Экономическая пространственно-трехмерная модель для расчета гидродинамических процессов в морских заливах замкнутого типа
Исходя из результатов моделирования, для течений в Геленджикской бухте сделаны следующие выводы. Течения в верхнем слое в районах пляжей, при типах циркуляции благоприятствующих выносу загрязнений из бухты (циркуляция второго типа), как правило, ориентированы вдоль берега, поэтому любые гидротехнические сооружения ориентированные перпендикулярно береговой линии будут препятствовать… Читать ещё >
Содержание
- ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ
- 1. 1. Существующие модели гидродинамики
- 1. 2. Трехмерные модели задач морской гидродинамики
- 1. 3. Исследование модели и построение разностных схем
- 1. 4. Алгоритмы решения сеточных уравнений
- 1. 5. Геленджикская бухта — наблюдаемая картина течений
- ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ
- 2. 1. Постановка задачи динамики трехмерной несжимаемой жидкости на примере Геленджикской бухты
- 2. 2. Построение конечно-разностной модели квазизамкнутого водоема
- 2. 3. Попеременно-треугольный метод
- 2. 4. Вычислительный алгоритм
- 2. 5. Двухслойная модель
- ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
- 3. 1. Подбор параметров задачи
- 3. 2. Численное моделирование основных типов циркуляции в Геленджикской бухте
- 3. 3. Обсуждение результатов моделирования
- 3. 4. Сравнение модели с принстонской моделью циркуляции
- ГЛАВА 4. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ 3D ТЕЧЕНИЙ В ЗАМКНУТЫХ ВОДОЕМАХ
Экономическая пространственно-трехмерная модель для расчета гидродинамических процессов в морских заливах замкнутого типа (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В данной работе изучается циркуляция вод и ее влияние на экологию неглубоких водоемов квазизамкнутого типа, имеющих почти сплошную береговую линию и соединенных с другими водными бассейнами проливами, размеры которых в поперечном сечении малы по сравнению с непроницаемой береговой границей. Малость размеров пролива в данном случае понимается в том смысле, что для данных водоемов влияние взаимодействия с открытым морем на жидкой границе без существенной потери точности описания процессов гидродинамики может быть учтено заданием граничных условий в виде потоков осредненных по вертикали.
Актуальность работы. Основными факторами, определяющими движение водной среды в рассматриваемых водоемах, являются процессы переноса вдоль траекторий потоков, диффузия, адаптация полей течений. Естественная вентиляция и самоочищение вод квазизамкнутого водоема практически полностью зависят от системы внутренних течений и его водообмена с морем. Основными внешними факторами, определяющими характер циркуляции водной среды в квазизамкнутых водоемах, являются:
1. течение вблизи пролива — постоянно действующий фактор,.
2. направление, сила и продолжительность действия ветраэпизодический фактор.
Моделирование данных явлений — важнейший инструмент решения задач прогнозирования последствий антропогенного воздействия. Например, большую важность представляет решение задачи оценки возможных последствий строительства дамб, причалов, мостов и более крупных гидротехнических сооружений, таких как порт, для экологической ситуации, анализ возможного влияния планируемых и уже существующих сооружений на экологическую ситуацию. Это важно, например, для Геленджикской бухты, так как ухудшение экологической ситуации в бухте, которая является достаточно напряженной и не может быть признана вполне благополучной, может явиться причиной потери регионом статуса курортного и, в результате, оказать неблагоприятное влияние на экономику и инфраструктуру региона. Помимо этого, сама по себе задача построения эффективного современного алгоритма, позволяющего производить моделирование циркуляции в сжатые по времени сроки, и реализованного в виде вычислительной программы для ЭВМ представляется весьма актуальной.
Несомненно, что количество существующих в настоящее время моделей велико. Однако большая их часть нацелена на решение достаточно узких вопросов моделирования, например моделирование течений в пограничном слое, или же описывают крупномасштабные процессы циркуляции мирового океана. При этом очевидна важность получения эффективной и современной модели «промежуточного» уровня, которая могла бы описывать основные процессы эволюции водной среды в небольших водных бассейнах.
