Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений

Диссертация: Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

С 1970;1980;х годов эта тематика приобретает еще большую актуальность. В ней начинают рассматриваться существенно более общие задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, ме-роморфными с локализованными особенностями) однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. При этом аппроксимация рассматривается в метриках классических… Читать ещё >

Содержание

  • Введение
  • Постановка задач
  • Обзор содержания диссертации
  • 1. Ст-приближение функций полиномиальными решениями общих эллиптических уравнений
    • 1. 1. Пространства функций класса Ст
    • 1. 2. Основные результаты и их следствия
    • 1. 3. Свойства L-аналитических функций. Локализационный оператор Витушкина для L
    • 1. 4. Доказательства теорем 1.1, 1.2 и 1
    • 1. 5. Задача 2.1 при L = дп, п ^ 2, т = п
  • 2. Множества Каратеодори и их свойства
    • 2. 1. Введение
    • 2. 2. Области Каратеодори и конформные отображения
    • 2. 3. О мерах, ортогональных к пространствам рациональных функций
    • 2. 4. Компакты Каратеодори и теорема Вермера о максимальности
    • 2. 5. Области Каратеодори и теорема Рудина об обращении принципа максимума модуля
  • 3. Равномерная аппроксимация полианалитическими многочленами
    • 3. 1. Введение и анализ задачи
    • 3. 2. Понятие неванлинновской области
    • 3. 3. Аппроксимация на компактах Каратеодори
    • 3. 4. Аппроксимация на компактах, не являющихся компактами Каратеодори
    • 3. 5. Зависимость условий приближаемости функций полианалитическими многочленами от порядка полианалитичности
    • 3. 6. Аппроксимация на границах квадратурных областей
  • 4. Неванлинновские области и их свойства
    • 4. 1. «Жесткость» понятия неванлинновской области
    • 4. 2. Неванлинновские области и конформные отображения
    • 4. 3. Неванлинновские области и однолистные функции в модельных подпространствах
    • 4. 4. О регулярности границ неванлинновских областей
    • 4. 5. Неванлинновские области в других аппроксимационных задачах
    • 4. 6. /с-Неванлинновские области
  • 5. Дополнение
    • 5. 1. Аппроксимация функций бианалитическими многочленами и 2 д -задача Дирихле

Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Теория аппроксимации функций аналитическими функциями (голоморфными, гармоническими, полианалитическими и др.) и многочленами в нормах классических пространств функций (равномерной, Ст, т > О, V, р ^ 1, и др.) на замкнутых подмножествах в N > 1, представляет собой сложившееся и актуальное направление в комплексном анализе.

Хорошо известны классические результаты М. В. Келдыша, Ж. Дсни и М. А. Лаврентьева о равномерных гармонических аппроксимациях на компактах в (1940;е годы), С. Н. Мергеляна (1952 г.) и А. Г. Витушкина (1967 г.) о полиномиальных и рациональных аппроксимациях голоморфными функциями на плоских компактах.

Ряд интересных и важный результатов о равномерной приближаемое&tradeфункций многочленами и рациональными функциями комплексного переменного были получены в 1940;1980;х годах в работах II. У. Аракеляпа, Е. Бишопа, Д. Всрмсра, Т. Гамелина, Д. Гарнетта, И. Гликсберга, А. Гли-сона, А. А. Гончара, К. Гофмана, Е. П. Долженко, П. Кертиса, М. С. Мельникова, А. Рот, У. Рудина, Д. Уолша, В. П. Хавина и др.

С 1970;1980;х годов эта тематика приобретает еще большую актуальность. В ней начинают рассматриваться существенно более общие задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, ме-роморфными с локализованными особенностями) однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. При этом аппроксимация рассматривается в метриках классических пространств функций (таких, как равномерная, Ст, т > 0, или I/, р ^ 1) на компактных (или на замкнутых) множествах на плоскости или в пространстве, а также в специальных абстрактных пространствах обобщенных функций (распределений). Надо отмстить, что в рассматриваемом направлении теории приближений естественно выделились задачи, связанные с аппроксимацией функций полианалитическими и полигармо-ничсскими функциями и многочленами, естественно возникающими как в ряде разделов современного анализа, так и в прикладных задачах (например, в задачах плоской теории упругости). Кроме того, появились и были развиты новые глубокие методы исследования соответствующих емкостей (методы теории сингулярных интегралов и геометрической теории меры, метод спектрального синтеза и др.). Здесь необходимо отметить работы.

