Построение и исследование асимптотических моделей нелинейных гидродинамических и диффузионных процессов

Быстро развивающиеся возможности экспериментальной науки и вычислительной техники, задачи лабораторной и производственной практики порождают увеличивающийся со временем рост внимания к проблемам поиска путей, факторов и внутренних механизмов регуляции поведения нелинейных систем. Наряду с более традиционными задачами математического моделирования — описанием и прогнозом динамики, вопросы, связанные с изучением ее внутренней организованности и управлением ее основными характеристиками, находят отражение в многочисленных аналитических исследованиях.

Вместе с тем, особую значимость для современной нелинейной динамики приобретают задачи, связанные с теоретическим изучением реалистичных исходных математических моделей, имеющих конкретные и актуальные практические приложения (в таких областях, как биофизика, тонкие технологические процессы и т. д.), в непременном сочетании с адекватным учетом физики рассматриваемых явлений [92].

Оба этих аспекта сопряжены с применением, прежде всего, качественной (конструктивной) теории, связанной с изучением пространственно — временной структуры решений и дающей возможность наглядно описать их конкретные свойства, механизмы формирования динамики [46]. Вместе с тем, «. развитие конструктивной теории нелинейных дифференциальных уравнений математической физики немыслимо без использования методологии математического моделирования на ЭВМ и вычислительного эксперимента.. в особой степз-ни это относится к результатам, непосредственно ориентированным на приложения» [46] (с. 8).

Очень часто при теоретическом изучении явлений, представляющих интерес для современного естествознания, за основу берутся нелинейные многокомпонентные модели, в которых фигурирует множество определяющих параметров, — так что большинство из рассматриваемых математических моделей довольно сложны и труднодоступны для непосредственного анализа. Вместе с этим, хорошо известно, что даже сравнительно простые нелинейные распределенные системы могут отражать весьма сложное поведение, описать и изучить которое не так-то просто. Однако в большинстве ситуаций не все степени свободы равнозначны, и нередко лишь несколько из них (параметры порядка) имеют определяющее влияние на динамику, — что может существенно облегчить изучение многих важных ее аспектов [4], [34], [41], [49].

Одним из основных подходов, которые позволяют систематическим образом сводить исходные сложные многокомпонентные модели к простейшим формам, соответствующим достаточно специальным, но реалистичным физическим ситуациям, является редуктивиая теория возмущений. Редукция исходной задачи осуществляется с помощью обычного предположения о малости (и конечности) амплитуды возмущений, развивающихся на фоне основного состояния системы, ограничений на порядки определяющих параметров, а также с помощью выделения в динамике асимптотически различных пространственных и/или временных масштабов и преобразований растяжения соответствующих переменных. При этом в разных пространственно — временных областях масштабирование может быть различным, равно как и типы асимптотических разложений, которые в этих ситуациях необходимо сшивать на границах рассматриваемых областей.

Этот процесс редукции не вполне однозначен, поскольку подходящий масштаб приходится выбирать с помощью опыта или интуиции" [16] (с.259), и требует некоторых соображений, не всегда строгого характера.

Вышеупомянутые преобразования, основанные в каждой конкретной ситуации на специфических предположениях, позволяют существенно упростить исходную математическую модель и, во многих случаях, свести ее к единственному амплитудному уравнению, эффективно описывающему вторичные режимы в рамках используемых ограничений. При этом, что весьма важно, с достаточной ясностью можно отразить и понять соответствующий физический механизм, индуцирующий развитие возмущений.

Принципиально иной подход к упрощению описания динамики, выражаемой нелинейными математическими моделями, состоит в том, чтобы с помощью некоторых точных преобразований (эквивалентности) привести исходную систему к виду по-возможности более доступному и удобному для теоретического или численного исследования (например, провести линеаризацию). На этом пути можно получить точные решения, обнаружить некоторые симметрии, приблизиться к постижению внутренней природы задачи. Несмотря на многие достоинства данного подхода, вероятно, его возможности в плане объяснения механизмов формирования динамики и поиска путей ее регуляции относительно ограничены. Кроме того, его применение не имеет достаточно выраженного систематического характера и предполагает обычно наличие специфической структуры исходной математической модели. Существование точных соотношений между параметрами, в известном смысле, также сужает область приложений. Тем не менее, в контексте поиска различных путей внутренней организации динамики данный подход может с пользой применяться как дополнение к другим аналитическим и численным методам.

Еще один аспект проблемы исследования сложного поведения нелинейных систем путем упрощения представления некоторых наиболее существенных (в определенных ситуациях или с определенной точки зрения) особенностей динамики, состоит в следующем. Как известно, поведение решений широкого класса диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сходно при достаточно больших временах с развитием процессов в конечномерных динамических системах. В частности, многие диссипативные эволюционные уравнения имеют глобальные аттракторы с конечными хаусдорфовой и фрактальной размерностями. В последнее время развиваются различные подходы к построению и изучению математических моделей асимптотического поведения динамических систем на (конечномерном) аттракторе, которое, как правило, существенно проще, чем эволюция произвольно выбранных начальных данных. Наряду с изучением разнообразных динамических и топологических свойств аттракторов, в частности, получением оценок их размерностей, целесообразно исследование и таких аспектов проблемы, как выяснение механизмов формирования конечномерной динамики предельных режимов, или определение возможности эффективного представления поведения системы с помощью конечного числа мод.

Основные цели диссертации.

1. Основанный на рассмотрении вариантов самосогласованной редукции исходных полных математических моделей, выводе и исследовании соответствующих эволюционных уравнений, теоретический поиск и изучение простых внутрисистемных факторов, конфигураций систем и физических механизмов, с помощью которых можно осуществлять регуляцию длинноволновой динамики пленочных и двуслойных течений вязкой жидкости. Именно, задачей является рассмотреть: а) некоторые термокапиллярные эффекты, связанные с балансом напряжений на межфазной границе и переносом энергии через нееб) некоторые эффекты нормального к невозмущенной межфазной поверхности постоянного электрического поля.

2. Изучение слабых эффектов конвективного переноса и (взаимной) диффузии компонент нелинейных диффузионных систем как факторов управления модуляцией и перемещением волновых фронтов, формирующихся в средах различной природы.

3. Поиск преобразований эквивалентности систем эволюционных уравнений.

4. Численное и аналитическое изучение некоторых свойств периодических и стационарных решений простейшей модели нелинейных процессов в диссипативных системах с эффектами неустойчивости и дисперсии — уравнения Бенни — Кавахары.

5. Исследование вопроса о механизмах формирования конечномерной динамики предельных режимов нелокальных диссипативных квадратично — нелинейных систем.

6. Изучение некоторых аспектов проблемы резонансных и иных способов влияния на динамику с помощью факторов слабой и сверхслабой интенсивности.

7. Изучение некоторых аспектов динамики, описываемой уравнениями типа Уизема — классе систем, содержащем многие упрощенные модели разнообразных явлений.

Основные асимптотические подходы.

Подчеркнем, для достаточно глубокого изучения механизмов формирования и регуляции динамики нелинейных систем, на наш взгляд, наиболее целесообразно рассматривать процессы в становлении, в развитии. Исследование проводится в рамках следующих направлений: а) вывод амплитудных уравнений, асимптотически или приближенно описывающих динамикуб) получение асимптотических решений исходных системв) асимптотическое описание некоторых свойств динамики.

Упрощение рассматриваемых в работе исходных математических моделей проводится преимущественно на основе различных методик редуктивной теории возмущений (за исключением анализа, проводимого в параграфе 7, где рассматриваются точные преобразования эквивалентности). Выбор адекватных рассматриваемой проблеме пространственных и временных масштабов — одна из наиболее ответственных процедур в рамках данного подхода. В зависимости от физической природы и геометрии поставленной задачи, конфигурации системы, некоторых особенностей ее математической структуры, она основывается на весьма разнообразных соображениях.

Кратко обрисуем сущность основных подходов, используемых в работе, и взаимоотношения между ними.