Цель работы. Основной целью данного исследования является построение эффективной модели для водоемов квазизамкнутого типа, которая не только позволила бы с достаточной точностью производить расчет и анализ картины течений в этих водоемах в зависимости от внешних факторов (времени года, силы и направления ветра, характера течения в проливе), но также могла бы явиться бы инструментом исследования последствий антропогенного воздействия на них.
В практических применениях часто оказывается важной простота и прозрачность модели, которая естественным образом ведет к доступности в использовании вычислительного алгоритма и быстроте получения результатов моделирования. Кроме того, результаты моделирования, полученные при помощи данной модели, могут явиться основой для уточнений при помощи более сложных и громоздких моделей.
Таким образом, ставится цель получить эффективную, простую, физически прозрачную, доступную для реализации и легкую в применении, а также «быструю» модель циркуляции жидкости по сравнению с известными.
Научная новизна. Подход, используемый в настоящей работе, основан на моделировании течений в квазизамкнутых водоемах (например, бухтах) при помощи эффективной и экономичной численной модели. Последняя базируется на современных методах расщепления [1], [2] и методах решения сеточных уравнений [3].
Для описания течения жидкости предложена математическая модель квазизамкнутого водоема в виде следующей системы уравнений в частных производных.
Эи ди Эи Эи д + и—h V— + w—lv = —— + — dt дх dy dz дх dz dv dv dv dv s.
-+ U-+ V—h W—h 111 = —— +dt 5x dy dz dy dz du 8z. dv dz j! дм d и M дкг dy' 2 5,2 о v d v.
8k2 dy2.
E, =— I fudz +—I [vdz.
Эи dv <3w «— + — + — = 0, дх dy dz к которой присоединяются соответствующие граничные условия.
Выбор математической модели (краевой задача для системы уравнений с частными производными), используемой в настоящей работе для анализа течений, продиктован требованиями максимально возможного упрощения системы уравнений в частных производных с целью построения наиболее эффективного и экономичного вычислительного алгоритма, позволяющего получать результаты «на лету», а также соображениями «физичности» используемой системы переменных, что позволяет сделать максимально легкой и прозрачной интерпретацию полученных результатов не только специалистам, хорошо владеющим математическим аппаратом гидродинамики, но и исследователям в прикладных областях. В частности, данный подход значительно облегчает процедуру сравнения результатов моделирования с данными натурных измерений.
Предложен способ адаптации данной модели для случаев, когда стратификация жидкости играет существенную роль в происходящих процессах водообмена, который состоит в переходе от исходной модели к двухслойной или многослойной модели. При этом жидкость делится на слои, внутри которых плотность может считаться постоянной, и каждый из таких слоев описывается при помощи основной модели. На границах слоев в этом случае ставятся граничные условия, согласующие полевые переменные, описывающие циркуляцию жидкости в слоях.
На основе построенной конечно-разностной схемы разработан алгоритм для расчетов на ЭВМ. Данный алгоритм реализован в виде пакета программ, включающего в себя как средства решения численных уравнений, так и вспомогательные программы автоматического ввода-вывода информации, созданные при помощи современных средств программирования.
Получены результаты моделирования циркуляции вод для квазизамкнутых водоемов на примере Геленджикской бухты для типичных существующих в действительности сил и направлений ветров и течений на входе в бухту.
Проведен анализ результатов моделирования и сравнение с наблюдаемой в действительности, реальной, картиной течений, на основании чего подобраны численные параметры модели, соответствующие ситуации, а также выбраны адекватные граничные условия.
Проведено моделирование и анализ возможных последствий строительства гидротехнических сооружений в курортной зоне.
Проведено сравнение результатов вычислений при помощи предложенной модели и принстонской модели циркуляции (Princeton Ocean.
Model) [4]. Установлено соответствие результатов моделирования при помощи предложенной модели и модели Princeton Ocean Model.
Практическая значимость. Практическая значимость модели заключается в следующем. Предложенная модель является простой, что отражается в ее быстроте, понятности получаемых с ее помощью результатов, легкости сравнения результатов моделирования с данными натурных измерений.