А. Буавс, Д. Вердсры, С. Гардинсра, П. М. Готье, Г. Давида, Д. Кармоны, М. Я. Мазалова, Д. Матеу, П. Маттилы, М. С. Мельникова, Ю. В. Нетрусо-ва, Д. Оробича, П. В. Парамонова, К. Толсы, А. Г. О’Фаррела, В. П. Хавина, Д. Хавинсона, С. Я. Хавинсона, Н. А. Широкова и ряда других авторов, включая автора диссертации. Основные результаты, полученные в этом направлении теории приближений, будут сформулированы и обсуждены ниже.

Несмотря на успешное и активное развитие рассматриваемой области теории приближений, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач является, например, задача описания компактных подмножеств X комплексной плоскости таких, что всякая функция, непрерывная на X и п-аналитическая (т.е. полианалитическая порядка п, где п ^ 1 — целое число) во внутренних точках X может быть равномерно на X приближена последовательностью п-аналитических многочленов. Эта задача (которая интересует специалистов начиная с 1980;х годов) представляет интерес как в свете общего интереса к теории поли-аналитическнх функций, в которой за последние годы получен ряд интересных и важных результатов, так и в связи с недавно открывшейся связью этой задачи с другими активно развивающимися направлениями современного анализа, в частности, с теорией модельных пространств. Отметим еще задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, мероморфными с локализованными особенностями) общих однородных эллиптических уравнений в равномерной и Ст-нормах, т > 0.

В диссертации получены новые результаты в задачах о равномерной и С" «-приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами при целых значениях т ^ огд. Ь — 1, где Ь — соответствующий дифференциальный оператор. Особое внимание уделено равномерной аппроксимации функций полианалитическими многочленами. В этой задаче для достаточно широкого класса компактных множеств получены необходимые и достаточные условия (критерии) приближаемости, исследован характер этих условий.

Изучение задачи о равномерной приближасмости функций полианалитическими многочленами привело к возникновению нового интересного направления исследований в комплексном анализе, связанного с изучением свойств иеванлштовских областей. Свойство области быть неванлишюв-ской — это специальная аналитическая характеристика плоских односвяз-ных областей, введенная автором и позволившая получить решение соответствующей аппроксимационной задачи для компактов Каратеодори. Понятие неванлинновской области имеет глубокие связи с теорией конформных отображений, с теорией модельных пространств (инвариантных относительно оператора обратного сдвига подпространств пространства Харди Я2), а также с теорией квадратурных областей. В диссертации получено описание певанлинновских областей в терминах конформных отображений, установлены новые свойства и построены новые примеры таких областей.

В рассматриваемой проблематике естественно возникает также понятие множества (компакта и области) Каратеодори. В диссертации получен ряд новых свойств компактов и областей Каратеодори и их конформных отображений, имеющих важные приложения в теории приближений. В частности, классическая теорема Каратеодори о сходимости к ядру распространена на случай, когда предельная область является областью Каратеодори, а теорема Каратеодори о продолэ/сеиии распространена с жордановых областей на области Каратеодори. Эти результаты позволили уточнить ряд классических результатов о структуре мер, ортогональных к пространству рациональных функций с полюсами вне заданного компакта X, и распространить эти результаты на существенно более широкие классы компактных множеств. Последние результаты, в свою очередь, были использованы в диссертации при изучении условий равномерной аппроксимации функций полианалитическими многочленами.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, дополнения и списка использованной литературы. Во введении формулируются основные рассматриваемые в диссертации задачи и приводится подробный обзор истории изучения и современного состояния соответствующей области комплексного анализа и теории приближений. После этого во введении дается подробный обзор диссертации по главам п формулируются все основные результаты диссертации. В первой главе диссертации рассматриваются задачи о равномерной и Ст-приближаемости функций (при натуральных значениях га) на плоских компактах полиномиальными решениями общих однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. Во второй главе рассматриваются множества (области и компакты) Каратеодори и устанавливается ряд важных для рассматриваемых задач теории приближений новых свойств таких множеств. В третьей главе изучается задача о равномерной приближаемо-сти функций полиапалитическими функциями и многочленами. Четвертая глава диссертации посвящена изучению понятия неванлинновской области. В дополнении рассматривается взаимосвязь между задачей о равномерной приближаемостп функций полиапалитическими многочленами и задачей Дирихле для бианалитических функций. В завершении текста диссертации кратко формулируются основные выводы и полученные результаты.

