, до 60-х годов теория характеров использовалась лишь как вспомогательный инструмент теории групп. Значительное развитие этой теории связано с начавшимся в 60-х годах интенсивным исследованием конечных простых групп и их классификацией. Примерно в это же время начинается изучение классов групп, значения обыкновенных характеров которых удовлетворяют тем или иным ограничениям. В наиболее общем виде задача формулируется следующим образом: описать строение конечной группы, если известна таблица характеров этой группы или некоторая ее часть. При этом можно выделить следующие основные направления:

— характеризация групп их таблицами характеров;

— изучение влияния степеней неприводимых характеров на строение группы;

— изучение нулей и единиц неприводимых характеров групп;

— характеризация групп линейными соотношениями между значениями характеров;

— изучение активных фрагментов таблиц характеров;

— изучение свойств представлений и характеров конкретных групп.

Остановимся подробно на изучении влияния степеней неприводимых характеров на строение группы. Следует отметить, что в общем случае степени неприводимых характеров несут довольно скудную информацию о строении группы. Поэтому, как правило, изучаются группы, степени неприводимых характеров которых обладают теми или иными экстремальными свойствами.

Впервые подобные исследования были начаты в конце 60-х годов в работах Зейца, Айзекса и Пассмана. Зейц в 1968 г. определил группы, имеющие единственный неприводимый нелинейный характер [37]. Такими группами являются либо группы порядка 2к (к — нечетное), коммутант которых совпадает с центром и имеет порядок 2, либо группы преобразований х —"• ах + Ъ конечного поля Айзеке в 1969 г. доказал, что конечные группы, степени неприводимых характеров которых принимают не более трех различных значений, разрешимы и ступень их разрешимости не превосходит трех [29]. В связи с этим возникает задача исследования групп, имеющих небольшое число степеней неприводимых характеров. Группы, все степени характеров которых равны 1 давно известны — это абелевы группы. Первая попытка классифицировать группы, имеющие ровно две степени неприводимых характеров, была предпринята Айзексом и Пас-сманом в работе [31]. Пусть сс1(Сг) обозначает множество степеней неприводимых характеров группы С. Исследуя группы с условием сс1((7) = {1,с?}, Айзеке и Пассман практически сразу сводят ситуацию к случаю с1 = ра и группам с неабелевой си-ловской р—подгруппой, а затем к р—группам и в дальнейшем довольно подробно их изучают. Однако, ненильпотентные группы с условием сс1© = {1,^} так и оставались окончательно неисследованными. Данное исследование было проведено автором и изложено в первой главе диссертации.

Классификация групп, имеющих ровно три степени неприводимых характеров до сих пор не получена. Однако можно указать целые классы групп, имеющих не более трех степеней неприводимых характеров. Один из таких классов изучается в третьей главе диссертации. А именно, в этой главе найдены степени неприводимых характеров 2-групп Судзуки и их обобщений. Приведем соответствующие определения. Пусть GF (q), q = 2m, т > 1 — конечное поле, а 9 — его автоморфизм порядка к для некоторого делителя к > 1 числа т. 2-группа Судзуки А (т, 9) — это множество упорядоченных пар элементов из GF (q) с операцией (а, Ъ) (с, d) = (а + с, b + d + c9(a)) для любых а, 6, с, d? GF (q). Заменяя в определении 2-групп Судзуки поле GF (2m) на произвольное конечное поле F = GF (pm), мы получим естественное обобщение этих групп. Полученные группы обозначаются через Ар (т, 9). Впервые 2-группы Судзуки введены в рассмотрение Хигманом, а полную информацию об этих группах можно получить из монографии Хупперта и Блэкберна ([28], гл. VIII). Как оказалось, группы Ар (тув) имеют две степени неприводимых характеров при нечетном к и при к = 2, а при четном к > 2 они имеют ровно три степени неприводимых характеров.

Отдельно остановимся на степенях монолитических характеров конечных групп. Напомним, что характер х группы G называется монолитическим, если х неприводим и группа G/ Кег (х) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу (т.е. является монолитом). Пусть Irrm (G) обозначает множество всех монолитических характеров группы G. Из определения следует, что 1 g? lrrm (G), а поэтому множество lvrm (G) не пусто. Первое систематическое исследование монолитических характеров было предпринято Берковичем и Жмудем [15, 16]. Как оказалось, мо-нолитические характеры тесно связаны со структурой группы и целый ряд классических результатов, касающихся характеров конечных групп практически без изменений переносится на мо-нолитические характеры. В продолжение исследования групп, имеющих небольшое число степеней неприводимых характеров, автором получено описание групп, имеющих ровно две степени монолитических характеров. Соответствующий результат изложен во второй главе диссертации.