Получена модель, работа которой апробирована сравнением с известной существующей моделью Princeton Ocean Model.
Модель реализована в виде программы для ЭВМ, включающей в себя как средства ввода первичной информации, средства построения сетки, так и наглядные средства отображения результатов моделирования. Данная программа, будучи основанной на предложенной модели, отличается быстротой и эффективностью получения расчетов, что предоставляет значительные удобства практического использования.
Получены результаты моделирования циркуляции для Геленджикской бухты, на основании которых дан ряд рекомендации, касающихся возможности строительства в бухте гидротехнических сооружений.
Основные результаты работы, выносимые на защиту. Построена трехмерная модель гидродинамики для замкнутых водоемов, являющаяся более экономичной и эффективной по сравнению с известными.
Разработан эффективный и экономичный численный алгоритм реализации модели, базирующийся на схеме расщепления по физическим процессам, использующий для решения разностных уравнений современные численные схемы, а для решения уравнения свободной поверхности жидкости — предложенный в работе вариант попеременно-треугольного методаэффективность и экономичность алгоритма подтвердилась в вычислительном эксперименте (как показано в работе, разработанный алгоритм предъявляет значительно меньшие требования к вычислительным ресурсам, чем существующие при не худшей точности, на примере сравнения с алгоритмом Princeton Ocean Model).
Создан набор программных средств для моделирования циркуляции водной среды в мелководных водоемах, который может иметь широкое практическое применение благодаря эффективности предложенной модели, умеренным требованиям к вычислительным ресурсам, а также средствам ввода первичной информации и отображения результатов.
При помощи разработанного набора программ проведен вычислительный эксперимент, на основании данных которого получены картины основных типов циркуляции водной среды для Геленджикской бухты, качественно совпадающие с реально существующими.
Проанализирован вопрос о влиянии существующих, а также планируемых гидротехнических сооружений на характер циркуляции в бухте.
Публикации по теме диссертации. Результаты работы обсуждались в семи научных публикациях:
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В., Гончарова М. В. Пространственно-трехмерные модели гидродинамики Таганрогского залива и Геленджикской бухты.- Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Мат. моделир. и системные исследования в экологии. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001, № 2(20).
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Пространственно-трехмерная модель циркуляции и ее применение для прогноза состояния Геленджикской бухты, — Тр. Воронежской весенней мат. шк. «Совр. методы в теории краев, задач «Понтрягинские чтения — XII», Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001.
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Пространственно-трехмерная модель циркуляции вод в Геленджикской бухте и ее применение для прогноза экологического состояния. — Изв. вузов. Сев.-кав. регион. Естеств. науки, 2001. Спецвыпуск. Мат. моделиров. и вычисл. эксперимент в механике и физике. 2001.
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Моделирование циркуляции вод и экологическое состояние Геленджикской бухты. — Тр. Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды., г. Ростов-на-Дону 2528 сен. 2001 г.
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В., Кирильчик С. В. Экономичная 3D модель гидродинамики для Геленджикской бухты.- Совр. пробл. мех. спл. среды. Тр. VIII Межд. Конф., г. Ростов-на-Дону 14−18 окт. 2002/ Ростов-на Дону: Изд-во «Новая книга», 2002.
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В. Моделирование циркуляции вод в Геленджикской бухте.- Известия ТРТУ. Спецвыпуск «Материалы XLVII научно-технической конференции», Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, № 1(24).
• Сухинов А. И., Цирулик Д. В., Цирулик В. Г. Численные эксперименты с моделями «Princeton Ocean Model» и экономичной 3D моделью для Геленджикской бухты.- XI Международная научная конференция, поев. 50-летию ТГПИ «Мат. модели физичеких процессов», г. Таганрог, ТГПИ, 29−30 июня, 2005.
Структура работы. Структура данной работы состоит из шести разделов (четыре главы, введение и заключение) и организована следующим образом.