I. Многие исходные математические модели допускают решения в виде синусоидальных волновых пакетов <р = а ехр{{(кх — со (к)1,)} к.с. в случае, когда амплитуда, а = const достаточно малафункция со (к) определяет линейное дисперсионное соотношение рассматриваемой системы, величина к представляет волновое число. Под действием фонового источника потенциальной энергии основное состояние системы может стать неустойчивым, когда один из ее параметров (скажем, ц) переходит через некоторое критическое значение /icв надкритической области энергия будет перетекать к эволюционирующему волновому пакету: (р = Aexp{i (kx — ut)}, где амплитуда, А уже не является постоянной, но меняется в пространстве и во времени. Типична ситуация, когда решение уравнения Im и (к, /i) — О дает в пространстве (&,/i) кривую параболической формы: fi = R (k), точка минимума которой к = кс, /I = цс является критической точкой. Если волновое число кс достаточно велико, то в узкой полоске, соответствующей неустойчивым модам, (кс — б, кс + е), 0 < e (/i) <С 1, по мере отклонения бифуркационного параметра ?1 от своего критического значения будет развиваться слабонелинейный вторичный процесс, временной масштаб которого определяется малостью инкремента в области слабой надкритичности, а характерный пространственный размер детерминируется малостью величины «интервала неустойчивости» А к = 2е. В простейшем случае описание вторичного режима в терминах новых масштабированных переменных дается (кубически нелинейным) обобщенным уравнением Гинзбурга — Ландау, которое возникает как условие разрешимости последовательности ап-проксимационных задач в третьем порядке [8], [16], [111], [119]. В чисто дисперсионном случае данный подход позволяет описать развитие медленно меняющейся огибающей, которая модулирует быстро осциллирующую несущую волну конечной амплитудырезультирующим является нелинейное уравнение Шредингера или его обобщения [11], [16].

Некоторым обобщением и формализацией данного подхода является методика редукции динамики системы на центральное (центрально — неустойчивое) многообразие [79]. Этот метод позволяет свести изучение поведения системы в окрестности точки бифуркации к анализу ее эволюции на инвариантном многообразии, касательном к подпространству, образуемому (обобщенными) собственными векторами линеаризованной задачи, соответствующими собственным значениям с нулевыми (нулевыми и положительными) мнимыми частями.

II. Во многих ситуациях, однако, критическое волновое число кс равно нулю либо достаточно мало, так что, А к ~ кс — кривая нейтральной устойчивости не имеет типичного «носика». В случае, когда характерная длина волны развивающихся вторичных режимов достаточно велика, подход (I) оказывается неадекватным [65], и используются иные методы редукции, в частности, длинноволновое приближение [16], которое естественным образом фиксирует характерный пространственный размер вторичных процессоввыбор соответствующего временного масштаба может быть основан на анализе линейного дисперсионного соотношения рассматриваемой задачи. Простейшими амплитудными уравнениями, получаемыми в рамках данного подхода, являются хорошо известные уравнение Кортевега — де Фриза (случай дисперсионных исходных систем) и уравнение Бюр-герса (диссипативные системы) [16], [112]. Несколько более сложными примерами (имеющими непосредственное отношение и к данной работе) являются уравнения Курамото — Сивашинского (Курамото — Веларде) [107], [108], [121] и Бенни — Кавахары [60], [86].

В области, где используется длинноволновое приближение, задача существенно упрощается в первых порядках. Часто конфигурация рассматриваемых систем такова, что целесообразно учитывать также влияние процессов в смежной области, в которой длинноволновое приближение, вообще говоря, неприменимо, однако в силу линейности аппроксимационных задач можно искать их решения с помощью интегральных преобразований, например, преобразования Фурье. В этом случае закономерно возникают нелокальные эффекты — результирующее амплитудное уравнение является интегродифференциаль-ным [23], [24], [100], [101], [103].

III. При изучении разнообразных аспектов динамики нелинейных диффузионных систем во многих случаях масштабы устанавливаются непосредственно из соотношений между управляющими параметрами без привлечения результатов линейного анализа. Специфические отношения между параметрами системы, выражающиеся как асимптотически малые величины в математической формулировке задачи, основообразуют динамику, которая характеризуется соответствующим различием пространственных и временных масштабов. (Примером подобного рода динамики является формирование и эволюция так называемых контрастных структур [7].).

С другой стороны, появление контрастных структур или таких особенностей, как слабая искривленность волнового фронта и т. п., могут быть обусловлены не только наличием малых параметров, характеризующих заданную извне конфигурацию системы, но и ее внутренней динамикой.

В любом случае, наличие таких особенностей основного неоднородного состояния системы, как узкие переходные пространственно временные области (типа погранслоев), где величины сравнительно быстро меняют свои значения, или малая кривизна волнового фронта и т. д. дает основания для соответствующего выбора масштабов. Одним из продуктивных методов исследования нелинейных диффузионных систем в данном направлении является подход, основанный на соображениях, применяемых в геометрической оптике, [74], [88], [102].

IV. В ряде случаев факторы конечного порядка малости могут породить эффекты, которые принципиально не могут быть учтены ни в одном порядке теории возмущений, и обратно, — экспоненциально малые возмущения могут оказывать существенное (конечного порядка) влияние на динамику. Такие ситуации возникают, например, когда величина мнимой части главного собственного значения линеаризованной исходной задачи экспоненциально мала, что, в свою очередь, может быть обусловлено специфическими граничными эффектами — расхождением между решением задачи в главном порядке внутри области и условиями на границе [93], [118]. Направление нелинейного анализа, в рамках которого изучаются подобные вопросы, (известного как «asymptotics beyond all orders»), получило значительное развитие на протяжении минувших 15 летв данной области исследований рассматриваются задачи разнообразной природы от гидродинамики до квантовой теории поля (см., например, [54], [78], [91], [93], [105], [106], [118], [120]). Весьма целесообразным представляется изучение влияния сверхслабых факторов (экспоненциально малой интенсивности) на характер протекания различных физико — химических и биофизических процессов, в частности, на динамику в активных диффузионных системах с переносом.

V. Удаление секулярных членов в третьем порядке по малому параметру можно рассматривать как кубический резонанс. Если динамика нелинейной системы определяется взаимодействием нескольких волн с различными волновыми числами и частотами, то возможно квадратично — нелинейное резонансное взаимодействие (секулярные члены присутствуют во втором порядке) [16]. Во многих ситуациях целесообразно рассматривать взаимодействие слабо модулированных периодических волн, для которых существенны эффекты отклонения от строгой монохроматичности. В этом случае условия резонанса, — специфические соотношения между волновыми числами и частотами, например, &1+&2 = = о>з> — часто выполняются не глобально, а локально — на определенных (резонансных) пространственновременных поверхностях [77]. Методика, изложенная, в частности, в работе [77], позволяет приближенно описать соответствующие волновые процессы в различных системах в достаточно узкой окрестности резонансных повехностей.

Проблематика и содержание диссертации.

Практические приложения.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с поиском простых физических факторов и конфигурации систем, при помощи которых можно управлять динамикой течений тонких пленочных слоев вязкой жидкости по вертикальной плоской либо цилиндрической стенке. Именно, с помощью метода многомасштабных растяжений в пределе асимптотически большого эффективного поверхностного натяжения свободной границы для чисел Рейнольдса порядка 0(1) выводятся эволюционные уравнения, описывающие слабонелинейные длинноволновые режимы в пленочном слое в следующих системах.

В параграфе 1 рассматривается пленочное течение под действием силы тяжести при наличии термокапиллярных эффектов (учитывается вклад термокапиллярности в баланс напряжений на свободной поверхности тонкого слоя и влияние на перенос энергии через нее), когда число Марангони асимптотически велико. Показано что при определенных условиях динамика описывается квадратично — нелинейным уравнением в частных производных типа Бенни — Каваха-ры. На основании проведенного анализа, можно предположить, что рассматриваемые термокапиллярные эффекты могут быть использованы в качестве фактора, способствующего регуляризации неупорядоченной динамики пленочного течения, а также формированию квазистационарных режимов. Рассмотрены некоторые другие возможные следствия влияния исследуемого физического механизма на динамику пленочных течений.

