Анализ высокоэнергетичных компонент космического излучения методами непараметрической статистики

Проверка научной теории представляет собой сложный процесс сопоставления двух систем: теоретической модели изучаемого явления и модели используемых экспериментальных методов и установок /I/. Сопоставление становится возможным только при помощи дополнительных гипотез, прошлого опыта, фрагментов других теорий. Это множество предположений, иногда неявных и трудно проверяемых, часто содержит неопределенности и неточности, что мешает проводить объективное сравнение.

Машинное моделирование требует формализации и алгоритмизации всех предположений, скрытых или явных. Точная алгоритмическая формулировка всей семантической нагрузки комплекса теория — эксперимент не оставляет места для неопределенностей и ведет к большей ясности в основной проблеме экспериментальной физики — сравнению теории с экспериментом. Возможности современных ЭВМ позволяют строить детальные модели сложных стохастических процессов, не только учитывающих значительное многообразие действующих факторов, но и, в известной степени, отражающих структуру моделируемого явления.

Однако, как часто бывает, развитие новых вычислительных методов ставит много методологических вопросов. Среди них можно отметить вопрос об обоснованности статистических выводов о модели по результатам вычислительных экспериментов. В настоящее время ряд статистических процедур, используемых для анализа результатов машинного моделирования, весьма ограничен, поэтому проведение адекватного анализа часто оказывается настолько трудным, что иногда фактически игнорируется, и полученные оценки переносятся на физические явления без особых на то оснований /2/.

Резкое увеличение информативности, характерное для планируемых экспериментов и в физике космических лучей и на ускорителях, требует для эффективного и обоснованного использования результатов моделирования физических процессов привлечения современных разделов математической статистики.

Е&бор статистических процедур для анализа вычислительных экспериментов относится к принципиальным вопросам моделирования и должен решаться в рамках более общего подхода, чем теория математической статистики, в которой модель и дополнительные предположения о данных считаются заданными, йабор математической модели данных (не путать с машинной моделью — имитацией с помощью ЭВМ экспериментальной ситуации) — это в основном выбор вида совместной функции распределения случайных величин, связанных с экспериментом. Самая распространенная математическая модель процесса измерения — это модель независимых и одинаково нормально распределенных случайных ошибок. Реальность сложнее любой математической модели, и отклонения характеристик реальных данных от предполагаемых может привести к значительному снижению эффективности процедур обработки. Как отмечается в /3/, при выборе допущений мы руководствуемся соображениями, представляющими смесь опыта и физической интуиции. Опасность состоит в том, что, если принятые нами допущения не выполняются, то наш анализ, оставаясь вполне корректным в рамках выбранной модели, может иметь весьма косвенное отношение к действительности.

Этих опасностей старается избежать прикладная статистикадисциплина, в которой мера адекватности выбранной математической модели и изучаемой действительности является решающим фактором, определяющим эффективность и действенность используемых затем методов статистической обработки /4/. В прикладной статистике стараются осуществить более реалистичную постановку задач. Это прежде всего касается отказа от априорного предположения об известной с точностью до неизвестного параметра функции распределения, то есть от параметрических методов. Непараметрическая статистика с самого начала предполагает, что функциональный вид распределений неизвестен, при этом стараются избегать ссылок на центральную предельную теорему, для обоснования нормальности ошибок, так как многочисленные исследования показали, что на практике реализуются несимметричные, многомодельные распределения, которые, в лучшем случае, лишь приближенно согласуются с нормальным /5/. Практическая работа с существенно ограниченными выборками поставила под сомнение актуальность для прикладных вопросов значительной части асимптотической теории математической статистики, как относящейся к пределам, которые фактически не достигаются. В /6/ даже отвергается любая статистическая техника, которую нельзя проверить с помощью машинного моделирования.

