Приближенное решение многоточечных краевых задач проекционно-итеративным методом

Объектом исследования предлагаемой работы являются Валле-Пус-сеновские многоточечные краевые задачи.

Физическая интерпретация наиболее простой многоточечной задачи состоит в следующем. Пусть некоторый физический процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением ft, -го порядка и известны состояния этого процесса для К моментов времени. Нужно найти его состояние для любого момента времени.

Соответственная математическая постановка этой задачи такая: найти решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения р^х^-р ©-х — f (ft, ю гдеЬе Па, Ь] • IX V+°° • 4-o, V., n-4 или нелинейного уравнения удовлетворяющее условиям.

Более общей постановка многоточечной задачи будет в том случае, если вместо (3^рассматривать условия со.

JT.

А если вместо (f) /&-ли (£) рассматривать уравнение где > 0 -малый параметр, то имеем в этом случае квазилинейную многоточечную задачу. Векторно-матричную линейную задачу можно записать в виде:

X (-t>PtoX (tVjC-t Ъ) у., ^i^-^^ce) где e^-V-мерный нуль-вектор- = СОС (Х0:)Г) OC^t): нал матрица, элементы которой определены на — W^ ^L-^Yi" .

— -мерные постоянные матрицы.

Интерес к многоточечной задаче вызывается важностью её значения и в теоретическом, и в прикладном направлениях.

Широкая полоса исследований данной задачи началась после появления работы Ш. ВаллеЛуссена Ц933 /см. также С 591 / .где он доказал, что если р ^ ^ ^ G (Ct, Ь" ] и выполняется неравенство yi L.

Лм л-, 6 41 ^.

6−1.

6 cu-fc^fe r то существует единственное решение задачи {i),(з)/в его случае.

J^-O /.Им же было доказано, что если ^ м, ^yi) не ~ прерывная функция по всем своим аргументам и удовлетворяет условию Липшица с константами по переменным «то может существовать лишь одно решение задачи^), (з).

Дальнейшие исследования многоточечной задачи производились в следующих направлениях: улучшение оценки числа при изменении коэффициентов в ф) расширение классов функций П (-А^-Tyi и уобобщение условий (з) -изучение векторно-матричной задачи и др.

Основными проблемами остаются: доказательство условий существования и единственности решений задачи и нахождение эффектив-них методов построения решений.

Существуют разные подходы к разрешению этих проблем.

I.Обзор исследований разрешимости многоточечных задач.

Целый цыкл работ многих авторов посвящён разрешимости многоточечной задачи исходя из природы, из «глубинных» свойств самого дифференциального оператора рассматриваемой задачи/из неосциля-ционности оператора, из представления его в виде произведения вещественных операторов первого порядка и др./.Часто теорему Ш. Ва-лле-Пуссена[92>]называют первым эффективным признаком неосциляции, так как разрешимость задачи (f), (з) на С&^З и неосциляционность /неколеблемость/решений однородного уравнения (х^на этом промежутке являются свойствами равносильными /см,(31]/.В настоящее время известен ряд результатов, улучшающих теорему Валле-Пуссена. Среди них СЕоей законченностью выделяются результаты А. Ю. Левина [30−32] Приведём здесь только две более тонкие, чем (9) оценки промежутка неосциляции, принадлежащие. соответственно, А. Ю. Левину и Г. А.Бессмертных[g]и А.Ю.ЛеЕИну[3'1]: п 1.

L ^.

Усилением оценки (9)является также интегральная оценка Кенари [94 ].

6=0 а ,.

Отметим, что при фиксированном значении п условия (9)-(I24) выражают требование малости коэффициентов или соответственно р Q^Jj-" d-i) Yt .В работе Г. С. Зайцевой 2 J уточняются вышеприведенные оценки. Получены новые условия /неравенства/, которые в отличие от (9)-(l2), допускают сколь угодно большие значения | р .если только|р |,||Р^ 1,. Д Py^l достаточно малы.

Доставляемые этими Валле-Пуссеновскими теоремами условия разрешимости многоточечной задачи имеют достаточный характер.

