Точные представления полугруппы идемпотентов матрицами над полем

Теория представлений полугрупп имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами. Мы даем краткий обзор основных направлений и достижений этой теории, связанных прежде всего с именами Клиффорда, Манна, Понизовского, Окниньского, Путчи.

Началом теории представлений полугрупп следует считать теорию Клиффорда представлений вполне 0-простых полугрупп ([18], также гл. 5 т.1. монографии Клиффорда и Престона). Именно, Клиффорд показал, как, зная все представления структурной группы вполне 0~ простой полугруппы Б, можно построить (с точностью до эквивалентности) все представления Э.

Следующий важный шаг — теорема Манна — Понизовского [23−4,5], дающая критерий полной приводимости всех представлений конечной полугруппы — обобщение известной теоремы Машке. Здесь впервые появился в литературе таинственный класс конечных регулярных полугрупп с квадратными обратимыми структурными матрицами главных факторов (абстрактная характеристика полугрупп этого класса неизвестна до сих пор). Еще в своей кандидатской диссертации Понизовский показал, что к этому классу относятся все конечные инверсные полугруппы (этот факт сейчас выглядит тривиальностью). И лишь сравнительно недавно соединенными усилиями ряда математиков (Фадцеев[15], Манн — устное сообщение, Окниньский и Путча[27], Салва[30], Ковач[22]) были найдены совершенно нетривиальные примеры полугрупп упомянутого класса. Самый интересный из нихполная полугруппа матриц над конечным полем характеристики, отличной от характеристики поля представления. Значительные успехи имеет теория неприводимых представлений полугрупп. Конструкция таких представлений предложена в работах Понизовского[6,8] для конечных полугрупп, и несколько позже независимо Манном[24] для полугрупп с условием минимальности на идеалы. Чуть позже работ Понизовского, но раньше работы Манна появилась статья Хьюета и Зукермана[19], в которой изучаются неприводимые представления полугруппы Тп всех преобразований множества из п элементов: конструкция таких представлений, степени некоторых из них. Понизов-ским[10] исследован вопрос о том, когда неприводимые представления конечной регулярной полугруппы определяются (как модулями) односторонними идеалами соответствующей полу групповой алгебры: условием оказалась упомянутая выше обратимость структурных матриц главных факторов полугруппы. В очень интересной работе Путчи [28] вычислены степени неприводимых представлений полугруппы Тп — завершение аналогичных исследований Хьюета и Зукермана[19].

Изучение неразложимых представлений — основное содержание современной теории представлений конечномерных алгебр над полями. Говорят, что конечномерная алгебра, А над полем К (конечная группа С, конечная полугруппа Э) имеет конечный тип представлений, если существует лишь конечное число попарно неэквивалентных неразложимых представлений А (группы в, полугруппы Б) над К. Критерий конечности типа алгебры указан в работе Бонгартца[17], однако его практически невозможно применить при изучении представлений конкретной алгебры (группы, полугруппы). Это заставляет авторов применять специальные методы в каждом конкретном случае. Классическая теорема Хигмана[20] дает критерий конечности типа представлений конечной группы. Понизовским[8] указан критерий конечности типа представлений конечной коммутативной полугруппы, [9] конечной вполне 0-простой полугруппы в немодулярном случае (последнее означает, что порядки подгрупп рассматриваемой полугруппы не делятся на характеристику поля представления). В работе [12] Пони-зовским показано, что полугруппа Тп в немодулярном случае имеет конечный тип представлений при п < 3. С другой стороны, Путча[28] показал, что (опять-таки в немодулярном случае) полугруппа Тп имеет бесконечный тип представлений при п > 5. Случай полугруппы Т4 остается неразобранным.

