Модели и методы управления риском и их применение к эколого-экономическим системам

Актуальность темы

Проблема устойчивого развития общества требует определения приоритетов государственной политики в области безопасности и принятия на всех уровнях руководства обоснованных и рациональных решений по управлению различными сложными системами. Современные процессы управления протекают в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации различной природы. Поэтому особое значение приобретают научные знания о процессах обработки информации и общих принципах принятия решений в условиях неполной информации, развитие которых составляет предмет теоретических основ информатики [10, 12, 111, 112, 135, 156].

Неполнота или неточность исходных данных о состоянии системы и ее будущем развитии приводит к математическим задачам принятия решений, сформулированным на основе некоторой информационноймодели. Неточность информации об изучаемом объекте может относиться к любым элементам исследуемых задач: функциям цели, ограничениям, состоянию внешней среды, воздействиям других систем, погрешностям вычислений и т. д. Модели поведения в условиях неопределенности изучаются в рамках различных научных направлений [26, 29, 34, 58, 59, 74, 104, 105, 119, 121, 122], однако при их формировании и анализе решающее значение приобретает информационный аспект, что позволяет относить их к теоретической информатике.

Проблема принятия решений в условиях неполной информации привлекает к себе внимание многих математиков как у нас в стране, так и за рубежом. Работы Р. Беллмана, Ю. Б. Гермейера, JI. Заде, H.H. Моисеева, Дж. Неймана, В. Парето и других исследователей внесли и новые идеи, и новые методы в системный анализ и теорию управления.

Если имеется неопределенность в формализации цели или результат оценивается многими критериями [68, 69, 70, 100, 130, 141, 142], то само понятие оптимального решения становится неоднозначным и можно говорить только о классе рациональных решений. Первым это понятие сформулировал итальянский экономист В. Парето в 1904 году в форме так называемого принципа оптимальности по Парето [165], согласно которому возможные решения следует искать среди неулучшаемых альтернатив, т. е. альтернатив, улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшениям по другим критериям. Позднее появились другие подходы, позволяющие отбрасывать заведомо неприемлемые альтернативы, сужая множество анализируемых вариантов. Многие из этих подходов, таких, например, как принцип равновесия Нэша [135], являются сейчас важным инструментом анализа прикладных задач [33, 57, 63, 124].

В задачах управления в условиях неопределенности также не существует единого принципа оптимальности. В работах Ю. Б. Гермейера [34, 35] подчеркивается, что в проблемах принятия решений в условиях неопределенности может быть лишь одно строгое математическое понятие решения, исключающее риск, — принцип максимального гарантированного результата. Однако широко понимаемый принцип гарантированного результата может основываться на различных предположениях об информированности управляющей системы и оценках риска.

Именно с этих позиций надо оценивать попытку одного из известных современных специалистов в прикладной математике JI. Заде [73, 170, 171], который предложил отказаться от какого-либо четкого описания в задачах принятия решений. Основная цель его исследований — научиться извлекать из этого нечеткого описания правило выбора альтернатив, причем это правило должно носить нечеткий характер. Оно должно формулироваться в терминах функций принадлежности.

Все эти идеи — отбросить неконкурентоспособные, выделить наиболее перспективные множества вариантов — свойственны человеку, анализирующему более или менее сложную ситуацию. Эти идеи восходят к А. А. Маркову [110], положившему начало формализации процесса последовательного анализа. Это направление, трансформируясь через работы.

A. Вальда [24, 169] и Р. Айзекса [161], привело к появлению динамического программирования Р. Беллмана [8, 9] и к методу ветвей и границ.

B.C. Михалевичем [114] была дана наиболее общая схема формализованного описания последовательного анализа, включающая в себя и схему динамического программирования, и метод ветвей и границ.

Основной составной частью задачи принятия решений в условиях неполной информации является построение математической модели [107, 115]. Создание моделей за последние годы стало все более распространенным явлением во многих сферах научных исследований. При моделировании процессов управления в сложных системах неизбежно возникает вопрос о соотношении эффективности и устойчивости их функционирования. В теории управления существуют различные понятия устойчивости или гомеостазиса системы. Представляется интересной научной задачей развитие концептуального подхода к формализации и решению проблемы устойчивости сложных систем и процессов наоснове понятия риска, что требует введения оценок системного и коллективного риска.

При этом под системным риском будем понимать оценку риска системы в целом на основе оценок риска ее подсистем, а под коллективным риском — оценку риска системы, на основе принципов индивидуального поведения подсистем в условиях риска.

При управлении сложными системами или процессами устойчивость и эффективность их функционирования' может быть достигнута путем обработки и использования информации при выборе управляющих параметров так, чтобы в пределах области гомеостазиса критерий эффективности принимал оптимальное значение. Если условием устойчивости являетсябезопасность функционирования процесса или системы, то область гомеостазиса системы представляет собой совокупность управлений, обеспечивающих как можно меньшую возможность появления неблагоприятных ситуаций и связанных с ними отрицательных последствий. Именно переработка имеющейся информации и ее разумное использование позволяет минимизировать неопределенность в задачах принятия решений и сформировать совокупность управлений, приводящих к устойчивым состояниям системы или процесса, обеспечивающих при этом наибольшее возможное значение критерия эффективности.

Неточность исходной информации привела к появлению такого понятия, как «риск», в отношении которого до сих пор не сложилось однозначного толкования [1, 31, 43, 67, 98, 99, 101, 149]. Это объясняется сложностью данного явления и его недостаточным теоретическим изучением. В существующих трактовках риск определяется как.

