Весовые параметрические алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений

Методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) — это «численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик» [32]. Их применение для решения разнообразных задач в различных областях физики, математики и техники имеет богатую историю [9, 10, 32]. В 50-х годах состоялись несколько первых симпозиумов по методам Монте-Карло, которые продемонстрировали широкие перспективы их применения. Хотя методы Монте-Карло были известны и до 40-х годов, тогда они не получили широкого распространения из-за больших объемов вычислений. Появление компьютеров сделало их практически применимыми и за последние 50 лет вместе с развитием компьютерных технологий методы Монте-Карло всё более активно используются во многих научных исследованиях.

Резко возросший в мире за последние два десятилетия интерес к исследованиям в области статистического моделирования обусловлен двумя основными причинами. Первая связана с тем, что методы Монте-Карло оказались удачно адаптируемыми к современной вычислительной технике с высоким уровнем распараллеливания. Вторая обусловлена новым уровнем описания задачи — статистический подход стал чрезвычайно часто использоваться уже на этапе постановки задачи и выбора модели. Это в полной мере относится и к задачам теории кинетических уравнений, которые описывают эволюцию функции распределения F (t, v, х) молекул или других объектов (электронов, ионов, звезд, галактик, пор и др.) по скоростям v и пространству х в момент времени Ь. Это означает, что число частиц в элементе фазового объема dv drc есть F (t: v, х) dida-. Простейшее такое уравнение — уравнение свободного движения:

В настоящей диссертации будут рассмотрены два кинетических уравнения в пространственно-однородном случае: уравнение Больцмана и уравнение Смолуховского.

Уравнение Больцмана — интегро-дифференциальное уравнение, описывающее поведение разреженного газа, которое было выведено Людвигом Больцманом в 1872 году. Оно использовалось для обоснования молекулярно-кинетической теории, второго закона термодинамики о возрастании энтропии, выводе уравнений гидродинамики и до сих пор остаётся основой кинетической теории газов.

В настоящей диссертации, ориентированной на разработку и тестирование новых численных алгоритмов, будет рассматриваться случай пространственно-однородной релаксации простого однокомпонентного газа.

В 1916 году Мариан Смолуховский, изучая процессы коагуляции коллоидных частиц, находящихся в состоянии броуновского блуждания, записал кинетическое уравнение коагуляции Смолуховского. По своей математической структуре это уравнение, подобно уравнению Больцмана, является интегро-дифференциальным эволюционным уравнением с квадратичной нелинейностью. Оно описывает широкий класс процессов коагуляции в физических системахв настоящей диссертации будет рассматриваться пространственно-однородный случай чистого парного слипания частиц.

Несмотря на то, что первые кинетические уравнения были записаны для специальных систем, область их приложений оказалась весьма обширной. Аналоги уравнений Больцмана и Смолуховского используются для изучения переноса излучения в веществе, фопонов в сверхтекучих жидкостях, нейтронов в ядерном реакторе, электронов в твёрдых телах и плазме, при исследовании роста капель в облаках, дефектов в материалах реакторов на быстрых нейтронах, газовых пор в металлах и т. д.

Математические задачи для уравнения Смолуховского аналогичны по своей сложности задачам для уравнения Больцмана, так как структура этих уравнений и способ их вывода очень близки. Поэтому очень часто проблемы кинетической теории коагуляции и кинетической теории газов тесно связаны и прогресс в одной из них порождает аналогичные достижения во второй области исследований. В настоящей диссертации оказалось продуктивным на основе единого похода разрабатывать весовые статистические алгоритмы для решения нелинейных уравнений Больцмана и Смолуховского.

Расщепление непрерывного процесса движения молекул и их столкновений в разреженном газе на два последовательных этапа в течение временного шага At лежит в основе метода прямого статистического моделирования (ПСМ, Direct Simulation Monte Carlo Method), в котором используются вероятностные представления для моделирования течений разреженного газа. Он впервые был предложен Г. Бёрдом (см., например, [2]). Дальнейшее развитие метода шло по пути построений различных модификаций моделирования столкновительной релаксации в модельном газе. В работе [8] для расчёта пространственно-однородной релаксации была использована УУ-частичная модель Каца [14]. Более простой алгоритм приближённого моделирования столкновений в N-частичной модели газа, основанный на вероятностной схеме испытаний Бернулли, был построен в [1]. Принципиально другой подход, основанный на получении статистического алгоритма моделирования однородной релаксации из разностной по времени формы уравнения Больцмана, был предложен Нанбу в [41]. Отличие этой схемы заключается в том, что законы сохранения импульса и энергии в системе выполняются только в среднем, а не при каждом столкновении. Также строились весовые модификации метода ПСМ, в которых отдельным частицам присваивались «веса», связанные с искусственным перераспределением типов частиц в начальный момент времени. В работе [31] рассмотрена наиболее общая весовая модификация метода ПСМ такого типа под названием метода «дополнительной переменной» .

Наиболее простой способ моделирования процесса коагуляции это прямое моделирование, называемое также процессом Маркуса.

