Сходимость простых и кратных рядов Виленкина в пространствах Лоренца

Хорошо известно[6,9], что если функция / € Lp, (1 < р < оо), то ряд Фурье, но тригонометрической системе сходится к / по норме пространства Lp и для частичных сумм ряда Фурье функции / выполняется неравенство ш/)||р<�адР1 (1<�р<�оо).

Аналогичный результат справедлив и для системы Виленкина. В работе Янг Восанг [40] было доказано, что для частичных сумм Фурье-Виленкина выполняется аналогичное неравенство и, следовательно, система Виленкина является базисом в Lp для 1 < р < оо. Причем этот результат Янг Восанг был доказан без всяких ограничений на образующую последовательность системы Виленкина.

Ситуация меняется, если / принадлежит пространствам, лежащим между Lp и Lqo или L и Lp .

Вначале этот вопрос обсуждался для пространств Орлича [13,23,32,39], лежащих между L и Ьр.

В монографии А. Зигмунда [9] для классов Орлича!/^, где </?(«) = иа (и) и а (и) слабо колеблющаяся функция, доказано, что если е^(0,27г), то 1.

J.

<�р (и) = uf t~2ip (t) dt (см. [9], гл. 12, теорема 4.39). о.

Схожая проблема рассматривалась в статье Файпа и Ткебуча-вы [29] для сепарабельных пространств Орлича L1р. (Заметим, что сепарабельность пространств L^ равносильно тому, что для функции (р выполняется условие Д2, а именно: ip (2x) < ^{х)). В этой работе Файна и Ткебучавы вопросы сходимости были рассмотрен-ны для систем Виленкина, образующие последовательности которых ограничены. Было доказано, что если функция / 6 где и р (и) = uf t~2ip (t) dt, то Фурье-Виленкина сходится к ней по норме 1 более широкого пространства Lv.

В работах Лукомского С. Ф. [33,34] был рассмотрен вопрос сходимости кратных рядов Фурье-Уолша в пространствах Орлича, лежащих между L и Lp.

В работе [15] были определены пространства ЬРА (д, Т) (р > 1, а > О), как пространства измеримых па [0,Т] функций, для ко.

00 /||/|| р р п.

Па торых конечна норма iii/nu=(E п=1 и было доказано, что если функция /? Ьр>а, то ||5"(/) — /||р, а+1.

О (Sn (f) — частичные суммы ряда Фурье-Уолша). Отметим, что пространства ЬРА лежат между Lp и L^ и LP:0l+i более широкое пространство. Таким образом, доказанная в [15] теорема означает, что система Уолша не базис в пространствах LpM) но тем не менее ряд Фурье-Уолта сходится в более широком пространстве ЬРА+.

Асташкин С.В. в своей работе [4] отметил, что пространстваLp^a есть ни что иное, как пространства Лоренца.

Вопрос сходимости рядов Фурье, но тригонометрической системе и системе Уолша в пространствах Лоренца был также изучен Лукомским С. Ф. в работах [16,35|. Было доказано, что если /? Лф) Р при некоторых ограничениях на скорость роста функции Ф), то тригонометрический ряд Фурье функции / тем не менее сходится в более широком пространстве Лоренца Л^, где № f^dt, при 0 < гс <

1).

Ф (ж) = <

Ф (i), при < X < 1. и была показана точность данного результата. Более того, для тригонометрической системы результаты остаются справедливыми независимо от того, но какой последовательности щ стремится к бесконечности номер частичной суммы Snk (f), Т +оо).

В случае системы Уолша результаты отличаются. Сходимость частичных сумм Фурье-Уолша зависит от того, ограничены или нет в совокупности константы Лебега Ln с номерами, пробегающими последовательность {щ}.

В данной диссертационной работе будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца [32] близких к Ьж. Условие близости записывается в виде ограничения на скорость роста функции Ф. Покажем, что система Виленки-на не является базисом в пространствах Лоренца, однако для любой функции / G Лф)(? частичные суммы Фурье-Виленкина Sn (f) сходятся в более широком пространстве Л^ (функция Ф определена равенством (1)). Также будут рассмотрены аналогичные вопросы для кратных рядов Фурье-Виленкина.

В нервом параграфе первой главы дается определение системы Виленкина. Уточняется общепринятая терминология и приводятся необходимые определения и обозначения относительно рядов Фурье-Виленкина.

Пусть {рк} образующая последовательность системы Виленкина.

Vn (x)} [1,2,3,10,11,12,24,31,38], m0 = 1, тк+1 = рктк, рк? N, рк > 2, тогда для любого п? N справедливо представление.