Основные выводы и результаты работы.

В диссертации изучен ряд задач равномерной и Ст, т > О, прнближае-мости функций полиапалитическими многочленами и полиномиальными решениями общих однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами на компактных подмножествах комплексной плоскости.

Отметим, что задача о равномерной приблио/саемости функций полианалитическими многочленами — это первая задача в рассматриваемой проблематике, в которой по существу возникают нелокальные условия при-ближаемости аналитического характера, которые не выражаются в известных емкостных, метрических или топологических терминах. Такой характер соответствующих условий приближаемости был впервые установлен в работах автора. Эта задача оказалась естественно связанной и с рядом важных и интересных задач о свойствах мпооюеетв (компактов и областей) Каратеодори.

Аналитической характеристикой плоских множеств, описывающей компакты, на которых возможна равномерная аппроксимация функций по-лианалитичсскими многочленами, является понятие неваплииповской области, введенное автором. Это понятие, как оказалось, имеет очень интересные и глубокие связи с теорией модельных пространств (т.е. инвариантных относительно оператора обратного сдвига подпространств пространства Харди Я2).

Сформулируем основные полученные в диссертации результаты:

1. Для общего однородного эллиптического оператора Ь порядка п с постоянными комплексными коэффициентами получен критерий Сп~г-слабой приближаемости функций ¿—аналитическими многочленами на компактах в С, идентичный классической теореме Мергеляна. Кроме того, установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной и Ст-слабой приближаемости функций ¿—аналитическими многочленами при т ^ п, также формулируемые в терминах топологических свойств компактов, на которых рассматривается аппроксимация.

2. Получено обобщение классической теоремы Каратеодори о сходимости к ядру в случае, когда предельная область является областью Каратеодори. Теорема Каратеодори о продолжении распространена на области.

Каратеодори. Установлен ряд новых результатов о структуре мер, ортогональных к рациональным функциями на компактах в С.

3. Получен критерий равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами на плоских компактах Каратеодори. Введено понятие иеванлинновской области, оказавшееся ключевым для изучения задачи о равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами.

4. Найдено описание неванлинновских областей в терминах конформных отображений, и предложен метод построения неванлинновских областей, основанный на построении однолистных функций, принадлежащих модельным пространствам вида К в, где В — произведение Бляшке. Построены нетривиальные примеры, показывающие степень возможной нерегулярности границ неванлинновских областей.