— возможная опасность потерь, вытекающая из специфики тех или иных явлений’природы, видов деятельности человеческого общества— возможность наступления неблагоприятного события, связанного с различными видами потерь;

— вероятность неблагоприятного исхода операции, приводящего1 к возможному ущербу;

— вероятность неожиданного воздействия определенных факторов, под влиянием которых может произойти отклонение' результата от запланированной величины;

— степень неопределенности или непредсказуемости процесса функционирования системы.

Риск в широком смысле — это непредсказуемость состояния-системы или течения процесса как результат неполноты информации. Как правило, под ситуацией риска понимается функционирование системы в условиях случайного воздействия. В данной работе это понятие используется более широко, а именно как неизбежная неоднозначность результата при принятии решений в условиях неполной информации различной природы (случайного или неопределенного воздействия внешней среды, внутрисистемной неопределенности, связанной с децентрализацией управления, неточности исходных данных). При этом под обеспечением устойчивости системы подразумевается достижение достаточно низкого уровня системного риска, оцениваемого величиной возможных потерь, связанных с принятием решений в условиях неполной информации.

В последнее время появилось много работ, использующих понятие «управление риском», но в основном они относятся к финансово-экономической сфере деятельности. Концептуальных общих моделей управления риском до сих пор не было разработано. Выдержка из меморандума лондонской школы экономики (газета «Известия» от 27.07.2009)-: «неспособность предсказать сроки, масштаб и серьезность кризиса и предотвратить его имеет под собой много причин, однако главное — это нехватка коллективного воображения у ярчайших умов как в Великобритании, так и по всему миру, которое бы помогло понять риски существующей системы в целом». В связи с этим поясним, что будет пониматься далее под управлением риском и общей модельюуправления риском.

Под управлением риском понимается управление системой или процессом, непременным атрибутом которого являются процедуры учета и оценки факторов риска в целях максимального снижения неопределенности при принятии решений и обеспечения устойчивости (или безопасности функционирования) системы. Под общей* моделью управления риском, естественно, понимается не общая модель, управлениявообще, а ее конкретизация применительно к задачам управления риском.

Ситуация риска связана с возможностью возникновения некоторых событий, которые нарушают текущее состояние системы или естественное (прогнозируемое) течение процесса. Поэтому проблему управления системным и коллективным риском целесообразно рассматривать в двух вариантах: при «естественном» ходе процессов и при нарушении существующих тенденций. Соответственно, общая модель управления риском состоит из двух подмоделей: модель функционирования системы при прогнозируемых значениях параметров (плановый сценарий) и модель функционирования системы при отклонении от прогноза.

Проблема оценки и управления риском в общем виде есть комплексная проблема теоретических основ информатики, которая относится к таким научным направлениям исследований, как разработка и анализ моделей информационных процессов, разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа и прогнозирования данных, разработка методов распознавания объектов и ситуаций.

Математические модели и соответственно методы управления различными сложными системами и процессами имеют разные аспекты. В моделях управления присутствуют такие характеристики, как иерархия, многокритериальность, случайность, неопределенность. Модели управления могут затрагивать организационные, экономические, экологические аспекты и предлагать разные механизмы управления. Общим для таких разнообразных моделей является то, что проблема устойчивости для них может быть решена на основе управления' риском, а совместное рассмотрение управленческих решений с точки зрения эффективности и риска, в процессах и системах позволяет принимать-рациональные1 решения, создающие условия для их устойчивого функционирования.

В связи с разнообразием и обширностью практических приложений моделей управления может быть выделен ряд основных направлений исследований, связанных с разработкой новых подходов1 и методов повышения эффективности функционирования сложных систем и процессов при условии достижения их устойчивости.

В’моделях управления в условиях случайного воздействия, риск чаще всего определяется как математическое • ожидание отрицательных последствий, которые в свою очередь представляют собой отклонение результата деятельности системы или процесса от запланированной величины' в некоторой метрике. Оценка вероятностей возникновения неблагоприятных событий для расчета математического ожидания отрицательных последствий осуществляется на основе имеющейся априорной информации. Для оценки риска можно использовать подход, связанный с введением функции (критерия) риска. Некоторые вопросы совместного управления эффективностью и риском рассматривались рядом исследователей, но математические модели были построены в основном для конкретных задач фондового инвестирования в стохастических условиях. В таких задачах доходность является случайной величиной, а степень риска определяется исследователями по-разному. В задаче Г. Марковича риск задается в метрике /2 как дисперсия доходности портфеля ценных бумаг [163]. У. Шарп, Г. Александер при управлении портфелем использовали риск в метрике /2 как среднее квадратическое отклонение (СКО) [155]. Г. Конно и Г. Ямазаки оценивали риск в метрике [162]. В работе [163] Г. Марковиц предложил способ определения оптимального состава портфеля ценных бумаг, основанный на максимизации линейной свертки, критериев эффективности (доходности) и риска (дисперсии) с весовым коэффициентом. В исследованиях У. Шарпа, Г. Александера предлагается использование меры эффективности управления, учитывающего риск, в виде свертки критериев эффективности и риска типа отношения, в которой в качестве критерия риска использовалось СКО. В основе относительной свертки лежит фундаментальное математическое понятие коэффициента вариации. Существует и другое понятие риска в стохастических моделях управления, а именно риска как вероятности возникновения неблагоприятного события, вызванного действием конкретной опасности [6].

Эти математические подходы к оптимальному управлению портфелем ценных бумаг могут быть обобщены и распространены на другие прикладные задачи управления стохастического типа, став частью единого концептуального подхода к решению проблемы устойчивости сложных систем и процессов.

При управлении в условиях неопределенности риск рассматривается как возможная опасность потерь, связанная с любым внешним воздействием.

