Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторов

Данная работа охватывает ряд задач функционального анализа, изучающих свойства линейных преобразований функциональных пространств как отображений. В качестве таких преобразований рассматриваются интегральные операторы Т в пространствах функций одной или нескольких переменных, а изучаемые свойства включают ограниченность, компактность и поведение аппроксимативных чисел Т, действующих из одного функционального пространства X в другое У, где X и У могут совпадать. В подавляющем большинстве случаев X и У пространства Лебега № (О < р < оо) на или их подклассы. И только в одном из разделов мы переходим к функциональным пространствам Соболева И^ на К+.

В качестве Т в основном рассматриваются одномерные операторы вида / —> /о°° кт{х, ?/)/(?/), х > 0, с неотрицательными и измеримыми на М^ ядрами кт (х, у). Среди них — класс преобразований типа Вольтерра с кт (х, у) = д'(0,х){у)к{х, у), представителем которого при к (х, у) = 1 является оператор Харди, преобразования Лапласа (кт (х, у) = е~'ху) и Стилтьеса (кт (х, у) = 1/(х + у)), а также оператор Харди-Стеклова с кт{х, у) — Х (а (х), ь (х))(у) — Дополняют наше исследование несколько результатов об ограниченности из № в Ьч многомерных аналогов оператора Харди. Кроме В. Вольтерра, Г. X. Харди, П.-С. Лапласа, Т. И. Стилтьеса и В. А. Стеклова указанные отображения изучались в работах Ж. Лиувилля, Э. И. Фредгольма, Дж. фон Неймана, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна, В. Б. Короткова и многих других (см., например, [4, 9, 13, 21, 26, 27, 29, 34, 44, 47, 58, 59, 64, 65, 68] и ссылки там же).

Свойства линейных преобразований Т, изучаемые в настоящей работе, являются основой для приложений рассматриваемых классов операторов к решениям дифференциальных и интегральных уравнений [56, 58]. Они также находят применение в спектральной теории [22], теории приближений [24] и других областях.

Вопрос (А) об ограниченности оператора Т из X в У является традиционно первоочередным и исследуется в нашей работе в эквивалентной формулировке. Задача (В), равноценная данной для линейного преобразования Г, состоит в характериза-ции неравенства вида где константа С — наименьшая и не зависит от /, а символ || • || обозначает (квази)-норму функции / в X или ее образа Г/ в У. Характеризация таких неравенств в данной работе осуществляется с помощью метода В. Д. Степанова [23, 85, 87]. Сам метод заключается в получении двусторонних оценок на С — ||Г||а'-)-г вида.

TfW < СМх (/ > 0).

0.0.1) а ¦ F < ||Г||ХУ </3-в.

0.0.2) функционалами F и G, не зависящими от /. Константы, а и /3 в (0.0.2) подразумеваются либо абсолютными, либо зависящими только от числовых параметров. При наличии оценки (0.0.2) конечность функционалов F и G формирует, соответственно, необходимое и достаточное условие выполнения неравенства (0.0.1) (либо, эквивалентно, необходимое и достаточное условие ограниченности оператора Т из X в У). Ситуация, когда функционалы F и G равны, является наиболее предпочтительной, так как при этом извлекается точный критерий ограниченности Т из X в У, a F = G становится эквивалентом операторной нормы ||Т||х->г, который не зависит от /.

К сожалению, оценки вида (0.0.2) удается получить не всегда. В таких случаях мы ограничиваемся только одной из двух частей неравенства (0.0.2), извлекая при этом либо только достаточные, либо только необходимые условия ограниченности Т.

Как уже было отмечено, задачи (А) и (В) эквивалентны друг другу, если речь идет о линейных Т. Чтобы подчеркнуть этот факт, мы используем обозначение (А) = (В) в соответствующих ситуациях и рассматриваем только вопрос (В), если Т нелинеен.

Иногда бывает полезным рассмотреть задачу © о характеризации неравенства (0.0.1) на подклассах функций. Такой подход нередко приводит к несколько другим результатам. Так, например, в работе [30, р. 728] был найден пример весового неравенства Харди, которое выполняется на подклассе неотрицательных невозрастающих функций, в то время как соответствующий функционал F — G ~ С (см. (0.0.1) и (0.0.2)) все еще не является конечной величиной. Этот факт, а также некоторые другие, говорит в пользу отдельного изучения неравенств типа (0.0.1), суженных на подклассы функций, имеющих важное прикладное значение. В нашей работе подобная задача на монотонных функциях решена для оператора Харди-Стеклова. В качестве основного метода при этом используется критерий Э. Сойера [79].