В связи с разложимостью обыкновенного дифференциального оператора /Г.Пойа [9Ц ] /на сомножители первого порядка Г. Мамман^О] установил теорему: для того, чтобы оператор разлагался на отрезке (Д} Ь] в произведение линейных действительных сомножителей первого порядка, с непрерывными коэффициентами п. Л^ необходимо и достаточно, чтобы каждое нетривиальное решение однородного уравнения^!)обращалось в нуль на [CL, Ь] не более чем раз/т.е.чтобы промежуток [а, Ь] был промежутком неосциляции для оператора L ^ /. Равносильность этого свойства с разрешимостьюточечной задачи (jVC?4) (^вла установлена в [" 61 3. Затем приведенные результаты были обобщены В. Я. Скоробогатьком и Е.И.Бобиком[6?"] на случай нелинейного дифференциального уравнения^. Ими было доказано утверждение о том, что из разложимости оператора JV^ на действительные сомножители первого порядка на отрезке у следует разрешимость задачи, (з") на этом отрезке. Дальнейшее развитие эти результаты получили в работах М.К.Бугира^'г, 11, е для линейной системы дифференциальных уравнений.

Р (t) ^ ЬYlнепрерывные на [Q, YYIXWIмерные матрицы;

6 (Ю.

X) 0,4, h. -УП-мерные векторы, были изучены соотношения между такими качественными её характеристиками, как неосциляци-онность решений, факторизация соответственного дифференциального оператора, однозначная разрешимость ft, -точечной задачи Валле-Пуссена.Оказалось, что в отличие от скалярного уравнения, эти свойства не всегда есть равносильными. Аналог^{точечной} задачи для уравнений в частных производных был исследован Б.И.Пташником[56″ 5^]".

Разрешимость многоточечных задач самым тесным образом связана также с вопросом о существовании и поведении функции Грина /см. например, работу Ф. Хартмана^?^ 1, а также [591 /.Важные результаты были получены Е. Л. Буницким [45*] -позже А. С. Смогоржевским jjo5l/cM. также «] /который изучил свойства функции Грина для довольно широких классов многоточечных задач. Зависимость функции Грина от разного рода интерполяционных краевых условий исследовали П. Батес и Г. ГуставсонOl•Детальному анализу подвергли функцию Грина многоточечной краевой задачи представители Воронежской математической школы — А.Ю.Левин[33 Д /см.также 3 / и Ю. В. Покорный [5 Ъ ]• Например, рассмотрим /см. [55 ^ /оператор) (Л при h. краевых условиях C^'-l) xCa^oc'Ca-V—x' ((О-о,.

Функция Грина QCjt,^ задачиО:4), (j3)существует, если нуль не является собственным значением рассматриваемого оператора / или другими словамиоднородное уравнениефимеет только тривиальное решение/.Если через обозначить функцию Коши для уравнения (i^ с нулевыми начальными условиями в точке «t «& через.

Ц7. (tV к = Vl) L = -Фундаментальную систему решений уравнения [Xl = 0. удовлетворяющую уеловиям / k, ?= 0, V^, = dV,® о о bij V здесь Орс^ -символ Кроннекера/, то функцию Грина задачи (i),(l3) можно задать такой формулой.

Аналогичная формула исследовалась, немного ранее, А.Ю.Левиным[33]• Помимо факта существования функции Грина в [33 установлены теоремы о её дифференциальных свойствах, а также о зна-копостоянстве этой функции/см.также [32,3 /.В кавдой из полос знак функции Грина определяется /см. [23 ] «[?6] /знаком многочлена ^ = Ct» 'т'е' Q > 0 ^ «Ь? 6.

6СЛИ шесто С^З4) рассматривать краевые условия.

Х (СО= OCCCL^——-3d (со И и обозначить через (4. ^ функцию Грина оператора^при этих условиях, то имеет место следующий факт [^32] :для того, чтобы задача⁴), (Гб^была разрешима при любых Q.^. ^ Q. и чтобы функция ^-oC't,^" 4) была знакопостоянной при каждом фиксиро-~Ь, необходимо и достаточно, что бы отрезок ССЦ bl был ванном промежутком неосциляции для уравнения L ^ [PCl^ 0. Удобную для практического’построения функцию Грина многоточечной задачи предложил И. Т. Кигурадзе[Х?], ] .А именно.

При.