Наименее изученным является влияние степеней неприводимых характеров на строение М—групп. Напомним, что неприводимый характер х группы (т называется мономиальным, если он индуцируется с линейного характера некоторой подгруппы Н группы (7. Группа, все неприводимые характеры которой мономиальны, называется М—группой. Такетой было доказано, что М—группы разрешимы (см. [24]). С другой стороны, общая теоретико-групповая характеризация М—групп вряд ли возможна, поскольку, как было показано Дэйдом [27], II.8.27, всякая разрешимая группа вкладывается в М—группу той же производной длины. Несмотря на это М—группы продолжют привлекать внимание исследователей, однако, на первый план выходит задача выяснения являются ли М—группами те или иные подгруппы М—групп. Наиболее значительные результаты в этом направлении связаны с холловскими и нормальными подгруппами М—групп. Дорнхофф доказал, что нормальная холловская подгруппа М—группы сама является М—группой. Наибольший интерес вызвало изучение нормальных подгрупп М—групп. Дэйдом [21] и независимо ван дер Ваалом [42] были построены М—группы, имеющие немономиальную подгруппу четного порядка и индекса 2. Вопрос о существовании немономиальных нормальных подгрупп нечетного порядка или индекса открыт до сих пор. Отметим, что ряд критериев мономиальности нормальных и холловых подгрупп был получен Чубаровым [11].

Несмотря на такой большой интерес, влияние степеней неприводимых характеров на строение М—групп пока изучено недостаточно. В четвертой главе диссертации доказана разрешимость групп, степени немономиальных характеров — простые числа. Отметим также, что это исследование отчасти пересекается с уже цитированной статьей Айзекса и Пассмана [31], в которой, среди прочих вопросов, описаны конечные группы, степени неприводимых характеров которых — простые числа.

Кроме указанного выше изучения М—групп представляет интерес исследование конкретных неприводимых характеров конкретных групп и выяснение являются ли они мономиальными. Отметим в этом отношении работу Чубарова [12], в которой выясняется в каких случаях характер Стейнберга конечной группы Шевалле является мономиальным. В этой же работе найдены все группы Шевалле над полем характеристики р, имеющие р' —холлову подгруппу. Автором найдены все простые группы лиева типа над полем характеристики р, имеющие подгруппу, индекс которой равен удвоенному порядку р—силовской. Этот результат изложен в пятой главе диссертации.

Наконец, последняя глава диссертации посвящена изучению одной аналогии между свойствами порядков классов сопряженных элементов конечных групп и свойствами степеней неприводимых характеров. Дуализм между арифметическими свойствами степеней неприводимых (комплексных) характеров конечных групп и свойствами порядков классов сопряженных элементов указанных групп осознан довольно-таки давно. Впервые в явном виде он отмечен в знаменитой работе Брауэра и Фаулера [18] и нашел отражение в программе исследований, выдвинутой Хуппертом и успешно реализованной немецкими математиками в последние 20 лет. Несмотря на серьезные достижения в этой области, в целом картина остается неясной, а потому открытие новых фактов, касающихся упомянутого дуализма, представляется неизбежным и желательным.

Один из фундаментальных результатов Р. Брауэра, давших толчок программе характеризации конечных простых групп, -теорема о существовании в конечной группе С такого элемента что |Сг| < |Сс (£)|3. Аналогичное свойство с заменой порядка централизатора элемента на степень неприводимого комплексного характера, вообще говоря неверно. Однако, Л. С. Казариным и автором доказано, что у любой простой неабелевой группы О существует такой неприводимый комплексный характер что о х (1) • Для конечных простых групп лиева типа и для спорадических простых групп (за исключением М22) получено более сильное утверждение. А именно, если G — конечная простая не-абелева группа лиева типа или одна из 26 спорадических простых групп, отличная от группы М22, то существуют три таких комплексных неприводимых характера этой группы, что |Сг| делит произведение их степеней. К сожалению, для знакопеременных групп последнее утверждение неверно. Для групп А*? и необходимо по крайней мере четыре неприводимых характера.

