Логический анализ структуры математизированных наук (проблема изложения)

Актуальность темы

На ХХУ1 съезде КПСС отмечалось, что настоятельной задачей общественных наук, призванных активно способствовать решению проблем коммунистического строительства, является расширение проблематики и совершенствование методологии научных исследований*. Июньский Пленум (1983 г.) ЦК КПСС, развивая положения ХХУ1 съезда, конкретизировал эту задачу. В материалах Пленума было указано, что обществоведы должны, «отправляясь от уже добытых истин, двигаться вперед, расширяя наш теоретический горизонт, углубляя представления о важнейших закономерностях экономического, социально-политического и духовного прогресса стра-р ны. Решение задач, поставленных этими партииными документами, выдвигает новые проблемы перед философской наукой и новые требования к научным исследованиям вообще. К их числу с полным правом можно отнести проблему развития науки, ставящей задачу выявления диалектики ее закономерностей. В настоящее время приобрели особое значение исследования диалектики как теории развития, выявляющие значение материалистической диалектики в изучении философско-гносеологических проблем конкретно-научного знания.

Вместе с тем, диалектика научного познания такова, что с расширением и углублением изучения она требует осмысления и анализа философской проблематики на новом, более глубоком уровне,.

1 Материалы ХХУТ съезда КПСС. М.: Политиздат, 1981, с. 7778,.

2 Материалы Пленума ЦК КПСС 14−15 июня 1983 г., М., 1983, с. 32. соответствующем современному развитию науки. Поэтому не случайным является обращение философов к методологическим основаниям науки.

Теоретической основой для подобного рода исследований является материалистическая диалектика. На эту программирующую роль теории диалектики обращал внимание В. И. Ленин: «Продолжение дела Гегеля и Маркса должно состоять в диалектической обработке истории человеческой мысли, науки и техники» *. Основополагающей в решении задач, поставленных в данной диссертационной работе, является мысль В. И. Ленина о том, что диалектика есть «обобщение истории мысли» и поэтому «чрезвычайно благодарной кажется задача проследить сие конкретнее, поподробнее на истории отдельных р наук». Обращение к этой теме продиктовано и тем, что несмотря на определенную обособленность областей исследования частных наук, в них вызревает общеметодологическая проблематика, которая требует философского осмысления.

Разумеется, это чрезвычайно трудная задача, которую невозможно отразить выводами одного исследования. Автор сознательно ограничивает рассмотрение анализом проявления лишь одного из принципов диалектики в развитии отдельных наук — метода восхождения от абстрактного к конкретному. Этим же руководствовался автор и при выборе аспекта исследования — выяснения методологической функции указанного метода в построении математизированных наук, в изложении их содержания.

На практике часто имеет место отождествление процессов ис.

1 Ленин В. И. Полн.собр.соч., т. 29, с. 314.

2 Там же, с. 298. следования и изложения теории. Но это допустимо только в широком смысле понимания процесса познания, когда хотят подчеркнуть, что исследование и изложение преследуют одну цель — воспроизведение объекта в теории. Однако последнее осуществляется последовательно — вначале производится исследование, гораздо позже — изложение. Появляется необходимость вычленить определенные особенности, отличающие эти процессы друг от друга. Подобные разработки предпринимались в работах Вазюлина В. А., Герасимова И. Г., Грязнова Б. С., Зотова А. Ф. и др. Но работы, специально посвященные анализу соотношения исследования и изложения, пока отсутствуют. В числе же работ, предпринимающих анализ метода восхождения от абстрактного к конкретному*, нет специальных исследований, рассматривающих структуру этого метода и его роль в построении теории. Работ же, анализирующих проблему изложения, воспроизведения объектов указанным методом, практически нет.

Все это определило выбор темы настоящего диссертационного исследования. В предлагаемой работе освещаются некоторые аспекты этой проблемы, разумеется, не исчерпывающим образом. Одной из главных задач, поставленных в работе, является выделение тех аспектов в развитии частных наук, которые выявляют как общие проблемы принципа восхождения, так и специфику применения мето.

1 См.: Абдуллаева М. Н. Взаимосвязь абстрактного и конкретного в познании (на примере познания физических явлений). -Автореф.дис.к.ф.н. Ташкент, 1970; Галкина P.M. Восхождение от абстрактного к конкретному в процессе построения системы математических знаний. Автореф. Киев, 1978. да восхождения от абстрактного к конкретному, В частности, на примере геометрии и механики показывается наличие основных компонентов в истории познания — этапа исследования и этапа изложения. Мысль о различении их, как известно, принадлежит К. Марксу1.

