Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления

Актуальность темы

Работа посвящена точным неравенствам для производных гладких функций. Важный класс таких неравенств составляют неравенства для производных на прямой и полупрямой вида.

И^ОИсчт) < ^но^^чои!^ (1) где 0 ^ к < п — целые, Т — прямая К или полупрямая К+, СЪ{Т) — пространство ограниченных непрерывных функций на Г с нормой ||ж (-)||сь (Т) = зир4еТ |ж (£)|, £оо (Т) — пространство измеримых, существенно ограниченных функций на Т с нормой |К-)1коо (т) = Уга1зир|х (?)|. Задача состоит в нахождении наименьшей константы К, при которой неравенство (1) справедливо для всех функций х (-) Е = {х (-) € СТ) Е АС (Т), хМ (') е Ь^Т)}, где АС{Т) — пространство локально абсолютно непрерывных функций на Т. Эту оптимальную константу обозначим Кт{п, к).

Задача о вычислении точной константы в неравенстве (1) равносильна нахождению точного значения в следующей экстремальной задаче: х<*>(0) тах, |Н-)|ЬЧт) ^ 7ъ ||*(п)(-)Н?-(г) ^ Ъ (2) для некоторых 71,72 > 0 (выбор этих констант на решение задачи не влияет). Функцию х (-), на которой достигается максимум в этой задаче, назовем экстремальной функцией. Задача (2) рассматривается нами также на окружности Т и на отрезке I = [0,1].

Точкой отсчёта для данной тематики явилась заметка Э. Ландау [43], опубликованная в 1913 году, в которой было доказано, что 1) = 2. Годом позже Адамар [42] доказал, что 2,1) = л/2- Неравенство Адамара привлекло внимание А. Н. Колмогорова, и он поставил перед своим учеником Г. Е. Шиловым (в ту пору студентом, носившим фамилию Боссе Ю. Г., см. [7]) задачу обобщить результат Адамара на любые кип. Шилов нашел константу к) при п = 3,4 для всех к и при п = 5 для некоторых к, но дальше продвинуться не смог [7]. Это дало повод Колмогорову самому взяться за решение задачи. Он решил ее в 1938 году [17]. Впоследствии было получено множество примыкающих результатов. В частности, в работе В. М. Тихомирова [33] рассматривалась задача (2) для Т = [0,1] и были описаны экстремальные функции, получившие название чебышевских сплайнов.

Задача (2) на полупрямой К+ была исследована Шёнбергом и Кавареттой в работе [48] в следующей постановке:

0)| - max, IHOIIw^) < 1, lMn)(0IUoo (M+) < 2−4! (3).

Было доказано, что экстремальная функция является сплайномпричем при п = 2, 3 этот сплайн на любом отрезке непрерывности п-й производной с точностью до константы совпадает со смещенным чебышевским полиномом, и, соответственно, значение задачи (3) совпадает со значением А—ой производной чебышевского полинома в точке t = 1.

При п ^ 4 в [48] построена некоторая последовательность чебышевских перфектных сплайнов (Snm (-)) (где m — число узлов), которая сходится к экстремальной функции при стремлении m к бесконечности. При этом последовательность (|?nm (0)|) монотонно убывает и стремится к решению задачи (3), которое, в отличие от случая п = 2,3, оказывается строго меньше, чем значение А—ой производной чебышевского полинома в точке 1=1.

В вышеупомянутой статье содержатся также вычисленные значения величины Snm{0) при нескольких первых значениях п, к и га.

В последние годы вышло несколько монографий, посвященных неравенствам кол-могоровского типа: [4], [37], [46].

Интерес к неравенствам для производных и актуальность этой тематики вызваны несколькими причинами. Точные неравенства на протяжении всей истории привлекали внимание многих математиков. Достаточно привести в пример книгу «Неравенства» Харди, Литтлвуда и Полиа. С. Б. Стечкин в 60-е годы связал проблематику неравенств для производных гладких функций с интересной для численного анализа задачей оптимальной аппроксимации неограниченных операторов ограниченными (это актуальная проблема вычислительной математики, ибо численное решение дифференциальных уравнений относится к классу задач аппроксимации неограниченного дифференциального оператора ограниченными, в частности, сеточными операторами). Впоследствии эта проблематика была включена в более широкий класс задач оптимального восстановления. Точно решенные неравенства могут служить полигоном для различных теорий в анализе, в частности, для теории экстремальных задач.