Для изучения (D) свойств компактности Т: X Y в работе используется метод представления исходного преобразования Т в виде суммы компактного оператора То и операторов с малой нормой. Для доказательства компактности Т0 применяются классические теоремы современного анализа [9, 25, 32], а полученные нами результаты представляют собой необходимые и достаточные условия компактности Т: X —Y. При этом, когда X и Y — банаховы, эти условия совпадают, формируя точные критерии, выраженные в терминах ядер исследуемых операторов, а также числовых характеристик пространств, в которых эти операторы действуют.

Поведение аппроксимативных чисел (Е) компактных операторов Т: X —> Y исследуется в нашей работе в терминах норм типа Шаттена (Е1) и в виде асимптотических оценок (Е2) па последовательность {апСГ)}пем. Напомним, что величину ап (Т) = inf{||T — P\x-*y: Р: X Y, rank Р < п) (n € N) называют n-ым аппроксимативным числом линейного преобразования Т из X в Y. Последовательности аппроксимативных чисел являются невозрастающими и выражают степень (погрешность) аппроксимации Т: X —> У операторами Р конечного ранга. В гильбертовом случае аппроксимативные числа оператора Т совпадают с его сингулярными числами а’п (Г) = Хп (у/Т*Т) (см. [1, 6]), а в общем — тесно связаны с другими характеристическими величинами такими, как числа Гельфанда, Колмогорова, Вейля, Гильберта, энтропийные и т. д. (см. [38, 55, 74, 91]). В зависимости от поведения {а"}пек вполне непрерывные линейные операторы можно разделить на классы. Так множества всех компактных операторов Т: X У, удовлетворяющих условию оо -3.

5>?СГ)Г<�оо (0 < «< оо), (0.0.3).

71 = 1 ' образуют классы Шаттена-фон Неймана §" по, а > 0 (см. [5, Гл. 11], [6, Гл. 3], [55], [74]). Если (0.0.3) выполнено для, а = 2, то Т является оператором Гильберта-Шмидта. Если ||Т||з] < оо, то Т — ядерный оператор. Более общие, чем классы Шаттена-Лоренца определяются следующим образом [70]: |Т: ||Г||^ := (?>?" Ч (Г)) ° < 00} (0 < а,/5 < оо). (0.0.4).

В нашей работе оценки типа (0.0.2) на нормы Шаттена ЦГЦз^ = ЦТЦэ,^ и получены для трех классов интегральных операторов в пространствах Лебега на полуоси: преобразований типа Лапласа Стилтьеса и оператора Харди-Стеклова. Задача (Е2) об асимптотическом поведении последовательности {ап (Т)}пеи рассматривается только для преобразования. В исследовании аппроксимативных чисел мы опираемся на методы, разработанные в [26, 40−42, 61] для решения аналогичных задач в случае весового оператора Харди (0.0.5). Однако, особенности преобразований Т, изучаемых в этой работе, потребовали их серьезной доработки и адаптации к свойствам ядер к?, отличных от кц (х, у) = Х (о, х){у).

Исследование интегральных операторов Т как отображений одного функционального пространства X в другое У, предложенное в настоящей работе, можно назвать комплексным и в то же время детальным анализом преобразований Т с точки зрения их ограниченности и компактности из X в У, особенностей поведения последовательностей {ап (Т)}г, еи, а также некоторых приложений Т для решения смежных задач. Такой подход помогает лучше понять поведение Т, действующих на различные классы функций из X. Он же формирует и основную цель нашего исследования, которая состоит в получении точных критериев (или точных необходимых и достаточных условий) выполнения тех или иных свойств для классов интегральных преобразований, полезных в анализе и его приложениях.

Подобное исследование проводилось в отношении немногих классов интегральных операторов. Среди них — преобразование <3 на Ь2(Ш+) вида С}/(х) = /0°° ^>(шах{ж, у})/(у) с1 у [26], весовой оператор Римана-Лиувилля 11а/(х) = го (х) у) а~1/(у)у (у)Лу [12, 21, 75, 84], а также еще один класс весовых интегральных операторов типа Вольтерра с неотрицательным ядром Ойнарова к (х, у) (см. [16, 46, 60, 88, 113]). Несомненным лидером по количеству результатов, касающихся ограниченности и компактности в функциональных пространствах Лебега и не только, является интегральный оператор Харди.

Этот оператор имеет массу приложений в анализе, смежных с ним дисциплинах и многих других областях. Свойства ограниченности и компактности Н из Ьр в Ьч изучались очень многими авторами (см. [14, 19, 40−44, 49, 57−59, 61, 73, 86]). Интегральные преобразования, изучаемые в данной работе, так или иначе связаны с оператором Н. Однако, как показывает наше исследование, их свойства и способы исследования существенно отличаются от таковых для (0.0.5).