Общеизвестна роль характеров в теории представлений конечных групп. Рассматривались и характеры представлений полугрупп. Упомянем две работы. Манн[24] изучает характеры конечной симметрической инверсной полугруппы. Макалистер[29] вводит понятие сопряженности элементов конечной полугруппы (превращающееся в обычную сопряженность элементов в случае, когда полугруппа есть группа). Это отношение оказывается эквивалентностью. Автор доказывает, что число неприводимых комплексных характеров конечной полугруппы равно числу классов отношения сопряженности — обобщение известного факта из теории характеров групп. Отметим, что существует глубокая теория характеров коммутативных полугрупп, построенная Шварцем, Лесохиным и рядом других математиков. Эта теория очень специфична, и ее изложение лежит за пределами нашего обзора.

Рядом авторов изучались представления топологических полугрупп (например [16,21]).

Условия существования точного представления у бесконечной полугруппы почти не рассматривались. Не очень много известно по этому поводу и для групп. Упомянем следующие результаты. Мальцев[3] нашел критерий существования точного представления коммутативной группы. Классическая Вторая Теорема Шура позволяет сформулировать критерий существования точного представления у периодической группы: она должна иметь абелев нормальный делитель Н конечного индекса, а Н должно удовлетворять критерию Мальцева. Другие примеры можно найти в статье Залесского и Михалева[1,стр.38]. Условиям существования точных представлений полугрупп посвящены, по имеющимся у нас сведениям, всего три работы. Все три изучают представления связок. В статьях Сизера[31,32] нет сколько-нибудь общих результатов, а статья Понизовского[11], анноп-сировавшая критерий существования точного представления связки, оказалась дефектной. Перечислим известные позитивные факты. Два из них носят «фольклорный» характер. Просто формулируется критерий существования точного представления у инверсной полугруппы: она должна иметь лишь конечное число идемпотентов, и все ее максимальные подгруппы сами должны иметь точные представления над рассматриваемым полем. Теория Клиффорда[18] позволяет доказать следующее: вполне 0-простая полугруппа Б имеет точное представление над полем К тогда и только тогда, когда ее структурная группа имеет точное представление ] над К, и ] имеет базисное продолжение Г полугруппы в (неважно, будет ли Г точным, нужно лишь, чтобы К было достаточно большим). Отсюда легко следует, что точным представлением над достаточно большим полем обладает, например, вполне простая полугруппа с конечной структурной группой и со структурной матрицей, имеющей лишь конечное число различных строк (столбцов). В частности, имеет точное представление над достаточно большим полем любая прямоугольная полугруппа. Наш пример показывает, что связка из двух прямоугольных полугрупп уже может не иметь точного представления ни над каким полем. Важным для нашей работы является необходимое условие существования точного представления у связки. Именно, из известной теоремы Клиффорда о связках и из того, что полугруппа матриц над полем имеет лишь конечное число регулярных Б-классов (теорема Окниньского[26], для регулярной полугруппы матриц ее ранее доказал Скряго[13]) следует: если связка имеет точное представление, то она есть полурешетка конечного числа прямоугольных полугрупп.

Приведем основные определения, используемые в данной работе.

Пусть 8 — некоторая полугруппа, Мп (К) — полугруппа матриц степени п над полем К.

Определение. Всякий гомоморфизм ¦0:5—" Мп (К) называется матричным представлением полугруппы Б над полем К. Число п называется степенью представления Б.

Определение. Матричное представление полугруппы 8 называется точным, если гомоморфизм ф: 5 —> Мп (К) является инъективным.

Слово «представление» должно наводить на мысль о том, что, когда задано матричное представление, элементы полугруппы можно представить в виде матриц или, говоря иначе, имеет место изоморфизм данной полугруппы с некоторой полугруппой матриц. В тех случаях, когда группа устроена достаточно сложно, такое представление может быть единственным простым способом ее описания.

Это одна из причин, почему вопрос о представлении полугруппы матрицами вызывает интерес.

Определение. Полугруппу, каждый элемент которой является идем-потентом, называют полугруппой идемпотентов, а также связкой.

Определение. Коммутативная связка называется полурешеткой.