Напомним, что графом простых чисел группы? называется граф с множеством вершин 7 г (Сг), причем вершины г и 5 соединены ребром тогда и только тогда, когда содержит элемент порядка гв. Уильяме получил описание простых чисел в каждой связной компоненте графа простых чисел для групп Шевалле над полем нечетной характеристики [45]. В частности, им доказано, что для этих групп количество компонент связности графа простых чисел не превосходит пяти. Ряд результатов в этом направлении получен Кондратьевым (см. [6, 7]). По аналогии с графом простых чисел для групп можно ввести в рассмотрение граф простых чисел относительно степеней неприводимых характеров группы — граф со множеством вершин 7 г (Ст), причем вершины г и § соединены ребром если и только если группа (7 имеет неприводимый характер, степень которого делится на г в. Как следует из приведенного выше результата, граф простых чисел относительно степеней неприводимых характеров простых групп лиева типа имеет не более трех компонент связности. Нетрудно проверить, что графы простых чисел относительно степеней неприводимых характеров спорадических простых групп являются связными.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В данном разделе охарактеризовано содержание диссертации по главам.

В главе I изучаются ненильпотентные группы, имеющие ровно две степени неприводимых характеров. Основной результат этой главы следующая теорема.

Теорема А. Если G — конечная ненилъпотентная группа, то | cd (G)| = 2 тогда и только тогда, когда G принадлежит одному из следующих классов групп:

1. G — НК, где Н и К — абелевы холловы, G/Z (G) — группа Фробениуса с ядром Н/Н П Z (G) и дополнением К/К П Z (G);

2. G — НК, где Н — абелева, К — р— группа, (|ЬГ|, К) = 1, Сн{К) ф Н и G имеет абелеву нормальную подгруппу индекса р (т.е. cd (G) = {1, р}).

Доказательство можно формально разделить на три части. В первой части, используя лемму Томпсона [40], найден общий вид указанных групп (Лемма 1.2). А именно, доказано, что если не-нильпотентная группа G имеет ровно две степени неприводимых характеров 1 и d, то она является полупрямым произведением холловых подгрупп Н и К с нормальной подгруппой Н. Причем, Н абелева, а группа К либо абелева с п (К) = 7 Г (d), либо неабеле-ва р—группа и d =. В оставшихся двух частях получившиеся группы исследуются по отдельности.

Для краткости, группы имеющие две степени неприводимых характеров и являющиеся полупрямым произведением абелевых холловых подгрупп названы Е—группами. Установлено (Лемма 1.3), что для полупрямого произведения G = Н К абелевых групп Я и К множество степеней неприводимых характеров совпадает с множеством длин G—орбит линейных характеров подгруппы Я. Отсюда, в частности, следует, что для Е—группы G = Я X К длины G—орбит линейных характеров подгруппы Я принимают только два значения 1 и i Далее, как известно, множество Irr (i^) абелевой группы Я само является группой, изоморфной Я. Причем, если Я =< h > х. х < 1гп >, то Irr (Я) =< ф1 > х. х < фп >, где фг¹. = ес{1 и ег- - первообразный корень степени h{ из 1. Можно показать (Теорема 1.1), что если G = Я X К — полупрямое произведение абелевых холловых подгрупп, тд — произвольный изоморфизм между Я и Irr (iT), то для любого h 6 Я выполняется Ск (к) = /a'(t#(/z)). В приложении к Е—группе G с тривиальным центром это означает следующее: если удастся доказать, что для любого характера ф G 1гг (Я){1я} его группа инерции 1к{Ф) тривиальна, то для любого элемента h Е Я{1} будет выполняться Cx{h) = 1, а потому группа G будет группой Фробениуса с ядром Я. Это доказательство представлено в лемме 1.7. Случай Е—групп с произвольным центром рассмотрен в теореме 1.2.

Для группы G = Я X К с неабелевой р—группой К и условием cd (G) = сразу устанавливается (Теорема 1.3), что G" = 1. Далее, так как Я — абелева и (|Я|, К) = 1, то Я = СН (К) х [Я, Я], а G = СН (К) х ([Я, К] X К). В силу того, что прямой абелев множитель не влияет на множество степеней неприводимых характеров группы, можно считать, что С и (К) = 1. Группа G = Я X К, где Я — абелева, К — неабелева р—группа названа Е—группой, если (|Я|, К) = 1, cd (G) = {1, d} и С#(Я) = 1.

Так как G" = 1, то К' нормальна в G, а тогда G/K' - Е—группа. В частности отсюда следует, что G/Ck (H) — группа Фробениуса с ядром Я и циклическим дополнением аСк (Н), ap? Е.

Сц-(Н). Учитывая эту информацию в лемме 1.9 доказано, что Ск{Н) абелева группа, а в лемме 1.10, что любой нелинейный неприводимый характер группы G индуцируется с некоторого характера группы Н х Ск{Н). После этого (Лемма 1.11) при помощи изучения минимального контрпримера доказано, что индекс подгруппы П х Ск{Н) в группе G равен р и группа G имеет абелеву нормальную подгруппу индекса р.