Лушникова. В процессе прямого моделирования на каждом временном шаге согласно коэффициентам коагуляции Кц выбираются частицы размера г и j, а в результате появляется новая частица размера г + j. Такие вычислительные модели по своей простоте подобны модели Бёрда [2] для уравнения Больцманаони были описаны в [21, 35, 39]. Позже были предложены различные модификации алгоритмов, увеличивающие эффективность, такие как «метод мажорантной частоты» [13, 42], а также его обобщение — «метод фиктивных прыжков» [34]. Некоторые алгоритмы используют дополнительный параметр, множитель к шагу по времени, который позволяет учитывать несколько парных взаимодействий между частицами за один временной шаг. Такие алгоритмы (см., например, [42]) аналогичны алгоритму Нанбу [41] для уравнения Больцмана.

Настоящая диссертация посвящена построению, обоснованию и применению весовых модификаций алгоритмов для оценки функционалов от решений пространственно-однородных кинетических уравнений. Для этого использовано лилейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое, в случае уравнения Больцмана, эквивалентно N-частичному уравнению Каца, чья связь с нелинейным кинетическим уравнением известна [14]. В случае уравнения Смолуховского интегральное уравнение связано с уравнением Колмогорова, которое представляет собой вероятностное описание эволюции системы из N частиц и даёт приближённое решение соответствующего нелинейного кинетического уравнения (см. [30, 31]).

Таким образом решение кинетических уравнений оценивается с помощью статистического моделирования марковских процессов эволюции соответствующих iV-частичных ансамблей, фазовые состояния которых меняются вследствие парных взаимодействий частиц (см., например, [14, 29]). Однако, связанные с этим процессом стандартные базовые интегральные уравнения использовать непосредственно для построения весовых модификаций статистического моделирования затруднительно, так как их ядра представляет собой сумму взаимосингулярных слагаемых. Это затруднение было преодолено в [29] посредством модификации фазового пространства системы путем введения номера взаимодействующей пары частиц в число координат фазового пространства системы. Это привело к «расслоению» распределения взаимодействий в системе по номеру пары взаимодействующих частиц 7 г = [г. j). Данный прием позволил в [29] сформулировать новое интегральное уравнение, на основе которого удобно строить стандартные весовые модификации статистического моделирования рассматриваемой многочастичной системы, поскольку ядро уравнения содержит сингулярности лишь в виде сомножителей.

В настоящей диссертации для такого ядра разрабатываются алгоритмы с «глобальным» весом, который после каждого элементарного перехода в моделируемой цепи Маркова домножается на стандартный для теории методов Монте-Карло [25, 40] весовой множитель. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов [25, 40] на рассматриваемый класс задач. Более того, это даёт возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров на решение нелинейных кинетических уравнений.

Величиной, определяющей эффективность алгоритма метода Мон-тс-Карло при его практическом использовании, является трудоёмкость S© соответствующей случайной оценки С (см., например, [9, 27]). В диссертационной работе под трудоёмкостью S (Q будем понимать среднее количество вычислительной работы, необходимой для достижения заданной погрешности, которая пропорциональна величине.

S (C)=VarC-i©, где ?(?) — среднее время, затрачиваемое на моделирование одного выборочного значения случайной величины С (например, для кинетических уравнений величина t (Q определяется средним числом переходов в цепи до момента выхода за пределы заданного временнбго интервала). Как известно, среднее арифметическое выборочных значений Sm = ^ ^^ Сг5 г=1 которое приближает математическое ожидание оценки при достаточно большом М имеет нормальное распределение и.

V — SM где о- — уровень доверия, Р (а) — константа, определяющаяся стандартным нормальным распределением по значению а. Из этого равенства видно, что вероятностная погрешность статистического алгоритма пропорциональна величине j. Погрешность оценки обычно состоит из двух частей: детерминированной и вероятностной, поэтому целесообразно выбирать параметры алгоритма таким образом, чтобы обе эти погрешности имели один и тот же порядок. Детерминированная погрешность возникает, например, при замене системы физических частиц модельным ансамблем из малого количества частиц.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы из 42 наименований.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Разработаны новые алгоритмы весового моделирования эволюции ансамблей взаимодействующих частиц для оценки функционалов от решения пространственно-однородных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского.

2. Построены новые алгоритмы коррелированного и весового моделирования для изучения зависимости решения кинетического уравнения Больцмана от начального и временного параметров.

3. Предложены и апробированы алгоритмы для частичного ценностного моделирования элементарных переходов при решении кинетических уравнений. о Для моделирования длины свободного пробега iV-частим ной системы использовано несколько приближений к известной функции ценности, которые могут быть использованы в реальных задачах с неизвестными решениями. о Для ценностного моделирования номера пары взаимодействующих частиц, в зависимости от оцениваемого функционала, ценность ансамбля полагали пропорциональной количеству мономеров или суммарному числу мономеров и димеров (для уравнения Смолуховского), а для уравнения Больцмана — количеству частиц со скоростями выше заданного уровня.

4. Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмана от числа модельных частиц. Для модельных TV-частичных кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1/N.

5. Для оценки функционалов от решения модельных задач осуществлен ряд численных экспериментов. В частности, для уравнения Больцмана в заданный момент времени оценивались.

• 10-й момент скоростей частиц ансамбля;

• производные от этого момента по начальному и временному параметрам;

• частота частиц со скоростями, превышающими заданный уровень.

Для уравнения Смолуховского в заданный момент времени оценивались частота мономеров и суммарная частота мономеров и димеров.

• для случая постоянных коэффициентов коагуляции;

• для случая линейных коэффициентов коагуляции.

Численные результаты подтвердили эффективность разработанных алгоритмов.