Интегральные операторы свертки и с однородными ядрами в пространстве ВМО

В диссертации рассматриваются операторы свёртки, Винера-Хопфа и с однородными степени -1 ядрами в пространстве ВМОк, к Е Z± функций с ограниченной средней осцилляцией А—того порядка. Такие операторы имеют многочисленные приложения и хорошо изучены в пространствах суммируемых или гладких функций. Эти исследования по уравнениям типа свертки отражены в монографиях Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского [3], И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана [6], 3. Пресдорфа [22], а по уравнениям с однородными степени -1 ядрами в монографиях JI.F. Михайлова [21], А. П. Солдатова [29]- Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко [16], [34]- И: Б. Симоненко и! Нгок Чинь Минь [30], Р. В. Дудучавы [9], и др. В одномерной теории впространствах Lp, 1 < р < оо, эти классы операторов тесно связаны между собой (с помощью экспоненциальных замен), а* также с сингулярными интегральными операторами (с помощью преобразования Фурьев: случае сверток и преобразования Меллинав случае операторов с однородными степени — Г ядрами). Эти связиприводят к соответствию оператор ядро символ, что позволяет формулировать в терминах символа и его индекса основные свойства операторов, связанные с описанием их спектральных и фредгольмовских свойств. Пространства ВМО уже давно возникли в различных вопросах, связанных с интегральными i операторами. Именно в их терминах, например, описывается образ дробных интегралов и потенциалов Рисса в так называемом предельном случае теоремы Соболева, когда-о- = пр. В терминах принадлежности к BMG описываются классы функций, для которых коммутатор ссингулярным интегральным оператором оказывается компактен и др. Пространства ВМО высших порядков оказываются тесно связанными с пространствами типа Бесова. Различные аспекты, связаные с ВМО пространствами нашли отражение в монографиях A. Torchincky [43]- Дж. Гарнетт [2], Б. С. Кашин, А. А. Саакян.

17], П. Кусис [18] и др., а с ВМОк, А- € N в монографии R.A. De. Vore, R.C. Sharpley [33] и диссертации P.M. Рзаева [26] (см. также [27], [28]).

Заметим, что специальный интегральный оператор с однородным степени -1 ядром, а именно, оператор Харди — Литтлвуда вида.

1 /*Х.

Вf)(x) = - Г f (t)dt, х > О,.

X Jo играющий важную роль в различных вопросах анализа был рассмотрен в работе Б. И. Голубова [5], где была показана его ограниченность в про-станстве ВМО{К) и в то же время там же было отмечено, что сопряженный к нему оператор (В* f)(x) = f (t)j уже не действует в ВМО, а действует в пространстве Re Н1 (см. также [37]-[40], где подобные операторы рассматриваются из весовых Lp в весовое ВМО). Отметим, что для вольтерровских операторов свертки действие из весовых пространств Ьр в весовое ВМО рассматривалось в работах [13]-[15].

Основными объектами, рассматриваемыми в диссертации являются интегральные операторы свертки.

Hf)(x)= f h (x — t) f {t)dt, х G Rn, (0.1).

J rn.

Винера — Хопфа.

•OO.

Hf)(x)= h (x — у) f (y)dy, x >0, (0.2).

Jo и с однородным степени -1 ядром.

Kf (x)= [Ь k (x, y) f (y)dy, xe (a, b). (0.3).

J a.

Для последнего оператора интересны случаи, когда сингулярная точка я- = 0 лежит на границе (случаи отрезка [0,1] или полуоси), либо является внутренней точкой (случаи отрезка [-1,1] или оси).

В диссертации такие операторы рассматриваются в пространстве ВМО, специфические внутренние свойства которых требуют иного подхода, отличного от случая Lp — пространств, даже в вопросах ограниченности, и приводятся результаты об ограниченности, фредгольмовости и обратимости. Интересно отметить, что при переходе к пространству ВМОк, к е N, условия ограниченности зависят от порядка fc, а условия, фредгольмово-сти для свертокте же, что и при к = 0. При изучении фредгольмовости > возникает необходимость в использовании весовых свёрточных колец, с весом имеющим разное поведение на ±-оо. Отметим, что операторы свертки в весовых классах суммируемых функций рассматривались, например, в [3], [7], [8], [11], [23R25], [34] и др.