В главе II найдены необходимые и достаточные условия того, что конечная группа имеет ровно две степени монолитических характеров. Основной результат главы II составляют следующие теоремы.

Теорема В. Пусть G — Н X К, где НУК — абелевы холловы, cdm (G) ={l, d} U7i (d) =тг (|Я" |). Тогда i) Н = (Н Г) Z (G)) х Qi х. х Qs, где Qi — нормальные го-моциклические, а 171 {Qi) ~ минимальные нормальные подгруппы.

Gii) QiK/Cx{Qi) ~ группа Фробениуса, ядро которой равно QiGR'(Qi)/Cn'(Qi) = Qi, а дополнение К/Ck{Qi) циклическое порядка d (1 < s)..

Если G = Н X К, где Н, К — абелевы холловы и выполнены условия (i)-(ii), то cdra (G) =.

Теорема С. Пусть G = Н X К, где Н — абелева, К — неабелева р—группа, (Н, К) = 1 и Сн (К) / 1. |cdm (G)| = 2 тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: i) cd (K) = {l, p"}- ii) G" = 1- iii) H = (H П Z (G)) x Qi x. x Qs, где Qi — нормальные го-моциклические, a Qi (Qi) — минимальные нормальные подгруппы.

Giv) QiK/Cn'iQi) ~ группа Фробениуса, ядро которой равно QiCic (Qi)/CK (Qi) — Qi} а дополнение K/C^iQi) циклическое порядка ра (1 < i < s)..

Общее исследование групп с двумя степенями монолитиче-ских характеров, также как и в главе I, начинается с их классификации. Также как и в случае групп, имеющих две степени обыкновенных характеров, ненильпотентная группа, имеющая две степени монолитических характеров 1 и с/, является полупрямым произведением холловых подгрупп Н и К с нормальной подгруппой Н. Причем, Н абелева, а группа К либо абелева с 7 г (К) = 7 г (с2), либо неабелева р—группа и (1 = (Лемма 2.2). В дальнейшем эти две ситуации исследуются по отдельности..

Если сс1то (?г) = и группа С — полупрямое произведение абелевых холловых подгрупп Н и К) то Н = (Н П ^((7)) х $ 1 х. х <2,-, где — нормальные гомоциклические, а ^Юг) ~ минимальные нормальные подгруппы (7. В этом случае нетрудно показать, что группы (??К/Ск{Я{) являются группами Фробе-ниуса с ядрами (??Ск (Яг)/Ск (Я{) — Яг и циклическими дополнениями К/Ск{Ят) порядка (1. Как оказалось эти условия являются и достаточными. Для доказательство изучаются свойства минимального контрпримера. А именно, если (7 — минимальный контрпример к этой гипотезе, то сначала устанавливается, что кроме 1 и б? группа (7 имеет еще одну степень монолитических характеров и она равна К. На основании этой информации получается противоречие..

В случае, когда — полупрямое произведение абелевой группы Н и неабелевой р—группы К сначала устанавливается, что С — 1 (Лемма 2.3). Отсюда следует, что К' < Ск (Н) и нормальна в Тогда О/К' - полупрямое произведение абелевых холловых подгрупп и проблема сводится к уже рассмотренному случаю. В итоге к условиям, перечисленным для полупрямых произведений абелевых групп, в случае неабелевой группы К добавляются следующмие: О" = 1 и сс1(.ЙГ) = {1,ра}..

В конце главы отмечается, что в отличие от групп, имеющих ровно две степени неприводимых характеров, существуют группы, имеющие две степени монолитических характеров, такие, что С? = Н X К, К — неабелева р—группа и с<1т (Сг) = {1, ра} с, а > 1..

В главе III изучаются степени неприводимых характеров 2-групп Судзуки и их обобщений на случай произвольного простого числа р. Основной результат главы III составляет следующая теорема..

Теорема О. Если Сг = Ар (т, 9) — р— группа порядка д27 где т > 1 — целое, д = рт, 6 — автоморфизм поля Ст-Р^) порядка к > 1 (т/к — ть), то выполнено одно из следующих утверждений: тп — п г) Если к нечетно, то сс!© = 2 }.

И) Если к = 2, то сс1(Сг) =.

Ш) Если к четно и к ф 2, то сс!© = {1,р~2 п}7 причем Ь имеет рП+1 Р характеров степени р 2 и рП+1Р характеров — п степени р 2.

Следует отметить, что при р — 2 и нечетном к результат получен в работе [26]..