30, 59, 64]. При этом используется информация только о множестве возможных состояний внешней среды. Выбор альтернативы на основе какого-то одного из используемых в данном случае классических критериев (Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа) не всегда в полной мере отражает часто противоречащие друг другу предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Значит, одной из актуальных задач принятия решений в условиях неопределенности является определение других критериев оптимальности, в которых учитывались бы противоречивые предпочтения ЛПР.

В иерархических системах управления эффективность функционирования определяется согласованностью интересов всех ее элементов. Большой вклад в решение задач управления в иерархических структурах в рамках информационной теории иерархических систем внесли H.H. Моисеев, Ю. Б. Гермейер, В. А. Горелик, А. Ф. Кононенко [35, 40, 57, 115], а в рамках теории активных систем — В. Н. Бурков, Д. А. Новиков и их сотрудники [13, 15, 17, 19, 127]. При этом вопросы устойчивости (или гомеостазиса) иерархических систем, связанные с возможной несогласованностью действий подсистем в условиях децентрализованного управления, требуют дополнительного исследования. Их интерпретация в терминах риска позволяет рассматривать задачи управления иерархическими системами в рамках общей модели управления риском.

Исследование устойчивости и эффективности различных процессов и систем связано не только с видом математической модели управления, но и с точностью и непротиворечивостью исходных данных моделей. В связи с этим можно выделить направление исследования несобственных оптимизационных задач (с несовместными системами ограничений), основанное на идеях минимальной коррекции параметров модели. [39, 41, 66]. Ситуации, связанные с появлением некорректных или несобственных (противоречивых) моделей, возникают при моделировании различных прикладных задач, например, задач планирования производства и реализации плановых решений, когда неточность параметров модели приводит к неустойчивости или неэффективности деятельности системы. Механизмы, порождающие противоречивость моделей, изучались И. И. Ереминым, H.H. Астафьевым, A.A. Ватолиным, В. Д. Мазуровым, Л. Д. Поповым и другими исследователями Екатеринбургской математической школы (Институт математики и механики УрО РАН) [27, 28, 65, 66, 144]. В качестве способа преодоления противоречивости использовалась оптимальная многопараметрическая коррекция несобственных задач линейного программирования в различных нормах. Исследования несовместных систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач линейного программирования получили дальнейшее развитие в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН и в Московском государственном педагогическом университете. Основные результаты этих исследований отражены в работах В. А. Горелика, В. И. Ерохина, В. А. Кондратьевой, О. В. Муравьевой, Р. В. Печенкина [39, 41, 42, 43] и др. В зарубежных исследованиях указанное направление развивалось в связи с другой прикладной задачей — задачей обработки экспериментальных данных с помощью обобщенного метода наименьших квадратов. Интенсивные исследования этого метода и его активное использование при решении прикладных задач начались после появления работ бельгийских ученых S. Van Huffei и J. Vandewalle [167, 168].

Несмотря на то, что вопросам коррекции данных в различных моделях посвящено большое количество работ, задачи со связанными корректируемыми параметрами не рассматривались. Однако существует ряд содержательных прикладных задач, в которых коррекция одних параметров оказывает влияние на значения других параметров. Игнорирование этого влияния при коррекции каких-то одних параметров может привести к ухудшению свойств и степени адекватности скорректированной модели, а значит, и результатов управления эффективностью и риском с использованием таких моделей.

При решении задач учета и классификации рисков вне зависимости от их характера (экономические, экологические, техногенные и т. д.), представляется целесообразным использование методов распознавания образов. Теория распознавания образов является одним из разделов науки об общих законах преобразования информации в сложных системах. Аппарат теории распознавания позволяет осуществлять кластеризацию (классификацию) ситуаций, связанных с определенными типами рисков. Использование этого аппарата предполагает построение словаря признаков и определение их значений в каждой конкретной ситуации, а также алфавита классов (кластеров), которые могут быть описаны на языке введенного в рассмотрение словаря признаков. Исследование возникающих ситуаций и их описание с помощью фактических значений признаков позволяет определить, к какому из классов относится> возникшая ситуация, применительно к которой может быть построено соответствующее управление.

Большой вклад в разработку и исследование математических методов теории распознавания образов внесли Ю. И. Журавлев, В. Л. Матросов, К. В. Рудаков, В. В. Рязанов и другие видные-ученые [37, 38, 72, 111, 147]. В. работе данный, математический аппарат используется при классификации и прогнозировании экономических и экологических рисков.

Основным показателем успешного развития общества является уровень его экономического развития, критерий оценки которого должен учитывать показатели безопасности или риска сложных систем или процессов [6]. При этом вопросы взаимоотношения человека сокружающей средой, в последнее время приобретают все большую значимость [7, 116, 117, 118- 120] и становятся проблемой государственного масштаба. Деятельность многих сложных экономических систем и процессов наносит ущерб окружающей среде, частью которой является сам человек. Поэтому актуальной задачей в последнее время является снижение не только экономических рисков (связанных с изменением политических и экономических факторов), но и экологических рисков (связанных с нанесением ущерба окружающей среде, в частности, в результате техногенных аварий и катастроф). Основным механизмом решения комплексных по масштабам проблем безопасности является программно-целевой метод в форме федеральных целевых программ, государственными заказчиками которых выступают федеральные и территориальные органы исполнительной власти, предусматривающих помимо всего прочего финансирование мероприятий по улучшению качества окружающей среды [21, 22]. Совместное рассмотрение вопросов управления эффективностью и риском в различных сложных эколого-экономических системах и процессах приводит в свою очередь к необходимости разработки новых математических подходов для нахождения механизмов управления в условиях неполной информации, приводящих к устойчивым состояниям системы и обеспечивающих при этом наибольшую возможную эффективность. Большой вклад в разработку моделей экономических систем и имитацию экономических процессов внесли A.A. Петров, Ю: Н. Павловский, И. Г. Поспелов [136−139, 145, 146]. Следует отметить, что в данной работе акцент сделан намоделировании не самих процессов функционированияа механизмов управления^ эколого-экономическими системами с учетом риска.