Все описанные решения, касающиеся точных неравенств для производных, были получены авторами «индивидуально», без использования общей теории экстремума. Мы же исследуем задачи (1) и (2), базируясь на одном из принципов общей теории — принципе Лагранжа.

В диссертации также рассматриваются экстремальные задачи, в которых ограничения на норму функции и ее тг-й производной заданы не на одном и том же множестве Т, а на разных множествах: х^(г) max, |Ю1|с (Д) ^ 7ь lk (n)(-)IU~(T) ^ 72, 7ъ72 > 0, (4) где, А — некоторый отрезок, г — некоторая точка Т, а 71, 72 — некоторые числа.

Параллельно с решением экстремальных задач (2) и (4) в настоящей работе исследуются задача Стечкина и задача оптимального восстановления, которые были упомянуты выше. Точная постановка задачи Стечкина такова (см. [31]). Пусть X и Y — банаховы пространства, U: X —> Y — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор с областью определения Du С X и К — некоторый класс элементов из Dv. Множество линейных ограниченных операторов из X в Y, норма которых не превосходит числа N > 0, обозначим C (N) ~ ?(-/VX, Y). Рассматривается задача о наилучшем приближении оператора U всевозможными линейными операторами S с нормой, не превосходящей числа N > 0, на заданном классе К. Другими словами, рассматривается величина.

En{UК) = inf R{U, S-K)= inf sup \Ux — Sx\y. (5) seC{N) SeC (N)хЕк.

Задача состоит в исследовании вопроса существования, единственности и характериза-ции экстремального оператора, на котором в (5) достигается нижняя грань, а также, в ряде частных случаев, в точном вычислении величины E^{UK).

Общую теорию восстановления одним из первых стал создавать С. А. Смоляк [29], хотя в частных постановках подобные вопросы рассматривались и ранее (см., например, работы Сарда [47] и Никольского [28]). Общая задача о восстановлении линейного функционала на классе функций по некоторой информации об этой функции ставится следующим образом.

Пусть X и У — вещественные векторные пространства, х' — линейный функционал на X, который требуется восстановить возможно лучшим образом на элементах х из некоторого класса С С X по информации у = -Р (ж), где Р: X —> У — некоторое, вообще говоря, многозначное отображение, называемое информационным оператором.

Методом восстановления функционала х' из пространства X', сопряженного с X, на классе С по информации Р назовем любую функцию (р: Р© —> Ж. Погрешность, которую производит данный метод восстановления (р, будем оценивать величиной.

С, .Р, ф) := эир {х, х') — р (у), хб с, где (х, х') — значение линейного функционала х' на элементе х. Оптимальной погрешностью восстановления назовём величину.

Е (х С, Р) := т£ е (х', С, Р, у>), (6) ч> где нижняя грань берется по всем методам восстановления <р: Р© —> К, а метод <р>, на котором эта нижняя грань достигается, назовем оптимальным методом восстановления, и мы пишем (х, х') ж <�р (у), где у 6 -Р (х). Задачу нахождения величины Е (х', С, Р) и соответствующего оптимального метода (р мы будем называть задачей оптимального восстановления и обозначать (х', С, Р).

Цель работы. Одной из основных целей настоящей работы является исследование экстремальной задачи я^ОО-тах, *(¦) € И?(Г, Г), (7) где Г) — соболевский класс: {ж (-)|®(п1)(-) е АС{Т), 1x^(1') — ^" -^(О! ^ I*' и выполнено краевое условие Г},.

Д — отрезок [—1,1] или [0,1], а (Т, Г) — это, соответственно, либо (Е, Гоо) (т. е. когда рассматривается класс И^^К.) при отсутствии граничных условий), либо (М+, Гп0) (когда рассматриваются функции из такие, что = 0, 0 ^ я < п), и.