•r-J*, 1.1 * ' ъь.

— функция Грина оператора L U) при однородных краевых условиях.

К.

4).Здесь УС. (4: ft) -функция Коши однородного уравнения (j), а 1/- (-£)-решения этого же уравнения, удовлетворяющие условиям.

Много работ советских и зарубежных авторов посвящены нелинейной многоточечной задаче. В разное время разрешимость задачи x'-ffo^x'), х&)-я (6)-0 /и-г/ (J7) исследовали С. Н. Бернштейн [ ^ }, М. Нагумо С9&-], Л. Тонелли97−1, Х. Ефезер^^," ] Д. И. Перов [ЕН, М. А. Красно сельский S4- и другие математики. Ряд результатов, касающихся задачи (l7), собран: в монографии П. Бейли, Л. Шемпайна и П. Уолтмена Qf 9. Разрешимость задачи (17)с условиями.

XCaVЛ, xCeVb ф изучали также представители Латвийской математической школы: В. В. Гудков 1, В. Д. Пономарёв [5Ч~55], Я.В.Цепитис[?51.Если рассматривать условия краевые.

Х (= о, х (i) = о, j=<7¹, то задача (2^), (19^существенно отличается от задачи (г?). Метод исследования этой задачи удалось разработать А. Д. Мышкису и А. Я. Лепину [ ] и Ю. А. Клокову L 25″ ] .А .Лясота и 3.0пяль[8Х1изучили нелинейное уравнение (2)при более общих краевых условиях.

X^Y-tiVO, 4MX. (80).

Они доказали, что если функция? C" bj ^^^{непрерывна} в области.

YL и при любых числах jf, j и, .удовлетворяющих у ело виям Qd), дифференциальное неравенство XI ^ не имеет нетривиального решения удовлетворяющего условиям (19), то задача (2^,(20) разрешима. Отсюда, согласно вышесказанному, очевидно, что если У*к?) непрерывна и удовлетворяет неравенству (21), то для разрешимости задачи^"), (20) достаточно, что бы выполнялось одно из неравенств (id) или (jl), например. Нелинейной Валле-Пуссеновской задаче уделяли внимание также Л. К. Джексон [851, Дк. Клаузен и другие авторы. Результаты, о которых говорилось выше, касаются регулярного случая, т. е., когда J С" ^ ^" t)'")^l) лис3° непрерывна, либо удовлетворяет условиям Ка-ратеодори.Сингулярная задача (2),(20) исследовалась И. Т. Кигурадзе в его многочисленных статьях и монографии ]. Для доказательства теорем существования и единственности решения нелинейной многоточечной задачи, чаще всего, использовались принципы неподвижной точки/см.Ж.Шаудер [96,С. Банах.

Разрешимость многоточечных Валле-Пуссеновских задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка изучали: Дж. Амик [ЗД «] Д. И. Перов и А. В. Кибенко Q5 Z ], А.Лясота.

891 и др.

Участники Ижевского математического семинара для получения условий разрешимости многоточечной Валле-Пуссеновской задачи используют идею С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах (jf/j Z~"Для линейной задачи условия применимости теоремы С. А. Чаплыгина являются равносильными условиям знакоопределённости функции Грина QGt⁴) по переменному /при каждом фиксированном «t / /см.Н. В. Азбелев, З. Б. Цалюк [. Z }, Е. С. Чичкин L^Gl /.Кроме того, вопрос о «границах применимости» теоремы о дифференциальных неравенствах тесно связан с изучением неосциляционных свойств решений однородного уравненияф С 4,50 j 6 9 1 •.

Вышеперечисленные вопросы играют такую же важную роль при изучении разрешимости разностных многоточечных задач. Таким задачам/линейным и нелинейным/посвящён целый цыкл работ А. Л. Тептина 0о9—ТЙ пеРенёс на разностные уравнения теорию Пойа-Маммана, исследовал поведение функции Грина YX. -точечной линейной разностной задачи, неосциляционность соответственного оператора и, исходя из полученных результатов, доказал справедливость теорем о разностных неравенствах, аналогичных теоремам о дифференциальных неравенствах-установил критерии существования и единственности решений дискретных аналогов нелинейных краевых задач. Далее эти результаты были развиты А. А. Айзиковичем [ З-Ч } .который получил эффективные достаточные признаки однозначной разрешимости задач Валле-Пуссеновского типа для линейной разностной системы уравнений.