В параграфе 2 изучается течение пленочного слоя вязкой диэлектрической жидкости по вертикальной стенке в постоянном поперечном электрическом поле. Конфигурация рассматриваемой системы такова. Пространство между электродами заполнено твердой фазой с высокой диэлектрической проницаемостью, у поверхности одного из электродов имеется щель, в которой осуществляется течение пленочного слоя, отделенного от твердой фазы тонкой прослойкой газа. При определенных условиях динамика описывается квадратично-нелинейным интегро — дифференциальным уравнением типа Кура-мото — Сивашинского. Как показывает проведенный анализ, рассматриваемые эффекты электрического поля повышают степень нестабильности системы и могут быть использованы в качестве фактора, регулирующего динамику пленочного течения.

Разнообразные течения тонких (пленочных) слоев жидкости часто встречаются в природе и в различных областях производственной и лабораторной практики. Пленочные течения являются конструктивной основой ряда тепло — физических и химикотехнологических процессов (абсорбции, десорбции, конденсации, охлаждения и других) [50]. В частности, пленочные течения используются при создании теплои массообменных аппаратов для нужд энергетики и металлургии, химической и нефтехимической промышленности, поскольку реализация этих течений в контакте с газовой средой позволяет эффективно осуществлять различного рода процессы теплои мас-сопереноса, перерабатывая большие газовые и жидкостные потоки с низкими затратами. Пленочные течения могут находить применение в системах жизнеобеспечения и энергорегуляции космических аппаратовв ближайшем будущем в рамках подготовки экспериментов по данной тематике на международной орбитальной станции «Альфа,>, планируется проведение систематических исследований по вопросу о влиянии термокапиллярных и электромагнитных эффектов на динамику тонких слоев в невесомости, а также под действием гравитации.

Экспериментальные и теоретические исследования (см., например, [9], [31], [39]) показывают, что процессы теплои массопереноса через межфазную поверхность могут значительно интенсифицироваться в зависимости от характера поведения текущего пленочного слоя. Так, при десорбции из жидких пленок слаборастворимых газов коэффициент массоотдачи из-за наличия в тонком слое волн может увеличиваться более чем в два раза по сравнению с безволновым течением.

Интенсификацию массообмена волновым движением объясняют несколькими причинами [9]: вихревым движением в газовой и жидкой фазахперемешиванием во впадинах волнналичием интенсивных конвективных потоков и др. При развитии в пленке со стороны поверхности тонкого диффузионного слоя процессы переноса могут интенсифицироваться вследствие наличия поперечных пульсаций скорости (это приводит к тому, что в местах подтекания жидкости к межфазной границе, во впадинах, толщина диффузионного слоя уменьшается и в этих местах локальные потоки массы, а вместе с этим, и общая скорость массообмена, увеличивается), а также из-за того, что при приближении скорости жидкости на гребнях волн к фазовой скорости волны участки поверхности, разделенные гребнями, становятся более слабо связанными в диффузионном отношении [9]. Установлено, что существенное влияние на степень интенсивности массопереноса оказывают такие факторы, как форма возникающих на межфазной поверхности волн, их амплитуда и скорость.

Таким образом, актуальность теоретического изучения влияния внутрисистемных факторов разнообразной физической природы на динамику пленочных течений обусловлена целесообразностью поиска способов повышения эффективности управления волновыми режимами с целью оптимизации различных процессов переноса через межфазную поверхность.

С теоретической и методологической точек зрения, пленочные течения являются примерами, пожалуй, одних из самых простых, доступных и выразительных физических систем, в которых может осуществляться весьма сложная и разнообразная динамика, насыщенная характерными нелинейными эффектами. Следует отметить, что некоторые амплитудные уравнения, описывающие слабонелинейные процессы в пленочных течениях, имеют достаточно универсальный характер — встречаются в контексте задач разнообразной физической природы. По-видимому, связь между теоретическим и экспериментальным изучением многих нелинейных явлений, как таковых, может быть достаточно успешно осуществлена для систем данного класса. Современные измерительные приборы и методики позволяют регистрировать поведение свободной поверхности пленочного слоя с точностью порядка микрона [96], а сам по себе объект экспериментального изучения чрезвычайно доступен и удобен во многих отношениях. Таким образом, течение тонкого слоя жидкости представляет собой примечательную физическую модель для синергетики и нелинейной динамики.

Потенциальное многообразие нелинейных эффектов в динамике, доступность и удобство для экспериментального и теоретического исследования, многочисленные практические приложения делает изучение пленочных течений вязкой жидкости достаточно интересным объектом по нелинейной тематике.

Предлагаемый вывод амплитудных уравнений и подходы к проведению редукции исходных математических систем могут явиться основой для построения более точных асимптотических моделей рассматриваемых физических процессов.

Во второй главе диссертации изучаются задачи, связанные с описанием длинноволновой слабонелинейной динамики некоторых двуслойных течений вязкой жидкости (и в определенном смысле родственные рассмотренным в главе 1). С помощью методики (эвристического характера) [75], [76], [103], основанной на выборе определенного сценария развития возмущений и получении самосогласованной редукции исходной математической модели, выводятся амплитудные уравнения, описывающие слабонелинейную динамику в перечисленных ниже системах. В рассматриваемых задачах имеется два основных малых параметра: порядок возмущения межфазной поверхности и отношение толщины тонкого слоя жидкости к пространственному масштабу вторичных режимов. Связь между ними, а также временной масштаб развития возмущений устанавливается из кинематического условия непротекания. В процессе решения редуцированной задачи неизвестные величины выражаются как функционалы от масштабированного возмущения границы раздела. Искомое амплитудное уравнение тогда получается непосредственно из редуцированного кинематического условия. Одна из основных проблем в данном случае состоит в том, чтобы для исследуемой исходной математической модели найти варианты проведения ее самосогласованной редукции, приводящей в конечном итоге к представляющей интерес с точки зрения свойств описываемых режимов и практических приложений упрощенной модели.

В параграфе 3 рассматривается двухфазное течение несмешиваю-щихся вязких несжимаемых жидкостей вдоль цилиндрической трубы под влиянием продольного градиента давления (влияние силы тяжести не учитывается), в котором жидкость, текущая в центральной области, отделена от поверхности трубы тонким слоем другой жидкой фазы, и исследуется вопрос о влиянии ряда термокапиллярных эффектов на слабонелинейную устойчивость тонкой прослойки. Показано, что в используемом приближении влияние рассматриваемых термодинамических эффектов имеет дисперсионный характер и способствует ламинаризации вторичных режимов.

В параграфе 4 рассматривается влияние постоянного нормального электрического поля на межфазную границу раздела в двуслойном течении вязких несмешивающихся диэлектрических / проводящих жидкостей между плоскими параллельными электродами. Показано, что при определенных условиях (толщина одного из слоев мала по сравнению с толщиной другого, эффективное поверхностное натяжение достаточно велико, диэлектрическая проницаемость/проводимость в тонком слое мала относительно соответствующего параметра в смежной жидкой фазе) эффекты поляризации/постоянного тока могут привести к нелинейно устойчивой и многообразной динамике, описываемой интегродифференциальным амплитудным уравнением типа Ку-рамото — Сивашинского.

Задача о слабонелинейной устойчивости и поведении границы раздела между двумя вязкими жидкостями широко исследуется для разных по конфигурации физических систем (для состояния покоя, для течений Куэтта и Пуазейля, в плоской и цилиндрической геометрии, с учетом влияния факторов поверхностного натяжения, вязкостной стратификации). Наряду с решением проблемы устойчивости, изучение характера волновых режимов на межфазной границе может дать сведения о более тонких и специфических свойствах динамики, представляющие интерес для ряда практических задач. В частности, для анализа таких явлений, как межфазная конвекция, теплои массопе-ренос через границу раздела, некоторых процессов электрометаллургии необходимо учитывать ряд качественных и количественных характеристик поведения межфазной поверхности (тип волновых движений, форма, амплитуда, длина волн и др.). В данном контексте представляется целесообразным проводить поиск физических факторов и конфигурации системы, с помощью которых можно эффективно управлять волновыми режимами на межфазной границе.