При рассмотрении интегральных операторов, как свертки, так и с однородными степени -1 ядрами оказалось, что важную роль играют оценки средних значений функций по интервалам в зависимости от самого интервала и его длины. При этом принципиальными моментамиотличными от случая хорошо известных ([19] - [21] (см. также[1], [10], [35] в многомерном случае)) пространств Lp (H), 1 < р < оо, являются дваВо первых, для операторов свёртки и с однородными степени -1 ядрами хорошо оценивается полунорма (так называемая || • ||+), но одного этого недостаточно' и появление дополнительных условий, кроме традиционных условий суммируемости ядрасвязано с оценкой «всей» нормы, что эквивалентно описанию условий локальной интегрируемости (Я f)(x) или (Кf)(x). Во вторых, и: это также важно, здесь мы не можем использовать традиционные связи с операторами свёртки на оси (или Винера-Хопфа на полуоси) ввиду несохранения классов ВМО при экспоненциальных заменах, связывающих подобные операторы. В диссертации приводятся достаточные условия ограниченности интегральных операторов К с однородными степени -1 ядрами в пространствах функций с ограниченной средней осцилляцией на полуоси, на отрезке и на оси. Эти условия оказываются существенно' различны для конечного и бесконечного отрезка и, кроме того, зависят от того будет ли особая точка а- = 0 внутренней или граничной. Кроме того, эти условия ограниченности требуют привлечения более сложных колец, отличных от винеровского кольца, при изучении фредгольмовости. На этом пути удается рассмотреть интегральные операторы вида XI — К на полуоси, отрезке и оси. В последнем случае дополнительная сложность связана ещё с тем, что обычный приём 2×2 матричного растяжения и перехода к системе уравнений на полуоси не обязан сохранять классы В МО. Строится подходящее множество символов, что позволяет изучать обратимость и фредгольмовость А/ — К. Для пространств ВМОк переход к случаю /г > 0 приводит к ряду новых эффектов, что в наибольшей степени проявляется для казалось бы «более простого» интегрального оператора по полуоси, условия разрешимости которого оказываются зависящими от порядка к. Кроме того, в диссертации изучаются некоторые внутренние свойства пространств ВМОк, такие как необходимое условие принадлежностипространству, условия продолжимости с полуоси на ось нулем, чётным, нечётнымобразом и др.

Перейдем к содержанию диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объём работы 148 страниц.

1. Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами: Диссертация— кандидата физ.- мат. наук. — Ростов-н/Д, 1997. -145 с.

2. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.:Мир, 1984. 470 с.

3. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свёртки М-:Наука, 1978. 296 с.

4. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. 316 с.

5. Голубов Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтлвуда в пространствах ReH1 и ВМО. // Матем. сб. 1997. Т.188, № 7. С. 93−106.

6. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

7. Дыбин В. Б., Карапетянц. Н. К. Об интегральных уравнениях типа свертки, в классе обобщенных функций. // Сибирский матем. журнал, 1966. т. УП, № 3. С. 531−545.

8. Дыбим В. Б., Джиргалова С. Б. Оператор дискретной свёртки в пространстве {а, 1 < р < оо. // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Приложение. Математика и механика. № 9. Ростов-н/Д, 2003. С. 3−16.

9. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсим-волами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. Тр. Тбил. Мат. ин-та АН Груз. ССР, 1974, т. 60. 134 с.

10. Карапетянц Н. К. Интегральные операторы свёртки и с однороднымиядрами с переменными коэффициентами: Диссертация доктора физ.матем. наук. Тбилиси, 1989. 296 с.

11. Карапетянц. Н.К. О локальных свойствах решения уравнения Винера-Хопфа. // Изв. Вузов. Математика. 1983. № 4. С. 61−67.

12. Карапетянц Н. К., Гиль А. В. Интегральные операторы с однородными ядрами в пространстве ВМО (R2). // Труды института математики НАН Беларуси. Минск, 2001. Том 9. С. 73−80.

13. Карапетянц Н. К., Гинзбург А. И. Оценки средней осцилляции операторов вольтерровской свертки. // В сб. «Дифференциальные, интегральные уравнения и комплексный анализ». Калмыцкий ун-т, Элиста, 1993. С.57−56.

