Вариационные неравенства и экстремальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме

Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. В этой постановке задача сводится к отысканию экстремума некоторого функционала, т. е. к решению экстремальной задачи. Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения, не вызванные физической природой изучаемого явления (рассматривается так называемое обобщенное или слабое решение). Условно вариационные задачи можно разделить на задачи оптимизации (задачи оптимального управления) и задачи, приводящие к вариационным неравенствам.

В механике, физике, экономике часто приходится иметь дело с более общим классом задач, которые также приводят к экстремальным, но на более узком множестве функций, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классических методов вариационного исчисления. Для исследования такого рода задач с ограничениями были привлечены так называемые вариационные неравенства, и это позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению. К этому классу, в частности, относится сформулированная А. А. Ильюшиным вариационная задача теории вязко-пластичности, которая была исследована с помощью неклассического вариационного исчисления П. П. Мосоловым и В. П. Мясниковым.

Значительные результаты, полученные в теории вариационных проблем математической физики в 50−60 годы, привели к бурному развитию этой тематики. Математическое изучение вариационных неравенств было начато в начале 60-х годов работами Г. Фикеры, Ж.-Л.Лионса, Т. Стампаккьи, С. Л. Соболева, С. Г. Михлина, К. Фридрихса, П. П. Мосолова, В. П. Мясникова и др. Ж. Ж. Морро связал теорию вариационных неравенств с выпуклым анализом, и в частности с теорией субдифференцируемости, введя понятие суперпотенциала. Затем была обнаружена связь теории задач на неравенства с теорией максимальных монотонных операторов. Независимо от упомянутых выше авторов, которые рассматривали в основном математические аспекты теории задач на неравенства, Г. Майер ставил и изучал такие задачи в прикладной механике, используя методы оптимизации.

Вариационные неравенства — стационарные и эволюционные — встречаются во многих областях, в частности задачи теории упругости с односторонними краевыми условиями (Синьорини, Фикера, Фремон) и с краевыми условиями, учитывающими трение упругого тела об ограничивающую поверхность (Дю-во, Лионе, Калкер), приводят к эллиптическим вариационным неравенствам, в эволюционном случае — к гиперболическим вариационным неравенствам (Дюво-Лионс). Задачи минимизации с ограничениями возникают в теории упругопла-стических сред (Койтер, Мандель, Прагер) — исследования этих задач с применением метода вариационных неравенств были проведены в работах Брезиса и Сибони, Дюво и Лионса, Леви, Стампаккья, Моро. Вариационные методы в теории вязко-пластических сред были изучены П. П. Мосоловым и В. П. Мясниковым. К стационарным и эволюционным вариационным неравенствам приводят задачи гидродинамики пористых сред (Дюво, Лионе). Эволюционные неравенства возникают в некоторых задачах климатизации. Разнообразные физические явления, в которых валено учитывать одновременное протекание нескольких из упомянутых выше процессов также приводят к неравенствам (Дюво, Лионе, Прагер). К вариационным неравенствам приводят задачи со свободной границей (Байокки, Коминчиоли, Мадженес, Поззи и др.), а также многие задачи оптимального управления.

Вариационные неравенства различных типов также возникают в задачах теории электромагнитного поля в нестабильной среде. Эти задачи приводят к постановкам с нелинейными ограничениями на решение, которые могут быть представлены в виде субдифференциальных определяющих соотношений. Таким образом, задачи на неравенства могут быть описаны также в терминах многозначных операторных уравнений. В частности, это представление оказывается полезным при изучении определенных классов нелинейных задач, связанных с уравнениями Максвелла.

Для уравнений Максвелла впервые постановки задач, приводящие к неравенствам были рассмотрены в работе Г. Дюво и Ж. Лионса [15]. Этими авторами изучались проводящие среды, в которых связь между электрическим полем и плотностью тока варажается классическим законом Ома, т. е. среды с постоянной проводимостью (мы называем такие среды «устойчивыми»). Кроме того, были рассмотрены среды, которые подвержены ионизации под влиянием электрического поля. Проводимость в таких средах резко изменяется при изменении полятакие явления имеют место при пробое конденсаторов или антенн. Эти задачи изучались для нестационарных уравнений Максвелла. «Гибридные» задачи, включающие одновременно две из описанных выше ситуаций, также рассмотрены этими авторами (Дюво, Лионе [16], [17]). В работах [72,73] А. Ю. Чеботаревым изучалась задача о гармонических электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде.

Первая глава работы посвящена теоретическому исследованию класса вариационных неравенств для уравнений Максвелла в гармоническом режиме (стационарные уравнения). Изучаются прямые и обратные краевые задачи для указанных уравнений, возникающие при рассмотрении субдифференциальных определяющих соотношений.