Практические приложения рассматриваемых во второй главе задач могут быть связаны также со следующими проблемами:

1. Вытеснение в капиллярах одной жидкости другой (например, при промывке пластов горных пород с целью вымывания нефти), когда часть жидкой фазы, которая обладает более сильным свойством смачиваемости поверхности капиллярного канала, остается на стенках в виде тонких пленок, окружая другую жидкость, находящуюся в центре в виде разделенных промежутками первой фазы вытянутых областей [76], [114]. В центральной части этих областей движение локально напоминает ламинарное течение жидкости в цилиндрической области, окруженной тонким пленочным слоем. Проблему устойчивости такого рода идеализированных течений важно учитывать, в частности, при изучении процессов вытеснения жидкостей и их двухфазного движения в капиллярах, цилиндрических каналах и щелях пористых сред: неустойчивость и распад пленки могут значительно замедлить течение жидкостей [76].

2. Организация тонкого «смазочного» слоя в трубопроводах и системах передачи жидких продуктов на расстояние с целью уменьшить потери энергии.

3. Наложение тонких покрытий.

4. Поиск способов эффективного управления межфазной конвекцией.

Тематика третьей главы связана с вопросами, касающимися поиска путей упрощения описания (на основе асимптотических и точных преобразований) распределенных процессов в рамках некоторых нелинейных математических моделей, учитывающих диффузионные и конвективные эффекты.

Одним из актуальных направлений изучения нелинейных диффузионных многокомпонентных систем является учет факторов взаимной диффузии компонент и конвективного переноса [27], [28]. Данные факторы являются неотъемлемой частью многих физико-химических и биофизических процессов, но исследованы меньше, чем классические системы типа «реакция — диффузия» с диагональной матрицей диффузионных коэффициентов [28].

Вместе с тем, в области исследований динамики диссипативных структур значительную актуальность имеют исследования, связанные с проблемой поиска и изучения различных способов управления движением локализованных образований и целенаправленного изменения его характеристик. К таким способам относятся, например, приложение к среде внешнего поля, фотохимическое и резонансное воздействия на систему, создание неоднородностей среды [1], [12], [85].

Эти замечания определяют основные цели исследования, проводимого в третьей главе.

В пятом параграфе диссертации рассматриваются некоторые аспекты вопроса о возникновении и характеристиках медленного движения локализованных диссипативных структур в активных системах под влиянием слабых эффектов конвективного переноса и (взаимной) диффузии, зависящих от вектора состояния системы. Данные факторы можно рассматривать как эффекты таксиса [2], [10], [28] — перемещения элементов среды под (односторонним) действием факторов химической, полевой или иной природы. Именно, рассматривается следующая система: дАт дг^ш (А) + V • Ал V Аг м.

— е X] Нтк (А) Ч^к-еЦт Е /т (А) 1, ?=1 / т = 1, М (1) 1 в предположении, что эффекты взаимной диффузии компонент и конвективного переноса малы и среда слабо неоднородна: 0 < е <С 1, От = с? т?)(ех) > 0 (коэффициенты йт суть константы). Здесь А (х, ?) = (Ах, А2,., Ам) — вектор состояниях Е Л3 —декартовы координатыt —времяЕт, /т, Нть — некоторые известные функции (функции .Рт, — вообще говоря, нелинейные) — Е — заданное векторное поленеотрицательная величина /лт характеризует подвижность т-ой компоненты системыу — оператор градиента.

Системы вида (1) находят применение при описании разнообразных процессов, в частности, таких, как кооперативное поведение микроорганизмов (связанное, например, с эффектами хемотаксиса — перемещением простейших и бактерий вдоль градиента химического фактора) [2], [10], [27], [28], [117]- процессы молекулярной диффузии в полимерных средах, взаимосвязанные с изменением внутренних механических напряжений [66], [67], [68]- химические реакции с учетом ионной природы реагентов и диффузионного потенциала [85]- перемещение элементов среды под влиянием заданных внешних факторов (например, приложенного к системе электрического поля) [6], [12], [85].

С использованием асимптотического подхода [102], основанного на.

V / и и идеях геометрической оптики (вывод уравнении эйконала), получено эволюционное уравнение, описывающее поведение локализованных диссипативных структур типа слабоискривленных волновых фронтов. Как показывает проведенный анализ, в рамках используемых приближений:

1. Слабые эффекты взаимной диффузии, зависящей от вектора состояния среды, индуцируют движение диссипативных структур, при котором каждый участок поверхности волнового фронта локально стационарно перемещается вдоль нормали к поверхности.

2. Слабые эффекты направленного (внешним векторным полем Е) конвективного переноса приводят к дрейфу диссипативных структур с постоянной скоростью в направлении заданного вектора Е.

В параграфе 6 дается асимптотическое описание движения волнового фронта (структуры типа «ступеньки») в однокомпонентной одномерной кубически нелинейной бистабильной системе при наличии слабых диффузионных и конвективных эффектов. Рассматривается следующая начально-краевая задача: где € > 0 — малый параметр. Модельное уравнение характеризуется типичным для бистабильных систем видом нелинейности [33], который нередко используется при построении феноменологических моделей процессов в триггерных средах. Представляется, что задача (2) может отражать некоторые аспекты динамики ряда реальных физико — химических и биофизических систем. ди 2.

2) м (±М, б) = ±1, и (я, 0, б) = и (°)(ж),.

Положение волнового фронта в момент времени t можно естественным образом определить как функцию xe (t) такую, что u (xe (t), б) = 0, хе (0) = xq = const. Согласно проведенному анализу, основанному на асимпотическом подходе, развиваемом в работе [93] и существенно учитывающим экспоненциально малые эффекты, перемещение волнового фронта приближенно описывается следующим уравнением: и хорошо качественно соответствует численному решению исходной начально — краевой задачи.

Один из наиболее распространенных способов управления процессами в биофизических, геофизических, радиотехнических и других естественных и технических системах состоит в воздействии слабых по интенсивности факторов — сигналов, которое интегрируется в работу физических механизмов, индуцирующих гораздо более сильную ответную реакцию. Хорошо известны принципы резонансного усиления и многие соответствующие феномены синхронизации, достаточно хорошо разработаны методы их исследования. Ряд результатов современных экспериментальных исследований в биофизике и других областях естествознания ставят на повестку дня вопрос об изучении сверхслабых взаимодействий систем и влияния на динамику сверхслабых по интенсивности факторов. Некоторые аспекты данной проблемы рассматриваются в заключительной части параграфа 6.

С помощью асимптотического подхода [93] рассмотрен специфический механизм неустойчивости, реализующийся в рамках модельной где задачи (2) и проявляющийся в том, что экспоненциально малые возмущения могут инициировать эффекты, ощутимые в главном порядке динамики.

В § 7 на основе подходов, изложенных в [42], [46], [62], получены некоторые нелокальные преобразования эквивалентности для систем вида.

3).

— да,(/ да. д2а сц— = ^ I а, —, ^ 1, ш < г < п, 1 < га < п, где — произвольные функции, а = (ах, дка./дхк = (дка/дхк, дкап/дхк), 8{ — произвольные постоянные (?1 ф 0).

Системы вида (3) позволяют отразить, наряду с другими факторами, эффекты взаимной диффузии компонент и конвективного переноса, и широко используются при описании различных процессов в многокомпонентных распределенных средах в контексте задач разнообразной природы.

На основе полученных результатов рассматриваются вопросы, связанные с линеаризацией и приведением исходных систем к более простому виду, с поиском условий инвариантности относительно рассматриваемых преобразований, с нахождением соответствующих точных решений.

В четвертой главе рассматриваются некоторые аспекты динамики в квадратично — нелинейных системах, в особенности диссипатив-ных, описываемых уравнениями типа Уизема [47], [73] ди ди.

— + и- + 1и = О, (4) где линейный оператор Ь определяется как дри.

Ьи = Ьи 4- Ь2и, 1111 = р=о.

3 оо оо.

00 —оо.