5. В задаче о равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами на плоских компактах, не являющихся компактами Каратеодори, получен ряд достаточных условий приближаемости, установлена зависимость условий приближаемости от порядка полианалитичности и получены результаты, показывающие характер этой зависимости.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В. ВБелый В. И., Мяймескул В. В. Прямые и обратные теоремы приближения функций для рациональных модулей в областях с квазиконформной границей // Матсм. заметки. 1989. Т. 46, вып. 2. С. 12−20.
  2. А. Г. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. — М.:Наука, 1966.
  3. . А., Готье П. М., Парамонов П. В. О равномерной аппроксимации 'n-аналитическими функциями на замкнутых множествах в С // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, № 3. С. 15−28.
  4. . А., Парамонов П. В. Аппроксимация мероморфными и целыми решениями эллиптический уравнений в банаховых пространствах распределений // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 4. С. 3−24.
  5. Дж., Мельников М. С., Парамонов П. В. С^-аппроксимация и продолжение субгармонических функций // Матсм. сб. 2001. Т. 192, № 4. С. 37−58.
  6. А. Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений // УМН. 1967. Т. 22, № 6. С. 141−199.
  7. Е. П. О граничном поведении компонент полианалитичс-ских функций // Матем. заметки. 1998. Т. 63, вып. 6. С. 821−834.
  8. Е. П. О граничной гладкости конформных отображений областей с негладкими границами // Докл. РАН. 2007. Т. 415, вып. 2. С. 155−159.
  9. Е. П. Оценки модулей непрерывности конформных отображений об- ластей вблизи их достижимых граничных дуг // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 12. С. 57−106.
  10. Е.П., Данченко В. И. О граничных свойствах решений обобщенного уравнения Коши-Римана // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2002. Т. 236. С. 142−152.
  11. Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир, 1986.
  12. Т. Равномерные алгебры. — М.: Мир, 1973.
  13. Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.
  14. Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. M.-JL: Гостехиздат, 1952.
  15. А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномами специальных классов на компактах в Ж2 // Матсм. заметки. 2002. Т. 71, выи. 1. С. 75−87.
  16. А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка па компактах в R2 // Матем. заметки. 2003. Т. 74, вып. 1. С. 41−51.
  17. А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на плоских компактах // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, № 6. С. 85−98.
  18. А. Б. О равномерной аппроксимации полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка и о соответствующей задаче Дирихле // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2006. Т. 253. С. 67−80.
  19. М. В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // Успехи математических наук. 1941. Т. 8. С. 171−231.
  20. П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир. 1984.
  21. М.А. О функциях комплексного переменного, прсдста-вимых рядами полиномов // Actual. Sri. et Ind. 1936. № 441: La theorie des fonctions. (Русский перевод: Лаврентьев M. A. Избранные труды. Матем. и мех. М. Наука. 1990. С. 149−185).
  22. Н. С. Основы современно теории потенциала. — М.: Наука, 1966.
  23. М. Я. Пример непостоянной бианалитической функции, обращающейся в нуль всюду на нигде не аналитической границе // Матем. заметки. 1997. Т. 62, вып. 3−4. С. 524−526.
  24. М.Я. О равномерных приближениях бианалитическими функциями на произвольных компактах в С // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 5. С. 79−102.
  25. М.Я. Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений // Матем. сб. 2008. Т. 199, Nol. С. 15−46.
  26. М. Я. О задаче Дирихле для полианалитических функций // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 10. С. 59−80.
  27. М. Я. О задаче равномерного приближения гармонических функций // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23, № 4. С. 136−178.
  28. М. Я. О равномерном приближении гармоническими функциями на компактах в Я3 // Зап. научи, сем. ПОМИ. 2011. Т. 389, С. 162−190.
  29. М. Я. Критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в М3 // Труды МИАН им. В. А. Стек-лова. 2012. Т. 279. С. 120−165.
  30. М. Я. Критерий приближаемости гармоническими функциями в пространствах Липшица // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2012. Т. 401. С. 144−171.
  31. А. И. Конформное отображение областей с переменными границами с приложениями к аппроксимации аналитических функций полиномами. М., Диссертация, 1934.
  32. А. И. Теория аналитических функций. Том 2. М.: Наука, 1968.
  33. С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН. 1952. Т. 7, № 2. С. 31−122.
  34. Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1971.
  35. Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.