Таким образом, актуальной проблемой теоретической информатики, имеющей важное научное и хозяйственное значение, является разработка математической теории, описывающей широкий класс процессов1 управления-риском и включающей общие модели оценки и управления риском и методы решения комплекса математических задач нахождения оптимальных решений с точки зрения эффективности и риска функционирования сложных систем в условиях неполной информации. Этой проблеме и посвящено настоящее исследование.

Целью работы является создание математических основ научного направления теоретической информатики — управления риском, а именно, формализация и структуризация задач управления риском, разработка методов их решения и применение разработанных методов к построению механизмов управления эколого-экономическими системами.

Объектом являются математические модели информационных процессов, методы и алгоритмы анализа и прогнозирования данных как основа принятия решений в условиях неполной информации.

Предмет исследования — разработка методов управления риском, связанным со случайным или неопределенным воздействием внешней среды, возможным внутрисистемным нарушением гомеостазиса, вызванным децентрализацией управления, неточностью или противоречивостью исходных данных.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, математического программирования, прогнозирования и распознавания, теории иерархических систем, компьютерной обработки данных.

Для реализации поставленной цели решались следующие задачи:

— определение критериев оптимальности на основе свертки критериев эффективности и риска в стохастических процессах;

— применение предложенных критериев оптимальности к задачам принятия решений для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов;

— разработка и исследование свойств комбинированных критериев оптимальности в условиях неопределенности на основе свертки критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа;

— определение необходимых и достаточных условий оптимальности управления в иерархических системах с учетом требования гомеостазиса системы;

— доказательство идеальной согласованности интересов уровней иерархии при различных механизмах управления центра для региональной и корпоративной моделей управления;

— исследование вопросов одновременной передачи различных видов информации центром в иерархических системах и доказательство существования регулируемого равновесия и идеальной согласованности интересов верхнего и нижнего уровня для территориальной корпоративной модели, включающей параметры воздействия на окружающую среду;

— исследование задачи связанной коррекции для несобственных моделей систем и применение полученных методов коррекции данных к эколого-экономическим системам.

Научная новизна и теоретическая значимость. В работе представлен новый единый подход к решению проблемы устойчивости и эффективности функционирования сложных систем и процессов в условиях неполной информации с использованием процедур управления риском. Предложены и исследованы конкретные механизмы управления на основе соизмерения эффективности и риска в эколого-экономических системах.

Вчисле наиболее ваэ/сных теоретических результатов, характеризующих новизну работы, назовем следующие:

— Предложен общий подход к управлению риском в условиях случайного воздействия внешней среды на основе свертки критериев эффективности и риска с использованием функций риска в различных метриках. Обосновано применение конкретной свертки критериев эффективности и риска и функции риска в задачах принятия решений для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов. Доказано, что каждую задачу управления рискомв условиях случайного воздействия можно свести к определенному классу задач математического программирования. Сформулированы динамические задачи управления риском с непрерывным и дискретным временем. Для непрерывной динамической задачи доказано существование оптимального управления и получены необходимые условия оптимальности.

— Для коррелированных стохастических процессов введены оценки системного и коллективного риска с использованием коэффициентов корреляции (на примере инвестиционных портфелей). Доказано, что оптимальные решения приводят к положительному значению ковариации портфелей и, как следствие, к возможному нарушению устойчивости системы. Предложена оценка устойчивости системы как мера разнообразия поведения инвесторов с использованием понятия энтропии.

— Для управления риском в условиях неопределенности разработаны новые комбинированные критерии оптимальности на основе свертки критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, соизмеряющие оценки эффективности и риска. Доказано, что каждая задача управления риском в условиях неопределенности при использовании комбинированных критериев сводится к определенному классу задач математического программирования. Исследованы свойства предложенных критериев оптимальности и показано, что для них выполняется большинство основных свойств классических критериев.

— В сложных системах, имеющих иерархическую структуру, риск определяется как отсутствие согласованности интересов элементов иерархической системы, приводящее к снижению эффективности для центра и возможно к нарушению глобальных ограничений и потере гомеостазиса системы. Впервые получены не только необходимые, но и достаточные условия оптимальности управления центра, обеспечивающего общее условие устойчивости и эффективности функционирования иерархической системы.

— Для региональных и корпоративных иерархических моделей эколого-экономических систем с помощью полученных условий оптимальности доказана идеальная согласованность интересов всех уровней иерархии при предлагаемых механизмах управления, в которых центр может назначать цены на продукцию и ресурсы, величины штрафов и квот, регулировать объемы финансовых средств.

— Предложены новые модели информационного регулирования, включающие одновременную передачу центром элементам нижнего уровня информации, носящей как неопределенный, так и случайный характер.

Доказано существование регулируемого равновесия на нижнем уровне для территориальной корпоративной иерархической модели в случае воздействия элементов нижнего уровня на окружающую среду и исследованы его свойства. Получены условия для определения оптимальной стратегии центра при использовании им различных типов передаваемой информации.

— Предложена новая отраслевая корпоративная модель планирования производственной деятельности, включающая ограничения по дефицитным и природным ресурсам и уровню загрязнения природной среды. Доказана возможность согласования интересов уровней иерархической системы с помощью предлагаемых механизмов расчетных цен, тарифов, квот по уровню загрязнения природной среды и штрафов за их превышение.