00 п = актк, (ак = 0,1,., рк — 1).

Функции Виленкина с соответствующими номерами п определяются равенством.

Vn (x) = Y[r?(x), к=О где г^(х) = ехр (27гг^). В работе введено понятие модифицированного ядра Дирихле для системы Виленкина:

D*n{x) = Vn*(x)Dn (x), где.

00 п* = актк, {а*к = (Рк — ак) mod рк), к=О.

— дополнительное число для п, и модифицированной частичной суммы.

S*n (f, x) = J D*n (x 0 t) f (t) dt. G.

Заметим, что в частном случае, когдарк = 2 для любого к, т. е. в случае системы Уолша, число п совпадает с п*, модифицированное ядро Дирихле [27] соответственно имеет вид D*n{x) = Wn (x)Dn{x) (Wn (x) — функции Уолша.).

В параграфе 1.2 рассмотрены свойства системы Виленкина и доказана следующая лемма о разложении ядра Дирихле. Лемма 1.2.2 Пусть число п G N записано ввиде S п = + ак2г-1−2ГПк2^-2 +. + ak2imk2i) i=1 где a, j = pjqi, 1 < q{ < pj — 1 j = At2"—i — 1, hi-i ~ 2, k2i, г = 1,2,., 5, ki > к>2 >. > fe определяет пачку в разложении числа п), тогда модифицированное ядро Дирихле можно записать в виде.

ВД =Y,[Dmk2lJx) — Dm^-гМ Е + г=1 ^ г/=0.

Ап*и1,(я) — Dm^^ix) rL-i-2(X) + v=0.

При рассмотрении вопросов сходимости рядов Фурье-Виленкина важную роль сыграли оценки констант Лебега Ln [1,7,17,26,28,36].

Отметим, что при п = rrik меет место следующее соотношение: Lmk = 1. Таким образом, по некоторой подпоследовательности номеров Константы Лебега ограничены. По другой подпоследовательности они растут неограниченно. Вместе с тем порядок этого роста ограничен сверху функцией Inn, а имеено справедливо неравенство In < log2n [1,8J.

Известно, что для системы Уолша имеет место более аккуратная оценка констант Лебега в терминах вариации числа п [37].

Ln< V (n), где.

V (n) = + -sk-i k=1.

— вариация числа.

00 k=0.

До сих пор аналогичных оценок для системы Виленкина не было.

В третьем параграфе первой главы дается оиределениер-вариации для системы Виленкина [18].

Определение 1.3.1. Пусть.

П = ^ актк к=0.

— р-ичное разложение числа п.

00 п* = J2akmk к=О 9.

— дополнительное число к п, тогда число.

00 00 Var (n) = а*0 +? ((4 + aU) mod 2dk) +? (4i — 1), fc=l /c=0 где dk — max{a*kv a^.}^ назовем р-вариацией числа п. (в случае, когда dk = 0, будем считать (а*к + а*кг) mod 2dk = (а*к +), В случае когда образующая последовательность^, не ограничена вместо Var (n) будем рассматривать число.

Var{n) = + f К + «Ц 24 А 4 («U — 1) <*> ^ н Я to Й которое будем называть р-вариации числа п ио последовательности ы.

В терминах определенной вариации найдена двусторонняя оценка для констант Лебега Ln как в случае ограниченной образующей последовательности, так и в случае неограниченной. Терема 1.3.1 Пусть число п записано ввиде S п = ^(a^-i-i^feai-i-i + 0^-1−2^-1−2 +. + ak2imk2i), i=i где cij = pj — qu 1 < g, — < pj — I, j = hi-1 — 1, &2i-i — 2, k2i, г = 1,2, ., s, k > k2 >. > (Qi определяет пачку в разложении числа п), о.

— константы Лебега для системы Виленкипа, тогда.

Var{n).

Если последовательность ограничена числом р сверху, то.

Ln< Var («).

Рг.

Очевидно, что в случае, когда р^ = 2, для любого к = 0,1,., р-вариация определенная в определении 1.3.1 принимает вид вариации V (n), а обе оценки из условия теоремы 1.3.1 превращаются в известную оценку для контант Лебега по системе Уолша в терминах вариации, которая была приведена выше.

Вторая глава посвящена вопросам сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца [19,20,21].

В первом параграфе приведены определения одномерные [32] и m-мерные пространства Лоренца. Даны основные определения и изложены вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем.

Пусть /* - невозрастающая перестановка функции |/|. Назовем Ф функцией Лоренца, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Ф (£) > 0 на (0,1], убывает на (0,1] и выпукла;

2) lim Ф (£) = -foo- 1.