  36. ПВ. О гармонических аппроксимациях в С^-норме // Матем. сб. 1990. Т. 181, № 10. С. 1341−1365.
  37. П. В. Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в Мп // Матем. сб. 1993. Т. 184, № 2. С. 105 128.
  38. П. В. О приближениях гармоническими полиномами в С1-норме на компактах в М2 // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, № 2. С. 113−124.
  39. П. В. Некоторые новые критерии равномерной приближаемости функций рациональными дробями // Матем. сб. 1995. Т. 186, № 9. С.97−112.
  40. И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
  41. К.М. О разрешимости краевых задач типа Дирихле для полианалитичсских функций // Докл. РАН. 1989. Т. 309, вып. 6. С. 1309−1313.
  42. С. О. Аппроксимация аналитическими функциями и полиномами в среднем по площади // Матем. сб. 1966. Т. 69(111), № 4. С. 546−578.
  43. С. К., Хавин В. П. Задачи приближения и продолжения для некоторых классов векторных полей // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, № 3. С. 133−162.
  44. И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: «Мир», 1973.
  45. Н. Н. Равномерная аппроксимация решениями эллиптических систем // Матем. сб. 1987. Т. 175, № 3. С. 356−381.
  46. Н. Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск. Наука, 1991.
  47. . Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М. Мир, 1965.
  48. К. 10. О равномерных приближениях функций п-аналитчиескими многочленами на спрямляемых контурах в С // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 4. С. 604−610.
  49. У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.
  50. JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье. — М.: Мир, 1986.
  51. Aharonov D., Shapiro H.S. Domains in which analytic functions satisfy quadrature identities //J. Analyze Math. 1976. V. 30. P. 39−73.
  52. Ahern P. R., Clark D. N. On functions orthogonal to invariant subspaces // Acta Math. 1970. V. 124. Pp.191−204.
  53. J. Т., Cima J. A., Levenbcrg N., Ransford T. J. Projective hulls and chractcrizations of meromorphic functions // ArXiv:1107.4345vl math.СV. Jul 21, 2011.
  54. Balk M.B. Polyanalytic functions. Berlin: Academic Verlag, 1991. Mathematical Research. Vol. 63.
  55. Bcgchr H., Du J., Wang У. A Dirichlet problem for polyharmonic functions // Annali di Matematica. 2008. V. 187. P. 435−457.
  56. Bell S.R. Density of quadrature domain in one and several complex variables // Complex Variables and Elliptic Equations. 2009. V. 54, № 3−4. P. 165−171.
  57. Bishop E. The structure of certain measures // Duke Math. J. 1958. V. 25, №.2. P. 283−289.
  58. Bishop E. Simultaneous approximation by a polynomial and its derivatives // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. V. 10. P. 741−743.
  59. Bishop E. Boudnary measures of analytic differentials'// Duke Math. J. 1960. V. 27, №. P. 331−340.
  60. Boivin A., Gauthier P.M., Paramonov P.V. Approximation on closed sets by analytic or meromorphic solutions of elliptic equations and applications // Canadian J. of Math. 2002. V. 54, № 5. P. 945—969.
  61. Bottcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz Operators. Berline. Springer Verlag, 2006.
  62. Bourdon P. Density of polynomials in Bergman spaces // Pacific J. Math. 1987. V. 130, № 2. P. 215−221.
  63. Browder F. Approximation in uniform norm by solutions of elliptic differential equations //… 1961. P. 400−404.
  64. Browder F. Approximation by solutions of partial differential equations // Amer. Math. J. 1962. V. 84. P. 134−160.
  65. Browder F. Functional analysis and partial differential equations // Math. Ann. 1961/1962. V. 145. P. 81−226.
  66. Burbea J. Polynomial approximation in Bers space of Caratheodory domains // J. London Math. Soc. 1977. V. 15, № 2. P. 255−266.
  67. Caratheodory C. Untersuchungen uber die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten // Math. Ann. 1912. V. 72. P. 107 144.
  68. Caratheodory C. Uber die gegenseitige Beziehung der Rander bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis // Math. Ann. 1913. V. 73. P. 305−320.
  69. Caratheodory C. Uber die Begrenzung einfach zusammenhangender Gebiete // Math. Ann. 1913. V. 73. P. 323−370.
  70. Carleson L. Sets of uniqueness for functions regular in the unit circle // Acta Math. 1952. V. 87. P. 325−345.
  71. Carmona J. J. A necessary and sufficient condition for uniform approximation by certain rational modules // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V. 86, № 3. P. 487−490.
  72. Carmona J. J. Mcrgelyan approximation theorem for rational modules // J. Approx. Theory. 1985. V. 44. P. 113−126.
  73. Carmona J. J. The closure in Lip a norms of rational modules with three generators // Illinois J. Math. 1985. V. 29, № 3. P. 418−431.
  74. Caugliran J. G. Polynomial approximation and spectral properties of conposition operator on H2 // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 21, № 1. Pp.81−84.