— Введен новый класс задач связанной коррекции несобственных линейных моделей управления, в которых данные могут быть заданы неточно или параметры требуют целенаправленного изменения вследствие неустойчивости или неэффективности системы. Разработан метод сведения поставленных задач коррекции данных по минимуму нормы к задаче линейного программирования или последовательности задач линейного программирования.

Практическая значимость. Предложенные методы управления риском при решении вопросов устойчивости и эффективности систем^ могут быть использованы в широком классе эколого-экономических систем. Новые подходы к принятию решений с точки зрения эффективности и риска позволяют адекватно описывать реальные процессы функционирования различных систем с учетом требований безопасности, а также определять оптимальные решения в сфере управления в различных видах человеческой деятельности. Разработанные методы и алгоритмы позволяют решать реальные прикладные задачи, что подтверждается конкретными примерами и вычислительными экспериментами, содержащимися в приложениях.

Результаты диссертационного исследования использованы при оценке эффективности и риска в принятии инвестиционных решений Акционерным коммерческим банком «Межрегиональный инвестиционный банк», при формировании бизнес-плана на 5-летний период «РН-Комсомольский НПЗ», при проектировании узлов связи Интернет ЗАО «Технодизайн», что подтверждается справками о внедрении.

Математические модели и методы, разработанные в диссертации, используются в учебном процессе на факультете компьютерных технологий КнАГТУ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Теория игр и исследование операций», спецкурса «Математическое обеспечение фондового рынка», что подтверждается актом о внедрении.

Основные положения, выносимые на защиту:

— предлагаемая общая модель управления риском, включающая подмодели оценки эффективности системы и оценки риска ее функционирования, может служить теоретической основой процедур управления сложными системами в условиях неполной информации и быть конкретизирована применительно к различным классам систем, функционирующих в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды и децентрализованных схем управления;

— проведенная классификация стохастических процессов в подсистемах сложных систем на коррелированные и некоррелированные является основой выбора метрик для функций риска и вида сверток критериев эффективности и риска, что, в свою очередь, определяет типы возникающих математических задач и методы их решения;

— задачи управления риском в условиях неопределенности следует решать на основе сверток классических критериев оптимальности Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, так как получающиеся комбинированные критерии оптимальности более полно отражают сочетание требований эффективности и риска и при этом выполняется большинство важнейших свойств классических критериев;

— для основных типов региональных и корпоративных иерархических моделей эколого-экономических систем использование предлагаемых механизмов управления обеспечивает максимальную эффективность функционирования системы при выполнении требования гомеостазиса, т. е. позволяет нейтрализовать риск, связанный с частичной децентрализацией управления- - условие гомеостазиса системы может приводить к несобственным моделям управления, требующим решения задач минимальной связанной коррекции данных моделей, которые в свою очередь при использовании нормы /ю сводятся к задаче линейного программирования или к последовательности задач линейного программирования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 3-й Международной научно-практической конференции «Составляющие научно-технического прогресса» (Тамбов, апрель, 2007) — на Международной научно-практической конференции в области экологии и безопасности жизнедеятельности «Дальневосточная весна 2007» (Комсомольск-на-Амуре, июнь, 2007) — на 8-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Москва, октябрь, 2007) — на 3-м Международном форуме (8-й Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, ноябрь, 2007) — Международной конференции «Системы компьютерной математики, и их, приложения» (Смоленск, май, 2008) — на 7-й Международной конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, июнь, 2008) — на Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, февраль, 2009) — на. региональной научно-практическойконференции «Актуальные проблемы математики, физики, информатики в вузе и школе» (Комсомольск-на-Амуре, март, 2009) — 3-й международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем» (Москва, октябрь. 2009) — на Международной научно-практической конференции «Теория активных систем» (Москва, ноябрь 2009) — на научном семинаре в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, на научном семинаре в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН, на научном семинаре кафедрьг прикладной математики и информатики Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета.

Основное содержание работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, четырех приложений. Первая глава (1.1−1.4) посвящена описанию общей модели управления риском и задачам управления при воздействии на систему случайных внешних факторов с заданными законами распределения (далее для краткости будем использовать термин «в условиях стохастики»).

В 1.1 предлагается общая модель управления риском, которая задается оператором.

Ч*(Г (х, и, у, 1), 0(х, и, У, 1)), (1) определяющим принцип (или критерий) оптимальности управления на основе соизмерения оценок эффективности и риска, являющихся выходами подмодели оценки эффективности Р (х, и, у, Г) и подмодели оценки риска С (х, и, у, Г). Оператор отображает совокупность выходов подмоделей оценок эффективности и риска во множество иД определяемое как множество оптимальных управлений. В (1) и, у — переменные моделей и 0(-), хсостояние системы или процесса в некотором фазовом пространстве, иуправление, у — неконтролируемые факторы, влияющие на функционирование системы. Исходные данные моделей определяются информационной компонентой I, включающей описание вида неконтролируемых факторов и информированности управляющего органа системы (законы распределения случайных параметров, область значений неопределенных факторов, схемы передачи информации в системе, процедуры обработки информации).

Общая модель (1) конкретизируется для систем, функционирующих в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды, внутрисистемной неопределенности, связанной с децентрализацией управления, неточности или противоречивости исходных данных.