И > 17.

Также решается связанная с экстремальной задачей (7) задача оптимального восстановления (хЮ (г), (Т, Г),), где ^с'(д) — многозначный информационный оператор, сопоставляющий функции х (-) такую функцию у (-) Е С (Д), что ||а-(-) — 11с (Д) <

Требуется решить задачу оптимального восстановления (гг^(т), ЦГ^Т, Г), -Ргс (д))> то есть найти величину Е (х^(т), Ц/'^Т^), Е$с (а)) и оптимальный метод восстановления.

Также решается задача восстановления И^(Т), В этом случае известно решение соответствующей экстремальной задачи для дискретного множества значений 8, и для этих значений ищется решение соответствующей задачи восстановления.

Краткое содержание работы.

Во введении описывается общая постановка задачи и излагается содержание работы по главам и параграфам.

В первой главе диссертации содержатся предварительные сведения, необходимые для решения поставленных задач. Приводится обзор научной литературы и известных исследований по теме настоящей работы.

В первом параграфе ставится общая задача о точной константе в неравенствах для производных колмогоровского типа:

11^(-)1к (т) < К\хЖр (тМП)(Ж (т)> (8) где 0 ^ к < п — целые, 1 ^ р, д, г ^ оо, а, (3 ^ О, Т = К V М+, справедливые для всех функций из ЬР (Т), у которых (п — 1)-я производная локально абсолютно непрерывна на Т и п-я производная принадлежит ЬГ (Т) (при этом числа, а и /5 однозначно определяются: а = «^-Т/У-н/р'4» @ ~ 1 — а). Пространство таких функций мы будем обозначать через УУ^ДТ) (или просто УУ&trade- (Т), если р — г).

Задача о вычислении точной константы в неравенстве (8) равносильна нахождению точного значения в следующей экстремальной задаче:

-)1к (т) -> шах, |ВД||Мт) ^ 7ъ ||®(п)0)11мг) < Ъ (9) для любых фиксированных чисел 71,72 > 0.

Перечислены основные случаи, при которых ранее были решены неравенства кол-могоровского типа, и приведены полученные результаты.

Во втором параграфе главы приводятся основные понятся и факты выпуклого анализа, необходимые для нашего исследования.

Даются определения эффективного множества и надграфика функции, выпуклой функции в векторном пространстве X. Вводится понятие двойственных пространств, сопряженной функции и второй сопряженной. Приводится теорема об условиях совпадения функции со своей второй сопряженной, которая служит базой теории двойственности выпуклых функций:

Теорема (Фенхель—Моро) Пусть X — векторное топологическое пространство f: X —" Ж U {+оо}. Функция f совпадает со своей второй сопряж-енной тогда и только тогда, когда f выпукла и замкнута.

Вводится понятие субдифференциала, который во многих случаях играет в выпуклом анализе роль производной в гладком анализе. Для субдифференциального исчисления приводятся аналог теоремы Ферма о критерии абсолютного минимума, а также теоремы Моро-Рокафеллара и Дубовицкого-Милютина о субдифференциале суммы и максимума двух функций.

В третьем параграфе дается определение выпуклой задачи: fo{x) —> min, fi (x) ^ 0, г = 1,., m, х е А. (10).

Здесь /?: X —> R, г = 0,1,., т, — выпуклые функции, отображающие линейное пространство X в расширенную прямую, А С X — выпуклое множество.

Для этой задачи приводится правило множителей Лагранжа, которое является основным инструментом для решения поставленных задач.

Затем показано применение принципа Лагранжа в общей задаче о неравенствах для производных в различных случаях. Рассмотрены случаи классического вариационного исчисления и оптимального управления. Из принципа Лагранжа выводится так называемое «основное тождество», из которого в дальнейшем и получаются решения всех поставленных задач.

В четвертом параграфе ставится вкратце описанная выше (стр. 7) задача оптимального восстановления (x', C, F). С ней связывается следующая задача, называемая ассоциированной: х, х') -" шах, х е F1(0), ж е С, (11) которую можно переписать в виде х, х') —> max, и = 0, u€F (x), х? С, (12) где F-1^) = {re G С | г/ G F (rr)}.