  75. Cohn W.S. On the Hp classes of derivatives of functions orhogonal to invariant subspaces // Michigan Math. J. 1983. V. 30. P. 221−229.
  76. Conway J.B. The theory of subnormal operators. Providence, Rhode Island (USA): Amer. Math. Soc, 1991.
  77. Danchcnko V. I., Dolzhenko E. P. On boundary behaviour of holomorphic components of bianalytic functions // Journal of Math. Sciences. 2005. V. 126, № 6. P. 1586−1592.
  78. Davis P. The Schwarz functions and its applications. Buffalo (NY). Math. Assoc. Amer., 1974. Carus Mathematical Monographs, V. 17.
  79. Deny J. Systemes totaux de fonctions harmoniques // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1949. V. 1. P. 103−113.
  80. Douglas R. G., Shapiro H.S., Shields A.L. Cyclic vectors and invariant subspaces for the backward shift operator // Annales de l’institut Fourier. 1970. V. 20, N. 1. P. 37−76.
  81. Dovgoshci O. Certain characterizations of Caratheodory domains // Computational Methods and Function Theory. 2005. V. 5, № 2. P. 480 503.
  82. Dyakonov K., Khavinson D. Smooth functions in star-invariant subspaces / / Recent Advances in Operator-Related Function Theory. 2006. Contemporary Mathematics. Vol. 393. Pp.59−66.
  83. Dyn’kin E.M. Methods of the theory of singular integrals: Hilbert transform and Calderon-Zygmund theory// Commutative harmonic analysis, I. Berlin. Springer, 1991. Encyclopaedia Math. Sci. V. 15. P. 167— 259.
  84. Gustafsson B., Shapiro H.S. What is a quadrature domain? // Quadrature domains and their application. Basel, Switzerland: Birkhauser Verlag. 2005. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 156. P. 1−25.
  85. Farrell O. J. On approximation to an analytic functions by polynomials // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. V. 40. Pp. 908−914.
  86. Farrell O. J. On approximation by polynomials to a function analytic in a simply connectcd region // Bull. Amer. Math. Soc. 1935. V. 41. P. 707 711.
  87. Horowitz Ch. Zeros of functions in the Bergman spaces // Duke Math. J. 1974. V. 41. P. 693−710.
  88. Kapoor G.P., Nautiyal A. Approximation of entire functions over Caratheodory domains // Bull. Austral. Math. Soc. 1982. V. 25, № 2. P. 221−229.
  89. Khavinson D. On a geometric localization of the Cauchy potentials // Michigan Math. J. 1986. V. 33. P. 377−385.
  90. Khavinson D. F. and M. Riesz theorem, analytic balayage, and problems in rational approximation // Constr. Approx. 1988. V. 4. P. 341−356.1.besgue H. Sur le problcme de Dirichlet // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1907. V. 29. P. 371−402.
  91. Mateu J., Netrusov Yu., Orobitg J., Verdera J. BMO and Lipschitz approximation by solutions of elliptic equations // Ann. Inst. Fourier. 1996. V 46, № 4. P. 1057−1081.
  92. Matcu J., Orobitg J. Lipschitz approximation by harmonic functions and some applications to spectral synthesis // Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39, № 3. P. 703−736.
  93. Mateu J., Verdera J. BMO harmonic approximation in the plane and spectral synthesis for Hardy-Sobolev spaces // Revista Matem. Iberoamericana. 1988. V. 4. P. 291−318.
  94. Mazurkiewicz S. Uber erreichbare Punktc // Fund. Math. 1936. V. 26. P. 150−155.
  95. OFarrell A.G. Annihilators of rational modules // J. Functional Analysis. 1975. V. 19, № 4. P. 373−389.
  96. OFarrell A. G. Hausdorff content and rational approximation in fractional Lipschitz norms // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. V. 228. P. 187−206.
  97. O’Farrell A. G. Estimates for capacities and approximation in Lipschitz norms. // J. Reine Angew. Math. 1979. V. 311/312. P. 101−115.
  98. OFarrell A. G. Rational approximation in Lipschits norms. II. Proc. Royal Irish. Acad. 1979. V. 79A. P. 104−114.
  99. OFarrell A. G., Preskcnis K.J. Uniform approximation by polynomials in two functions // Math. Ann. 1989. V. 284. P. 529−535.
  100. Paramonov P. V., Verdcra J. Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of Euclidean space // Math. Scand. 1994. V. 74. P. 249−259.
  101. Perez-Gonzalez F., Rattya J. Univalent functions in Hardy, Bergman, Bloch and related spaces // Journal d’Analyse Mathematique. 2008. V. 105. P. 125−148.
  102. Pommcrenke Ch. Univalent functions. Gottingen. Vandenhoek & Ruprecht, 1973.
  103. Pommerenkc Ch. Boundary behavior of conformai maps. Berlin. SpringerVerlag, 1992.
  104. Pommercnke Ch. Conformai maps at the boundary // Handbook of Complex analysis: Geometric Function Theory. Volume 1. Amsterdam. Elsiver, 2002.
  105. Protas D. Tangential limits of functions, orthogonal to invarinat subspaces // TYans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 172. P. 163−172.
  106. Putinar M, Shapiro H.S. The Friedrichs operator of a planar domain // Complex Analysis, Operators, Related Topics. Basel, Switzerland: Birkhauser Verlag, 2000. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 113. P. 303−330.