В главе I «Модели задач гидродинамики», которая является вводной, представлены основные уравнения динамики жидкости, существующие двух-и трехмерные модели динамики жидкости, рассмотрены варианты граничных условий. В ней также затронуты вопросы построения конечно-разностных уравнений, методов их решения, а также вопросы эффективности, точности, сходимости и устойчивости. В главе I также представлено описание наблюдаемой в Геленджикской бухте картины течений.
В главе II поставлена задача динамики трехмерной несжимаемой жидкости для описания циркуляции в водоемах замкнутого типа (система уравнений в частных производных), даны варианты возможных граничных условий. В этой главе строится и исследуется конечно-разностная модель для предложенной системы уравнений. Произведен выбор методов решения конечно-разностных уравнений расщепленной схемы, а также дискретизация граничных условий. Для решения наиболее громоздкого уравненияуравнения описывающего поведение свободной поверхности — предложена разновидность попеременно-треугольного метода, являющегося, как видно из параграфа 1.4, наиболее эффективным по сравнению с другими существующими методами. На этой основе построен вычислительный алгоритм. Затронуты вопросы устойчивости и сходимости численного алгоритма. В данной главе также предложен простой подход к адаптации разностной схемы для использования при организации расчетов при помощи предложенного алгоритма циркуляции жидкости в стратифицированных водоемах, который основан на использовании двухслойной или многослойной модели.
Заключение
.
Несмотря на то, что в настоящее время построено большое количество трехмерных математических моделей, описывающих процессы гидротермодинамики водоемов, подавляющее большинство из них рассчитано на описание отдельных модельных задач (таких как задачи обтекания, пограничного слоя и т. п.) или же предназначены для описания крупномасштабной циркуляции мирового океана. Другими словами, данные модели либо описывают частные и достаточно тонкие явления, происходящие в жидкости, либо описывают движение мирового океана и включают в себя большое количество полевых переменных (скорости течений, концентрации примесей, солей, термодинамические величины), вследствие чего требуют мощных вычислительных средств и поэтому пригодны для реализации лишь на наиболее мощных и современных вычислительных средствах.
Трехмерная модель, предложенная в настоящей работе, построена на основе подхода, базирующегося на максимально возможном упрощении исходных уравнений движения и оптимального выбора методов их численной реализации. Данная математическая модель, описывающая движение несжимаемой водной среды с постоянной плотностью, годится для описания движения жидкости для водоемов с небольшими глубинами. Описывающая модель система уравнений в частных производных записана в переменных скорость-положение свободной поверхности, что дает возможность построить весьма экономичное и эффективное средство расчета картин течений жидкости, позволившее на примере Геленджикской бухты получить картины циркуляции, качественно совпадающие с реально существующими. Для подтверждения соответствия результатов моделирования, полученных при помощи предлагаемой модели, произведено сравнение полученных картин циркуляции с результатами моделирования при помощи модели Princeton Ocean Model.
Эффективность и экономичность конечного продукта — набора программ обусловлена следующими факторами. Переход к переменным скорость-положение свободной поверхности дал возможность не только попутно разрешить задачу слежения за перемещениями верхней границы трехмерной области, но и стал основой для построения оптимального численного алгоритма. Использование современной схемы расщепления по физическим процессам при построении разностной модели дает возможность широкого маневра в выборе методов решения полученных разностных уравнений. Таким образом, для разностных уравнений, реализующих модель, применены эффективные способы численной реализации, основанные на современных методах решения сеточных уравнений. Характерные черты данных схем — достаточный запас устойчивости при выборе шагов по временной и пространственным координатам и простота реализации. Наибольших вычислительных затрат требует решение уравнения свободной поверхности. Для этого в работе используется предложенный вариант попеременно-треугольного метода для решения уравнения свободной поверхности, который дает значительный выигрыш по сравнению с другими известными методами решения сеточных уравнений.