В работе рассматриваются пространства Лоренца.

— порожденные функцией Лоренца Ф (£), которая удовлетворяет следующему условию: для любого р? N существует константа Ср> О такая, что справедливо неравенство.

Условие (2) есть ограничения на скорость роста функции Ф в нуле. При таком условии на функцию Ф пространства Лоренца лежат «между» Lp и Loo.

Пространства Лоренца для функций многих переменных определяется как и в одномерном случае, а именно.

Отметим, что несмотря на то, что / есть функция т переменных, ее перестановка /* есть функция одной переменной.

В параграфе 2.2 рассмотрены простые (однократные) ряда Фурье-Виленкина. Доказана следующая теорема.

Терема 2.2.1 Существует постоянная константа С = С (Ф, q) > О такая, что V/ 6 Лф-<�г sn (f)hq < C\fh, q. где Ф определяется равенством (1).

В силу сепарабельности пространства из э той теоремы следует.

Терема 2.2.2 Если /? то ряд Фурье-Виленкина функции f сходится в более широком пространстве Л j iQ.

В следующей теореме построен пример, доказывающий точность теоремы 2.2.2. Пример был построен для случая, когда образующая последовательность ограничена сверху.

Терема 2.2.3 Пусть образующая последовательность {рк}ь= ограничена числом р сверху, функция Лоренца Ф (х) удовлетворяет дополнительному условию.

V i + bg^y р

Если N = {щ} произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел таких, что supneN Ln = +схэ, то для любой функции a (t) j 0 при t | О существуют функции f Е Лф-(? такие, что отношение — неограничено.

Эта теорема означает, что для /? Лф)9 сходимости по норме более узкого пространства, чем Л^ нет. iQ.

В параграфе 2.3 рассмотрены вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина. Также как и для одномерного случая справедлива следующая теорема.

Терема 2.3.1. Пусть функция Лоренца Ф удовлетворяет условию.

Тогда существует постоянная С = С (Ф, q) > О такая, что V/ G Лф)9([0,1)т) выполняется.

WSniDh, < C\f\%q, где.

Ф (х) = < тп—1.

Ini) Sl^dt npuO.

Ф (I) при < X < 1..

В силу сепарабельности пространств Лоренца из теоремы 2.3.1 следует.

Терема 2.3.2. Если /? Лф)9([0,1)т), то т-кратный ряд Фурье-Виленкина функции f сходится по прямоугольникам в более широком пространстве Л^ ([0,1)ш).

Теорема доказывающая точность теоремы 2.3.2 доказана для случая сходимости по кубам, следовательно тем более предыдущая теорема является точной и в случае сходимости, но прямоугольникам. Пример построен для случая, когда образующая последовательность системы Виленкина ограничена сверху..

Терема 2.3.3. Пусть {T4(t)} - кратная система Виленкина, порожденная последовательностью {рк}&trade-= о> которая ограниченна числом р, и Sn (f, t) — кубические частичные суммы ряда Фурье-Виленкина,.

7 > т) — Тогда для любой функции a (t) J, 0 при 11 0 отношение.

Таким образом, в кратном случае для /? ^ РЯД Фурье-Виленкина сходится в пространстве А^ ^ по Прингсгейму, но в более узких пространствах не сходится даже по кубам..

Ф (я) = < при 0 < х <.

Ф (±) при < X < 1, пеограничено..

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Jly-комскому Сергею Федоровичу за постоянную поддержку и советы при подготовке диссертации..

1. Агаев, Г. Н. Об одном классе мультипликативных ортонормиро-ванных систем функций / Г. Н. Агаев, Г. М. Джафарли // Изв. АН Азерб. ССР, серия физ.-матем. и техн. наук. 1963, № 2, с.27−36.

2. Агаев, Г. Н. К теории мультипликативных ортонормированных систем / Н. Я. Виленкин, Г. Н. Агаев, Г. М. Джафарли // ДАН Азерб ССР, 18,1962, № 9 с.3−7..

3. Асташкин, С. В. Об экстраиоляционных свойствах шкалы Ьр— пространств / С. В. Асташкин // Матем. сб.-2003.-Т.194.-№ 6-С.26−42..

4. Асташкин, С. В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марценкевича близких к L00 / С. В. Асташкин, К. В. Лыков // Сиб. матем. ж., 2006. Т. 47. № 5. с.974−992..

5. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. М.: Физмат-гиз, 1961..

6. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т.2 / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965, 538 с..