14. Карапетянц Н. К., Гинзбург А. ИДробные интегралы в предельном случае. // Доклады РАН, 1993. т.333- № 2. С.136−137.

15. Карапетянц Н. К., Рубин Б. С. Локальные свойства дробных интегралов? и пространства ВМО на отрезке вещественной оси. // Ростов-н/Д. Ростов, ун-т, 1985, Рукопись деп. в ВИНИТИ 6.02.1986 г., № 869-В Деп. 43 с.

16. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-н/Д. Изд-во РГУ, 1988. 188 с.

17. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984; 496 с. 18. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984. 364 с.

18. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений. // Math. Nachr.1977. T.76. G. 91−107.

19. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения: к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами- // Труды АН Таджикской ССР. 1963. ТЛ. 180 с.

20. Рзаев Р. М. Интегральные операторы в пространствах, определяемых условиями • на: среднюю осцилляцию функций? и некоторые приложения:. Диссертация доктора физ.- матем. наук. Баку, 1993.

21. I Рзаев Р. М. Многомерный j сингулярный интегральный! оператор в пространствах, определяемых условиями" на среднюю осцилляциюфункций. // ДАН СССР. 1990.' Т. 314, № 3, С. 562−565:.

22. РзаевP.M. Многомерный сингулярный интегральныйоператор в пространствах, определяемых условиями! на среднюю осцилляциюго порядка. // Доклады РАН. 1997. Т. 356, № 5, С. 602−604.

23. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории! функций. М: Высшая-школа- 1991. 208 с.

24. Симоненко И. Б., Чинь Нгок Мннь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных, интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость. Ростов-н/Д. Изд-во РГУ. 1986. с.

25. Харди Г., Литтлвуд Д., Полна Г. Неравенства. М.:ИЛ, 1948. 456"с:

26. Bottcher A., Silberman В. Analysis of Toeplitz Operators. New-York, Berlin: Springer Verlag. 1990. c.

27. De: Vore R.A., Sharpley R.C., Maximal, functions measuring smoothnessMemoirs. AMS., 1984. V.47, № 293, 115 p.34.' Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with involutive operators and their applications. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser. 20 011 427 p.

28. Karapetiants N.K., Samko S.G. Multi-dimensional integral operators with homogeneous kernels. Fractional Calculus & Applied Analysis. 1999. №- 1, V.2. P. 67−96.

29. Karlovich A. I-, Karlovich Yu.I. Compactness, of commutators arising in the Fredholm theory of singular integral operators with shifts. // J. Integral Equations Appl. 15, 2003. № 3, P. 263−320.

30. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications. I. // Journal of Mathematical Analysis and5Applications. 2001; V. 258, P. 629−641.

31. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications II. // Journarof Mathematical Analysis and Applications. 2001. V. 258, P. 642−657.

32. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator, L^, and В MO: 11 J. London Math. 1993. Soc. II, Ser. 48, P. 167−177.

33. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator and the gap between L^ and В MO. // J. London Math. Soc. 1998. II, Ser. 57, P. 196−208.

34. Sarason D. Toeplitz operators with precewise quasicontinuous symbols.// Indiana Univ. Math. J., 1977. v.28, № 5. P. 817−838.

35. Stegenga D.A. Bounded Toeplitz operators on H1 and! applications of duality between H1 and functions of bounded mean oscillation: // Amer J. Math: 1976. P. 573−589.

36. Torchincky A. Real-Variable Methods in Harmonic Analysis. Academic Press, Inc., 1986. V. 123. 468 p.

37. Гиль А. В. Операторы с однороднымядром в пространстве В МОк (R+). // Материалы международного российско-казахского симпозиума: Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. НальчикЭльбрус, 2004. С. 39−40.

38. Гиль. А. В. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО (0, оо). // Тезисы докладов X Международной-конференции: «Математика. Экономика., Образование.» 1 Г Международный симпозиум: Ряды Фурье и их приложения. Ростов-н/Д, 2002. С. 67.

39. Гиль А. В. Интегральные операторы Винера-Хопфа и с суммарным ядром в пространствеВМО. И Ростов-н/Д. Ростовский' ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.02.20 041 № 209-В2004, 35 с.