Если множество С и функция F выпуклы, то (12) — выпуклая задача. Двойственная задача к (12) относительно стандартного возмущения (см. [24, с. 61]) имеет вид sup ((у, у') + (ж, ж')) -> min, (13) хбС, yeF (x) где у' — линейный фунционал на Y.

Связь между выписанными задачами и их решениями дается в следующей теореме:

Теорема (двойственности для задачи восстановления).

Пусть в задаче (11) множества С и grF выпуклы и уравновешены. Тогда допустимая в (12) точка (5-(0), 0) является решением этой задачи в том и только в том случае, когда найдется такой множитель Лагранжа, А G Y' (линейный фунционал на Y), что min ?((ж, и),-1,А) = £((£, 0),-1,Л). (14) itO,.

При этом а) —Л — решение задачи (13) и значения задач (12) и (13) совпадаютб) Л — оптимальный метод восстановления в задаче (х', С, F) и Е (х', С, F) = (х, х').

Вторая глава работы посвящена доказательству существования и единственности чебышевских и золотаревских перфектных сплайнов.

Определение Функция х (-), заданная и непрерывная на отрезке, А = [а, Ь], называется полиномиальным сплайном (или просто сплайном) порядка п с узлами {?j}" =ii такими, что, а =: ?0 < < • • • < ?m < ?m+i := Ь, если на каждом из промежутков [?7,^+1]) j = 0,., т функция ж (-) есть алгебраический полином степени, не превосходящей п.

Определение Сплайн ж (-) е С^П1^(А) степени п с узлами ?1 < ?2 < • • • < называется перфектным, если на отрезке j — 0,., т он имеет п-ю производную х^(-) = (—1)^7 (где 7 = ±1), т. е. эта производная по модулю равна 7, и при этом ее знаки чередуются.

Определение Пусть .т (-)? С[а, Ь]. Говорят, что х (-) обладает N-алътернаисом, если существуют точки, а ^ т < Т2 < ¦ ¦ ¦ < т^ ^ Ь, такие, что 1^(^)1 = ||ж (-)||с[а, ь] при 1 ^ 3 ^ N и х{т^х{т^+1) < 0 при 1 < N.

Определение Скажем, что функция ж (-)? Ь] удовлетворяет Гиг—условию на а, 6], где и, ь Е и ^ п и V ^ п, если х^(а) = 0 при О^^'^тг — 1 и х^(Ь) = О при 0 ^ 7 ^ г- — 1 (если и = 0 или V = 0, то условия в соответствующем конце отрезка отсутствуют).

Перфектный сплайн степени пет узлами, удовлетворяющий Гии-условию на отрезке [а, 6], назовем (птТиу[а, Ь)-сплайном.

Если такой сплайн имеет (п + т — (и + у) + 1)-альтернанс на отрезке [а, Ь], то будем называть его чебышевским (птТиь[а, Ь])-сплайном', а если лишь (п + т — (и + г-))-альтернанс, то золотаревским.

Доказывается теорема о существовании чебышевских и золотаревских сплайнов как для задачи без граничных условий, так и с нулевыми граничными условиями в концах отрезка:

Теорема (о существ, и единств, чебышевских и золотаревских сплайнов).

Для всяких п 6 т, и, ь Е Z+J удовлетворяющих условиям и, у ^ п и п + т — (и + у) ^ 0, существует чебышевский (птТиу[а, Ь])-сплайн хпТпГи"[а, ь](-)¦ Такой сплайн единственный с точностью до знака.

Для любого 8 > 0, лежащего между ||?"тГш)[а,&](-)11см и Ужпдп-х.г^кьКОУсМсуществуют ровно четыре различных золотаревских (птГиу[а, Ь])-сплайна, равномерная норма которых на отрезке [а, Ь] равна 6.

Достаточно доказать существование и единственность искомых сплайнов на отрезке [0,1], которые обозначаются просто (ггтГ,№) — с п л ай нам и.

При отсутствии граничных условий приводятся результаты, полученные ранее другими авторами. В остальных случаях доказательство теоремы разбито на несколько этапов.