Последний термин оправдан тем, что если рассмотреть на полу решетке Б отношение естественного частичного порядка (заданного формулой: е</-ФФ-е-/ = /- е = е), то для любых е, / Е 5 произведение е • / будет равно т/(е, /) — и обратно, если Р — частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную нижнюю грань, то операция, заданная условием, а • Ъ = т/(а, Ь), превращает Р в коммутативную связку.

Простейшие примеры некоммутативных связок доставляют полугруппы левых (правых) нулей, удовлетворяющие, по определению, тождеству х-у = х (х-у — у). Полугруппу левых (правых) нулей называют также левосингулярной (правосингулярной) — полугруппа, являющаяся левосингулярной или правосингулярной, называется сингулярной. Сингулярная полугруппа не только некоммутативна, она обладает следующим свойством «антикоммутативности»: а • Ь / Ь • а для любых различных элементов, а и Ъ. Произвольная полугруппа с указанным свойством, очевидно, является связкой и удовлетворяет тождеству х ¦ у ¦ х — хтакие полугруппы называются прямоугольны-ми (или прямоугольными связками).

Прилагательное «прямоугольная» оправдано следующим утверждением, проясняющим структуру прямоугольных полугрупп: полугруппа Б прямоугольна тогда и только тогда, когда Б изоморфна прямому произведению левосингулярной и правосингулярной полугрупп. Таким образом, элементы Э можно разместить в прямоугольной матрице, строки которой индексированы элементами из Ь, а столбцы — элементами из Ыесли через хц^ обозначить элемент, стоящий в ь той строке и к-том столбце, то закон умножения в Б будет таков: •ЕЦс ' ]1 — •.

Полурешетки и прямоугольные полугруппы представляют собой не только полярные типы связоких важность объясняется, в частности, и особой ролью, которую оба типа играют при описании строения произвольной связки. Эта роль объясняется следующим кардинальным фактом: любая связка полугрупп некоторого семейства ир есть полурешетка прямоугольных связок полугрупп из т. е. ее компоненты могут быть распределены на подсемейства так^ что объединение компонент каждого подсемейства есть прямоугольная связка этих компонент, а исходная полугруппа разложима в полурешетку указанных объединений. В частности, любая полугруппа идемпотентов (будучи связкой одноэлементных полугрупп), разложима в полурешетку прямоугольных полугруппэто разложение единственно, его компоненты называют прямоугольными компонентами.

Цель данной работы — выяснить, имеет ли связка, состоящая из конечного числа прямоугольных компонент, точное матричное представление над полем, и если в общем случае ответ на этот вопрос будет отрицательным, то найти условия наличия у связки точного матричного представления.

Итак, мы будем искать точное матричное представление связки, исходя из того, что связка — это полурешетка прямоугольных полугрупп, а прямоугольная полугруппа изоморфна прямому произведению полугрупп правых и левых нулей, причем будем рассматривать только связки, являющиеся полурешетками конечного числа прямоугольных полугрупп.

Большая часть данной работы будет посвящена изучению связок, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей, затем результат будет распространен на произвольную связку.

Настоящая работа состоит из трех глав, содержащих одиннадцать параграфов. Первая глава посвящена полугруппам преобразований конечного ранга, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей.

В первом параграфе первой главы объясняется, почему мы в дв}гх первых главах данной работы ищем точные представления именно для полугрупп преобразований. Для произвольной связки находится представление полугруппой преобразований, в дальнейшем мы имеем дело именно с данной полугруппой преобразований.

В параграфе 2 первой главы рассматривается связка, являющаяся полурешеткой двух полугрупп правых нулей, Б = Цгде Щ — г=1,2 минимальный идеал в Б. Находится точное представление такой полугруппы.

В параграфе 3 первой главы рассматривается случай, когда 5 = 11 и и Щ, и^ полугруппы правых нулей, Щ, 11 и ?/2, и Щявляются собственными идеалами в полугруппе Я. Также находится точное представление такой полугруппы.