В предлагаемой работе основные закономерности в развитии знания выделяются на основе структурных элементов метода восхождения от абстрактного к конкретному. Образцом для подобного анализа явился «Капитал» К. Маркса, в котором метод восхождения от абстрактного к кошфетному использовался в исследовании политической экономии капитализма.

Удобным и уместным для подобного анализа представляется метод восхождения от абстрактного к конкретному, поскольку он обладает широкой категориальной структурой. Он органически включает в себя всю систему категорий диалектики и совокупность методов познания, так как главной его задачей является проникновение в сущность изучаемых явлений. Это означает, что при этом работают все категории диалектики (явление и сущность, причина и следствие, возможность и действительностью та) восхождение в данном случае означает процесс выделения основных, существенных черт объекта и фиксирование их в теоретических конструкциях, определение им точного места в системе других понятий в рамках той или иной теории.

Вместе с тем сущность этого метода характеризует всеобщую закономерность процесса познания, так как указанные стадии существуют в любой науке. Процесс восхождения сопровождает как продесс познания в целом, так и отдельные акты познания в каждом отдельном случае. История развития определенной науки от элементарных сведений к сложным, разветвленным теориям характеризует собой также восхождение.

Предлагаемое исследование проводится путем анализа классических курсов элементарной геометрии и механики. Выбор этот объясняется тем, что обе науки представляют собой завершенные теории, в которых выявлены основные тенденции развития. Во-вторых, мезду ними существует тесная взаимосвязь — геометрия, изучающая о свойства пространства, кинематика, исследующая геометрию движения, и механика, оперирующая дополнительной категорией времени, имеют один и тот же объект — пространственное перемещение материальных тел. Кроме того, обе эти науки, в какой они представлены Евклидом и Ньютоном, изложены аксиоматически (на содержательном, правда, уровне).

Интерес к этим дисциплинам вызван и тем, что они, оставаясь в течение веков классическим образцом построения теории, имели своим следствием появление новых отраслей знания.

Степень разработанности темы. Советская философская мысль наиболее полно исследовала узловые проблемы материалистической диалектики. К ним можно отнести: диалектико-материалистическое учение о структуре и свойствах материи, анализ категориального аппарата диалектического материализма, проблема противоречия, отдельные вопросы структуры научных теорий. Широко разрабатываются проблемы диалектики как теории познания в работах Б. М. Кедрова, В. Н. Лекторского, И. С. Нарского, А. П. Шептулина, Д. П. Горского, Ж. М. Абдильдина и других авторов.

В настоящее время существенно возросла роль диалектики как теории развития, понимаемой как реальное развитие материальных объектов и как развитие понятий, знаний в общем случае. Одним из малоразработанных вопросов этой проблематики является анализ принципа восхождения в его применении к развитию частных наук. Этим активно занимались: Абдильдин Ж. М., Вазкшин В. А., Горский Д. П., Ильенков Э. В., Копнин П. В., Нысанбаев А. Н., Розенталь М. М. и др. Их работы отражают как вопросы теории диалектики в трудах классиков марксизма, так и конкретные проблемы теоретического познания с точки зрения применения принципов диалектики.

По исследуемому здесь вопросу можно отметить наличие двух разных точек зрения. Одна из них видит применение метода восхождения от абстрактного к конкретному в нахождении и непосредственном фиксировании схемы логики «Капитала» в структуре той или иной науки, пытаясь найти в содержании кошфетных наук прямые аналоги всем компонентам метода восхождения, найденных Марксом при анализе экономических отношений. Другая точка зрения ставит и решает эту проблему чрезвычайно обще, ограничиваясь рассмотрением метода восхождения всего лишь как принципа познания, не вдаваясь в подробности уточнения его содержания как в смысле структуры, так и в смысле его конкретного применения к отдельным наукам.