Один из принципов использованного в работе подхода — максимальное упрощение уравнений движения с целью построения экономичного вычислительного алгоритма — выражается в том, что из системы уравнений удалено уравнение состояния. Поэтому, на первый взгляд, круг процессов, описываемых данной моделью существенно ограничен. Однако, в работе показано, что данное ограничение, в случаях, когда есть возможность выделить в жидкости слои с постоянной плотностью, снимается. Процессы циркуляции такой жидкость могут быть описаны моделью, являющейся совокупностью моделей с постоянными плотностями для каждого слоя, связанных поставленными граничными условиями — двухслойная или многослойная модель.
В результате использования построенной модели для расчета течений в Геленджикской бухте получены количественные характеристики (значения величин скоростей течений) приближенные к реальным, а также верные качественные характеристики (картины течений, выделение зон на основании особенностей циркуляции жидкости), что подтверждается данными натурных наблюдений.
Исходя из результатов моделирования, для течений в Геленджикской бухте сделаны следующие выводы. Течения в верхнем слое в районах пляжей, при типах циркуляции благоприятствующих выносу загрязнений из бухты (циркуляция второго типа), как правило, ориентированы вдоль берега, поэтому любые гидротехнические сооружения ориентированные перпендикулярно береговой линии будут препятствовать вдольбереговому течению и способствовать развитию неблагоприятной в экологическом плане ситуации. Наиболее сильные и устойчивые течения наблюдаются в зоне пролива, так как входящие в бухту потоки рассеиваются. Наиболее вентилируемой областью бухты являются участки в районе пролива. В северо-восточной и юго-западной зонах, удаленных от пролива, следует ожидать возникновение невентилируемых зон с неблагоприятными экологическими условиями, особенно в летний период при маловетренной погоде. В летний период (маловетренная погода) вентиляция бухты происходит медленно, время полной вентиляции может достигать 1 недели, поэтому в курортный сезон складывается неблагоприятная экологическая обстановка, которая может отягощаться заносом сточных вод городской канализации в бухту. Отметим, что данные выводы, а также результаты моделирования (картины течений) качественно согласуются с реально наблюдаемой картиной течений, описанной в [95, 96]. Предсказано также для юго-восточной части бухты возможность появления антициклонического круговорота, центр которого будет совершать колебательные движения.
Данные результаты получены при помощи набора программ, в полной мере реализующего весь ход вычислительного эксперимента. В виде программ на языках высокого уровня (С++, фортран) реализованы все стадии процесса моделирования: создание трехмерной сетки, соответствующей выбранному водоему, задание численных параметров модели, граничных условий на твердых и жидких границах, расчет значений величин компонент скорости жидкости и положения свободной поверхности, сохранение и вывод результатов моделирования.
Таким образом, основными результатами работы, являются следующие:
1. построена трехмерная модель гидродинамики для замкнутых водоемов, являющаяся более экономичной и эффективной по сравнению с известными;
2. разработан эффективный и экономичный численный алгоритм реализации модели, базирующийся на схеме расщепления по физическим процессам и на предложенном варианте попеременно-треугольного метода для решения уравнения свободной поверхности жидкостиэффективность и экономичность алгоритма подтвердилась в вычислительном эксперименте (как показано в работе, разработанный алгоритм предъявляет значительно меньшие требования к вычислительным ресурсам, чем существующие при не худшей точности, на примере сравнения с алгоритмом Princeton Ocean Model);
3. создан универсальный комплекс программных средств для моделирования циркуляции водной среды в мелководных водоемах, который может иметь широкое практическое применение благодаря умеренным требованиям к вычислительным ресурсам, эффективности и использования переменных скорость-положение свободной поверхности;
Список литературы
- Г. И. Марчук Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980
- Г. И.Марчук Методы расщепления, М. «Наука», 1988
- А.А. Самарский, Е. С. Николаев Методы решения сеточных уравений., М. Наука, 1978
- Blumberg, A.F., and G.L. Mellor, A description of a three-dimensional coastal ocean circulation model, in Three-Dimensional Coastal Ocean Models, Vol. 4, edited by N. Heaps, pp.208, American Geophysical Union, Washington, D.C., 1987.