В параграфе 4 первой главы рассматривается случай, когда Б является цепью из трех полугрупп правых нулей. Также указывается-точное матричное представление такой полугруппы.

Очень важными для дальнейшей работы являются предложения 1.2.1., 1.3.1., 1.4.1., которые показывают, из каких элементов состоят полугруппы преобразований рассматриваемых полугрупп.

Для того, чтобы проще можно было найти точные представления матрицами полугрупп в параграфах 2, 3, 4, в предложениях 1.2.2., 1.3.2., 1.4.2. ищется общий вид таких матриц.

Основным результатом данной главы является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.5.3.

Полугруппа Э преобразований конечного ранга, являющаяся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей, имеет точное представление матрицами над любым полем Р, имеющем мощность, не меньшую мощности полугруппы и^Щ — минимальный идеал полугруппы Э).

На семинаре в Санкт-Петербурге Кублановским С. И. была высказана гипотеза о том, что полугруппа, состоящая из преобразований конечного ранга, всегда имеет точное представление матрицами над каким-то полем. Следующее предложение показывает, что данная гипотеза неверна.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6.2. Пусть X — бесконечное множество, Т — подполугруппа (^х — полугруппа преобразований множества X), состоящая из всех элементов ранга, не превосходящего 2. Тогда Т не имеет точного матричного представления над любым полем.

Во второй главе мы от полугрупп преобразований конечного ранга, которые рассматривались в первой главе, перешли к изучению полугрупп преобразований, имеющих бесконечный ранг.

В предложении 2.1.1. первого параграфа этой главы дается необходимое условие, при котором полугруппа Б может иметь точное матричное представление.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1.1. Пусть Б — полугруппа, А — непустое подмножество Б.

Пусть Э имеет точное представление матрицами над полем.

Тогда найдется конечное непустое подмножество М множества А, такое, что для любых а, Ь Е 8 верна импликация (Ух Е М)(ха = хЪ) (Ух Е А)(ха — хЪ).

Как следствие, в том же параграфе этой главы дано достаточное условие, при котором полугруппа не имеет точного представления матрицами.

СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Пусть Б — полугруппа и пусть в Б есть бесконечное подмножество А, такое, что верно: каково бы ни было непустое конечное подмножество М множества А, найдутся а, Ь Е 5, а ф 6, такие, что.

1) ха = хЬ для всех х Е М,.

2) уа ф уЬ для какого — то у Е А.

Тогда Б не имеет точного представления матрицами над полем.

С помощью следствия показано, что некоторые полугруппы, которые мы рассматриваем в данной главе, не имеют точного матричного представления.

Во втором параграфе второй главы дано достаточное условие, при котором полугруппа Э = JRi (Я — это полугруппа преобразований некоторого множества II ранга 1, а Д2 — это полугруппа преобразований бесконечного ранга этого же множества) имеет точное матричное представление над полем. и21. Щп. и2з .).

Здесь II = и С/гь при этом разбиение и на классы одно для всех у Е Яг-ЛЕММА 2.2.1. Если среди классов С/21,С/г",. можно выделить конечное число классов, например, ?/21,., С/2п таких, что.

1,2.

2 = {у Е I У =²¹ • ¦ • • • • ^2″ Щг Е и2г}. Уг2, г'2 Е д2).

Г2 = и21. • и<2,п •. и2 В.

— «21 ¦ • Щп •. и2з. ги21.. и2п.. и2з и'.п. и2п. и'2з. выполняются два условия:

1) если «?21 = «21, •••, Щп = и'2п, то (/5 > п) щ8 = и'2 В,.

2) если (Зз > п) такое, что щ8 = то и21 = п21,., и2п = Цп, то в этом случае Б имеет точное матричное представление над полем Р, таким, что над некоторым своим подполем К, не меньшим по мощности мощности множества и, Р как векторное пространство имеет размерность не меньше п.