В 1.2 рассмотрены статические задачи управления риском для коррелированных стохастических процессов. Модель определяет в данном случае ожидаемый результат деятельности системы (математическое ожидание эффективности), 0(-) — функцию риска, заданную в метрике /2 (дисперсия), или /2 (СКО), или как вероятностную функцию (УАЯ), а область значений Ч* - точки экстремума различных сверток оценок эффективности и риска. В отличие от традиционных задач с использованием УАЯ, заключающихся в нахождении такого значения случайной величины, которое обеспечивается с заданной вероятностью, в представленных задачах управления риском минимизируется вероятность того, что случайная величина будет меньше требуемого значения (гомеостазис в вероятностном смысле). Показано, что все рассматриваемые задачи управления риском сводятся к задаче квадратичного программирования, а, в конечном счете, к системе линейных алгебраических уравнений.

Введена оценка коллективного риска (на примере задач инвестирования) с использованием коэффициентов корреляции. Доказано, что оптимальные портфели инвесторов даже при разном их отношении к риску могут вызывать большие колебания рынка. Предложен подход к оценке устойчивости системы как совокупности подсистем-инвесторов с использованием понятия энтропии.

В 1.3 представлены статические минимаксные задачи управления риском для некоррелированных стохастических процессов, происходящих в подсистемах сложной системы. Отметим, что в статических моделях нет различия между фазовым состоянием и управлениям, поэтому управление будем обозначать переменной х. Для оценки риска всей системы использовалась функция риска определенная в метрике /ю, на наш взгляд, адекватно описывающая риск для некоррелированных стохастических процессов. Если деятельность системы направлена на увеличение значения некоторого критерия эффективности Дх) (выход модели оценки эффективности), то выбор управленческих решений с точки зрения соотношения эффективности и риска сводится к решению задачи оптимизации свертки Дрс) и Я^х). В работе рассматриваются линейные свертки и свертки типа отношения, для всех соответствующих оптимизационных задач получены условия оптимальности или методы их сведения к известным задачам математического программирования.

Если область значений оператора есть множество точек максимума линейной свертки критериев эффективности и риска, то получается минимаксная задача управления риском, для которой получены необходимые условия оптимальности.

Далее рассмотрена модель, в которой критерий эффективности и функция риска каждой подсистемы есть линейные функции, а критерий эффективности всей системы является аддитивной функцией. Кроме линейной свертки критериев эффективности и риска в линейной задаче управления риском используются еще две другие процедуры: свертка типа отношения и перевод одного критерия в ограничение. Показано, что соответствующие линейные двухкритериальные задачи принятия решений с использованием минимаксной функции риска сводятся к задачам линейного программирования.

В 1.4 рассмотрены постановки непрерывной и дискретной минимаксной динамической задачи управления риском для некоррелированных стохастических процессов.

Для непрерывной минимаксной динамической задачи критерий функционирования системы, состоящей из п подсистем, на отрезке времени [0,7] в предположении гарантированной оценки риска представляет собой интегральный функционал с негладкой подынтегральной функцией. Сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности при условии линейности по переменной управления, представляющие собой обобщение классического принципа максимума.

Величина риска в дискретной минимаксной динамической задаче для каждого процесса за Т периодов аппроксимирована средним значением по всем периодам. Решены задачи управления риском с использованием функции риска, представляющей собой максимальное по всем процессам среднее значение риска (метрика /",), и с использованием функции риска, представляющей собой среднее максимальное по всем процессам значение риска. Для таких задач установлено, что среднее максимальное значение риска в оптимальной точке необязательно превышает максимальное по всем процессам среднее значение риска в оптимальной точке.

Вторая глава (2.1−2.4) посвящена задачам принятия решений в условиях неполной информации, когда относительно внешнего воздействия известна только область его возможных значений. Предлагается подход к выбору оптимального управления, основанный на идеях векторной оптимизации, а именно, совместном использовании классических критериев оптимальности Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа. Некоторые конкретные реализации этого подхода рассматривались рядом авторов. Отличие данной работы состоит в том, что в ней рассматриваются комбинации всех классических критериев с использованием различных видов сверток и, главное, проведено исследование свойств комбинированных критериев, что является теоретическим обоснованием правомерности их использования.

В 2.1 представлены классические критерии* оптимальности: Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа. Обосновано применение подхода для выбора оптимальной стратегии в условиях неопределенности, основанного на постановке и решении двухкритериальной задачи, формализованной с помощью свертки классических критериев.

В 2.2 рассмотрены комбинированные критерии для случая конечного числа стратегий. При этом использованы линейная свертка с весовым коэффициентом и свертка типа отношения для критериев Вальда, Сэвиджа, Лапласа. Показано, что критерий Гурвица представляет собой линейную свертку максимаксного критерия и введенной меры риска как максимально возможных потерь. Кроме того предложена абсолютная и относительная оценка риска, определяемая с использованием критерия Лапласа и дисперсии и СКО равномерного распределения.

В 2.3 рассмотрены комбинированные критерии для смешанных стратегий, представляющих собой распределение на исходном конечном множестве стратегий. Показано, что все задачи управления риском в данном случае для сверток критериев Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа сводятся к задачам линейного или квадратичного программирования.

В 2.4 изучены свойства комбинированных критериев оптимальности. Показано, что все комбинированные критерии наследуют большинство стандартных свойств классических критериев.

В третьей главе (3.1 -3.6) рассматриваются иерархические системы с частичной децентрализацией управления. Принцип оптимальности управления? в иерархической системе объединяет стремление к увеличению значения критерия эффективности центра и к достижению устойчивости (или гомеостазиса) функционирования системы, котороеописывается совместными ограничениями на параметры подсистем. Таким образом, риск здесь связан не только со случайным или неопределенным воздействием внешней среды, но, и что специфично с возможными нескоординированными действиями подсистем, приводящими к нарушению гомеостазиса системы. Информационные аспекты здесь включают вопросы взаимной информированности верхнего уровня управления (центра) и подсистем, схемы передачи информации, виды и способы описания внешних факторов.

