Вложения функциональных классов и сходимость кратных рядов Фурье

Сначала введём некоторые обозначения.

Пусть R, R+, Z и N — множества действительных, положительных действительных, целых и натуральных чисел, соответственно, а Т — это полуинтервал (—7Г, яг]. Элементы множества Ж7″ (т-компонентные вектора) мы будем по возможности обозначать ''жирными" символами: х, t, ., а для обозначения их компонент мы будем использовать тот же символ, написанный обычным шрифтом, с индексом снизу: х = (^1,^2,-t = (tlj • - -1 ^т)?

Если x и у € Rm, то будем писать: х ^ у (х > у), если Xj ^ yj (Xj > yj) при j — 1 .m. Обозначим через m m xy = 5>iS," П (х) = n (W + !)i ni (X) = 1*1 • • • • • j=l j=l.

Если число о € R, то через [а] обозначим целую часть о, а через, а — вектор из R™, все координаты которого равны о.

Далее, если даны М— некое подмножество М&trade-, действительное число о, а также вектор р = (pi,. —, Рт)? то вполне естественны обозначения аМ = {ох: х 6 М} и М — р = {х — р: х£ М}.

Если Л1,., — некие неотрицательные числа, то обозначим через Пн. = rii?!,.,/?^ параллелепипед (в двумерном случае прямоугольник).

Rt X [— i?2, R2] х. X [—Rm, Rjn].

Пусть функция /(x) = f (x 1,., a-m) от m переменных определена на 27Г-периодична по каждому аргументу и интегрируема на кубе Т&trade- — (—7Г, 7г]т. Сопоставим ей формально записанный ряд an (/)eiDX, (0.1) nezm где числа п (/) = A J e~, nx/(x)dx /.

J I’m коэффициенты Фурье функции /. Этот ряд называется рядом Фурье функции /(х).

Если /(х) определена лишь на некотором кубе.

7 Г + OI, 7 Г + flj X (—7Г + а2, 7 Г + аг] X.. X (—7Г + Ош, 7 Г + От] и интегрируема на нём, то тогда мы можем доопределить её периодически и рассмотреть ряд Фурье получившейся функции.

Если W — некое ограниченное подмножество К" 1, то величина neiDX n? w называется частичной суммой ряда (0.1), соответствующей множеству W, в точке х. В частности, если W есть прямоугольник П^ = IIjvb. jvm с целыми Ni,., iV" m, то соответствующая частичная сумма N.

Я*.ivro (/, x) = 5n (/, X) = ?anetnx n=—N называется прямоугольной, а если все Nj одинаковы, то^и^квадратной ча- ^ стичной суммой.

Как нетрудно показать, справедливо представление:

SwiL х) = [ /(х + t) ZV (t)dt,.

7 Г Jxm где = ^? e’nt neWnZ" «ядро Дирихле, соответствующее множеству W.

Далее, для функций /(х) GLi (Rm) определим преобразование Фурье, так, как это делается в книге [24]:

Соответственно, частичный интеграл Фурье функции / по ограниченному измеримому множеству М С К1″ запишется так:

7 м (/(-), х)= [ /(s) eixs ds. Jm.

Опять-таки, если множество Л/ есть прямоугольник Пд^.^, то мы получаем частичный прямоугольный интеграл Фурье функции /, обозначаемый как.

•7*г.Лп (/, х) = Jr (/, X) = ЛД1Дто (/, х).

Скажем, что интеграл (ряд) Фурье функции /(х) сходится в точке х к числу S по прямоугольникам, если.

Ляь., ято (/, х) —>S при min{Ru ., #m} +оо (sNlt.tNm (/, х) —>S при mm{Nu ., Nm} +00).

Аналогично, интеграл (ряд) Фурье функции /(х) сходится в точке х к числу S по квадратам, если.

Jr,., R (^x)—>s ПРИ R->+oo.

Существуют и другие виды сходимости, но в этой работе мы будем рассматривать лишь сходимость по прямоугольникам.

Через С, С (.),. мы будем обозначать некие константы, зависящие лишь от величин, указанных в скобках после символа С (например, С (га, к, I) зависит лишь от га, к и /). При этом эти константы, обозначаемые одинаковым образом, не обязательно совпадают (к примеру, законна запись:

Настоящая диссертация состоит из введения и трёх глав. Во введении изложена история вопроса, а также кратко освещены результаты автора по данной теме. В главах 1−3 содержатся собственно результаты автора.

1. Пусть м Q (x) o e n=l полином с коэффициентами, а G М. Обозначим ЦоЦоо maxi.

2. Утверждение леммы остается справедливым для полиномов вида Мз Q (x) Y. k=Mi где коэффициенты ок Afi, если в правых частях ее оценок заменить вектор М на вектор Мг M iЬ.