Как видно из вышеприведенного обзора, вопросу разрешимости многоточечных задач уделяли внимание многие математики.

2,Описание щэоекционно-итеративногометода исследования.

Очень важно знать, в каких условиях задача однозначно разрешима, но этого ещё недостаточно тогда, когда необходимо получить само решение задачи. К многоточечным задачам приводят, например, такие конкретные практические задачи, как определение орбиты небесного тела/см.Р.Беллман, Р. Колаба [ g ]"L8l ]"построение траектории движения кометы по трём наблюдениям /см. [ 60 ] / и др. Возникает необходимость в построении и исследовании эффективных аналитических методов решения многоточечных задач. А именно, методов приближённого решения, так как точно их решить, чаще всего, невозможно. Эта проблема исследована ещё очень мало.

Широкое использование для построения решений краевых задач получили асимптотические приближённые методы. К ним относятся: классический метод нелинейной механики Н.М.Крылова-Н.Н.Боголюбо-ва-Ю.А.Митропольского [Ю] .метод усреднения [ Ц ^ ], метод ускоренной сходимости/последовательных замен/ [Д4и др. Так, асимптотический метод усреднения. хорошо обоснованный и развитый Н. Н. Боголюбовым и Ю. А. Митропольским [iO^fl «а в последствии А.М.Самой-лешсом [14], Д. И. Мартынгаком и многими другими авторами, успешно был применён при решении многоточечных задач для инте-гро-дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом болгарскими математиками Д. Д. Байновым, С. Д. Милушевой? 5 } и др.

Среди приближённых методов ярко вцделяются также итеративные /обычный метод последовательных приближений и его модификации, метод Ньютона-Канторовича и др./ и проекционные. К последним относятся, в частности, методы Ритца[95 ] .Бубнова-Галёркина [12-?0], наименьших квадратов, моментов, коллокации, а также их видоизменения и обобщения. Эти методы уже частично применялись при решении некоторых многоточечных краевых задач в работах В. П. Скрипника.

B.МЛернышенко[^5 ], Н. С. Курпеля и А.Г.Марусяка[?9 ] .С.О.Стрыги-ной[68 ] .Н. А. Валаевой и Ф. Ф. Старшинской 6 1, Э.И.Лепиной[35],.

C.А.Беспаловой[ ^ 1, Н.И.Ронто[5″ 2 1, Р.И.Собковича[66][и др. Однако их число в настоящее время совсем не велико.

Следует заметить, что как итеративные, так и проекционные методы имеют сбои достоинства и недостатки. Наблюдающийся интерес к итеративным методам вызван тем, что они, в силу простоты вычислительных схем, во многих случаях сравнительно легко реализуются на современных вычислительных машинах. К их достоинствам относятся также-показательная скорость сходимости, затухание ошибок округления. Однако. итеративный метод не всегда сходится к искомому решению рассматриваемой задачи или же сходится настолько медленно, что его применение предполагает слишком большую вычислительную работу, т. е.не является эффективным. Кроме того, скорость сходимости этих методов не зависит от гладкости исходных данных.

Проекционные методы имеют более широкую область применения, и быстрота их сходимости существенно зависит от гладкости исходных данных задачи. Однако, нахождение достаточно точных приближений при помощи проекционных методов часто связано с необходимостьго выбирать координатный базис очень большой размерности, а значит с необходимостью решать системы алгебраических или трансцендентных уравнений высокого порядка. Этот факт представляет собой весьма трудную задачу, особенно в случае нелинейных уравнений. Характерной чертой этих методов является степенная сходимость и проявление вычислительной неустойчивости.

Естественное развитие, обобщение и усовершенствование итеративных и проекционных методов приводит к созданию новых методов, сочетающих в себе идеи как итеративного, так и проекционного методов. Их называют проекционно-итеративными.Основным достоинством проекционно-итеративных процессов является то, что во многих случаях они сходятся значительно быстрее, чем обычные итеративные процессы, а также могут сходиться и тогда. когда последние расходятся.