В двух первых главах рассматриваются полугруппы, являющиеся полурешетками полугрупп преобразований, где полугруппы преобразований — это полугруппы правых нулей. Такие полугруппы — лишь частный случай связок, поэтому в третьей главе мы перенесем результаты, полученные в первой и второй главе, на более общий случай.

В первом параграфе данной главы мы обобщим результат основной теоремы первой главы на связку, являющуюся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей. То есть от полугрупп преобразований мы перейдем к’произвольным полугруппам.

Основным результатом данного параграфа является теорема 3.1.4.

Пусть 5 = JUi, 1]полугруппы правых нулей. г'=1 т.

Каждому элементу, а Е 8 сопоставим т преобразований р>а (у = 1, т) переводящие в V^ и{0} по правилу:

Ух Е и^: р{(х) = х • а, если х • а Е и^ в противном случае р{{х) = 0.

ТЕОРЕМА 3.1.4. Полугруппа Б, являющаяся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей и такая, что ранги преобразований р> полугрупп 11) конечны, имеет точное матричное представление над полем мощности, не меньшей максимальной из мощностей полугрупп.

Двойственным образом для полугруппы, являющейся полурешеткой полугрупп левых нулей, формулируется теорема 3.1.5.

Во втором параграфе рассматривается связка 5 = явля.

1=1,т ющаяся полурешеткой т прямоугольных связок, с условием: в ней можно выделить подполугруппу, являющуюся полурешеткой т полугрупп правых нулей II = JRi, и подполугруппу, являющуюся г=1, т полурешеткой т полугрупп левых нулей Ь = Ц Ьг. г= 1, ш.

Для каждого ] — 1, т выделим подполугруппы полугруппы Б. Все полугруппы В{, удовлетворяющие условию В^ = гп/(Д-, В^) для некоторого у Е 1, т образуют подполугруппу полугруппы Б с минимальным идеалом ВОбозначим эту подполугруппу В'-.

Затем сопоставим, а Е 5и{0} два преобразования Л^ ¦> Ра* •> Действующее на элементах из Ь^ и{0}, ^ 11{0}.

Ух Е Щ и{0})р^(ж) = ха, если, а Е В^ р$(х) — 0, если, а 0 В'}. Аналогично, (Ух Е Ь^ и{0})Л^'(ж) = ах, если, а Е В'^ А^'(ж) = О, если, а 0 В*у.

Подполугруппу, состоящую из преобразований Л^ будем обозначать подполугруппу, состоящую из преобразований р^ будем обозначать у{0} ТЕОРЕМА 3.2.8.

Пусть полугруппа Б, являющаяся полурешеткой конечного числа прямоугольных полугрупп, удовлетворяет условиям:

1) в каждой прямоугольной полугруппе Д можно выбрать И-класс (обозначим Я{) и Ь-класс (обозначим Ь{) так, что Ь = и Ь{ ,.

1=1,т.

Я = Цявляются подполугруппами полугруппы Эг=1,т.

2) полугруппы преобразований ••¦>^Ях (ЖЬу{о} состоят из преобразований конечного ранга.

Тогда Б имеет точное представление матрицами над полем мощности большей, чем максимальная из мощностей полугрупп 1/г,.

В третьем параграфе строится представление полугруппы, являющейся полурешеткой групп, имеющих представление над некоторым полем и дается условие существования представления полугруппы, являющейся полурешеткой правых связок изоморфных групп.

1. Залесский А. Е., Михалев A.B. Групповые кольца // Современные проблемы математики.- т.2. Москва.- 1973. С.5−118.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т.1,2, — М.: Мир, 1972.

3. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. 8. 1940, — С.405−432.

4. Понизовский И. С. О матричных представлениях конечных ассоциативных систем.— Автореферат канд. дисс.- Л, — 1953.

5. Понизовский И. С. О матричных представлениях ассоциативных систем // Матем. сб. 38 / 80: 2. 1956. С.241−144.

6. Понизовский И. С. О неприводимых матричных представлениях конечных ассоциативных систем // Уч. зап. Кемер, пед. ин-та.-вып.1. 1956. С.245−250.