Однако, к сожалению, в физике космических лучей до сих пор широко применяются классические схемы обработки даншх, которые основываются на независимости и нормальности случайных ошибок, а поиск закономерностей ведется в предположении априорно постулируемой функциональной зависимости. Исторически эти метода впервые были применены к астрономическим и геодезическим наблюдениям, где в экспериментальных методах была достигнута большая точность и распределения ошибок носили гауссовский характер. Живучесть этих представлений связана и с тем, что абстрактная теория статистики использует нормальную модель как удобную идеализацию, позволяющук создать последовательную теорию. Однако, как показал еще К. Пирсо* /7/, миф о всеобщей нормальности является абсурдным, и вообще, очень редко. эмпирические распределения в экспериментальной физике можно заменить аналитическими. Как показано в /8/, использование сложных аналитических выражений может привести к тому, что функция будет хорошо описывать конкретные эмпирические данные, нохуже искомую зависимость.

Характерной особенностью статистических решений в вычислительном эксперименте является то обстоятельство, что информация, необходимая для математической формулировки задачи обработки, заключена в наборах реализаций вероятностной модели. Эти наборы обычно называют обучающими выборками (ОВ). В ОВ отображаются всевозможные вариации наблюдаемых физических величин, порождаемые индивидуальными различиями и изменениями множества их свойств, допустимых в пределах данного состояния. В дальнейшем для генерации ОВ будет использован ряд машинных моделей. Это программа прохождения мюонов через Арагацский искровый калориметр /9/, алгоритм моделирования РПИ-детектора /10/, имитационная модель магнитного спектрометра /II/, теоретические банки данных сотрудничества «Памир» /12/ и программа моделирования отклика периодической системы детекторов ионизации /13/. Все модели осуществляют учет экспериментальной ситуации и на выходе генерируют величины, аналогичные наблюдаемым в эксперименте. Так как при получении ОВ контролируются входные параметры машинных моделей, то всегда известно, какой тип начальных данных (какая модель) реализовался в данном наборе. Использование ОВ с известной принадлежностью, как базы дальнейшего статистического анализа экспериментальных данных, носит название обучения с «учителем». Обучающие выборки отражают стохастический характер взаимодействий космических лучей, наличие многих каналов сильных и электромагнитных взаимодействий, а также случайный характер явлений, лежащих в основе функционирования регистрирующих приборов. Поэтому, было бы чрезмерным ожидать от распределений выходных характеристик машинных моделей «хорошего» поведения, укладавающегося в предположения классических процедур. К выбору априорных предположений, лежащих у начала анализа, следует подходить с известной осторожностью. Самым слабым предположением является предположение, что характерные черты изучаемого явления как-то отражаются через структуру обучающей выборки. Согласно гипотезы компактности /14/ следует ожидать, что векторы признаков данного класса (модели) в некотором смысле будут ближе друг к другу, чем большинство векторов других классов. Локальное оценивание функции плотности вероятности в признаковом пространстве, как будет показано, приведет к содержательным и эффективным статистическим процедурам. Если же оценки плотности искать в предположении узкой структуры (например, предположить нормальность признака и оценить перше моменты его распределения), то можно прийти к совершенно неверным выводам.

Минимальная математическая модель, постулирующая лишь компактность, приводит к методам, основанным на непредвзятом анализе структуры данных — конфигурации точек в Nмерном признаковом пространстве. Таким образом, мы отказываемся от трудно проверяемых произвольных предположений о виде функции распределения и распределении ошибок, то есть от параметрического типа задания априорной информации, и стараемся полностью использовать информацию, заключенную в обучающей выборке, путем разработки непараметрических методов статистического анализа, основанных на локальном оценивании плотности вероятности.