Одним из проекционно-итератиЕных методов есть метод осреднения функциональных поправок, предложенный Ю.Д.Соколовым[G/f] для приближённого решения интегральных и дифференциальных уравнений.

Глубокое развитие метод Ю. Д. Соколова получил в работах его учеников А. Ю. Лучки и Н. С. Курпеля.

Исследованию метода и его обобщений для линейных и нелинейных операторных уравнений в банаховом и гильбертовом пространствах, а также применению к различным классам интегральных и дифференциальных уравнений посвящён целый цикл работ А. Ю. Лучки [36~46] «К числу наиболее важных его результатов следует отнести установление им: необходимого и достаточного условия, а также некоторых достаточных теорем сходимости метода в линейном случаеновых достаточных критериев сходимости [41-Ц2,]-, существенно расширяющих область применимости проекционно-итеративного метода, в нелинейном случае и эффективных оценок погрешности последовательных приближений.

Обоснованию метода осреднения функциональных поправок для случая нелинейных операторных уравнений посвящены многие работы Н. С. Курпеля, составившие его монографию [£§-Он установил ряд достаточных признаков сходимости и соответствующих им оценок погрешности, а также построил и исследовал некоторые общие итерационные процессы.

Э.АЛернышенко применила метод к нелинейным операторным уравнениям в банаховом пространстве, к решению задачи Коши для обы.-кновенных дифференциальных уравнений и др. Для случая интегральных уравнений типа Больтерра и смешанного типа некоторые новые варианты метода осреднения функциональных поправок были предложены и исследованы В. И. Тивончуком. Н. И. Тукалевекая рассмотрела более общий проекционно-итеративный процесс решения интегральных уравнений типа Вольтерра. Применению метода осреднения функциональных поправок к краевым задачам и задаче Коши для интегро-диффе-ренциальных уравнений, а также к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом посвящены работы Л. Е. Кривошеина, К.Б.Ба-раталиева и М. М. Галя.Обоснование метода для сингулярных интегральных уравнений рассматривалось в работах В. Г. Иваницкого, Г. Н. Гаджимагомедова, Х. Ш. Мухтарова, Э. И. Эфендиева. Б. Г. Мосолов предложил и исследовал модификации метода Ю. Д. Соколова и успешно применил их к нагруженным интегральным уравнениям. Из других работ, посвящённых методу осреднения функциональных поправок, укажем ещё на работы Н. И. Тукалевской, В. Х. Сиренко, Я. И. Ярмуша, Л. П. Пекловой, в которых рассматривается вопрос о численной реализации метода, В. А. Рощин, где метод применяется к интегральным уравнениям типа свёртки, Т. Сабирова и А. Р. Есаяна, где к исследованию применяется теория полуупорядоченных пространств. Заслуживают внимания работы Ф. М. Миговича.Т.С.Кравчук, А. А. Стоницкого.Л.Б.Ма-ланюка, В. И. Гречко, Г. А. Шпортюка, Е. Н. Король, Л. П. Богдановой, А. Ф. Ка-лайды, А. Т. Янишевского, Ю. М. Молоковича, С. С. Мо соловой, Б. М. Агаева, М. А. Ягубова и Н. А. Сваричевской, О. А. Эфендиевой, А. П. Торохтия, Ю. А. Тучкина и В. А. Шестопалова, М. Мока и др.?внёсшие вклад в развитие метода осреднения функциональных поправок и обобщающих его проекционно-итеративных процессов. Обширную библиографию по работам вышеперечисленных авторов можно найти в монографиях А. Ю. Лучки fto], Н.С.Курпеля[?8 ], а также в обзорной статье^ g «J.

На сегодняшний день эти проекционно-итеративные методы представляют собой эффективные средства решения разных классов уравнений .

Некоторое развитие, расширяющее область применимости, проекционно-итеративный метод получил и в настоящей диссертационной работе. Цель работы — построение и исследование эффективных проек-ционно-итеративных процессов решения многоточечных краевых задач Валле-Пуссеновского типа для обыкновенных дифференциальных уравнений. Осуществить её оказалось возможным благодаря тем результатам А.Ю.Лучки[ i|0 1. которые были получены им. применяя про-екционно-итератиЕный метод к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, системам таких уравнений и двухточечным краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Суть проекци-онно-итеративного метода применительно к интегральному уравнению Фредгольма второго рода ^.