Ар — некоторые действительные постоянные, Вч (а) — комплексно-значные функции, Вч (а) = В*(—а) (индекс «*» означает операцию комплексного сопряжения).

Уравнения данного класса часто возникают при асимптотическом описании развития вторичных режимов в системах разнообразной физической природы. В частности, к ним относятся и эволюционные уравнения, полученные в параграфах 1 — 4 настоящей работы. Внимание к уравнениям типа Уизема обусловлено не только значительным числом практических приложений, но и чисто математическим интересом к их потенциально богатым и глубоким свойствам.

В § 8 проводится численное и аналитическое изучение уравнения Бенни — Кавахары, дН ттдН д2Н сдъН лдАН п + ^ = ^ * > (5> полученного в первом и третьем параграфах работы для описания поведения течений вязкой жидкости с границами раздела. Данное уравнение встречается в контексте многих задач разнообразной физической природы. Уравнение Бенни — Кавахары часто рассматривают как наиболее простую модель нелинейных процессов в активных дис-сипативных дисперсионных системах. Можно с уверенностью предположить, что основные качественные закономерности динамики, выражаемой уравнением (5), проявляются в широком классе уравнений типа Уизема, у которых линейные дисперсионные соотношения качественно соответствуют дисперсионному соотношению уравнения (5).

Периодические нестационарные решения численно изучаются спектральным методом Галеркина в случае, когда динамика характеризуется наличием не более трех линейно неустойчивых фурье — компонент. Исследование проводится по пути сравнения характеристик предельных режимов уравнения (5) в случае 6 = 0 (хорошо изученном в работах [83], [84], [89]) и в случае 6 > 0. Расчеты показывают, что предельные режимы периодических решений сравнительно простой асимптотической модели (5) весьма разнообразны, причем их многообразие существенно расширяется по сравнению со случаем 6 = 0. Одной из наиболее характерных особенностей динамики является формирование предельных режимов типа бегущих волн, обусловленное дисперсионными эффектами.

Также рассматриваются некоторые свойства стационарных решений вида бегущих волн.

В § 9 с помощью бифуркационного метода редукции на центральное (центрально — неустойчивое) многообразие [55], [79] выводится система амплитудных уравнений, асимптотически описывающая динамику одного класса диссипативиых уравнений типа Уизема в случае, когда основная фурье — гармоника и одна из высших одновременно становятся линейно неустойчивыми. В рассматриваемой ситуации система амплитудных уравнений имеет следующий вид: где ах, аи — комплекснозначные амплитуды мод с номерами п — 1, п = и > 1 соответственно, к, с2 — некоторые комплекснозначные константы, выражаемые через параметры рассматриваемой задачи. Как видно из (6), поведение основной фурье — гармоники, а вполне определяется ее собственным состоянием и не зависит от состояния другой моды в то время как эволюция коротковолновой фурье — компоненты п = и подстраивается под поведение длинноволновой п — 1. Коротковолновая мода в некотором смысле подчинена основной гармонике. Данное явление можно рассматривать как специфический пример пространственно — временной синхронизации в диссипативных системах.

В § 10 с помощью метода, развиваемого в работе [99], рассматривается вопрос о равномерной ограниченности по времени в норме пространства Ь2 периодических нечетных решений уравнений Уизема (4) в случае, когда диссипативные эффекты достаточно сильны в коротковолновой области спектра.

Предполагается, что.

1. 1пхВ9(о-) = 0 (д — четное), ИеаВч (а) = 0 (</ — нечетное), В9(а>) =.

3. (Четная) функция Л* имеет конечное число положительных нулей к <. < кп, причем Л^ — монотонно возрастающая функция при к > кп. в-(-а), В9(0) = 0, д = 0, д.

2.

Л*-+оо, Лк = 0(к2+<�Т), а>0 (к —"• оо) — где Ак = — Кеа1Л]ь, Л^ = - У^ А р=о р

4. max (—Ajb) > 0, N = [&n] — целая часть числа к.

Отметим, что интегродифференциальные уравнения типа Кура-мото — Сивашинского, полученные в параграфах 2 и 4, а также уравнение Бенни — Кавахары, описывающее вторичные режимы в системах, исследуемых в параграфах 1 и 3, попадают в рассматриваемый класс уравнений Уизема.

Проводимое исследование основано на методике, развиваемой в работе [99], одним из главных достоинств которой является ее конструктивный характер, заключающийся в возможности ясно отразить как работает (в чисто математическом плане) механизм стабилизации неустойчивых мод и формирования конечномерной динамики предельных режимов, обусловленный взаимодействием факторов нелинейности и диссипации (и достаточно хорошо известный из анализа результатов численных экспериментов).

Исследование поставленной задачи основано на введении коэрцитивного функционала где v (x, t) = и (х, t)—cp (x), <�р (х) — нечетная вспомогательная функция.

Основой проводимого анализа является доказательство следующего утверждения. Лемма. Пусть где Ф = const > 0 и М Е N. Можно таким образом выбрать величины Фи М, что.

J (v, v)>c IMP, С = м.

— At) > 0.

Конечным результатом является следующая.

Теорема. Пусть выполняются вышеперечисленные условия, и пусть решение соответствующей начально — краевой задачи существует и единственно в некотором функциональном пространстве. Тогда для функции (р (х), определяемой (7), и величин Ф и М, таких, что справедлива Лемма, Vi > 0 имеет место следующая оценка:

Г 1 1 ½.

II «||<|| Ч> II + ||2 exp (-af) + —S (.

0, e > 0 — произвольное достаточно малое число. В частности, в условиях Теоремы lim II и II < R < со, t—>оо 11 «— где R — константа, не зависящая от времени.

Как отмечалось в [99], построение и структура коэрцитивного функционала J показывает, каким образом вклад линейно неустойчивых фурье — мод может стабилизироваться квадратичной нелинейностью посредством «конечномерного функционального переноса», отражаемого введением вспомогательной функции <�р (х) вида (7) с конечным числом фурье — компонент. Этот конечномерный характер динамики согласуется с результатами численных экспериментов для ряда уравнений рассматриваемого класса (см., например, §§ 2, 4, 8).

Полученные результаты могут быть использованы при поиске конкретных оценок различных конечномерных динамических характеристик аттракторов изучаемых уравнений.

В § 11 расматривается задача о влиянии малых возмущений на трехволновое резонансное взаимодействие модулированных волн в системах, описываемых уравнением вида (4) при ?2 = 0. Анализ можно распространить также на ряд случаев, когда исходная математическая модель представляет собой нелокальное уравнение.

Проблема описания и изучения резонансного волнового взаимодействия является актуальной и весьма обширной, поскольку явления данного класса очень широко распространены в природе, часто применяются в технике и имеют множество аспектов, рассмотрение которых требует разработки разнообразных специфических подходов. В случае периодических взаимодействующих волн обычно предполагается, что волны являются монохроматическими, так что условия резонанса выполняются во всей рассматриваемой области пространства и для всех моментов времени из рассматриваемого интервала. Во многих практических ситуациях, однако, периодические волновые образования являются (слабо) модулированными. В этом случае резонансные соотношения выполняются, вообще говоря, на определенных пространственно — временных поверхностях.

Рассматриваются модулированные волны, которые могут быть представлены в виде.

Н} = + 0(6]), } = А^Х, Т) ехр (г^) + к.с., (8) где ву =€" 10ДХ, Т), 3 = 1,2,3- Х = ех, Т = е*, б > 0, 6^ > 0 — малые величины, обозначение к.с. означает операцию комплексного сопряжения. Для волн Н^ вида (8) естественно определить локальную частоту и локальное волновое число к^ как.

Т) = -дв^/дТ, к^Х, Т) = дв>/дХ, з = 1,2,3.

Пусть = 0, &1 + &2 + &3 = 0. Данные условия определяют некоторую пространственно — временную (резонансную) поверхность.