  107. Rao N. V. Approximation by gradients //J. Approximation Theory. 1974. V. 12. P. 52−60.
  108. Roan R.C. Composition operators on Hp with dense range // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27, № 1. P. 159−162.
  109. Rubel L., Shields A. Bounded approximation by polynomials // Acta Math. 1964. V. 112. P. 145−162.
  110. Rudin W. Real and complex analysis. McGraw-Hill, New York, 1987.
  111. Runge C. Zur theorie der eindeutigen analytischen funktionen // Acta Math. 1885. V. 6. P. 228−244.
  112. Sakai M. Regularity of boundary having a Schwarz function // Acta Math. 1991. V. 166. P. 263−297.
  113. Seidcnbcrg A. Elements of the theory of algebraic curves. Addison Wesley, 1968.
  114. Shaginyan A.A. On potential approximation of vector fields // Lecture Notes in Math. 1987. V. 1275. P. 272−279.
  115. Shapiro ILS. Generalized analytic continuation // Symposia on Theor. Phys. and Math. 1968. V. 8. P. 151−163.
  116. Shapiro, H. S. The Sehwarz function and its generalization to higher dimensions. Wiley-Interscience Publications, 1992. The University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences. V. 9.
  117. Shields A. Caratheodory and conformai mapping // The Mathematical Intelligencer. 1988. V. 10, № 1. P. 18−22.
  118. Stout E. L. The theory of uniform algebras. Bogden&Quigley, Inc., Tarrytown-on-Hudson, N. Y., 1971.
  119. Toisa, X. Painleve’s problem and the semiadditivity of analytic capacity // Acta Math. 2003. V. 190. P. 105−149.
  120. Toisa X. The semiadditivity of continuous analytic capacity and the inner boundary conjecture // Amer. J. Math. 2004. V. 126. P. 523−567.
  121. Trent T., Wang J. L.-M. Uniform approximation by rational modules on nowhere dense sets // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 81, № 1. P. 62−64.
  122. Trent T., Wang J. L.-M. The uniform closure of rational modules // Bull. London Math. Soc. 1981. V. 13. P. 415−420.
  123. Verchota G. C., Vogel A. L. Nonsymmetric systems on nonsmooth planar domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. V. 349, № 11. Pp.4501−4535.
  124. Verdcra J. Approximation by rational modules in Sobolev and Lipschitz norms //J. Functional Analysis. 1984. V. 58. P. 267−290.
  125. Verdcra J. On Cm rational approximation // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 97, № 4. P. 621−625.
  126. Verdcra J. Cm-approximation by solution of elliptic equations and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55, № 1. P. 157 187.
  127. Verdcra J. On the uniform approximation problem for the square of the Cauchy-Riemann operator // Pacific J. Math. 1993. V. 159. P. 379−396.
  128. Vcrdera J. Removability, capacity and approximation // Complex potential theory. Dordrecht: Kluwcr, 1993. NATO ASI Series C. Vol. 439, P. 419−473.
  129. Verdera J. L2 boundedness of the Cauchy integral and Monger curvature // Harmonic analysis and boundary value problems. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2001. Contemp. Math. V. 277. P. 139−158.
  130. Vitushkin A.G., Mclnikov M.S. Analytic capacity and rational approximation, Linear and Complex Analysis, Problem Book, Lecture Notes in Math., V. 1403, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
  131. Walsh J. L. The approximation of harmonic functions by polynomials and by harmonic rational functions // Bull. Amcr. Math. Soc. 1929. V. 35. P. 499−544.
  132. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules on nowhere dense sets // Pacific J. Math. 1979. V. 80, № 1. P. 293−295.
  133. Wang J. L.-M. Rational modules and higher order Caushy transforms // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1981. V. 4, № 4. P. 661−665.
  134. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules on boundary sets // Pacific J. Math. 1981. V. 92, № 1. P. 237−239.
  135. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules in Lip a norms // Illinois J. Math. 1982. V. 26, № 4. P. 632−636.
  136. Wang J. L.-M. A localization operator for rational modules // Rocky Mountain J. Math. 1989. V. 19, № 4. P. 999−1002.
  137. Wang J. L.-M. A Mergclyan-Vitushkin approximation theorem for rational modules //J. Approx. Theory. 1990. V. 63, № 3. P. 368−374.
  138. Wang J. L.-M. Approximation by rational modules in LP and BMO //J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 160, № 1. P. 19−23.
  139. Wang J. L.-M. Rational modules and Cauchy transforms, II // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 115, № 2. P. 405−408.
  140. Weinstock B. M. Uniform approximation by solutions of elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V. 41, № 2. P. 513−517.
  141. Whitney H. Analytic extension of differentiate functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 63−89.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!