В пункте 1 главы III устанавливаются некоторые общие результаты, касающиеся строения изучаемых групп. В частности, в лемме 3.1 доказано, что Z (G) = {(0,6) | Ъ? Ст^(д)}, а к{0) = +рт — рп. Кроме того, в этом же пункте вводится крайне важное для всего исследования семейство автоморфизмов ф группы Ар (т, 6). Если, А Е то автоморфизм ф определяется следующим образом: ф (а, Ь) = (Аа, Хв (Х)Ь) для любых а, Ь Е Дальнейшее изучение степеней неприводимых характеров групп Ар (т, 6) практически сводится к изучению действия автоморфизмов ф на элементах, подгруппах и неприводимых характерах этих групп. При этом случаи р = 2 и р > 2 изучаются отдельно..

Основная идея доказательства состоит в следующем. Так как для любого неприводимого характера % группы О группа.

Z{G? Кег (х)) циклическая, а центр группы Ар (т, в) — элементарная абелева группа порядка то для любого характера группы G = Ар (т>6) выполняется ZiGf): П Кег (х)| = р. Отсюда и из определения групп Ар (т70) можно показать (Леммы 3.6, 3.10), что |сс1(?/^о)| — 2 для любой подгруппы Zo < Z (G) индекса р, не содержащей &. Так как для любого Л Е выполняется = G|Z$xi то 1гг (?Д0) = 1гг (?/^Л) и группа в имеет достаточно много характеров одинаковых степеней. Таким образом задача изучения степеней неприводимых характеров групп G = Ар (т, в) сводится к исследованию действия автоморфизмов ф на подгруппах индекса р центра группы G, не содержащих коммутант. В случае автоморфизма 9 нечетного порядка доказательство теоремы Б почти автоматически следует из этих рассуждений, поскольку, как показано в лемме 3.4, при р — 2 имеется ровно одна ф—орбита на множестве, а при р > 2 таких орбит две. Отсюда нетрудно показать (Теоремы 3.1 и 3.4), что на множестве подгрупп индекса р в Z{G) при р = 2 имеется также всего одна ф—орбита (и |сс!((7)| =-2), а при р > 2 таких орбит две (и | сс1(6г)| < 3)..

Если автоморфизм в имеет четный порядок, то ситуация существенно усложняется, поскольку в этом случае на множестве Z{G)^: имеется рп + 1 ф—орбита длины ррП. Кроме того, при к = 2 не обязательно Z{G) = О', а возможно — р 2~. Однако, сначала исследуется случай Z (G) = &. При р = 2 в лемме 3.8 доказано, что множество подгрупп индекса 2 центра группы (7 под действием ф также распадается на 2п + 1 орбиту длины, а множество неглавных неприводимых характеров (7 разбивается на 2п орбиту длины 2Ш — 1 и 2К + 1 орбиту длины 2™+}- Иполь-зуя эту информацию, в теореме 3.2 получено описание степеней неприводимых характеров группы G при четном к > 2. Случай к = 2 рассмотрен в теореме 3.3..

При четном к и р > 2 также сначала исследуется случай.

Z (G) = G/. Так же как и при р = 2 под действием автоморфизма ф неглавные неприводимые характеры О разбиваются на рп орт1 бит длины рт — 1 и рп + 1 орбиту длины рП+1 (Лемма 3.12), в то время как множество всех подгрупп индекса р группы Z (G) под и &bdquo-Г7!.^ действием ф разбивается либо нарп + 1 орбиту длины либо на р орбиту длины ^п^^-д (Лемма 3.13). Таким образом, снова возникает необходимость рассматривать два случая..

Такое исследование проведено в теореме 3.5. Там же, в частно" Рп +1 ее 2(рт-1) сти, доказано, что случаи г 2 орбит длины на мно~ жестве подгрупп индекса р в Z{G) невозможен. Так же как и при р — 2 в теореме 3.6 отдельно рассматривается ситуация, когда к = 2..

Целью главы IV является доказательство разрешимости конечных групп, степени немономиальных характеров которыхпростые числа..

Теорема Е. Если степени немономиальных неприводимых характеров группы С — простые числа, то О разрешима..

Для доказательства этой теоремы изучаются свойства минимального контрпримера О к гипотезе о разрешимости групп указанного вида. Практически сразу устанавливается, что группа С является монолитом, т. е. имеет единственную минимальную нормальную подгруппу ТУ, а фактор-группа О/А/" разрешима. Далее нетрудно показать, что группа G имеет точный немономиаль-ный неприводимый характер хПоскольку степени всех немономиальных неприводимых характеров группы О — простые числа, то х (1) = Р ~ простое. Так как х ~ точный, то х| А^? Ът (.ЛГ), откуда получается, что N — простая группа и порядок р—силовской подгруппы N равен р. Кроме того, в лемме 4.2 установлено, что фактор-группа С/Ы циклическая, вкладывается в ОиЬЫ, а.