Рассмотренное локальное оценивание является инструментом интерпретации данных. Допустим, существуют альтернативные модели, реализованные в обучающих выборках. Измеренное экспериментальное значение х", как и реализации моделей в ОБ, являются точками Nмерного выборочного пространства. Первым шагом на пути решения, к какой из моделей эта точка наиболее близка, является интерпретация экспериментального значения. Если бы в выборочном пространстве был задан некий класс функций ^(х], зависящий от параметра 6, то лучшей интерпретацией была бы функция правдоподобия Щх/6), ОеЯ Заметим, что следует отличать метод максимального правдоподобия как метод интерпретации данных и как метод оценивания. В данном случае отнюдь не следует, что максимально правдоподобная оценка (оценка и, максимилизирующая) является наилучшей оценкой параметра 6 /15/.

Так как в нашем случае нельзя ожидать, что ОБ можно описать функцией с не очень большим числом параметров, то единственной возможностью интерпретации экспериментального значения X являются локальные оценки плотности в точке X, с использованием альтернативных классов 0В-р (х/(0|) «в которых суммируется информация о взаимном расположении вектора X и классов обучающей выборки,, I = 4 , — Ь — число классов ОВ.

Любая получаемая информация о физической величине или системе величин предполагает либо принятие решения, либо оценивания /16/. По измеренным детектором переходного излучения энергиям рентгеновских^{-квантов} следует принять решение о типе частицы, прошедшей через детектор, по числу вторичных частиц в искровых камерах калориметра необходимо оценить энергию прошедшего мюона. и т. п. Принятие статистического решения — следующий шаг после интерпретации данных, который подразумевает оптимальный синтез информации об измеряемой величине, известной до опыта с экспериментальной информацией. Наиболее полный учет всей полезной информации и учет всех последствий принимаемых решений осуществляется в.

Байесовском подходе /17/.

Введение

априорных плотностей, характерных для байесовского подхода, не встречает при обработке данных физики космических лучей серьезных затруднений. Например, при классификации адронов космического излучения в качестве априорной вероятности можно взять ЛГ/р отношение, измеренное в предыдущем наиболее достоверном эксперименте. Внесение априорной информации непосредственно в процедуру статистического решения позволяет учитывать, кроме того, и дополнительную информацию: энергию адро-на, измеренную ионизационным калориметром, и плотность электромагнитного сопровождения.

Многие задачи физики космических лучей имеют характер классификационных — требуется отнести зарегистрированное событие к одному из возможных состояний. При классификации большие объемы зашумленной, косвенной информации преобразуются в ценную информацию о отнесении события к конкретному типу. Задача определения первичного состава космического излучения при помощи анализа флуктуационных распределений мюонов и электронов в ШАЛ /18/ также относится к этому типу. И, наверно, было бы целесообразнее использовать обучающие выборки, полученные путем полного моделирования экспериментальной ситуации, непосредственно для классификации по ним экспериментальных данных, чем предварительно апрокси-мировав их аналитическими распределениями, решать итерационную г задачу минимизации X, для определения весовых коэффициентов. И вообще, чем меньше субъективного элемента вносится в анализ, тем достовернее будут вывода о природе физических явлений.

Классификационной является также задача выбора наиболее информативной системы признаков для возможного различия моделей сильного взаимодействия. Мерой различия классов ОВ может служить вероятность ошибочной классификации при использовании оптимального (байесовского) классификатора. Наилучшим будет считаться тот комплекс признаков, используя который, можно добиться наилучшей классификации, то есть минимума ошибок.

Другой тип статистических процедур связан с необходимостью приписать случайной величине не индекс класса, к которому она принадлежит (классификация), а величину, имеющую непрерывное распределение в некотором интервале. Если при классификации множество возможных решений было конечным, то теперь — оно бесконечно. К этому типу задач относится оценивание энергии мюона, распределенной согласно некоторому энергетическому спектру.

