Линейные краевые задачи для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробными производными в младших членах
Решение многих задач теории уравнений смешанного типа, механики сплошных сред и изучение процессов стохастического переноса приводят к дифференциальным уравнениям с дробной производной (Нахушев A.M., Керефов A.A., Бэгли P. JL, Нигматуллин P.P., Чукбар К.В.). Для широкого класса решений обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной в младших членах получена априорная оценка… Читать ещё >
Содержание
- Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дробной производной в младших членах
- 1. Элементы дробного исчисления
- 2. Некоторые особенности при постановке краевых условий для дифференциальных уравнений с дробной производной
- 3. Дискретные аналоги дробной производной и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования
- 4. Построение разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной
- 5. Принцип максимума для уравнения с разностной дробной производной в младших членах
- 6. Оценка решения разностной задачи в равномерной метрике
- 7. Метод итерации для решения сеточных уравнений
- 8. Другие краевые задачи для дифференциального уравнения с дробной производной в младших членах
- Глава II. Краевые задачи для параболических уравнений с дробной по пространственной переменной производной в младших членах
- 1. Априорная оценка для решения первой краевой задачи
- 2. Метод Ротэ
- 3. Разностные схемы для первой краевой задачи
- Глава III. Дифференциальные уравнения в частных производных с дробной по времени производной
- 1. Построение разностных схем первой начально-краевой задачи для обобщенного уравнения переноса
- 2. Устойчивость и сходимость в равномерной метрике
- 3. Монотонные схемы для уравнения общего вида с дробной по времени производной
- 4. Третья краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка. Априорная оценка
- 5. Разностные схемы для третьей краевой задачи уравнения диффузии дробного порядка
- 6. Устойчивость и сходимость
- 7. Построение разностных схем повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка
- 8. Алгоритм решения задачи
- 9. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях
- 10. Дискретный аналог нелокальной задачи с дробной производной в граничных условиях
Линейные краевые задачи для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробными производными в младших членах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Решение многих задач теории уравнений смешанного типа, механики сплошных сред и изучение процессов стохастического переноса приводят к дифференциальным уравнениям с дробной производной (Нахушев A.M., Керефов A.A., Бэгли P. JL, Нигматуллин P.P., Чукбар К.В.).
В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработка методов их решений.
Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по направлению «Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения». (№ ГР 01.950 004 494 код 1.1.11. (1.1.11.1,1.1.11.3)).
Целью работы является исследование линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробной производной в младших членах и разработка численно-аналитических методов их решения.
Основными методами исследования являются: метод априорных оценок в сочетании с принципом экстремума для оператора дробного дифференцированияметод функции Гринаметод построения устойчивых разностных схем.
В диссертационной работе рассматриваются новые по постановке задачи. Научную новизну представляют следующие результаты:
• построен специальный дискретный аналог дробной производной и установлен дискретный аналог принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования;
• для широкого класса решений обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной в младших членах получена априорная оценка в норме 0^(0,1). Построены разностные схемы основных краевых задач, доказаны их устойчивость и сходимость;
• в нестационарном случае, дано обоснование метода Ротэ для третьей краевой задачи, построена разностная схема и доказана ее сходимость;
• для обобщенного дифференциального оператора переноса дробного порядка получена априорная оценка, гарантирующая единственность решения краевой задачи. На основе принципа максимума доказана сходимость соответствующих разностных схем в равномерной метрике;
• для уравнения теплопроводности изучен новый класс нелокальных задач с дробной производной по времени в граничных условиях.
Результаты, полученные в работе, являются определенным вкладом в теорию краевых задач для нелокальных дифференциальных уравнений, численно-аналитических методов их решения.
Результаты работы могут быть использованы для решения конкретных задач теории фильтрации в сильно пористых средах, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов, а также при описании физических процессов стохастического переноса.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре НИИ ПМА по современному анализу, на научно-исследовательском семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского государственного университета, отдельные результаты докладывались на международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики.» (Нальчик, 1996 г.), на международной конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики» (Киев, 1997 г.).