В 3.1 описана иерархическая модель управления, вводится понятие сильной и слабой устойчивости. В качестве оценки эффективности системы (выход модели ^(*)) принимается нижняя грань функционала центра, значение которой зависит от реакции подсистем на управление центра, определяемой центром на основе исходной информации. Отношение центра к риску (выход модели ?(•)) заключается в выборе множества допустимых управлений, обеспечивающих гомеостазис системы, и оценки разброса значений эффективности в результате самостоятельных действий подсистем и, возможно, воздействия внешних факторов. Условия устойчивости и эффективности функционирования в иерархической системе определяются через понятия согласованности интересов всех ее элементов. Интересы элементов согласуемы, если центр может обеспечить устойчивое функционирование системы. Если при этом центр может достичь абсолютного максимума своего критерия эффективности, то интересы элементов системы идеально согласуемы.

Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности управления центра, которые используются далее при построении механизмов согласования интересов в рассматриваемых иерархических моделях эколого-экономических систем.

В 3.2 представлена иерархическая региональная модель охраны природных ресурсов без назначения штрафа. Показано, что оптимальный результат центра может отличаться от глобального максимума его критерия при использовании механизма назначения единых цен на ресурсы и фиксированных финансовых средствах предприятий. Доказана идеальная согласованность интересов всех уровней иерархии при рассмотренных механизмах управления: назначения центром различных для предприятий цен на ресурсы при неизменных финансовых средствах и назначения единых цен на ресурсы и регулирования финансовых средств.

В 3.3 представлена иерархическая региональная модель охраны природных ресурсов с назначением штрафа. Доказана идеальная согласованность интересов всех уровней иерархии при использовании механизма управления, в котором центр может назначать единые цены на ресурсы, величину штрафа и квоты. Показано, что если центр может менять величину штрафа и квоты, но не может управлять ценами и финансовыми средствами предприятий, то, вообще говоря, идеальной согласованности нет. Если центр может назначать размер штрафа и квоты и регулировать финансовые средства предприятий, то при единых фиксированных ценах для всех элементов нижнего уровня, можно добиться идеальной согласованности.

В 3.4 рассмотрены процедуры согласования интересов регионального управления и предприятий для модели управления техногенным риском в производственных системах с использованием механизма стимулирования, представляющего собой систему льгот за проведение мероприятий по охране природной среды.

В 3.5 рассмотрена линейная модель отраслевой корпорации типа концерна. Исследован вопрос: можно ли выбрать расчетные цены и тарифы на дефицитные и природные ресурсы так, чтобы оптимальный план корпорации в целом был оптимальным для каждого предприятия при выполнении финансового баланса. Показано, что механизм дифференцированных цен и единых тарифов позволяет идеально согласовать интересы в системе. Рассмотрены дополнительные ограничения по уровню загрязнения, относящиеся ко всей корпорации и к каждому предприятию в отдельности. Показано, что механизм дифференцированных цен, единых тарифов, квот по уровню загрязнения и штрафов за превышение допустимого уровня загрязнения окружающей природной среды позволяет достичь идеальной согласованности интересов.

В 3.6 рассмотрено управление центра как передача информации, которую подсистемы самостоятельно добывать не могут, о прогнозируемых значениях факторов, влияющих на функционирование всей системы и ее подсистем. Если управление центра сводится только к передаче информации нижнему уровню о значениях некоторых параметров, то такое управление называется информационным регулированием. Двухуровневая иерархическая система, в которой управление центра представляет собой информационное регулирование, а подсистемы связаны между собой и коллективным принципом поведения для них является равновесие по Нэшу, называется моделью регулируемого равновесия. В такой модели задача центра состоит в переводе системы в наиболее эффективную для него ситуацию равновесия, определяемую информированностью подсистем. В работе предлагается модель территориальной корпорации с горизонтальными связями на нижнем уровне. Определено шесть типов передачи информации центром на нижний уровень, носящий как случайный, так и неопределенный характер. Доказано существование ситуации регулируемого равновесия и идеальной согласованности интересов при использовании механизма информационного регулирования. При этом разная информированность подсистем приводит не просто к снижению коллективного риска (как в задачах инвестирования главы 1), а к его нейтрализации (цена децентрализации равна нулю).

Четвертая глава (4.1 — 4.4) посвящена более подробному рассмотрению информационных аспектов, а именно, коррекции параметров, моделей для несобственных задач управления риском и процедурам адаптации решений на основе обработки статистической информации. Противоречивость требований, предъявляемых к модели эколого-экономической системы, может приводить к тому, что ограничения модели оказываются несовместными, что отражает отсутствие гомеостазиса в системе. Соответствующие задачи оптимизации не имеют решения в классическом смысле и называются несобственными. Длятаких задач предлагаются процедуры минимальной коррекции данных, в результате которых аппроксимирующие задачи уже имеют решение в классическом смысле.

В 4.1 рассмотрен новый класс задач связанной коррекции данных на примере общей линейной модели планирования выпуска продукции с ограничениями по уровню загрязнения окружающей среды.