- JI.A. Чудов Некоторые применения разностных методов в механике жидкости и газа. Автореф. Дисс. Доктора физ.-мат. Наук.- М.: Институт проблем механики АН СССР, 1967
- Кускова Т.В. Численное исследование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости.-В кН.: Некторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. Ш.-М.:Изд. МГУ, 1971
- Kavaguti М. Two-dimensional cavity flow of a laminar viscous fluid.-J.Phys.Soc., Japan, 1960, 16, № 12
- Симуни Л.М. Численное решение некоторых задач вязкой жидкости.-Инж. Журнал, 1964, 4, вып. 3
- Тарунин Е.Л. Численное исследование задач свободной конвекции.-В кН.: Гидродинамика. Ученые записки.-Пермь, 1968, вып. 1, № 184
- O.Pearson С.A. A computational method for viscous flow problem.-J.Fluid Mech., 1965, 21, pt.4.
- П.Громов Б. Ф., Петрищев B.C. О решении двумерных задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Труды всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск: Наука, 1969
- Булеев Н.И., Тимухин Г. И. О численном решении уравнений гидродинамики для плоского потока вязкой несжимаемой жидкостию-Изв. АН СССР. Сер. Техн. Наук, 1969, вып.1, № 3
- Хокни Р. Методы расчета потенциала и их приложения.-В кн.: Вычислительные методы в физике плазмы.-М.: Мир, 1974
- Тарунин E. JL Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости.-В кН.: Труды V всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости, ч. 1-Новосибирск, 1975
- Тарунин E.JI. Методы последовательности сеток для задач свободной конвекции.-ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 2.
- Torrance К. Comparison of finite-difference computations on natural convection.-J. Res. OfNBS, 1968, 72, № 417.0трощенко И.В., Федоренко Р. П. О приближенном решении уравнений Навье-Стокса.-М., 1976 (Препринт/Институт прикладной математики АН СССР: № 6)
- Дайковский А.Г., Чудов Л. А. Влияние схемных факторов при расчете среды за плохо обтекаемым телом.-Числ. Методы механики сплошной среды, 1975, 6, № 5
- Ноготов Е.Ф., Синицын А. К. О численном исследовании нестационарных задач конвекции.-Инженерно-физический журнал, 1976, XXXI, № 6
- Грязнов В.Л., Полежаев В. И. Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции.-М., 1978 (Препринт/Институт проблем механики АН СССР: № 81)
- Дайковский А.Г., Полежаев В. И., Федосеев А. И. Численное моделирование переходного и турбулентного режимов конвекции наоснове нестационарных уравнений Навье-Стокса.-М., 1978 (Препринт/Институт проблем механики АН СССР: № 81)
- Грязнов B. JL, Полежаев В. И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимации граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекцию-М., 1974 (Препринт/Институт проблем механики АН СССР: № 40)
- Дайковский А.Г., Полежаев В. И., Федосеев А. И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь, функция тока.-Числ. Методы механики сплошной среды, 1979, 10, № 2
- Тарунин E. JL Шайдуров В. Г., Шарифулин А. И. Экспериментальное и численное исследование устойчивости замкнутого конвективного пограничного слоя.-В кН.: Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость.-Свердловск, 1979.
- Дородницын А.А., Меллер Н. А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стоксаю-ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 2.
- IsraeliM. A fast implicit numerical method for time dependent viscous flows.-Studies in Appl. Math., 1970, XLIX, № 4.
- Тарунин E.JI. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости.-Числ. Методы механики сплошной среды, 1978, 9, № 7
- Мажорова О.С., Попов Ю. П. Об одном алгоритме численного рашения двумерных уравнений Навье-Стокса.-М., 1979, (Препринт/Институт прикладной математики АН СССР: № 37).
- Волчинская М.И., Четвертушкин Б. Н. Об одном итерационном методе решения двумерных уравнений диффузии излучения.-ЖВМ и МФ, 1977, 17, № 2
- Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incomplessible flow of fluid with free surface.-Phys. Fluid, 1966, 8,№ 12.
- Williams G.P. Numerical integration of the three-dimensional Navier-Stokes equations for incomlessible flow.-J.Fluid Mech., 1969, 22, № 104
- Владимирова H.H., Кузнецов Б. Г., Яненко Н. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости.-В кН.: Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики.-Новосибирск, 1973.