Введение

субдифференциальных определяющих соотношений позволяет рассмотреть широкий класс задач с нелинейными ограничениями на решение. Изучаемый класс краевых задач для дифференциальных уравнений Максвелла включает, как частный случай, классические задачи, а также ряд постановок нелинейных краевых задач. Такие задачи сводятся к решению вариационных неравенств с некоэрцитивными операторами, что не позволяет непосредственно применить общую теорию для исследования корректности. В связи с эти, вопрос о разрешимости таких вариационных неравенств сводится к теореме о неравенствах с псевдомонотонными операторами [43].

В работе доказана корректность класса вариационных неравенств для стационарных электоромагнитных полей. Кроме того, в качестве приложения полученных результатов рассмотрены некоторые примеры, а именно:

1) задача моделирования электромагнитных волн в поляризуемой среде для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Эта задача была исследована в двумерном и одномерном случаях. В двумерном варианте задача моделирования электромагнитных волн была рассмотрена как задача о распространении поперечно-магнитных волн в канале прямоугольного сечения с идеально проводящими стенками. Для этой задачи получен алгоритм численного решения методом итеративной регуляризации [2], который применяется при исследовании некоэрцитивных вариационных неравенств;

2) задача об определении областей постоянной проводимости по пороговым значения поля. Эта задача представляет собой, фактически, задачу со свободной границей, т.к. проводимость среды различна в различных частях рассматриваемой области. Подобласти с различной проводимостью заранее не заданы и определяются в ходе решения задачи.

Исследование субдифференциальных определяющих соотношений также позволяет рассмотреть класс обратных краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

Вторая глава посвящена вопросам разрешимости краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в соболевских классах [54]. Отметим, что краевые задачи рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящих телах, сформулированные как граничные задачи для уравнений Максвелла, изучались в работах Д. Колтона и Р. Кресса [30], [31]. Внешние граничные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме также изучались Кнауффом [29], Вернером [10]. В работе С. И. Смагина [61] рассматривались задачи дифракции электромагнитных волн на локальных неоднородностях, а именно задачи о распространении стационарных электромагнитных колебаний в горизонтально-слоистой среде с однородным включением. В математическом плане эти задачи заключаются в отыскании решения стационарных уравнений Максвелла, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах разрывов параметров сред и условиям излучения на бесконечности. В работах этих авторов исходные задачи сводятся к различным системам интегральных уравнений. Отметим также работу [74], в которой рассмотрена задача дифракции пучка на волнистой периодической поверхности, разделяющей две диэлектрические поверхности. В работе показано существование и единственность решения системы уравнеий Максвелла в гармоническом режиме посредством сведения граничной задачи к системе двух интегральных уравнений Фредгольма. В работе [64] Е. Сомерсало и Д. Исааксон исследовали обратную краевую задачу определения электромагнитных характеристик среды для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в ограниченной области. В этой работе также была изучена корректность прямых краевых задач для однородных уравнений Максвелла в гармоническом режиме в случае различных (электрических и магнитных) граничных условий из пространства Я1//2(Г). В работе [65] тем же автором была рассмотрена обратная задача, в которой электромагнитные характеристики среды определялись по измерению поля вне рассматриваемой области.

Во второй главе настоящей работы изучается корректность прямых краевых задач для стационарных уравнений Максвелла с «гладкими» и «разрывными» граничными данными для ограниченных и неограниченных областей в пространствах Соболева. Основным результатом второй главы является исследование корректности обобщенного решения прямой краевой задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в случае граничных данных из пространства £2(Г). В качестве вспомогательных результатов, использованных в главе 3, также получены теоремы существования и единственности обобщенных решений прямых краевых задач для указанных уравнений в случае граничных данных из Я½(Г) в ограниченной области (этот результат аналогичен результату, полученному в [64]), и в неограниченной области.

Основными этапами исследования корректности данных задач являются введение определения обобщенного решения в каждом из рассматриваемых случаев и вывод априорных оценок решений, на основе которых устанавливается разрешимость изучаемых задач.

Результаты, полученные во второй главе работы, являясь самостоятельными, в свою очередь были положены в основу исследования задач, которым посвящена третья глава.

Задачи, связанные с определением оптимальных электромагнитных характеристик среды приводят к постановкам задач на оптимизацию электромагнитных полей. С математической точки зрения эти задачи представляют собой задачи оптимального управления для уравнений Максвелла.

Одним из первых систематическое изучение задач оптимизации для уравнений с частными производными начал Ж. Л. Лионе в работе [44], где затронут широкий круг вопросов оптимального управления системами с распределенными параметрами. Большое внимание было уделено линейным эллиптическим задачам с квадратичной минимизируемой функцией, решение которых сводится к так называемым односторонним граничным задачам, и задачам эволюционного типа.