UWffe^XMuCtA ^ например, состоит в том, что приближённые решения определяем на основе формул ^.

U. GtV Ш + J ^^.^{U^t u^ctt, И.

I1 CL т.

ЦW = ZI Cj ^ Ф, k-i i, 5,.. ^.

Коэффициенты находим из условий гдепроизвольная функция из Ш, «а ^ L.

— заданная система ортогональных функций.

3.Основные результаты работы.

Проведём обзор содержания и основных результатов диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. В каждой главепо два параграфа, которые, в свою очередь, разбиты на пункты. Нумерация параграфов идёт через всю работу.

1.Азбелев Н. В. .Хохряков А. Я., Цалюк З. Б. Теоремы о дифференциальном неравенстве для краевых задач.-Матем.сб., 1962,59/допол./, с.125−144.

2. Азбелев Н. В., Цалюк З. Б. О задаче Чаплыгина.-Укр.мат.журн., 1958, 10. Я I"c.3-II.

3. Айзикович А. А. Об однозначной разрешимости некоторых краевых задач для систем разностных уравнений.-Тр.Моск.ин-та хим. маши-ностр., 1974, вып.53,с.68−69.

4. Беллман Р., Колаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968. — 183 с.

5. Бернштейн С. Н. Об уравнениях вариационного исчисления.-УМН, 1940, 8, с.32−74.

6. Бессмертных Г. А., Левин А. Ю. О некоторых оценках дифференциальных функций одной переменной .- Докл. Ж СССР, 1962,144,JE 3, с.471−474.

7. Бубнов И. Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко, удостоенных премии им. Д. И. Журавского.-Сб.ин-та путей сообщения, 1913, вып. 81, с.1−5.

8. Byrip М. К. Узагальнення теорем типу Маммана на випадок систем диференц! альных р1внянь.-Доп.АН УРСР.Сер.А, 1972,$ 3, с. 198−202.

9. Бугир М. К. 0 разложении Д. Пойа-Г.Маммана для систем уравнений. -Дифференц.уравнения, 1972,8,1 3, с.529−530.

10. Буницкий Е. Л. К теории функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Одесса, 1913.-330 с.

11. Валаева Н. А. Старшинская Ф.Ф. Об одном итерационном методе решения многоточечной краевой задачи.-Тр.радиотехнич.ин-та АН СССР, 1975,№ 23,с.153−158.

12. Габрель О. М. Решение многоточечной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом: Препринт 82.25.-Киев:Ин-т математики АН" УССР, 1982. 22 с.

13. Габрель О. М. Решение многоточечной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений проекционно-итеративным методом .-Укр.мат.журн., 1983,35,$ I, с.77−80.

14. Габрель О. М. Решение разностной многоточечной задачи проекционно-итеративным методом: Препринт 82.49.-Киев:Ин-т математики АН УССР, 1982. 14 с.

15. Галёркин Б. Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок.- Beстн. инженеров, 1915,1,Ш 19, с.897−908.

16. Гудков В. В. О свойствах решений дифференциального уравнения второго порядка.-Латв.матем.ежегодник, 1978, № 22,с.3−10.

17. Зайцева Г. С. О многоточечной краевой задаче.-Докл.АН СССР, 1967,176,$ 4, с.763−765.

18. Кибенко А. В., Красносельский М. А., Левин А. Ю. и Перов А. И. Некоторые краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений .-Тр.четвёртого всесоюзн.матем.съезда, 1964,2,с.437−444.

19. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Тбилиси:Изд-во Тбилиск. ун-та, 1975.-352 с.

20. Клоков Ю. А. Об одной двухточечной задаче для обыкновенных диф-• ференциальных уравнений.-Латв.матем.ежегодник, 1968,№ 3,с.Г77 200.

21. Красносельский М. А. Об одной краевой задаче.-Изв.АН СССР, 0ер. матем., 1956,20, № 2,с.241−252.

22. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости.- М.:Физматгиз, 1963.-245 с.

23. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений.-Киев:Наук.думка, 1968.-244 с.