Сс (Р) =Р Д^ Ре 8у1р (в)..

Дальнейшее доказательство опирается на классификацию конечных простых групп, согласно которой группа N является либо простои группой лиева типа, либо знакопеременной группой степени п > 5, либо одной из 26 спорадических простых групп. Случай спорадической простой группы N очень легко устраняется, поскольку для последних известны таблицы характеров, а порядок группы внешних автоморфизмов как правило не превышает 2 [14]. Так как порядок р—силовской подгруппы Р группы N равен р и Сс{Р) = Р, то в случае N = Ап для степени п имеется всего три возможности п € {р, р + 1, р + 2}. В этом случае можно в явном виде найти все степени неприводимых характеров А/", которые не делятся на р и выбрать среди них такую, которая является составным числом, но при этом характер такой степени будет сужением на подгруппу N немономиального характера группы С..

Если же N — простая группа лиева типа, то для получения противоречия используются свойства характера Стейнберга St группы N. В основном нам понадобится тот факт, что если группа N определена над полем характеристики р, то 5^(1) = NpОчевидно, характер Стейнберга является сужением на подгруппу N либо мономиального, либо немономиального характера группы G. Если — сужение немономиального характера группы то по условию ?>?(1) = |-ЛГ|р = р, что возможно лишь в случае N = Ь2(р) — Если же — сужение мономиального характера, то можно показать, что группа N имеет р'—холлову подгруппу, а значит ее строение известно [2]. Таким образом, все возможности для группы N исчерпываются, а значит, минимального контрпримера не существует и С разрешима..

В главе V изучаются простые группы лиева типа, имеющие почти р' — холлову подгруппу. А именно, группы, имеющие подгруппу, индекс которой равен удвоенному порядку р—силовской для некоторого простого делителя р порядка группы. Как уже отмечалось во введении И. А. Чубаровым [12] были определены простые группы лиева типа над полем характеристики р, имеющие р'—холлову подгруппу. Независимо Л. С. Казариным [2] были найдены все простые группы, имеющие р'—холлову подгруппу для произвольного простого делителя р порядка группы (такими группами являются Ар, Ьп (д) с д = ½(11), Мц и М23). Основной результат главы составляет следующая теорема..

Теорема Е. Если (7 конечная простая группа лиева типа над полем характеристики р и имеет подгруппу индекса 2|6г|р, то С изоморфна одной из групп Р 31/2(5), РБЬ2(Г1) или РБр^З)..

Как видно из теоремы имеется всего три группы указанного типа и лиевский ранг этих групп не превосходит двух. Доказательство теоремы практически сводится к изучению групп ранга 1 и 2 (Леммы 5.1 и 5.2), поскольку зная строение этих групп общий случай получается при помощи следующего рассуждения. Обозначим через Ь искомую группу индекса 2|Сг|р, а через II — произвольную р—силовскую подгруппу С. Тогда РЦ = 11дЬ = С/2 для любого д? С и? = ЛЬнЛдЬ. Поэтому если Р — параболическая подгруппа группы (2, содержащая II, то либо С = РЬ, либо = РЬиРдЬ. Теперь для доказательства того, что подгрупп лиева типа ранга выше 2, обладающих указанным свойством, не существует, достаточно подходящим образом выбрать подгруппу Р. Выберем Р таким образом, чтобы она содержала всего один сомножитель Леви У ранга 2, отличный от ?>?>4(3) при р — 3. В этом случае, как показано в доказательстве теоремы Р, простая группа У/^(У) имеет либо р'—холловскую подгруппу, либо подгруппу индекса 2У/Z (Y)p, что невозможно по доказанному в лемме 5.2..

Основной результат главы VI составляют следующие теоремы..

Теорема С. Пусть С — простая неабелева группа. Тогда существует такой комплексный неприводимый характер х этой группы, что |(7| меньше х (1)3.

Теорема Н. Пусть 6 г — конечная простая неабелева группа лиева типа или одна из 26 спорадических простых групп, отличная от группы М22- Тогда существуют такие комплексные неприводимые характеры ХъХ2>Хз этой группы, что |6г| делит Х1(1)Х2(1)ХЗ (1)..