ЩХ, Т) — 0. Анализ основанный на подходе, используемом в работе [77], приводит к следующей системе, описывающей трехволновое резонансное взаимодействие в достаточно малой окрестности поверхности Я = 0: остальные два уравнения получаются циклической перестановкой индексов. Здесь т —координата, трансверсальная поверхности К = 0, 5 — некоторая постоянная (вообще говоря, параметрически зависящая от X и Т). Коэффициенты б^-, е^ определяются соответствующим образом. Слагаемые ¿-¿-А^ отражают влияние малых возмущений.

Явление резонансного взаимодействия модулированных волн может быть основой одного из механизмов эффективной регуляции динамики в различных природных и искусственных системах. В самом деле, специальным образом осуществляемая модуляция фаз волновых образований позволяет реализовать резонансное взаимодействие в заданных областях пространства и/или в заданные моменты времени, в частности, может индуцировать перемещение области резонанса по определенной траектории (вдоль резонансной поверхности Я (Х, Т) = 0). Проведенное исследование показывает, что в окрестности резонансной поверхности малые возмущения могут специфическим образом регулировать внутреннюю динамику резонасного взаимодействия, индуцируя, например, формирование неоднородности в структуре волны, порождаемой в результате взаимодействия двух других. Вероятно, направление, связанное с использованием малых возмущений в качестве дополнительных факторов управления динамикой резонансного взаимодействия модулированных волн, является достаточно перспективным и заслуживает подробного исследования.

Основные результаты.

Основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту, заключаются в следующем:

1. Обнаружены варианты проведения самосогласованной редукции математических моделей, описывающих динамику пленочных и двуслойных течений вязкой жидкости при наличии эффектов термокапиллярности и постоянного электрического поля, нормального к невозмущенной межфазной поверхности. Выведены соответствующие амплитудные уравнения типа Уизема, периодические решения которых исследованы численно в областях изменения значений параметров, соответствующих наличию в динамике не более трех линейно неустойчивых фурье — мод. На основании проведенного исследования предлагаются для аппробации, возможного учета и использования в лабораторной практике некоторые способы регуляции (соответствующие физические механизмы и условия их реализации) длинноволновой динамики пленочных и двуслойных течений вязкой жидкости.

2. Получена линейная асимптотическая модель, с помощью которой качественно оценено влияние слабых эффектов конвективного переноса и взаимной диффузии компонент, зависящих от вектора состояния среды, на движение локализованных диссипативных структур в нелинейных диффузионных многокомпонентных системах.

3. Выведена асимптотическая модель, с помощью которой описано перемещение волнового фронта в кубически нелинейной бистабильной системе при наличии слабых эффектов диффузии и конвективного переноса. Для рассматриваемой системы описана неустойчивость движения волнового фронта относительно экспоненциально малых возмущений.

4. Получены нелокальные преобразования эквивалентности для систем эволюционных уравнений второго порядка с произвольным конечным числом компонент. В двухкомпонентном случае приведены классы линеаризуемых систем и систем, инвариантных относительно найденных преобразований. Рассмотрены некоторые аспекты связи исследуемых нелокальных преобразований с преобразованиями Беклунда.

5. С помощью численных расчетов описаны типы некоторых предельных режимов периодических решений уравнения Бенни — Кава-хары. Рассмотрена структура фазового пространства данного уравнения в стационарном случае. Найдено точное решение, соответствующее гетероклинической орбите.

6. В предположении выполнения теорем существования и единственности в подходящих функциональных пространствах доказана равномерная ограниченность по времени периодических нечетных решений уравнений типа Уизема в случае, когда имеются достаточно сильные диссипативные эффекты в коротковолновой области спектра. Полученный результат может быть использован, в частности, при поиске верхних оценок хаусдорфовой и фрактальной размерностей аттракторов данного класса систем. Показано, что специфический механизм формирования конечномерной динамики на аттракторе, известный ранее для уравнения Курамото — Сивашинского, может иметь место и в рассматриваемом случае.

7. Получены уравнения трехволнового резонансного взаимодействия модулированных волн в системах с малыми возмущениями в случае, когда условия резонанса выполняются не глобально, но на опредленных пространственно-временных поверхностях. Обнаружено, что малые возмущения могут индуцировать формирование специфической неоднородности в пространственно — временной структуре волны, генерируемой в результате процесса резонансного взаимодействия двух других.

Основные результаты работы были представлены на 10-ой Зимней школе по механике сплошных сред (1995, г. Пермь), на 27-ой Молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (1996, г. Екатеринбург), на семинаре International Workshop «Free Boundaries in ViscousFlows» (1996, г. Санкт-Петербург), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (1997, г. Красноярск), на семинаре «Математическое моделирование в механике» отдела «Нелинейных задач механики» Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры «Математического моделирования в механике» КрасГУ (руководитель семинара — профессор В.К. Андреев).

Основные результаты диссертации отражены в работах [18 — 26], [122 — 126].

В работе принята система нумерации, согласно которой первая цифра в номере формулы означает пункт (подраздел) параграфа, а вторая — порядковый номер формулы в подразделе.

Автор выражает глубокую благодарность В. К. Андрееву, Л. А. Компаниец, Е. А. Рябицкому, Ю. В. Шанько за полезные советы и рекомендации.

1. Агладзе К. И., Давыдов В. А., Михайлов A.C. Наблюдение резонанса спиральных волн в возбудимой распределенной среде // Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 45, вып. 12. С. 601 — 603.

2. Албертс Б., Брей Д., Льюис Дж., Рэфф М., Роберте КУот-сон Дж. Молекулярная биология клетки. Т.2. М.: Мир, 1994.

3. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики / / Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987. С. 22—56.

4. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

5. Барнс Ф., Ху Ч. Нелинейные взаимодействия электромагнитных волн с биологическими материалами / / Нелинейные электромагнитные волны. Под ред. П. Усленги. М.: Мир, 1983. С. 286−309.

6. Барнс Ф. С. Влияние электромагнитных полей на скорость химических реакций // Биофизика. 1996. Т. 41, № 4. С. 790−797.

7. Васильева А. Б, Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений: Науч.-теор. пособие. М.: Высш. шк., 1990.

8. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989.

9. Гешев П. И., Лапин A.M., Цвелодуб О. Ю. Тепломассообмен в волновых стекающих пленках жидкости // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск, 1985. С. 102 119.

10. Гилберт С. Биология развития. М.: Мир, 1995. Т. 3.

11. Громов Е. М., Таланов В. И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1996. Т. 110, вып. 1(7). С. 137- 149.

12. Давыдов В. А., Морозов В. Г. Галилеевы преобразования и распространение автоволновых фронтов во внешних полях // УФН. 1996. Т. 166, № 3. С. 327 333.

13. Демехин Е. А., Шкадов В. Я. О нестационарных волнах в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N3. С. 151 -154.

14. Демехин Е. А., Шкадов В. Я. О солитонах в диссипативных средах // В сб. «Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью». Новосибирск. 1985. С. 32 -48.

15. Демехин Е. А., Шкадов В. Я. К теории солитонов в системах с диссипацией // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 3. С. 91 97.

16. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

17. Ершов C.B., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Синергетика. Новые направления. // Нелинейные волны: Физика и астрофизика (сб. научных трудов). М.: Наука, 1993.

18. Захватаев В. Е. О слабонелинейной устойчивости тонкой прослойки в двухфазном осесимметричном течении вязкой теплопроводной жидкости // Сб. «10 Зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)», Екатеринбург: УрО РАН, 1995. С.102 103.

19. Захватаев В. Е. Об одной модели волнового течения тонкого слоя вязкой жидкости: уравнение Бенни // Тезисы докладов молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: Уро РАН, 1996. С. 19 20.

20. Захватаев В. Е. О некоторых свойствах стационарных режимов, описываемых уравнением Бенни. // Сб. Труды семинара «Математическое моделирование в механике», Красноярск, ВЦ СО РАН, Деп. ВИНИТИ 12.02.97 N° 446 — В 97. С. 85 97.

21. Захватаев В. Е. Движение волнового фронта в бистабильной диффузионной конвективной системе / / Математические модели и методы их исследования: Международная конференция. Красноярск: Красноярский гос. ун-т, 1997. С. 90−91.