На наш взгляд, успешное решение этой проблемы предполагает рассмотрение предмета исследования в единстве исторического и логического. «Капитал» Маркса — это воспроизведение исторически развивающегося объекта, который подчинен прежде всего законам политической экономии. Хотя логика развития любой науки, несомненно, подчинена диалектическим закономерностям, она все же определена конкретным предметным содержанием этой науки, степенью общности ее законов, положением этой науки в целом в системе других наук. Поэтому «логика «Капитала» «может служить образцом в том смысле, что идеалом теоретического исследования любого объекта остаются способы анализа Марксом предмета его исследования, продиктованные как наличием и уровнем развития политической экономии вообще, так и наличием познавательных средств. Ведь Маркс в сущности начал свой анализ с поиска метода.

Мы же исходим из готовых средств анализа и исследования, вооружены диалектическим методомнаша задача сводится к выяснению специфики применения этого метода при исследовании отдельных наук.

Пели и задачи исследования. Основная цель работы состоит в анализе метода восхождения от абстрактного к конкретному как способа теоретического воспроизведения объектов науки. Это конкретизируется последовательным решением следующих задач:

— анализ и выявление логической структуры метода восхождения от абстрактного к конкретному, характеризущегося как универсальный принцип выявления сущности изучаемых явлений и процессов;

— анализ этапов исследования и изложения как последовательной реализации предварительного восхождения от конкретного к абстрактному и последующего — от абстрактного к конкретному;

— детализирование этих этапов на примерах развития конкретных наук — элементарной геометрии Евклида и механики Ньютона;

— обоснование развития научного знания (от возникновения элементарных понятий до построения целостной' теории) методом восхождения от абстрактного к конкретному.

Научная новизна исследования выражается в том, что автором разработаны и выносятся на защиту следующие положения:

— выявлен конкретный методологический аспект обоснования проблемы изложения науки;

— показано, что метод восхождения от абстрактного к конкретному можно применить как метод изложения;

— определена специфика применения метода восхождения от абстрактного к конкретному в области анализа механических явлений на примере классической механики и пространственных форм на примере геометрии Евклида.

Эти положения обосновываются следующими теоретическими разработками:

1. На материале истории диалектики выявляется сущность метода восхождения от абстрактного к конкретному, определяются основные функции метода восхождения от абстрактного к конкретному на основе обобщения его характеристик, данных классиками марксизма.

2. Проблема изложения науки впервые поставлена как методологическая проблема, имеющая выходы в общефилософском, гносеологическом плане и широкие прикладные возможности. Первое проявляется в том, что только в результате подробного изложения науки может быть получено оцределение предмета этой науки. Целью теории, как известно, является воспроизведение предмета в его целостности, что возможно только на основе выявления сущностных характеристик объекта. А это — задача прежде всего метода восхождения от абстрактного к конкретному. Несмотря на различие объектов изучения отдельных наук обнаруживается общность в их становлении и развитии.

3. Обоснован вывод о том, что если на первом этапе развития науки ход мысли от познания разрозненных свойств объекта к формированию понятий о нем, то изложение происходит путем, обратным ходу исследования — если последнее завершается формулированием абстракций, то для второго эти абстракции являются исходным материалом. Это является справедливым для любой отрасли знанияв работе эти процессы прослежены на материале механики и геометрии. В каждом отдельном случае происходит движение знания от явления к сущности: на уровне явлений мы имеем дело с разрозненными сведениями об объекте, на уровне изложения — с систематизированным знанием.

4. Показана логическая связь исследуемых научных понятий с категорией развития. В работе различаются понятия «развитие материального объекта» и «развитие идеального, абстрактного объекта» и соответственно развличение диалектики реального развития как процесса в материальных образованиях и диалектики развития знания как идеального образования.

5. Установлено, что теория, проходя в своем развитии стадии исследования и изложения, меняет и свой логический инструментарий — если для первого характерны преимущественный анализ, индуктивные методы изучения объекта, то для второго основными методами являются обобщение и систематизация знания, когда «место преимущественного индуктивных методов, присущих юношескому периоду науки, занимает поисковая дедукция» .

6. Выявлено наличие всех структурных элементов метода восхождения от абстрактного к конкретному в содержании и развитии механики и геометрии.

Методика и методология исследований. Методологическим основанием для работы служили теоретические положения классиков марксизма-ленинизма о диалектике цроцесса познания, о сущности диалектического метода. Большую пользу для усвоения этих положений и соответствующего их применения при изучении данной темы дали работы: Маркс К. «Капитал» — Энгельс Ф. «Диалектика природы», «Анти-Дюринг», статья Энгельса Ф. «К.Маркс. К критике политической экономии», работа В. И. Ленина «Философские тетради». В процессе работы изучены монографии и статьи ведущих ученых по данной проблематике.