В первой главе изучаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной в младших членах. 1. Исследована краевая задача г (хЩх и — q (x) и = -/(*), 0 < х < 1, (1) ах ах и (0)=0, и (1)=0, (2) где &(x)>Ci>0, г (х)>0, <�у (х)>0, Dqx — оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля дифференцирования порядка ае]0,1[:
Установлен дискретный аналог принципа экстремума для дробной производной: пусть сеточная функция y (Xj) ^ const принимает йаиболь-шее положительное (наименьшее отрицательное) значение в некоторой точке х = х1о сеточной области coh={Xi=ih, i-l, 2,., N-lj, тогда А" 0л: j>0.
Аа0х. у < 0), для всех осе (ОД). 1.
Здесь Д" и= а 1 Ziv «-S+1 i-s f x, s х. 1 — СС S=i.
Г (1 — a).
— дискретный аналог дробной производной порядка а. В этой же главе установлена важная формула.
Х)?и=Ла0×11 + О (А). 2. Задаче (1) — (2) поставлена в соответствие разностная схема.
L" y = (ЧУ*)х ~ КхЖхУ ~dy = ~y у (3) jo=jn=0, (4) cii=ki½, di=q (Xi), (Pi~f (Xi),.
Пусть q (x)> т> О, тогда для решения разностной задачи получена априорная оценка в равномерной метрике. В случае, когда </(л-)>0, пользуясь методом функции Грина, доказана сходимость решения разностной задачи (3)-(4) к решению дифференциальной задачи (1)-(2) со скоростью 0{li) в равномерной метрике.
Аналогичные результаты справедливы и в случае более общего уравнения d du '" .
Lu=~— [?(*) aj (x)D^u-am+1(x)u= -f (x). (5) ах dx.
Для решения рассматриваемых краевых задач получена априорная оценка ЦиЦ^ < М||/||о,.
II II2 II II2 II II2 II II2 V 2 /- ч J.
N 1 = к + М, N = и (x)dx.
II IlWjio. i) II *llo II Но' II, Но J v ' о.
Во второй главе исследуются краевые задачи для нестационарного уравнения с дробной производной по пространственной переменной.
1. В области Q ={(x,/):0-I? краевая задача = А [/с (х, 0- r (x, t) Da0Xuq (x, t) u + /(дс, t), (6) dt ох ох.
M (0,t)=M (l, 0=0, и (, 0)=и0(х), (7) k (x, t)>cx>0, г (дс,*)>0, q (x, t)>О, где Щи =— —L, 0 < а < 1.
0v T{-a)acl (x-xj.
В предположении существования регулярного в области Q решения задачи (6)-(7) получена априорная оценка где 2 ни = ЛИ (*"')1 о о.
2. Для дифференциальной задачи (6)-(7) записана схема Ротэ Уг о о [к (х, О — Г (х, (Щ*ху — 9(х, О у + /(*, О, оде сЬс.
0,0^(1.0=0,.
V-V • у.
У, =-, = = т тшаг сетки по временной координате. Получен дискретный аналог априорной оценки (8):
9).
1 /=1.
Для погрешности г = у — и, как это следует из (9), справедлива оценка.
Ю).
40+уТК ог-м?1г" /=1 /=1 где М=соп81>0 не зависящая от т, |/ = О (т).
Из оценки (10) следует сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т) в норме, стоящей слева в (10).
3. Для задачи (6)-(7) построено однопараметрическое семейство разностных схем. у, = Л (ау+(1-о-)у) + <р, Уо=У*= 0, .К^О) = и0(х),.
11) у = у]+1, У = У], У.
Ау = (а (х, Оу,)х — г (х, 1) Аа0ху а{х., О = (О, Л (х, О = ?(л-, 0, ф = /(х, 1), * = *-+½.
Для решения задачи (11) получена априорная оценка в равномерной метрике на слое: j+1 «+2V о maxJ o.
А, т — шаги сетки по пространственной и временной координате..
В третьей главе исследованы краевые задачи для обобщенного уравнения переноса или уравнения диффузии дробного порядка. 1. В области О ={(л,*): 0<дс<1, О<*<�Г} рассмотрена задача ч г 41, Ч.
Dotu = Lu + f (х, 0″ Lu = — [к{х, t)—] - q (x, t) u. м (0,О = и (1,О = 0,.
О, (или =0).
12).
K1″ t=o.
->0 где k (x, t)>cx>Q, q (x, t)> 0,.
1 д 'rii (x, T) dT m. u =.