Задачи оптимального управления, связанные с уравнениями Максвелла, изучались различными авторами в нестационарном случае. Точное граничное управление для нестационарной системы Максвелла рассматривалось Д. Расселом [57] для круговой цилиндрической области П. К. Кайм [24] исследовала эту задачу для сферической области О, а Д. Лагнез [42] - для произвольной области. Отметим также работы Б. В. Капитонова [25,26], посвященные задаче точного граничного управления для эволюционных систем, в которых, в частности, рассматривается эволюционная система первого порядка — система Максвелла в неоднородной среде. При изучении вопросов управления в этих работах использовался метод, основанный на специальной теореме единственности, предложенный Ж.-Л. Лионсом в работе [47].

Рассмотрение электромагнитных полей в гармоническом режиме приводит к системе эллиптических уравнений для комплекснозначных вектор-функций. Построение теории вариационных задач для такой системы и разработка на ее основе алгоритмов решения нелинейных краевых задач и задач оптимизации представляет теоретический интерес и может иметь интересные приложения.

Третья глава посвящена задачам оптимального граничного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режим, причем управляющей функцией является поверхностная плотность тока. Задача оптимального граничного управления состоит в определении неизвестных граничных значений поверхностной плотности тока, а также соответствующих решений системы уравнений Максвелла по дополнительному условию минимизации некоторого функционала (функции стоимости) [44].

Целью исследований, проводимых в третьей главе, является получение необходимых (или необходимых и достаточных) условий экстремума, а также изучение структуры и свойств соотношений, выражающих эти условия. Эти условия характеризуют оптимальное управление и называются системой оптимальности. В третьей главе получены системы оптимальности для различных экстремальных задач, соответствующих прямым краевым задачам, рассмотренным во второй главе работы.

Таким образом, цель работы заключается в следующем:

1. Теоретическое исследование класса вариационных неравенств для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и приложение полученных результатов к задачам распространения электромагнитных волн в нестабильных средах.

2. Исследование класса субдифференциальных обратных задач для стационарных уравнений Максвелла.

3. Исследование разрешимости краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в соболевских классах.

4. Изучение задачи оптимального граничного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и вывод критерия оптимальности в форме вариационного неравенства (принципа максимума типа Понтрягина).

5. Исследование качественных свойств решений экстремальных задач на основе системы оптимальности.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Доказана корректность класса вариационных неравенств для стационарных электромагнитных полей.

2. Выведено вариационное неравенство и исследованы вопросы корректности для задачи распространения электромагнитных волн в поляризуемой среде, а также для задачи об определении областей постоянной проводимости по пороговым значения поля.

3. Изучена субдифференциальная обратная краевая задача для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

4. Проведены исследования корректности прямых краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в пространствах Соболева в случае граничных данных из пространства £2(Г).

5. Изучена корректность экстремальных задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Выведены системы оптимальности в случае граничного И1!2 — управления для неограниченной и ограниченной областей. Получена система оптимальности в случае граничного Ь2 — управления.

Основными методами исследования являются методы теории вариационных неравенств, функционального анализа, а также методы теории отималь-ного управления, метод галеркинских приближений и априорных оценок. Главным моментом при этом является получение априорных оценок в соболевских классах и вывод на их основе условий разрешимости и единственности краевых задач для уравнений Максвелла, а также обоснование систем оптимальности.

Основные результаты работы представлялись на международной конференции «Математическое моделирование и криптография» (Владивосток, 1995), на 6-ом международном симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Невада, 1995), на 11-ой Всероссийской конференции, памяти К. И. Бабенко, «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Пущино, 1996), на Дальневосточных математических школах-семинарах, имени акад. Е. В. Золотова (Владивосток, 1997, 1998), на семинарах Института прикладной математики ИПМ ДВО РАН, на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (Красноярск, 1997), а также на научном семинаре по дифференциальным уравнениям Хабаровского технического университета (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Зарубин) и др.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [76]-[82], список которых приведен в конце работы.

Заключение

.

В данной работе изучаются вариационные неравенства и экстремальнее задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

Первая глава посвящена теоретическому исследованию класса вариационных неравенств для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и приложение полученных результатов к задачам распространения электромагнитных волн в нестабильных средах. Кроме того, исследован класс субдифференциальных обратных задач для стационарных уравнений Максвелла.

Во второй главе проведено исследование разрешимости краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в соболевских классах.

Третья глава посвящена задачам оптимального граничного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и выводу критерия оптимальности в форме вариационного неравенства (принципа максимума).

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

— Доказана корректность класса вариационных неравенств для стационарных электромагнитных полей.

— Выведено вариационное неравенство и исследованы вопросы корректности для задачи распространения электромагнитных волн в поляризуемой среде, а также для задачи об определении областей постоянной проводимости по пороговым значения поля.

— Изучена субдифференциальная обратная краевая задача для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

— Проведены исследования корректности прямых краевых задач для уравнений Максвелла в гармоничесском режиме в пространствах Соболева.

— Изучена корректность экстремальных задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Выведены системы оптимальности в случае граничного Я½ — управления для неограниченной и ограниченной областей. Получена система оптимальности в случае граничного Ь2 — управления.