22. Захватаев В. Е. Некоторые слабонелинейные амплитудные уравнения, описывающие поведение тонкого слоя в двухфазном течении вязких теплопроводных жидкостей вдоль цилиндра // ПМТФ. 1997. Т. 38. № 1. С. 178 186.

23. Захватаев В. Е. О волновых движениях в тонком слое вязкой жидкости. Влияние постоянного электрического поля // ПМТФ (в печати).

24. Захватаев В. Е. О волновых движениях в тонком слое вязкой жидкости. Влияние некоторых термокапиллярных эффектов // ПМТФ (принято в печать).

25. Захватаев В. Е. О влиянии постоянного электрического поля на волновые режимы в двуслойном течении вязких жидкостей / / Изв. РАН. МЖГ. (принято в печать).

26. Иваницкий Г. Р., Медвединский A.B., Цыганов М. А. От беспорядка к упорядоченности — на примере движения микроорганизмов // УФН. 1991. Т. 161, N 4. С. 13 71.

27. Иваницкий Г. Р., Медвединский A.B., Цыганов М. А. От динамики популяционных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике // УФН. 1994. Т.164, N10. С.1041 1071.

28. Капица П. Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1948. Т.18, вып.1. С. 3 28.

29. Капица П. Л., Капица С. П. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1949. Т.19, вып.2. С. 105 120.

30. Капица П. Л. Теплопроводность и диффузия в жидкой среде при периодическом течении. ЖЭТФ. 1951. Т. 21, № 9. С. 964 978.

31. Карнаухов A.B., Новиков B.B. Теоретический подход к анализу кооперативных эффектов движения ионов в растворе при действии слабых магнитных полей // Биофизика. 1996. Т. 41, № 4. С. 916 918.

32. Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы. // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996. С. 95 164.

33. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

34. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

35. Накорлков В. Е., Покусаев Б. Г., Алексеенко C.B. Стационарные двумерные катящиеся волны на вертикальной пленке жидкости // ИФЖ. 1976. Т. 30, N 5. С. 780 785.

36. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Алексеенко C.B., Орлов В. В. Мгновенный профиль скорости в волновой пленке жидкости // ИФЖ. 1977. Т. 33, № 3. С. 399 404.

37. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Радев К. Б. Влияние волн на конвективную диффузию газа в стекающей пленке жидкости // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости сосвободной поверхностью. Новосибирск, Институт теплофизики, 1985. С. 5 32.

38. Непомнящий A.A. Устойчивость волновых режимов в пленке, стекающей по наклонной плоскости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 3. С. 28 34.

39. Николис ГПригожий И. Познание сложного.

Введение

М. Мир, 1990.

40. Пухначев В. В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // ДАН СССР. 1987. Т. 294, № 3. С. 535—538.

41. Пухначев В. В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Новосибирск, Новосибирский ун-т. 1989.

42. Пухначев В. В. Преобразования взаимности радиальных уравнений нелинейной теплопроводности. — / В Кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 25. (Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 213), СПб., «Наука», 1994, с. 151—163.

43. Романовский Ю. М., Степанова П. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Мир, 1984.

44. Самарский A.A., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

45. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1973.

46. Физические величины: Справочник / Под ред. Григорьева И. С., Михайлова Е. З. М.: Энергоатомиздат, 1991.

47. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах: Пер с англ. М.: Мир, 1985.

48. Холпанов JI.H. Процессы тепломассообмена в системах с поверхностью раздела фаз / / Гидродинамические проблемы технологических процессов. М.: Наука, 1988. С. 93 101.

49. Цвелодуб О. Ю. Стационарные бегущие волны на пленке, стекающей по наклонной плоскости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. N 4. С. 142 146.

50. Цвелодуб О. Ю. О множестве стационарных решений эволюционного уравнения для возмущений в активно-диссипативных средах // ПМТФ. 1989. N 6. С. 72 78.

51. Шкадов В. Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. N 1. С. 43 51.

52. Akylas T.R., Grimshaw R.H.J. Solitary internal waves with oscillatory tails 11 J. Fluid Mech. 1992. V.242. P. 279−298.

53. Armbruster D., Guckenheimer J., Holmes P. Kuramoto — Sivashinsky dynamics on the center unstable manifold // SIAM J. Appl. Math. 1989. V. 49, N 3. P. 676 691.

54. Arneodo A., Coullet P.H., Spiegel E.A., Tresser C. Asymptotic chaos // Physica D. 1985. V. 14. P. 327 347.

55. Balmforth N.J., Ierley G.R., Spiegel E.A. Chaotic pulse trains // SIAM J. Appl. Math. 1994. V.54, N 5. P. 1291 -1334.

56. Brooke Benjamin T. Wave formation in laminar flow down an inclined plane // J. Fluid Mech. 1957. V. 2. P. 554 — 574.

57. Brooke Benjamin T. The development of three-dimensional disturbances in an unstable film of liquid flowing down an inclined plane // J. Fluid Mech. 1961. V. 10. P. 401 419.

58. Benney B.J. Long waves in liquid films //J. Math. Phys. 1966. V.45. P. 150 155.

59. Binnie A.M. Experiments of the onset of wave formation on a film of water flowing down a vertical plane //J. Fluid Mech. 1957. V. 2. P. 551 -553.

60. Burgan J.R., Munier A., Feix M.R., Fijalkow E. Homology and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM J. Appl. Math. 1984. V. 44, N 1. P. 11—18.

61. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kopelevich D.I. Nonlinear evolution of waves on a vertically falling film //J. Fluid Mech. 1993. V. 250. P. 433 480.

62. Charru F., Fabre J. Long waves at the interface between two viscous fluids // Phys. Fluids. 1994. V. 6. N 3. P. 1223 1235.

63. Chen K.P., Joseph D.D. Long wave and lubrication theories for core annular flow // Phys. Fluids A. 1991. V. 3, N 11. P. 2672 -2679.

64. Cohen D.S., White A.B. Sharp fronts due to diffusion and viscoelas-tic relaxation in polymers // SIAM J. Appl. Math. 1991. V. 51, N 2. P. 472 483.

65. Cohen D.S., White A.B., Witelski T.P. Shock formation in a multidimensional viscoelastic diffusive system // SIAM J. Appl. Math. 1995. V. 55, N 2. P. 348 368.

66. Cox R. W. Shocks in a model for stress driven diffusion // SIAM J. Appl. Math. 1990. V. 50, N 5. P. 1284 — 1299.

67. Ei S.-I., Ohta T. Equation of motion for interacting pulses / / Phys. Rev. 1994. V. 50, N 6. P. 4672 4678.

68. Fife P.C. Pattern formation in reacting and diffusing systems //J. Chem. Phys. 1976. V. 64, N 2. P. 554 564.

69. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations //J. Differential equations. 1988. V. 73. P. 309 353.

70. Foias C., Nicolaenko B., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for the Kuramoto Sivashinsky equation and an estimate of their lowest dimension //J. Math, pures et appl. 1988. V. 67. P. 197 — 226.

71. Fornberg B.} Whitham G.B. A numerical and theoretical study of certain nonlinear wave phenomena // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1978. V. 289. P. 373 404.

72. Freidlin M.I. Geometric optics approach to reaction-diffusion equations // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46, N 2. P. 222 232.

73. Frenkel A.L., Babchin A.J., Levich B.J. et al. Annular flows can keep unstable films from breakup: nonlinear saturation of capillary-instability //J. Colloid and Interface Science. 1987.V.115, N 1. P. 225 233.

74. Georgiou E., Maldarelli C., Papageorgiou D.T., Rumschitzki D.S. An asymptotic theory for the linear stability of a core-annular flow in the thin annular limit // J. Fluid Mech. 1992. V.243. P. 653 -677.

75. Grimshaw R. Resonant wave interactions near a critical level in a stratified shear flow //J. Fluid Mech. 1994. V. 269. P. 1 22.

76. Grimshaw R., Joshi N. Weakly nonlocal solitary waves in a singularly perturbed Korteweg — de Vries equation // SIAM J. Appl. Math. 1995. V. 55, N 1. P. 124 135.

77. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. Springer-Verlag, New York, 1983.