7. Понизовский И. С. О матричных представлениях конечных полугрупп // УМН т. XIII.- вып. 6 / 84, — 1958. С.139−144.

8. Понизовский И. С. О матричных представлениях конечных коммутативных полугрупп // Сиб.мат.журнал.- т.XI.- 5. 1970.-С.1098−1106.

9. Понизовский И. С. О конечности типа полу групповой алгебры вполне простой полугруппы // Зап.научн.сем.ЛОМИ, 28.-Ленинград, — 1972. С.154−163.

10. Понизовский И. С. О квазифробениусовости полугрупповой алгебры конечной регулярной полугруппы // Сиб.мат.журнал.- т. XI.-6. 1970, — С.1312−1320.

11. Понизовский И. С. О представлениях полугрупп матрицами //XI Симп. по теории колец, алгебр и модулей. Львов.- 1990. Тезисы сообщ.- С. 102.

12. Понизовский И. С. Некоторые примеры полугрупповых колец конечного типа представлений //В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций.- Зап.научн.сем.ЛОМИ.- т. 160. Л.: Наука.-1987, — С.229−238.

13. Скряго A.M. Об одном свойстве матриц // Весщ АНБССР, сер. ф1з-мат.- 5. 1982, — С.32−35.

14. Супруненко Д. А. Группы матриц. М.:Наука, 1972.

15. Фаддеев Д. К. О представлениях полной полугруппы матриц над конечным полем // ДЕНСССР 230. 6. 1976, — С.1290−1293.

16. Шнеперман Л. Б. Конечномерные представления инверсных бикомпактных полугрупп // Сиб.мат.журнал. XI.- Москва.- 1970.-С.668−676.

17. Bongartz К. A criterion for Finite Representation Type // Math. Ann. 269. 1984. Heft 1,12.

18. Clifford A. Matrix representations of completely simple semigroups // Amer.J.Math. 64, — 1942, — P.327−342.

19. Hewitt E., Zuckerman H.S. The irredicible representations of a semigroup related to the symmetric group // Illinois J.Math. 9. 2.-P.188−213.

20. Higman D.G. Indecompasable representations at characteristic p. // Duke Math.J.- 21, — 1954, — P.377−381.

21. Hofmann K.H., Skryago A.M. Finite Dimensional Representations of Compact Regular Semigroups // Semigroup Forum.- 28. 1984.-R199−234.

22. Kovacs L.G. Semigroup algebra of the full matrix semigroup over a finite field // Proc.AMS.- 116. 1992, — 4. P.911−919.

23. Munn W.D. On semigroup algebras. Proc. Cambridge Phil.Soc. // 51, — 1. 1955. P. l-15.

24. Munn W.D. The characters of the symmetric inverse semigroup // Proc. Cambridge Phil.Soc.- 53.-1. 1957. P.13−18.

25. Munn W.D. Irreducible matrix representations of semigroups // Quart.J.Math. 11, — 44, — I960. P295−309.

26. Okninski J. Linear representations of semigroups // Monoids and Semigroups with Applications, Proc. Bercley Workshop on Monoids.-1991, P.257−277.

27. Okninski J., Putcha Mohan S. Complex representations of matrix semigroups // Trans.AMS.- v.323. 2. 1991. P.563−581.

28. Putcha Mohan S. Complex Representations of Finite Monoids // Proc.Lond.Math.Soc.(3) 73.-3.-1996. P.623−641.

29. McAlister D.B. Characters of finite semigroups// J. Algebra 22. 1.-1972.-P.183−200.

30. Salva A. Representations of monoids arising from finite groups of Lie type // Trans. AMS 348.-7.-1996, — P.2931−2945.

31. Sieser Walter S. Representations of semigroups of idempotent // Czechoslovak Math.J.30(105).- 1980. 3. P.369−375.

32. Sieser Walter S. Representations of group and semigroup actions // Czechoslovak Math.J.34(109).-1.-1984, P.84−91.