24. Курпель Н. С., Марусяк А. Г. Об одной многоточечной краевой задаче для дифференциальных уравнений с параметрами .-Укр.мат. журн., 1980,32,№ 2, с.223−226.

25. Левин А. Ю. 0 многоточечной краевой задаче.-НДВШ, 1958, № 5,с. 34−37.

26. Левин А. Ю. Оценка для функции с монотонно расположенными нулями последовательных производных.- Матем.сб., 1964,64,3,с.396−409. ^ ^.

27. Левин А. Ю. Неосциляция решений уравнения X +P1C't>)X + 4'4р (-?)? О .-УМН, 1969,24,№ 2,с.43−96.

28. Левин А. Ю. 0 дифференциальных свойствах функции Грина многоточечной краевед задачи.-Докл.АН СССР, 1961,1365.C.I022-I025.

29. Лучка А. Ю. Приближённое решение интегральных уравнений Фредгольма методом осреднения функциональных поправок.-Укр.мат.журн., 1960,12, Ш I, с.32−45.

30. Лучка А. Ю. Приближённое решение линейных операторных уравнений в пространстве Банаха методом Ю. Д. Соколова.-Укр.мат.журн., 1961, 13, Ш I, с.32−45.

31. Лучка А. Ю. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок.-Киев:Изд-во АН УССР, 1963.-128 с.

32. Лучка А.Ю.Розв" язання крайово! задач! для л1н1йних звичайних диференц1альних р1внянь другого порядку модиф1кованим ск1нчено-р1зницевим методом .- Доп. АН УРСР.Сер.А., 1973, I 9, с.805−810.

33. Лучка А.Ю.Проекционно-итератиЕные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.-Киев:Наук.думка, 1980.-264 с.

34. Лучка А. Ю. Критерии сходимости проекционно-итеративного метода для нелинейных уравнений: Препринт 82.24. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 54 с.

35. Лучка А. Ю. Вариационно-итеративный метод: Препринт 83.55.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. 52 с.

36. Лучка А. Ю., Ярмуш Я. И. 0 решении систем линейных конечно-разностных уравнений проекционно-итеративным методом.-Изв.вузов. Математика, 1976,№ 5,с.54−64.

37. Лучка А. Ю., Ярмуш Я. И. Решение системы конечно-разностных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом: Препринт 79.6.-Киев:Ин-т математики АН УССР, 1979, с.20−30.

38. Лучка А. Ю., Габрель О. М. Приближённое решение задачи Валле-Пус-сена для обыкновенных дифференциальных уравнений проекционно-итеративным методом.-Докл.АН УССР, Сер. А, 1982,1 8, с.18−22.

39. Лучка А. Ю., Курпель Ivl.C. Метод осереднення функц1ональних поправок та його pisHi узагальнення В кн: Третя наук.конф. мол. математик1 В Укра1ни. К:Наук.думка, 1967, с.49−73.

40. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.-К.:Наук.думка, 1971. 440 с.

41. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.-К.:Вища школа, 1979.-248 с.

42. Митропольский Ю. А. 0 роли математики в научно-техническом прогрессе и влияние вычислительной математики на её развитие. В кн.:Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе. Киев: ИК АН УССР, 1974, с.40−53.

43. Остроумов В. В. 0 дифференциальном неравенстве для краевой задачи .-Дифференц.уравнения, 1965,1,$ 5, с.625−630.

44. Перов А. И. 0 двухточечной краевой задаче.-Докл.АН СССР, 1958, 122,$ 6,0.982−985.

45. Перов А. И. и Кибенко А. В. Об одном общем методе исследования краевых задач.- Изв. АН СССР, Сер.матем., 1965, 30,№ 2, с.249−264.

46. Покорный Ю. В. О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи.- Матем. заметки, 1968, 4, № 5, с.533−540.

47. Пономарёв В. Д. Существование решения простейшей краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.-Латв.матем.ежегодник, 1978, В 22, с.69−74. *.

48. Пономарёв В. Д. Существование решения краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений .- Латв.матем.ежегодник, 1976, № 19, с.180−186.

49. Пташник Б. Й. Задача типу Валле-Пуссена для г1пербол1чних р1в-нянь 1з сталими коеф1ц! енташ Доп. АН УРСРД966, № 10,с.1254−1257.