78. Hammond P. S. Nonlinear adjustment of a thin annular film of viscous fluid surrounding a thread of another within a circular cylindrical pipe // J. Fluid Mech. 1983. V. 137. P. 363 384.

79. Hooper A.P., Grimshaw R. Nonlinear instability at the interface between two viscous fluids // Phys.Fluids. 1985. V.28, N 1. P. 37 -45.

80. Hooper A.P., Grimshaw R. Travelling wave solutions of the Ku-ramoto Sivashinsky equation //Wave Motion. 1988. V.10. P. 405 — 420.

81. Hyman J.M., Nicolaenko B. The Kuramoto — Sivashinsky equation: a bridge between PDE’s and dynamical systems // Physica D. 1986. V.18. P. 113 126.

82. Hyman J.M., Nicolaenko B., Zaleski S. Order and complexity in the Kuramoto — Sivashinsky model of weakly turbulent interfaces 11 Physica D. 1986. V. 23. P. 265 292.

83. Kastanek P., Kosek J., Snita D. et al. Reduction waves in the BZ reaction: Circles, spirals and effects of electric field // Physica D. 1995. V. 84, N 1, 2. P. 79−94.

84. Kawahara T. Formation of saturated solutions in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51, N 5. P. 381 383.

85. Kawahara T., Toh S. Pulse interactions in an unstable dissipative-dispersive nonlinear system // Phys Fluids. 1988. V. 31, N 8. P. 2103−2111.

86. Keener J. P. A geometrical theory for spiral waves in excitable media 11 SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46, N 6. P 1039 1056.

87. Kevrekidis I.G., Nicolaenko B., Scovel J.C. Back in the saddle again: a computer assisted study of the Kuramoto — Sivashinsky equation // SIAM J. Appl. Math. 1990. V. 50, N 3. P. 760 -790.

88. Kingston J.G., Rogers C. Reciprocal Backlund transformations of conservation laws // Phys. Lett. 1982. V. 92 A, N 6. P. 261—264.

89. Krumhansl J. A. Nonlinear science: toward the next frontiers // Physica D. 1994. V. 70, N 1,2. P. 210. (Erratum to Physica D. 1993. V. 68. P. 97−103.).

90. Laforgue J.G.L., O’Malley R.E. Shock layer movement for Burges' equation // SIAM J. Appl. Math. 1995. V. 55, N 2. P. 332−347.

91. La Quey R.E., Mahajan S.M., Rutheford P.H., Tang W. W. Nonlinear saturation of the trapped ion mode //Phys. Rev. Lett. 1975. V. 34, N.7. P. 391 — 394.

92. Lin S.P. Finite amplitude side-band stability of a viscous film // J. Fluid Mech. 1974. V. 63, pt 3. P. 417 429.

93. Liu J., Paul J.D., Gollub J.P. Measurements of the primary instabilities of film flows // J. Fluid Mech. 1993. V. 250. P. 69 101.

94. Michelson D.M., Sivashinsky G.I. Nonlinear analysis of hydrody-namic instability in laminar flames. 2. Numerical experiments // Acta Astronautica. 1977. V.4. P. 1207 1221.

95. Michelson D. Steady solutions of the Kuramoto Sivahinsky equation //Physica D. 1986. Vol. 19. P. 89 — 111.

96. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R. Some global dynamical properties of the Kuramoto Sivashinsky equation: nonlinear stability and attractors // Physica D. 1985. V. 16. P. 155 — 183.

97. Orto H. Algebraic solitary waves in statified fluids //J. Phys. Soc. Japan. 1975. V. 39, N 4. P. 1082 1091.

98. Ono H. Algebraic Rossby wave soliton //J. Phys. Soc. Japan. 1981. V. 50, N 8. P. 2757 2761.

99. Panfilov A. V., Keener J.P. Dynamics of dissipative structures in reaction-diffusion equations // SIAM J. Appl. Math. 1995. V. 55, N 1. P. 205−219.

100. Papageorgiou D.T., Maldarelli C., Rumschitzki D.S. Nonlinear interfacial stability of core-annular film flows // Phys. Fluids A. 1990. V.2, N 3. P. 340 352.

101. Pelee P. Origin of cellular ionic currents // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71, N 7. P. 1107−1110.

102. Pomeau Y., Ramani A. Structural stability of the Korteveg de Vries solitons under a singular perturbation // Physica D. 1988. V 31. P. 127 — 134.

103. Segur E., Kruskal M.D. Nonexistence of small-amplitude breather solutions in (p4 theory // Phys. Rev. Lett. 1987. V.58, N 8. P. 747 750.

104. Sivashisky G.I. Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames. 1. Derivation of basic equations // Acta Astronautica. 1977. V.4, N 11 12. P. 1177 — 1206.

105. Sivashinsky G.I., Michelson D.M. On irregular wavy flow of a liquid film down a vertical plane // Prog. Theor. Phys. 1980. V.63. P. 2112 2114.

106. Shlang T., Sivashinsky G.I. Irregular flow of a liquid film down a vertical column // J. Physique. 1982. V. 43. P. 459 466.

107. Strampp W. Backlund transformations for diffusion equations // Physica D. 1982. V. 6. P. 113—118.

108. Stuart J. T. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 1. The basic behaviour in plane Poiseuille flow //J. Fluid Mech. V. 9. P. 353 370.

109. Su C.H., Gardner C. S Korteweg de Vries equations and gener-atizations. III. Derivation of the Korteweg-de Vries equation and Burgers equation // J. Math. Phys. 1969. V.10, N 3. P. 536−539.

110. Neron de Surgy G., Chabrerie J.-P., Denoux O., Wesfreid J.-E. Linear growth of instabilities on a liquid metal under normal electric field // J. Phys. II France. 1993. V. 3. P. 1201 1225.

111. Taylor G.I. Deposition of a viscous fluid on the wall of a tube //J. Fluid Mech. 1961. V. 10 P. 161 165.

112. Toh S., Kawahara T. On the stability of soliton-like pulses in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation // J. Phys. Soc. Japan. 1985. V. 54, N 4. P. 1257 1269.

113. Tsvelodub O. Yu., Trifonov Yu.Ya. On steady-state travelling solutions of an evolution equation describing the behaviour of disturbances in active dissipative media // Physica D. 1989. V. 39. P. 336 -351.

114. Vasiev B.N., Hogeveg P., Panfilov A. V. Simulation of Dictyostelium Discoideum aggregation via reaction-diffusion model // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73, N 23. P. 3173 3176.

115. Ward M.T., Reyna L.G. Internal layers, small eigenvalues, and the sensitivity of metastable motion // SIAM J. Appl. Math. 1995. V. 55, N 2. P. 426−446.

116. Watson J. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 2. The development of a solution for plane Poiseuille flow and for plane Couette flow //J. Fluid Mech. V. 9. P. 371 389.

117. Wood A.D., Paris R.B. On eigenvalues with exponentially small imaginary part // Asymptotic and computational analysis, edited by R. Wong. Lecture notes in pure and applied mathematics. V. 124. P. 741 749.

118. Yamada Т., Kuramoto Y. A reduced model showing chemical turbulence // Progr. Theor. Phys. 1976. V. 56, N 2. P. 681 683.

119. Zakhvataev V. Controlling liquid film flows by electric field // Сб. «11 Зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)», Екатеринбург: УрО РАН, 1997. С. 31.

120. Zakhvataev V. On the behavior of an interface in a twophase flow of dielectric liquids // Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. Abstracts. St. Petersburg, Russia, 15 21 June, 1997.

121. Захватаев B.E. Поиск и исследование внутрисистемных механизмов управления некоторыми нелинейными диффузионными и волновыми процессами / / Препринт № 7 Института вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск, 1997.

122. Захватаев В. Е. Нелокальные преобразования эквивалентности одного класса систем эволюционных уравнений // Препринт № 8 Института вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск, 1997.

123. Захватаев В. Е. Об ограниченности периодических режимов диссипативных систем, описываеиых уравнениями Уизема, и одном механизме формирования конечномерной динамики // Препринт № 9 Института вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск, 1997.