Перейдем к более детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, каждая из которых разбита на параграфы и подчиненные им пункты. Нумерация рисунков, определений, примеров, теорем и других утверждений — двухуровневая, то есть внутренняя для каждой главы. Счетчики формул имеют три уровня и являются внутренними для каждого параграфа. Все обозначения, кроме общего списка на стр. 4, а также установленных во введении, действуют в пределах только той главы, в которой они определены. Для удобства чтения в диссертации приводятся известные результаты, используемые в доказательствах. Эти материалы, а также работы автора вне обозначенных рамок, приводятся в основном тексте в виде ненумерованных определений, теорем, лемм и т. д. с обязательным указанием имен авторов и источников цитирования.

1. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин^га им. В. А. Стеклова. — 2001. Т. 232. С. 298−317.

2. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменной областью интегрирования // Доклады АН. — 2003. — Т. 393, № 5. — С. 600 604.

3. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки для интегральных операторов на полуоси с монотонными ядрами // Сиб. матем. журнал. — 2004. — Т. 45, № 6. С. 1378−1390.

4. Ushakova Е. P. Integral operators with variable domain of integration // Тезисы докладов Международной школы-конференции по анализу и геометрии, Новосибирск, 23 августа 2 сентября 2004 г. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. — С. 254.

5. Перссон Л.-Э., Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с монотонными ядрами // Доклады АН. — 2005. — Т. 403, № 1. — С. 11−14.

6. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки норм операторов с двумя переменными пределами интегрирования // Доклады АН. — 2008. — Т. 421, № 3. С. 1−3.

7. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2008. — Т. 260. — С. 264−288.

8. Ушакова Е. П. О сингулярных числах обобщенного преобразования Стилтьеса // Доклады АН. 2010. — Т. 431, 2. — Р. 175−176.

9. Ушакова Е. П. Оценки сингулярных чисел преобразований типа Стилтьеса // Сиб. матем. журнал. 2011. — Т. 52, № 1. — С. 201−209.

10. Stepanov V. D., Ushakova Е. P. Hardy operator with variable limits on monotone functions // J. Funct. Spaces Appl. 2003. — Vol. 1, N 1. — P. 1−15.

11. Ushakova E. P. Norm Inequalities of Hardy and Polya-Knopp types: Doctoral Thesis. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics. — 2006. —N 2006:53. URL: http://epubl.ltu.se/1402−1544/2006/53/LTU-DT-0653-SE.pdf- 152 pp.

12. Ushakova E. P. On the Hardy-type operators with variable limits // Research Report. — 2006. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics.- N 2006:09. 26 pp.

13. Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy-type integral inequalities // Research Report. — 2006. Lulea University of Technology, Department of Mathematics. — N 2006:10. — 29 pp.

14. Persson L.-E., Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy type integral inequalities //J. Math. Inequal. 2007. — Vol. 1, N 3. — P. 301−319.

15. Stepanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Research Report. — 2008. — Uppsala University, Department of Mathematics. N 2008:30. — 52 pp.

16. Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class kernel operators // Research Report. — 2008. — Uppsala University, Department of Mathematics.- N 2008:46. 27 pp.

17. Stepanov V. D., Ushakova E. P. Alternative criteria for the boundedness of Volterra integral operators in Lebesgue spaces // Math. Inequal. Appl. — 2009. — Vol. 12, N 4. P. 873−889.

18. Ushakova E. P. Schatten-von Neumann ideal behaviour of a generalized Stieltjes transformation in Lebesgue space // Research Report. — 2009. — Uppsala University, Department of Mathematics. — N 2009:14. — 11 pp.

19. Stepanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Math. Inequal. Appl. — 2010. — Vol. 13, N 3. P. 449−510.

20. Stepanov V. D., Ushakova E. P. On boundedness of a certain class of Hardy-Steklov type operators in Lebesgue spaces // Banach J. Math. Anal. — 2010. — Vol. 4, N 1. P. 28−52.

21. Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class of kernel operators // J. Funct. Spaces Appl. 2011. — Vol. 9, N 1. — P. 67−107.

22. Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces // Preprint. — 2011. — URL: arxiv.org/abs/1109.3304 — 26 pp.

23. Ushakova E. P. On upper estimates for approximation numbers of a Laplace type transformation // Preprint. — 2011. — URL: arxiv.org/abs/1109.3305 — 25 pp.

24. Ushakova E. P. On estimates of Schatten-von Neumann norms of Hardy-Steklov operator // Preprint. — 2012. — URL: arxiv.org/abs/1203.2152v3 — 21 pp.

25. Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces // J. Operator Theory. — 2013. — Vol. 69, N 2. — P. 511−524.V *.