Следует опять-таки отметить, что и характеристика и метод решения задачи зависят от доступной априорной информации. Если энергетический спектр неизвестен, то задачу определения энергии мюона можно сформулировать как классификацию зарегистрированных событий по заданному числу энергетических интервалов. Обучающая выборка в этом случае состоит из N классов. Энергию каждого класса можно полагать равной средней в интервале или разыгрывать равномерно внутри каждого интервала (в работе /19/ было использовано 13 интервалов от 5 до 10 000 ГэВ). Если же нас интересует не измерение энергетического спектра, а оценивание энергии каждого зарегистрированного мюона для исследования ядерных или электромагнитных взаимодействий, то тогда доступна априорная информация о энергетическом спектре и эту информацию следует использовать в статистической процедуре оценивания: обучающая выборка генерируется согласно известному энергетическому спектру.

Задача предсказания неизвестного значения переменной у, связанной с известной переменной у стохастической связью, решается методами восстановления регрессии /20/. Регрессией у на Г называется функция, задаваемая множеством упорядоченных пар х, 7(х)). где у (xJ — математическое ожидание независимой переменной, при условии, что зависимая приняла определенное значение. Обычно предполагают форму регрессионной зависимости известной с точностью до конечного числа параметров, и оценивают эти параметры методами максимального правдоподобия или наименьших квадратов. Однако общее понятие регрессии шире, чем подгонка параметров известной кривой, и, следуя принципу минимальности используемой модели данных, мы не будем специфицировать вид функции регрессии, а будем ее восстанавливать локально по мере поступления экспериментальной информации.

В диссертационной работе проводится последовательное построение непараметрических методов решения задач обработки информации, получаемой с типичных экспериментальных установок в космических лучах. Нашей целью будет создание согласованной системы методов, позволяющих проводить многомерный анализ больших объемов информации, относящейся к различным характеристикам разнотипных частиц. Построение крупных комплексных установок (эксперимент АНИ) /21/ требует проведения большого цикла вычислительных экспериментов с машинными моделями прохождения излучения через атмосферу и экспериментальные установки. Только создание эффективной методики совместного анализа результатов вычислительных экспериментов с моделями и экспериментальных данных позволит делать выводы о характере сильного взаимодействия и составе первичного потока в области энергий вплоть до 10*® эВ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и заключения. Всего 107 страниц текста, 14 рисунков и 7 таблиц.

Список литературы

содержит 94 ссылки.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах /19, 39, 43, 44, 45, 51, 52, 72, 73, 80, 81, 84, 85, 86, 88, 92/.

В заключение выражаю искреннюю признательность своим научный руководителям — профессорам Асатиани Т. Л. и Мамиджаняну Э. А. за всестороннюю помощь и поддержку в ходе выполнения работы. Благодарю чл.-корр. АН АрмССР Матиняна С. Г. за полезные и стимулирующие обсуждения. Считаю своим приятным долгом отметить ценное сотрудничество с коллективом ВЦ ЕрфИ и кандид. физ.-мат. наук Акопошм Н.З.

Постановке и решению задачи создания многомерных методов анализа данных РЭК экспериментов во многом способствовали многочисленные обсуждения с кандид. физ.-мат. наук Дунаевским A.M.

Вопросы создания статистических методов идентификации адро-нов космического излучения эффективно обсуждались с канд. физ.-мат. наук Авакяном В.В.

Новые методы обработки калориметрической информации и их применения к данным Арагацской установки обсуждались с канд. физ.-мат. наук Тер-Антоняном C.B.

Результаты расчетов параметров магнитного спектрометра эксперимента АНИ обсуждались с канд. физ.мат. наук Ивановым В. А. и Мнацаканяном Э.А.

Большой вклад в дело создания математического обеспечения внесли Галфаян С. Х. и Арутюнян С.Х.

Зазян М.З. и Чилингарян Н. С. активно участвовали в применении созданных непараметрических методов к обработке данных экспериментов «Памир» и «Пион» .

Будумян Т.А. оказала большую помощь в оформлении диссертационной и других печатных работ.