Сначала приводится доказательство существования чебышевских сплайнов, основанное на теореме Борсука ([38]) (согласно которой нечетное непрерывное отображение г-мерной сферы §-г в Мг обращается в нуль в некоторой точке) и на свойствах обобщенных полных чебышевских пространств (ЕСТ-пространств, см. [15] и [14]).

Единственность чебышевских сплайнов доказывается двумя способами, один из которых является распространением на рассматриваемый случай доказательства единственности чебышевских (тшгГоо) — и (?7.771,ГПП)-сплайнов, приведенного в работе [26] (Ма-лоземов, Певный).

При доказательстве существования и единственности золотаревских (птТи%1)~ сплайнов используется аппарат обобщенных перфектных сплайнов, использованный Карлиным в работе [45] при доказательстве существования и единственности чебышевских и золотаревских сплайнов без граничных условий.

В третьей главе работы полученные чебышевские и золотаревские сплайны применяются для решения экстремальных задач и задач оптимального восстановления.

В первом параграфе в качестве простейшего примера применения выбранной методики решается экстремальная задача (7) и соответствующая задача оптимального восстановления при малых значениях п. Эти задачи решаются на пространствах (для функций на отрезке [—1,1]) при гг = 1,2,3 и Гп0) (для функций на отрезке [0,1]) при п = 1,2. В этих случаях возможно явное построение чебышевских и золотаревских сплайнов.

Во втором параграфе приводится с небольшими изменениями и дополнениями результат, полученный А. П. Буслаевым для Т = М. Оптимальный метод восстановления имеет вид где множители ^ находятся из формулы.

15) где В§- —, а константы Фавара п нечетно,.

4 (-1)''.

7 г (2?+1)" +1 ' п четн0.

При некоторых п приводятся вычисленные значения множителей чая отрезка без ограничений, так и при наличии нулевых ограничений в левом конце отрезка. Полученный результат формулируется в следующем виде:

Теорема (об оптимальном методе в задаче экстраполяции).

Пусть Х8 — чебышевский или золотаревский сплайн (жптг00д (-), жпт<$г00д («)> .^Птгп0д (•) или хПП1 $гп0а (-)), имеющий норму 6- — его точки альтернанса. Тогда.

Е (х{к)(т)^(Т, Г), Р6С{ь)) = х? т) и оптимальный метод восстановления имеет вид х^(т) ж №зУ (тз)> Уз ~ некоторые величины, зависящие от г, 8, п, к и являющиеся решением некоторой системы линейных уравнений.

В конце параграфа приводится иллюстрация применения полученных результатов в некоторых частных случаях.

Благодарности. Автор выражает свою глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Михайловичу Тихомирову за постановку задач, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе.

1. Арестов В. В. О точных константах между нормами функций и их производных // Acta Sei. Math. 1972, Т. 33, № 3−4, с. 243−267.

2. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи матем. наук. 1996, Т. 51, № 6, с. 89−124.

3. Арестов В. В., Бердышев В. И. Неравенства для дифференцируемых функций // Тр. Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. 1975, № 17. Методы решения условно-корректных задач. С. 108−138.

4. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003.

5. Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Сравнение точных констант в неравенствах для производных на вещественной прямой и окружности // Укр. мат. журн. 2003, Т. 55, № 5, с. 579−589.

6. Бердышев В. И. Наилучшее приближение в L0, oo) оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1971, Т. 9, № 5, с. 477−481.

7. Боссе Ю. Г. (Шилов Г. Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков МГУ. 1937, Т. 1, с. 68−72.

8. Буслаев А. П. О наилучшем приближении оператора дифференцирования. М., 1979.

9. Буслаев А. П. О точных константах и неравенствах для производных // Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез. докл. Минск, 1982, с. 29.

10. Габушин В. Н. Точные константы в неравенствах между нормами производных функций // Матем. заметки. 1968, Т. 4, № 2, с. 221−232.

11. Габушин В. Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой // Матем. заметки. 1969, Т. 6, № 5, с. 573−582.

12. Габушин В. Н. Некоторые неравенства между производными функций // Труды Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. 1976, № 23. Методы регуляризации неустойчивых задач. С. 20−26.

13. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

14. Демидович В. Б. Приближенные вычисления с помощью обобщенных полиномов из чебышевских пространств. Чебышевские обобщенные полиномы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

15. КУПЦОВ Н. П. Колмогоровские оценки для производных в Ь2{0, оо) // Труды МИАН. 1975, Т. 138, с. 94−117.

16. Купцов Н. П. О точных константах в неравенствах между нормами функций и их производных // Матем. заметки. 1987, Т. 41, № 5, с. 313−319.

17. Магарил-Ильяев Г. Г. Неравенства для производных и двойственность // Тр. МИАН СССР. 1983, Т. 161, с. 183−194.

18. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

19. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. О неравенствах для производных колмогоровского типа // Матем. сборник. 1997. Т. 188. № 12. С. 73−106.

20. МАЛОЗЕМОВ В. Н., ПЕВНЫЙ А. Б. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд-во Jle-нингр. ун-та, 1986. 120 с.

21. МАТОРИН А. П. О неравенствах между наибольшими значениями абсолютных величин функции и ее производных на прямой // Укр. матем. журнал. 1955, Т. 7, № 3, с. 262−266.

22. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. 1967, Т. 1, № 2, с. 137−148.

23. Тихомиров В. M., Магарил-Ильяев Г. Г. Перавенства для производных // Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985, с. 387−390.

24. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

25. Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Полное собрание сочинений. Т. 2. Изд. АН СССР, М.-Л., 1948, с. 23−51.37. bagdasarov S. Chebyshev Splines and Kolmogorov Inequalities. Bukhauser, Basel etc. 1998.

26. Borsuk K. Drei Satze uber die n-dimensionale euklidishe Spare // Fund. Math., 1933, Bd. 20, s. 177−191.39. cavaretta A. S. An elementary proof of Kolmogorov’s theorem // Amer. Math. Monthly, 81 (1974), pp. 480−486.

27. Cavaretta A. S. Oscillatory and zero properties for perfect splines and monosplines // J. Analyse Math., 28 (1975), pp. 41−59.

28. Cavaretta A. S. A refinement of Kolmogorov’s inequality // Journal of Approximation Theory, 27 (1979), pp. 45−60.

29. H adam ard J. Sur le module maximum d’une fonction et de ses derivees // C. R. Soc. Math. France. 1914. V. 41. P. 68−72.

30. Landau E. Einige Ungleichingen fur zweimal differentierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc. 1913. V. 2. № 13. P. 43−49.

31. Karlin S. Interpolation properties of generalized perfect splines and the solution of certain extremal problems // I., Trans. Amer. Math. Soc. V. 206, 1975, pp. 25−66.

32. Karlin S. Oscillatory perfect splines and related extremum problems // Spline Functions and Approximation Theory, by S. Karlin, C. A. Micchelli, A. Pinkus and I. J. Shoenberg, pp. 371−460, Academic Press, New York, 1976.

33. К wong M. K., Zettl A. Norm Inequalities for Derivatives and Differences // Berlin. Springer-Verlag, 1992, 150 p. (Lecture Notes in Mathematics, V. 1536).

34. Stein E. M. Functions of exponential type // Ann. of Math. (2). 1957, V. 65, № 3, P. 582−592.

35. Sz.-Nady B. Uber Integralungleichungen zwischen einer Function und ihrer Avleitung // Acta Sei. Math. 1941, V. 10, P. 64−74.Работы автора по теме диссертации.

36. Михалин Д. А. Оптимальное восстановление значений гладких функций и их производных по неточной информации на отрезке // Фундаментальная и прикладная математика. 2002, Т. 8, Вып. 4, с. 1047−1058.

37. Михалин Д. А. Чебышёвские и золотаревские перфектные сплайны на отрезке с нулевыми граничными условиями // Доклады Академии Наук. Т. 425, № 5 (2009), с. 592−594.

38. Михалин Д. А. Специальные чебышёвские и золотарёвские перфектные сплайны на отрезке // Успехи матем. наук, 64:2 (386) (2009), с. 203−204.