7. Кашин, Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. М.: АФЦ, 1999..

8. Красносельский, М. А. Выпуклые функции и пространства Ор-лича / М. А. Красносельский, Рутицкий Я. Б. Физматгиз 1958 272.С..

9. Курош, А. Г. Теория групп / А. Г. Курош. М., 1967. 550. С.

10. Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Фурье Уолша в пространствах, близких к Loo / С. Ф. Лукомский // Матем. заметки, 2001, т. 70, М, С. 882−889..

11. Лукомский, С.Ф. О подпоследовательностях частичных сумм рядов Фурье Уолша в пространствах Лоренца / С. Ф. Лукомский // Известия ВУЗов.-2006.-Математика.-№ 6.-С.48−55..

12. Лукъяненко, О. А. Об оценке констант Лебега по системе Виленкина / О. А. Лукъяненко // Воронежская зимняя математическая школа 2005. Тезисы докладов. Воронеж, 2005 — с. 150..

13. Лукъяненко О. А. О константах Лебега для систем Виленкина / О. А. Лукъяненко // Математика. Механика.: Сб. науч. тр. -Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Выи. 7 с. 70−73..

14. Лукъяненко О. А. О сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О. А. Лукъяненко // Саратовская зимняяматематическая школа 2006. Тезисы докладов. Саратов, 2006 -с.110−111..

15. Лукъяненко О. А. О сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О. А. Лукъяненко // Математика. Механика.: Сб. науч. тр. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Выи. 8 -с. 72−74..

16. Лукъяненко О. А. О сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О. А. Лукъяненко // Известия Сарат. ун-та. Математика. Механика. Информати-ка:Саратов, 2007. с. 15−22..

17. Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. М.: Наука, 1973..

18. Симоненко, И. Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И. Б. Симоненко // Матем. сб. 1964. Т.63. С.536−553.

19. Хеладзе, Ш. В. О расходимости всюду рядов Фурье-Виленкина ио ограниченным системам Виленкина / Ш. В. Хеладзе // Тр. Тбилисского матем. института АН Груз. ССР. Вып. 58, 1978. С.225−242..

20. Шнейдер, А.А. О единственности разложений по системе функций Уолша / А. А. Шнейдер j j Матем. сб., 24, 1949, 279 300..

21. Шнейдер, А.А. О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша 7~А.А. Шнейдер // Мат. сб. 1954.Т.34. № 3. С.441−472..

22. Billard, P. Sur la convergence presque par tout des series de Fourier-Walsh des fonctions de l’espace L2(0.1) / P. Billard // Studia Math-1967. V.28. № 3. P.363−388..

23. Fine, N.I. On the Walsh functions / N.I. Fine // TYans. Amer. Math. Soc., 65, 1949, № 3, 372−414..

24. Finet, C. Walsh-Fourier Series and TheirGeneralizations in Orlicz Spaces / C. Finet, G.E. Tkebuchava // J. Math. Anal. Appl. 221 (1996), 405−418..

25. Frendenthal, H. Die Haarschen Orthogonalsysteine von Gruppencharakteren in Lichte der Pontrjaginschen Dialitatstherue / H. Frendenthal // Сотр. Math., 5, 1938, c.354−357..

26. Gosselin, J. Almost everywhere convergence of VilenkinFourier series / J. Gosselin // Trans. Amer. Math.Soc. 1973. V.185. P.345−370..

27. Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces / J. Linderistrauss, L. Tzafriri. Berlin: Springer-verlag, 1979..

28. Lukomskii, S.F. Convergence of multiple series in measure and in L / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 1997. V. 3. № 3. P. 317−332..

29. Lukomskii, S.F. Convergence of multiple Walsh series in near L^ Orlich spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9. № 3. P. 295−308..

30. Lukomskii, S.F. Convergence of fourier series in Lorents spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V.9. No. 2. P. 229−238..

31. Paley, R. A remarkable series of orthogonal functions / R.E.A.C. Paley // Proc. London Math. Soc. 1932. V.34 P.241−279..

32. Shipp, F. An Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. / F. Shipp, W.R. Wade, P. Simon. W.R. Akademiami Kiado, Budapesht, 1990..

33. Simon, P. On the divergence of Vilenkin-Fourier series / P. Simon // Acta math. Hung. 1983. V.41. № 3−4. P.359−370..

34. Watari, C. Mean convergence of Walsh-Fourier series. I / C. Watari // Tohoku Math. J. 16, 1964. № 2. P.183−188..

35. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series / W.-S. Young// Trans. Amer. Math. Soc., 218. 1976, 311−320..