Всем им автор выражает свою глубокую благодарность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Специфика современных экспериментов в космических лучах состоит в разнообразии методов получения информации и в необходимости ее совместного анализа с результатами вычислительных исследований, проводимых с помощью машинных моделей прохождения излучения через атмосферу и детекторы элементарных частиц. Существенная многомерность задачи не позволяет применять распространенные в настоящее время метода обработки информации с отдельных установок для анализа данных с крупных измерительных комплексов, регистрирующих пространственные и энергетические характеристики потоков разнотипных частиц.

Развитый новый подход к анализу многомерных данных можно охарактеризовать тремя ключевыми словами: байесовский, непараметрический и адаптивный. Созданы следующие методики обработки данных, которые и выносятся на защиту.

1. Классификационный способ идентификации адронов космического излучения. Применение этого метода к обработке данных установки «Пион» позволило уменьшить ожидаемую ошибку идентификации до 13% и учесть априорную информацию об энергии частицы и плотности ливневого сопровождения.

2. Многомерный анализ данных рентген-эмульсионных экспериментов, включающий: а) поиск модельно-зависимых комбинаций признаков по результатам моделирования ядерно-электронных каскадов (одновременнс можно рассматривать наборы, включающие до 30 различных признаков) б) выбор теоретической модели, наиболее подходящей экспериментальным даннымв) определение массового состава первичного потока космического излучения в условиях неопределенной модели сильного взаимодействия. Анализ, проведенный в рамках сопоставления моделей.

М, А, Мб, Femi,, Femcxx ' показал' что Д°лю семейств, инициированных тяжелыми ядрами, можно будет определить с точносты не хуже 0,05- г) выделение событий определенного типа из первичной информации, например, бинокулярных событий.

3. Метод повышения максимально-измеренного импульса мюонных магнитных спектрометров путем коррекции юстировочных констант с помощью алгоритмов случайного поиска и применения непараметрических методов определения импульса мюона. Применение методов к данным Арагацского мюонного спектрометра (безфильмовый канал) позволило повысить максимально-измеримый импульс с I до 2.5 ТэВ/с,.

4. Метод обработки данных калориметрических установок типа PAIR-METER и искровый калориметр, включающий в себя: а) классификационный способ измерения энергии мюонов.

Применение этого метода к данным Арагацского искрового калориметра позволило увеличить долю правильно классифицируемых мюонов больших энергий (> I ТэВ) с 17 до 30%- б) регрессионный способ оценивания энергии, позволяющий учесть априорную информацию об энергетическом спектре мюоновв) метод подавления фона от ядерных взаимодействий низко-энергетичных мюонов, позволивший довести уровень дискриминации с.

ПГ1 ДО Ю" 3;

В диссертационной работе предложен, разработан и реализован комплексный подход в решении задач обработки данных экспериментальных установок в космических лучах. В основе разработанных методов лежат новые непараметрические алгоритмы, позволяющие качественно по новому, с большой достоверностью решать задачи обработки информации.

Практическое преимущество новых методов продемонстрировано путем обработки данных машинных моделей и данных с экспериментальных установок в/с Арагац.

Созданные метода могут быть рекомендованы для обработки данных как с установок в космических лучах, так и с ускорительных экспериментов (процессы множественного рождения, идентификации частиц и выделения событий определенного типа в калориметрических установках).

Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на всесоюзных конференциях по космическим лучам (Якутск, 1977, Ереван, 1979), Международной конференции по математическим методам решения физических задач (Дубна, 1977), Международных конференциях по космическим лучам (Пловдив, 1977, Париж, 1981, Бангалор, 1983), на сессии ядерного отделения АН СССР (МИфИ, 1983), на всесоюзной конференции по математической теории распознавания образов (Звенигород, 1983), на всесоюзной школе-семинаре по программно-алгоритмическому прикладному статистическому анализу (Цахкадзор, 1983) и на рабочих совещаниях эксперимента АНИ (1980 — 1983 гг.).