- Chorin A.I. Numerical solution for the Navier-Stokes equations.-Math. Of Comput., 1969, 22, № 104.
- Ладыженская О.А., Ривкинд В. Я. Вопросы теории разностных схем для уравнений Навье-Стокса и некоторые результаты их численного решенияю-В кН. .-Труды IV всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жмдкости.-Новосибирск, 1973.
- Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.-М.: Мир, 1981
- Полежаев Р.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области.-Изв. АН СССР. Механ. Жидкости и газа, 1967, № 2
- Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды.-- Л.: Гидрометеоиздат, 1967.
- Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.- Л.: Гидрометеоиздат, 1974.
- Мезингер Ф., Аракава А. Численные методы, используемые в атмосферных моделях.-- Л.: Гидрометеоиздат, 1979.
- Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.-- М.: Мир, 1990.
- Белов П.Н. Численные методы прогноза погоды.-- Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
- Harlow F.H., Hirt C.W. Recent extension to eulerian methods for numerical fluid dynamics.-ЖВМ и МФб 1972, 12, № 3.
- Aziz К., Heliums J. Numerical solution of the three dimensional equations of motion for laminar natural convection.-Phys.Flud, 1966, 10, № 2.
- Тарунин Е.Л., Толкачева Л. В. Надкритические ражимы конвекции в кубической полости при подогреве снизую-В кН.: Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск, 1981.
- Sommerville R.C.J., Lipps F.B. A numerical study in three space dimension of Benard convection in a rotating fluid.-J.Atm.Sci., 1973, 39, № 590
- Lipps F.B. Numerical simulation of three dimensional Benard convection in air.-j.Fluid Mech., 1976, 75, pt.l.
- Горовая E.H. О решении пространственных задач для уравнения Навье-Стокса по устйчивым разностным схемам на ЭВМ.-В кН.: Труды IV
- Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск, 1973
- Veltischev N.F., Zelnin А.А. Numerical simulation of cellular convection in an air.-J.Fluid Mech., 1975, 68, pt. 2
- Белоцерковский O.M., Гущин B.A., Щенников B.B. Метод расщепления в примени к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.-ЖВМ и МФ, 15, № 1, 1975.
- Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для уравнения Навье-Стокса в переменных вихрь-функция тока-момент вращения на нерегулярных треугольных сетках.- Дифференциальные уравнения, 1983, XIX, № 7.
- Вабищевич П.Н., Вабищевич Т. Н. Численные решения стационарных задач вязкой несжимаемой жидкости.-Дифференциальные уравнения, 1983, 19, № 5.
- Leca P., Roy Ph. Simulation numerique de la turbulence sur un systeme multiprocessor.-Bull.Dir.etud. et. Rech., 1983, № 1, p.95.
- Pearson C. A computational method for viscous flow problem.-J.Fluid Mech., 1965, 21, pt.4
- Shiltz D.H. Numerical solution for the flow of a fluid in a heated closed cavity.-Quart Journ. Mech. Appl. Math., 1973, XXVI, pt.2.
- Fromm J.E. Numerical study of buyoyancy driven flows in romm enclosures.-J. IBM Res., 1971, 15, № 3.62.0zawa S. Numerical studis flow in a two-dimensioanal square cavity of high Reynolds numbers.-J.Phys. Soc. Japan, 1975, 38, № 3.
- Bontoux P., Forestier В., Roux B. Analysis of higher order methods for the numerical simulation of confined flows.-In: Proc. VI Intern. Conf. Numerical Meth. Fluid Dyn.-Tbilisi, 1978, 1, June 2−25.
- Mallison G.D., De Wahl Davis G. Three-dimensional natural convection in a box: a numerical study.-J.Fluid Mech., 1977, 83, pt. 1.
- McKenzie D.P., Roberts J.M., Weiss N.O. Convection in the earth’s mantle: towards a numerical evaluation.-J. Fluid Mech. 1974, 62, pt. 3
- Reynolds W.C. Computation of turbulent flows.-Ann.Rev.Fluid Mech. Paolo Alto Calif., 1976, 1, р.183−208.