Отдельными методологическими установками при работе над темой явились: а) основанное на идее Маркса расчленение развития наук на этап исследования, характеризующегося формулированием основных понятий науки, и этап изложения, систематизирующего полученные знанияб) принятие концепции, что наиболее полно тенденции в развитии объекта обнаруживаются при достижении им определенной зрелости.

Апробация работы. Основные идеи и выводы исследования были изложены на аспирантском семинаре кафедры логики, на семинаре молодых ученых по теме «Математизация знания: предпосылки, проблемы, перспективы» (февраль 1983 г., Пущино), на конференции философского факультета, посвященной юбилею К. Маркса (март 1983 г.). Результаты исследования представлены также в материалах П-й Всесоюзной научно-теоретической конференции «Диалектика современного научного познания» (май 1984 г., г. Ташкент).

Диссертация обсуждалась на заседании кафедры логики философского факультета МНУ" им М. В. Ломоносова.

Положения диссертации отражены в 3-х публикациях по теме.

Объем и структураработы. Диссертация изложена на i7&c. машинописного текстасостоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего о наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

I. Проведенный анализ содержания геометрии и механики, как мы видели выше, свидетельствует, что в развитии этих наук сохраняются общие принципы познания. Движение к новому знанию осуществляется на основе изучения реальной действительности и последующего его изложения в форме определенным образом построенной теории. Воссоздание же этого знания в мышлении происходит путем строгого и систематического изложения материала на основе единого метода.

В нашем случае мы разбирали аксиоматически построенные теории, с целью выявить определенные закономерности в развитии дедуктивного знания. Выяснилось прежде всего, что в истории обеих наук имеет место последовательная тенденция к абстрактному выражению результатов исследования. При этом в них осуществляются стадия накопления знания, или эмпирическая стадия, и стадия систематизации, теоретического освоения того или иного аспекта действительности, или изложение.

Более детальный анализ этих стадий установил, что первая из них осуществляется движением знания от конкретного (понимаемого как эмпирическая реальность) к абстрактному (целостное представление об объекте), результат которого фиксвд-ется в форме научных понятий, основных положений и утверждений науки. Во-вторых, стадия систематизации знания представляет собой движение знания от абстрактного к конкретному (воспроизведенному в мышлении). Исходным для второго этапа являются полученные на стадии исследования понятия, а итогом — построение теории, в нашем случае дедуктивных теорий, в которых содержание науки выводится логическим путем из принятых аксиом и утверждений. В-третьих, обнаружилось, что оставаясь универсальным принципом познания, метод восхождения от абстрактного к конкретному модифицируется в зависимости от предметной области анализируемой науки. Это отражается прежде всего на структурных элементах метода восхождения: а) конкретным (на стадии исследования) и в механике и геометрии выступает объективная реальность. Обе науки имели целью воссоздание картины существующей действительности. Объектом механики, в частности, явилось пространственное перемещение тел, а объектом геометрии — геометрические свойства материальных телб) абстракциями, лежащими в основе обеих наук, явились научные понятия, но они функционально различные — в геометрии абстракции являются операциями математического характера — абстракция отождествления, обобщающая абстракция, анализирующая абстракция, абстракция осуществимости и т. д. В механике же абстракциями являются научные понятия — инерция, масса, покой и т. д., т. е. абстракция здесь выступает как результат, а не как процесс, что имеет место в первом случае. в) абстрактное (или начало изложения) в обеих науках также совпадают — это аксиомы и постулаты. Но содержание их зависит от характера исследуемых объектов. Но, кроме того, если аксиомы механики носят характер обобщения опытного материала, то в геометрии они имеют умозрительно-интуитивный характер.

Таким образом, мы убедились, что в развитии обеих наук движение знания происходило в соответствии с принципами диалектического метода восхождения от абстрактного к конкретному, который сохраняет свою структуру во всех сферах познания как универсальный принцип, но соотносясь с конкретным научным материалом, с необходимостью модифицируется. Метод восхождения учитывает специфику объекта изучения, поэтому содержание его структурных элементов варьируется в зависимости от исследуемого материала.