50. Пташшк Б. И. Аналог ^-точково! задач1 для системи г1пербол1ч-них р1внянь 1з сталими коеф1ц1ентами Доп. АН УРСР, Сер. А, 1974, $ 8, с.709- 712.

51. Ронто Н. И. О методе коллокации для многоточечной краевой задачи. -Укр. мат. журн., 1983, 35,№ 4, с.524−527.

52. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.I.-M:Изд-во иностр.лит., 1953. 346 с.

53. Скоробогатько В. Я. Исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными.- К: Наук. думка, 1980.-243 с.

54. Скоробогатько В. Я. Разложение линейных и нелинейных дифференциальных операторов на действительные сомножители, I.-Укр.мат. журн., 1963,15,$ 2, с.217−223.

55. Скоробогатько В. Я., Бобик Е. И. Разложение линейных и нелинейных дифференциальных операторов на действительные сомножители, II.-Укр.мат.журн., 1964,16,№ 6,с.783−798.

56. Скрипник В. П. Об одной краевой задаче и некоторых вопросах колеблемости решений.-Матем.сб., 1961,55,Л 4, с.449−472.

57. Скрилник В. П. Многоточечная краевая задача и некоторые вопросы колеблемости решений нелинейных уравнений. Укр.мат.журн.1967,19″ $ 5 .C.I05- ИЗ.

58. Смогоржевский А. С. 0 функции Грина обыкновенного линейного дифференциального уравнения.-Тр.второго всесоюзн.матем.съезда, 1934,2,с.251−253.

59. Собкович Р. И. Об одном подходе к решению многоточечных краевых задач.-В кн.:Вестник Киевского университета, Сер.матем. и мех., вып.24, 1982, с.95−98.

60. Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок.-Киев: Наук. думка, 1968.-336 с.

61. Стрыгина С. О. 0 сходимости метода Галёркина для многоточечнойкраевой задачи.-Тр.семинара по дифференц.уравнениям.Куйбышевск.ун-т, 1975, вып. I, с.79−86.

62. Тептин А. Л. 0 поведении функции Грина многоточечной линейной разностной краевой задачи.- Докл. АН СССР, 1962,147,№ I, с.38−40.

63. Тептин А. Л. Теоремы о разностных неравенствах для ft-точечных разностных краевых задач.- Матем.сб., 1963,62,№ 3,с.345 370.

64. Тептин А. Л., Юберев Н. Н. К вопросу о сохранении! знака функции Грина многоточечных краевых задач.-Сибирский матем.журн., 1967, 8, Л 4, с.865−875.

65. Тептин А. Л., Гусельникова Г. В. 0 двухсторонних разностных схемах для краевой задачи Валле-Пуссена.-Изв.вузов.Математика, 1970, J? 7, с.102−109.

66. Цепитис Я. В. Необходимые и достаточные условия разрешимости двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.- Латв.матем.ежегодник, 1977, $ 2I.C.I08-II2.

67. Чаплыгин С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.-102 с.

68. ITottt Potmm. Ck. Swl I’tc^LokvYi (LffemiidU tihJLClkJl oivi ШWyicL (УмЬгл.^{оЛюъугьЫссЬйфТЬ} (L'uht1.h^iaJt pan vahwu али^пш. (^еплшкcluai гшха1итл d’ctttba п. У. obi mcdk. pu/z etapj^., i9Z9) ii p. m-m.

69. PoIlcl G, On 1 кг rmdn, ircduz Ьклошп. (юшлроп-cLin.(j JO CL tiMOX IwmoQjinjLCwb di^exMiiud, 95, Hih, W. Ofat еЫ №jul MethocLt uui Losan^шгшх Уал^ижб^Угм^йтл cbut Mcdh^htcdibchen, kitrjibL &-МПЛ LLnd Лп, оШГ. MaiLМ s A.

70. Scfuiud (& % Ъ<�гл FlxpLLnkUccbi in. Fun-khcmd-ёаитеп. Stud. M0lHl.} 4950, Wig, p. 441-m.9?. Toneih L. SиМ’ешитоъг di^oM.mkdtк pia, 1939,1, p. 28.