- Chia V., Chia H.V., Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using Navier-Stokes equations and a multigrid method.-J. of Comput. Physics, 1982, 48, p. 387−411.
- Gary J. On higher order Multigrid methods with geothermal reservoiar model.-Intern. J. for Numerical Methods in Fluids, 1982, 2 № 1
- Multigrid Methods. Lect. Notes Math. Proc. Koln-Porz, 1981.-Trottenberg: Ed. Hachbursch, 1982.
- Gresho P.M., Lee R.L., Sani R. On the time-dependent solution of incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. -Recent Adv. Numer. Meth. Fluid, Swansea, 1980, 1, p.27−29.
- Stevens W.N. Finite element stream function-vorticity solution on Steady laminar natural convection. Intern. J. For Numerical Meth. In Fluifs, 1982, 2, № 4.
- Grotzbach G. Direct numerical simulation of laminar and turbulent Benard convection.-J. Fluid Mech., 119, 1982, p. 27−53.
- Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005,231−238.
- Сухинов А.И., Цирулик Д. В., Цирулик В. Г. Числовые эксперименты с моделями «Princeton ocean model» и экономичной 3D моделью для Геленджикской бухты.- Таганрог, Издательство Таганрогского государственного педагогического института 2005
- Сухинов А.И., Васильев B.C. Прецизионные математические модели мелких водоемов.-Математическое моделирование, 2003, № 10, с. 1734
- Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения.- Москва, МГУ, Макс ПРЕСС, 2005, 408 с.
- Сухинов А.И. Объединенная модель гидродинамики, транспорта тепла и соли мелководного водоема. Единственность решения.- Таганрог Издательство Таганрогского государственного педагогического института 2005
- Бетяев С.К., Брыльцов О. П. Математические модели и тепологические методы в аэродинамике крыла // ПМТФ, 1995, N 1. -С.40−46.
- Быков А.Н., Ворошин Б. Л., Козуб А. Г. и др. Комплекс программ РАМЗЕС расчета трехмерных задач газовой динамики с теплопроводностью // Технология математического моделирования. -М.: ВЦ АН СССР. 1989.
- Вабищевич П.Н., Павлов А. Н., Чурбанов А. Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Мат. моделирование. -1997. -Т.9, № 4. -С.85−114.
- Гомилко А.И., Шлапак Ю. В. Численное моделирование течений нелинейно вязкой жидкости в плоской области // Прикладна гщромехашка. -1999. -Т. 1(73), № 3. -С.11−16.
- Зубков П.Т., Климин В. Т. Численное исследование естественной конвекции чистой воды вблизи точки инверсии плотности // Изв. АН России, МЖГ, -1999. -№ 4. -С.171−176.
- Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. -М.: -Мир, 1990. -661с.
- Кудинов П.И., Еричева В. А. Применение алгоритмов на неструктурированных сетках для расчета задач тепломассообмена // Труды III российской национальной конференции по теплообмену. -М: Издательство МЭИ. 2002. Т.2. -С. 186−189.
- Ландау Л.Д., Нейман Н. Н., Халатников И. М. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток.-Труды III Всесоюзного математического съезда. Т. П.-М.:1956, 16с.
- Воеводин В.В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
- Ильин В.П., Кузнецов Ю. И. Трехдиагональные матрицы и их приложения М.: Наука, 1985.
- Самарский А.А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.
- Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.133
- Обухов A.M. Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере// Труды ин-та теоретической геофизики АН СССР.-1946.-№ 24(151).-С.З-42.
- Марчук Г. И., Кочергин В. П., Климок В. И., Сухоруков В. А. Математическое моделирование поверхностной турбулентности в океане//Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.-1976.-Т.12,№ 8.-С.841−849.
- Joseph J., Sander Н. Uber die horisontale Diffusion in Meer//Dtsch.hydrogr.z.-1958.-Bd. 11, No.2.-S.49−77