Уровнение плоскости

Для этого перейдем к их параметрическому заданию:

: и :

и разрешим систему.

;

, .

Итак, точкой пересечения прямых является точка .

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Допустим, что в пространстве заданы плоскость и прямая. Они могут быть.

1) параллельны;

2) прямая может лежать в плоскости;

3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Определим, каким образом, имея «на руках» уравнения плоскости и прямой, выяснить их взаимную ориентацию.

Пусть.

: и :.

В таком случае — нормальный вектор плоскости,.

— направляющий вектор прямой.

Если плоскость и прямая параллельны или прямая полностью лежит в плоскости, то векторы и — перпендикулярны. Тогда.

(10).

или в координатной форме.

. (11).

Если условие (10) (условие (11)) не имеет силы, то геометрически это равносильно тому, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Специальным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости. В таком случае и будут параллельны, что аналитически эквивалентно следующему равенству.

Далее, определим условие, которое разрешает проводить разделение между случаем параллельности прямой и плоскости и случаем, при котором прямая принадлежит плоскости. Допустим, что прямая лежит в плоскости. В таком случае произвольная точка прямой принадлежит плоскости и, таким образом, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Иными словами,.

.

где — некоторая фиксированная точка прямой. Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, таким образом, для такой прямой.

.

Итак, если прямая принадлежит плоскости, следовательно должны выполняться два условия:

и ;

если же прямая параллельна плоскости, то.

но ,.

где — некоторая фиксированная точка прямой .

Резюмируя, обратимся снова к случаю, в котором прямая и плоскость пересекаются в одной точке, и определим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой.

и ее проекцией на плоскость .

Из данного выше определения следует, что угол между прямой и плоскостью не превышает.

т. е. угол острый.

Пусть — угол между прямой и плоскостью , — их точка пересечения. Через перпендикулярно плоскости проведем прямую. Для вектор является направляющим и, таким образом, острый угол между прямыми и можно найти по формуле.

.

С другой стороны.

.

есть формула для определения угла между прямой и плоскостью .

1. Александров П. С. Часть I. Аналитическая геометрия // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 512 с.

2. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие / А. E.

Умнов. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: МФТИ, 2011. — 544 с.

3. Беклемишев Д. В. Главы I-IV // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 304 с.

4. Бортаковский, А. С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие / А. С. Бортаковский, А. В. Пантелеев. — М.: Высш. шк., 2005. -496 с.

5. Булатова, М. Г. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве: Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов. — Троицк, 2010. — 36 с.

6. Веселов А. П., Троицкий Е. В. Лекции по аналитической геометрии. Учеб. пособие. — М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом ф-те МГУ, 2002. — 160 с.

7. Воробейчикова О. В., Колесникова С. И. Высшая математика I. Основы векторной алгебры и аналитической геометрии. Линейная алгебра. Численные методы. Методическое пособие. — Томск, 2007.

8. Головизин В. В. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия». Ч. 1: учеб.

метод. пособие. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2010. — 151 с.

9. Ерусалимский Я. М., Чернявская И. А. Алгебра и геометрия // Южный федеральный университет. — Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2012. — 360 с.

10. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 2003.

11. Кадомцев С. Б. II. Аналитическая геометрия // Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.