Все это показывает, что в построении научной теории марксо-во деление процесса постижения объекта на этапы исследования и изложения действительно имеет место. Прежде чем изложить предмет в строго научной форме, мы должны тщательно изучить, исследовать эмпирический материал в деталях. Чем больше мы узнаем на стадии исследования, тем полнее и совершеннее будет изложение, построение теории, тем яснее будут тенденции дальнейшего развития предмета. Мы постарались показать действие метода восхождения от абстрактного к конкретному на развитии частных наук, стремясь выяснить его методологическую роль в воспроизведении генезиса, становления и функционирования их объектов.

П. Для Евклида методологической основой служила логика Аристотеля. Если внимательно всмотреться в причину этого, обнаружится, что логика была уже готова к этой роли. Ее правила могли служить аппаратом познания, средством получения нового знания лишь потому, что она уже прошла путь теоретизации своего содержания и была формализована Аристотелем. Если до Аристотеля логика представляла собой обыденные приемы рассуждения, то со введением силлогистики она получила одно из сильных средств для дальнейшего успешного развития. Бесспорно, что силлогистика служила разработке философских проблемболее того, «оставаясь в течение долгого времени единственно известным аппаратом дедукции, она во многом предопределила характер и направленность теоретико-познавательных исследований. Поэтому она была не только теорией дедукции, но и выполняла кардинальную объяснительную функцию при решении гносеологических проблем'1*.

Ш. Логика же в лице Аристотеля дала науке мощное средство систематизации знания — дедуктивно-аксиоматический метод, который сохраняет свое значение и по сей день. И механика, и геометрия имеют выходы в современную аксиоматику. Развитие аксиоматики от конкретной к формальным и в настоящее время находит живой интерес у исследователей. Кроме появления неевклидовых геометрий проблема У постулата имела еще одно следствие — проблему построения непротиворечивой системы евклидовой геометрии. В частности, подобную попытку реконструкции геометрии Евклида провел Д.Гильберт. Его аксиоматика считается более удачной по сравнению с другими (этой проблемой занимались Паш М., Пеано Д.,.

Пиери Я.). Интересным в его системе является то, что в ее оснор ву кладутся группы аксиом. Приведем ее полностью. I. Аксиомы соединения (принадлежности).

1. V^ Vy. & [ю, SCt у) ~ к всегда лежат на одной прямой.

2. VKVyVzC&f*' —> (Wy,*, & если точки ос,^^ лежат на одной прямой, то точки у, и точки №, также лежат на одной прямой).

3. toVy Уъ Vu ССгСъу,*)). если Я. и ^ - различные точки и если точки лежат на Бочаров В. А. Аристотель и традиционная логика. М.: Издво МГУ, 1984, с. 4. о.

См.: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.:Наука, 1982. одной прямой, то также лежат на одной прямой).

4. «Т&рС^*). существуют точки г, не лежащие на одной прямой). П. Аксиомы порядка.

1. Vs&fy feCZ^C*,?,*) ^.

2. 1Чгиг (щ.

3. Уд V+VzObvCK h Mt.

4. Vac-V^f 2м/ ОяфЪ). если ^ - различные точки, то всегда существует точка такая, что sc. лежит между ^ и ^).

5. V^Vy fz. /ц VvClfCbfap^Z^Cv,*'!/)? 1 -> ^-w? ^ to).

Ш. Аксиома о параллельных.

Поскольку аксиомы конгруэнтности в списке не фигурируют, то аксиома о параллельных приводится в расширенной формулировке: для всякой прямой и точки, лежащей вне ее, существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая исходную прямую. t ?, w}~ не существует точки И/, которая лежала бы на одной прямой с точками к и^, а также с точками К и V). Обозначим ее:^W () ц (1/), тогда аксиома запишется в виде: Ч-ч (Pvtfw, zy) (ji Сг,.

Если теперь вообразить, что все перечисленные выше аксиомы выписаны в ряд и соединены друг с другом знаком конъюнкции, то у нас получится одна-единственная логическая формула, которая представляет собой некоторое высказывание о предикатах &, Обозначим ее. Аналогичным образом можно представить в виде подходящей формулы (и всякое другое предложение геометрии, допускающее формулировку в терминах одних только отношений соединения и порядка.