Сразу отметим, что группа М22 представляет довольно серьезное исключение, поскольку даже произведение всех различных степеней неприводимых характеров группы М22 не делится на ее порядок. Кроме того, из теоремы Н непосредственно следует, что граф простых чисел относительно степеней неприводимых характеров конечных простых групп лиева типа и спорадических простых групп имеет не более трех компонент связности..

Для краткости утверждение о степенях неприводимых характеров, сформулированное в Теореме Н, названо 3-гипотезой. Как ни странно, 3-гипотеза, вообще говоря, неверна для знакопеременных групп. Контрпримерами являются группы А7 и^13, для которых необходимо иметь по меньшей мере четыре неприводимых характера. Для изучения знакопеременных групп небольшой степени была составлена программа нахождения таких троек характеров, что порядок группы Ап делит произведение степеней этих характеров. Выяснилось, что группы А7 и при п < 30 — единственные исключения из правила. В общем случае неясно, существуют ли другие такие примеры для п > 30..

Очевидно, в случае неабелевых простых групп лиева типа и спорадических простых групп (кроме группы М22) заключение Теоремы С непосредственно следует из Теоремы Н. В случае же знакопеременных групп Ап для доказательства Теоремы в используются диаграммы Юнга. А именно, для каждого п > 5 в явном виде указано такое разбиение числа п в сумму натуральных чисел, что степень неприводимого характера группы Ап, соответствующего этому разбиению, удовлетворяет указанному выше свойству (Леммы 6.4−6.6)..

Так как степени неприводимых обыкновенных характеров спорадических простых групп известны [14], то для проверки 3-гипотезы в этом случае достаточно перебрать всевозможные тройки характеров этих групп и выяснить делится ли их произведение на порядок группы. В пункте 3 главы VI представлен список спорадических простых групп (кроме М22), их порядков и троек степеней неприводимых характеров, удовлетворяющих 3-гипотезе..

Поскольку каждая неабелева простая группа лиева типа G содержит характер Стейнберга степени GP, то для проверки 3-гипотезы достаточно найти два таких неприводимых характера XI и Х2 группы G, что |G|p/|xi (l)X2(l) — Для этого в случае простых групп лиева типа небольшого ранга достаточно воспользоваться таблицами характеров этих групп. Соответствующие результаты приведены в лемме 6.3. Для остальных групп лиева типа, используя теорию Делиня-Люстига, в пункте 1 главы VI в явном виде найдены неприводимые характеры xi и Х2 такие, что.

GVIxi (ite (i)..

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), 6-й конференции молодых ученых ЯгПУ (Ярославль, 1998), VIII Белорусской математической конференции (Минск, 2000), юбилейной научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук на пороге XXI века», посвященной 30-летию ЯрГУ (Ярославль, 2000), Украинском математическом конгрессе (Киев, 2001)..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [46]-[55]..

1. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск, 1990..

2. Казарин Л. С. О произведении конечных групп. ДАН, 1983, том 269, N3, 528−531..

3. Кострикин А. И., Чубаров И. А. Представления конечных групп // Алгебра. Топология. Геометрия., т. 23, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, М., 1985, 119−195..

4. Картер П. Классы сопряженных элементов в группе Вейля // Семинар по алгебраическим группам, М. Мир, 1973, 288−306..

5. Картер Р. У. О теории представлений конечных групп типа Ли над алгебрамчески замкнутым полем характеристики нуль // Современные проблемы математики, т. 77, Итоги Науки и Техники, Алгебра-9, ВИНИТИ, М., 1992, 5−143..

6. Кондратьев A.C. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб., 180, N6, 1989, 787 797..

7. Кондратьев A.C. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук, 1986, 41, N1, 57−96..

8. Старостин А. И. Конечные 2-группы с циклической подгруппой Фраттини // Труды Института математики и механики. Том 3. Екатеринбург: УрО РАН, 1995, 60−64..

9. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. «Мир», Москва, 1975..

10. Супруненко Д. А. Группы матриц. М., Наука, 1972..

11. Чубаров И. А. Мономиальные характеры и подгруппы // Успехи мат. наук, 1978, 33, N3, 191−192..

12. Чубаров И. А. Факторизация конечных групп типа Ли // Мат. методы упр. и обраб. инф., М., 1983, 97−100..

13. Эрдёш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике, М. «Мир», 1976..

14. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of Finite Groups. Clarendon Press, London, 1985..

15. Berkovich Ya. G., Zhmud' E. M. Characters of Finite Groups. Part 1. Translations of Mathematical Monographs, V. 172, N.Y., R.I., 1997, 382 pages..