Пусть оптимальное значение функции цели рассматриваемой задачи меньше заданного минимального значения Со (т. е. нарушено условие безубыточного функционирования предприятия). Здесь значение функции цели — оценка эффективности производственной системы (выход модели (1)), а разность между С0 и значением функции цели — оценка риска функционирования системы (выход С (-) модели (1)). Необходимо так скорректировать технологию производства и объемы затрачиваемых ресурсов в исходной задаче, чтобы вывести производство на требуемый уровень Со (обеспечить устойчивость функционирования системы). При этом предполагается, что матрица коэффициентов загрязнения связана с технологической матрицей линейной зависимостью, т. е. технология производства влияет на степень загрязнения окружающей среды. Формулируются такие постановки задач коррекции данных, в которых при коррекции элементов технологической матрицы задачи подвергаются изменению элементы матрицы коэффициентов загрязнения. Такие задачи названы задачами связанной коррекции.

Показано, что нахождение минимальной корректирующей матрицы по норме /с" и соответствующего оптимального плана в задаче связанной коррекции элементов технологической матрицы сводится к нахождению решения задачи линейного программирования, а в задаче связанной коррекции элементов технологической матрицы и вектора ресурсов^ - к последовательности задач линейного программирования.

Рассмотрена также задача максимального приближения к наилучшему, в некотором смысле, значению критерия эффективности задачи с минимальной корректировкой ограничений исходной-* задачи. Показано, что такие задачи связанной коррекции сводятся к последовательности задач линейного программирования.

В 4.2 рассмотрена проблема коррекции данных в несобственной задаче распределения средств между природоохранными объектами в иерархической системе. Для решения этой проблемы предлагается два подхода: введение относительного показателя качества окружающей среды и решение задачи минимальной коррекции выделяемых центром средств или введение индекса напряженности распределения средств и корректировка ограничений по качеству природоохранных объектов.

В 4.3 сформулированы задачи управления техногенным риском на основе концепции приемлемого риска, для которых рассматриваются три варианта принятия решений: сохранение уровня риска, снижение уровня риска, игнорирование риска. Для динамической задачи управления техногенным риском сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия сходимости процесса нахождения равновесного объема инвестиций для снижения ущерба окружающей среде, являющееся обобщением известного результата на случай произвольного выбора начальной точки (глобальная сходимость).

В 4.4 на основе последовательной обработки информации и прогнозирования риска предложены две адаптационные схемы нахождения оптимальной стратегии управления риском на примере модели производственной деятельности.

В заключении подводятся итоги диссертационного исследования и перечисляются^ основные результаты работы.

В приложениях 1−4 к каждой главе приведены результаты вычислительных экспериментов с использованием прикладного программного обеспечения MalhCAD, подтверждающие работоспособность предлагаемых методов. В приложении 4 также содержится практический пример использования методов распознавания, образов, и адаптационной схемы принятия решений для классификации, прогнозирования ш учета рисков? заболеваемости персонала Комсомольского-на-Амуре аккумуляторного завода, вызванной техногенным воздействием вредного производства.

Основное содержание диссертации отражено в научной монографии [46], в 19 научных статьях [47−54, 80−90], из них 11 в журналах, рекомендованных ВАК РФ [47,48,80−88], в материалах научных конференций [55, 56, 76−79, 91−96].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе представлена общая модель управления эффективностью и риском в сложных эколого-экономических системах. Рассмотрены конкретизации этой модели и соответствующие методы управления для различных сложных систем, в которых присутствуют такие характерные элементы как случайные и неопределенные факторы, иерархия, многокритериальность. Общим для таких разнообразных моделей является то, что проблема устойчивости и эффективности для них решена посредством соизмерения оценок эффективности и риска.

Получены следующие результаты:

1. предложена общая модель управления риском, включающая две подмодели: модель оценки эффективности и модель оценки риска функционирования системы, конкретизации ее для рисков, связанных со случайным или неопределенным воздействием внешней среды или децентрализованным управлением в системе, позволили формализовать задачи построения механизмов управления риском;

2. на основе свертки критериев эффективности и риска сформулированы задачи управления риском для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов с использованием абсолютных, относительных и вероятностных функций риска, доказано, что каждая из них сводится к определенному типу задач математического программирования;

3. для коррелированных стохастических процессов доказано, что оптимальные решения инвестиционных задач с линейной сверткой критериев «эффективность-риск» приводят к положительному значению ковариации портфелей, определяющей коллективный риск, и, как следствие, к возможному нарушению устойчивости системы, предложена оценка устойчивости системы как мера разнообразия поведения инвесторов на основе понятия энтропии;

4. для непрерывной минимаксной динамической задачи управления риском доказано существование оптимального управления и получены необходимые условия оптимальности, представляющие собой обобщение классического принципа максимума;

5. сформулированы постановки задач управления риском в условиях неопределенности на основе сверток (линейной и типа отношения) классических критериев оптимальности: Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, доказано для случая смешанных стратегий, что каждая из них сводится к определенному типу задач математического программирования, исследованы свойства комбинированных критериев оптимальности и показано, что большинство основных свойств классических критериев для них выполняется;

6. получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления центра в иерархических системах с учетом требования гомеостазиса, для региональной и корпоративной модели управления доказана возможность идеального согласования интересов уровней иерархии при использовании предлагаемых механизмов управления, что обеспечивает достижение максимального значения эффективности с исключением риска нарушения гомеостазиса системы;

7. доказано существование регулируемого равновесия на нижнем уровне для территориальной корпоративной иерархической модели, исследованы вопросы одновременной передачи центром информации, носящей как неопределенный, так и случайный характер, доказана возможность нейтрализации риска при использовании предложенного механизма информационного регулирования;

8. сформулированы новые постановки задач связанной коррекции данных по минимуму нормы матрицы /ю для несобственных линейных моделей, обусловленных противоречивостью исходной информации или необходимостью целенаправленного изменения параметров вследствие неустойчивости или неэффективности системы, доказано, что такие задачи коррекции сводятся к задаче линейного программирования или к последовательности задач линейного программирования.