1У. Как геометрия Евклида, так и механика Ньютона — это вехи на пути аксиоматического метода к построению все более формализованных систем. Поэтому мы считаем возможным обобщить это обстоятельство до положения, что аксиоматический метод в своем развитии проходит стадии обе восхождения. И геометрия, и механика отражают в своих положениях определенные связи реальности. Кроме того, геометрия Евклида предполагалась как научная теория дяя построения физической теории. Используя например, такую идеализацию, как прямая линия и имея в виду указанные ранее (с.) допущения об измерении времени, силы скорости механика вводит свои идеализации, как прямолинейное равномерное движение, инерциальные силы, массу покоя и т. д. Но в смысле успехов аксиоматизация механики Ньютона, по справедливой оценке Садовского В. Н., по существу не внесло в понимание аксиоматического метода никаких принципиально новых моментов" *, так как «не выходила за рамки характерного для античной философии содержа Садовский В. Н. Аксиоматический метод построения научного знания. — В кн.: Философские вопросы современной формальной логики. М.: Изд-во АН СССР, 1962, с. 219. тельного (интуитивного) истолкования аксиоматического метода» 1.

Трудности аксиоматизации механики связаны в основном с тем, какие понятия избираются в качестве основных, первоначальных. В современных аксиоматизациях это понятие массы, например, о в известной статье Мак-Кинси, Сугар и Суппес приводят следующую аксиоматизацию механики:

Система Pf/ty,, удовлетворяющая аксиомам Pyl-fC/ называется Л— мерной системой механики частиц.

Аксиомы кинематики.

Pl.lP не пустое, конечное множество. Р2ш Т интервал действительных чисел.

Р3. Если р из 9 и -/-из Т", то является tмерныгл вектором, таким что а^у^/Лг fj>ft) существует.

Аксиомы динамики.

Р 4. Если р из^, тогда есть положительное действительное число.

Р 5. Если (р из ^ и из Т, тогда.

J f f) -f? f l) является И— мерным вектором, таким, что jfL является абсолютно сходящимся.

Если р из.

9- и Л.

ИЗ /, то Садовский В. Н. Аксиоматический метод построения научного знания, с. 219.

2 у. ct JktL о/.^.Ал^ь. сьил (. vXUi^am^^ $>ufiMjcdL ^M^A^Lt (M&cJbOwJtJ J^AjoJ^nl x Ifvt. l (^m).

Здесь f — множество частиц, Т — интервал времени, J* -положение частицы, ^ - масса, jj- - силы между частицами .

Эту же аксиоматику, обобщенную на базе основных законов механики, дает Суппес*:

Кинематика.

Аксиома Р I. конечно и непусто.

Аксиома f 2. Т — интервал действительных чисел.

Аксиома Р 3. Дня каждого q> из ^ дважды дифференцируемо по Т.

Динамика.

Аксиома Р 4. Для р из ^.

— положительное действительное число.

Аксиома Р 5. Для каждого р из ^ и ^ из 7~имеет место: Аксиома.

Р 6.

Для каждого р и 9 из и из Т имеет место: srp, i)* J fa t, $ ~ r/fofi-j.

Аксиома P 7. Для каждого f из 9 и из T~ имеет место:

Гкн.: ^clu^O, А <

Но существуют аксиоматизации менее формального характера, которые стремятся сохранить определенное соответствие (насколько это возможно) между первоначальными понятиями и их эмпирическими эквивалентами. В таких случаях пытаются определить исходное понятие на основе простых физических законов. Например, Гермес проводит подобную аксиоматизацию на базе механизма неупругого столкновения*. ж., у .¦ - это временные сечения мировой линии непротяженной частицы, названные мгновенными точечными массами. Су гсд ~ это «генетически тождественные частицы», т. е. два временных сечения одной и той же частицы. С, А д^у ~ мгновенные точечные частицы^и у сталкиваются в неупругом ударе за время iпо отношению к системе J, в которой их общая скорость после столкновения равна нулю. Vtl ~ скорость по отношению к ^ непосредственно перед столкновением в момент времени Отношение масс двух частиц принимает вид:

Определение: Масса Gl Mo & CH) f? ь Ц Ш — ft/ ly Ш или: «Масса £, в / раз больше чем масса Я2о «означает, что «сучествует система, мгновение 4 г и мгновенные точечные массы генетически тождественные соответственно, скорости которых (непосредственно перед столкновением) w ж^о находятся в отношении К» 1 ' I V I. Если и генетически тождественны, то отношение масс равно единице» .

Для того, чтобы это отношение принимало численный вид, цри-нимается аксиома:

Аксиома: МассаМасса/ QМасса ¦