16. Berkovich Ya. G., Zhmud' E. M. On monolithic characters // Houston J. Math., 22, 2(1996), 263−278..

17. Bloom D.M. The subgroups of PSL (3, q) for odd q // Trans. Amer. Math. Soc., 127(1967), 150−178..

18. Brauer R., Fowler K.A. On groups of even order // Ann. Math., 62, N 3, 1955, 565−583..

19. Carter R.W. Centralizers of semisimple elements in finite classical groups // Proc. London Math. Soc.(3) 42, 1981, 1−41.96.

20. Chang B., Ree R. The characters of C?2(.

21. Dade E.C. Normal subgroups of M—groups need not to be M-groups // Math. Z., 1973, 133, N4, 313−317..

22. Deligne P., Lusztig G. Representations of reductive groups over finite fields // Ann. Math., 103, 1976, 103−161..

23. Deriziois D.I., Michler G.O. Character table and blocs of finite simple triality groups ^D^q) // Trans. Amer. Math. Soc., V.3, N 1, 1987, 39−70..

24. Feit W. Characters of finite groups. W. A. Benjamin Inc., New York Amsterdam, 1967..

25. Gorenstein D. Finite groups. Harper Row, New York-Evanston-London, 1968..

26. Hanaki A. A condition on lengths of conjugacy classes and character degrees // Osaka J. Math., 1996, N33, 207−216..

27. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin, Springer, 1967..

28. Huppert B., Blackburn N. Finite Groups II. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1982. — 454 p..

29. Isaacs I.M. Groups having at most three irreducible character degrees // Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 21, N1, 185−188..

30. Isaacs I.M. Character degrees and derived length of a solvable group // Can. J. Math., 1975, 27, N1, 146−151..

31. Isaacs I.M., Passman D. A characterization of groups in terms of the degrees of their characters II // Pacific J. Math., 1968,24, N3, 467−510..

32. Isaacs I.M., Passman D. Finite groups with small character degrees and large prime divisors II // Pacif. J. Math., 1969, 29, N2, 311−324..

33. Kerber A. Representations of permutation groups I. Lecture Not. in Math., V.240, Springer-Verlag, Berlin, 1970..

34. Liebeck M.W., Praeger C.E., Saxl J. The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. // Amer. Math. Soc., 86, N432, 1990..

35. Liebeck M.W., Saxl J. On the orders of maximal subgroups of the finite exceptional groups of Lie type. // Proc. London Math. Soc., (3), 55 (1987), 299−330..

36. Michler G.O. A Finite Simple Group of Lie Type Has p—Blocks with Different Defects, p / 2. // J. Aljebra, 1986, 104, 220−230..

37. Seitz G.M. Finite groups having only one irreducible representation of degree greater than one // Proc. Amer. Math. Soc., 1968, 19, N2, 459−461..

38. Seitz G.M. Flag-transitive subgroups of Chevalley groups. Ann. of Math., 97(1973), 27−56..

39. Simpson W.A., Frame J.S. The character tables for SL (3,q), S77(3,g2), PSL{3,q), PSU (3, q2) // Canad. J. Math. 25, 1979, 486−494..

40. Thompson J.G. Normal p—complements and irreducible characters //J. Algebra, 1970, V. 14, 129−134..

41. Veldkamp F.D. Regular characters and regular elements. // Commun. Algebra, 1977, 5, 514−589..

42. Waal R.W. van der. Minimal non-M—groups I, II // Proc. Kon. Ned. Acad, wetensch, 1980, A83, N1, 93−106, 107−111..

43. Ward H.N. On Ree’s series of simple groups // Trans. Amer. Math. Soc. 121, 1966, 62−89..

44. Willems W. Blocks of defect zero n finite simple groups of Lie type //J. Algebra, 113, 1988, 511−522..

45. Williams J.S. Prime graph components of finite groups //J. Algebra, 1981, V. 69, N2, 487−513..

46. Казарин JI.С., Сагиров И. А. О степенях неприводимых характеров конечных простых групп. (В печати).

47. Сагиров И. А. О степенях неприводимых характеров конечных групп // Материалы международной математической конференции памяти Д. К. Фаддеева: Тез. докл. конф., Санкт-Петербург, 1997, 272−273..

48. Сагиров И. А. Конечные группы, имеющие ровно две степени неприводимых обыкновенных характеров // Современные проблемы математики и информатики. Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов, Ярославль, 1997, 36−47..

49. Сагиров И. А. Степени неприводимых характеров 2-групп Судзуки // Материалы 6-ой конференции молодых ученых: Тез. докл. конф., Ярославль, 1998, 4.2, 401−403..

50. Сагиров И. А. Конечные группы, имеющие ровно две степени монолитических характеров // Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1998, 213 220..