3. Замечание 1.2. При m 1 второе утверждение леммы тоже верно, что следует из известного для полинома с монотонными коэффициентами неравенства 1 Q{x) С7||а||ооГТ при 11 х Д О К, А З, А Т Е Л Ь С Т В О ТЕОРЕМЫ 0.

6. Прир> 1 для любой последовательности {ад} неотрицательных чисел справедливо неравенство: lpr. Действительно, найдем такое а, что, а 1 (а это равносильно тому, что р 1 ар 0), яо р 2 ар

7. Тогда, по неравенству Гёльдера, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. где 1/р+ 1/q 1. Но aq.

8. Поэтому [-aq)p/q п=1 я=1 оо 2″ С (р) Yl 2″ (Р-2-") Т1.=1 of5″ P оо «=1 оо С (р} J2 of5(2-»)+" С{р) Х, а Я=1 5=1 ЧТО и доказывает лемму. Лемма 1.

9. Если {ад} невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, действительные О, р> 1 и, а любое, то 28 оо ч 1/р 5=1.

10. Такие) U, — действительно найдутся, поскольку 1/р l/Pi О, а р{1/р 1/pi) р{1/р 1/р2) 1. «Поднимем» в выражении для 522 интегральные нормы до Щ /dxa и 1р /dxi «перенесем» их под остальные нормы и затем воспользуемся леммой 1.4 для внутренней нормы с показателем р (теперь г 2). Мы получим: 2*1+1 2*2+1 X /il У: II Ы 4? j (4j,"H (|,.5,.-i)))) Sl =2*1+1 92=2*2+1 dx.dx. о"е" 1 1 1 1 1×1&bdquoг4и (2-.(-|Н=7. и (2(-|.а.,.)))) 32.

11. Пусть функция двух переменных (р{х, у), х, у G. R, есть сумма равномерно сходящегося ряда: оо JHi, ix+5k)iy+6k) к=2 где числа Hk 2″, а «смещение» 6к равно остатку от деления числа к на.

12. Далее, пусть непрерывная и интегрируемая на R функция {ху) такова, что для ее преобразования Фурье ф{и, v) справедливо неравенство Цф) I ф{и, v) In (2 л/и vA dudv.

13. Обозначим через Ф множество точек (ж, у), в которых ф (х, у).

14. Пусть интегрируемая на R функция ф{х, у) такова, что ее преобразование Фурье ф{х, у) также интегрируемо на R. Определим 35.

15. Назовем углом наклона невырожденного отрезка, лежащего в плоскости Оху, величину угла между прямой, параллельной этому отрезку и проходящей через точку О, и прямой у.

16. Пусть непрерывная и интегрируемая на R функция ф{х, у) такова, что для ее преобразования Фурье ф{и, v) конечен интеграл Ь (ф) ф{щу) In {2 л/и уА dudv. Пусть при произвольном Л" 1 функция f{x, y) и семейство /(хо, уо)(2/) заданы формулами (2.4) и (2.5), где семейство функций А (а-о, уо) 2/) У влетворяет, тем же условиям, что и в лемме 2.

19. Пусть ряд Фурье функции /{х, у), непрерывной на Т, сходится по прямоугольникам в точке (0,0). Тогда ряд Фурье функции (р{х) f (x, 0) сходится в точке х.

20. Обозначим через {/пг, п"}п, п" и {(Pm}n соответственно коэффициенты Фурье функций и Покажем, что при фиксированном Пх выполнено ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По=-М 58.

21. Пусть числа Я-t 2, а f{x) та функция, существование которой доказывается в теореме 2.

22. Определим последовательность натуральных чисел {TJjtlo с по 1, растущих столь быстро, что (1пЯ",)/22*+1Я"" fcO. (2.21) Положим функцию д{у), у G М, равной нулю при у О, единице при у 1/Я"о, равной 2″ * в точках ук 1/Я&bdquoи линейной на отрезках [ук+и Ук] при всех к" .

23. Пусть h{s) бесконечно гладкая функция на числовой прямой, равная единице при |5| Зтг/В и нулю при |s| 7г/.

25. Теорема 3.1 говорит о достаточности накладываемых условий, ей посвящен параграф § 3.

26. Остальные две теоремы говорят об их необходимостиони будут доказаны в § 3.2. В этой главе для простоты мы будем предполагать, что все функции, для которых рассматривается Л-вариация, определены на кубе [0,1]" *, и их Л-вариация также берется на этом кубе. § 3.1 Совпадение классов ABV и CAV Теорема 3.

27. Ясно, что величину Л{К) можно определить как E {l-ai)…-{l aa-i) Qf] 67.

28. Пусть рг) это функция, которая сопоставляет числу i 0 1 |В[ 1}, являющемуся >i-i номером отрезка, А A iU-i) системы В номер этого отрезка в системе j 71.

29. Положим Мы имеем: О QJ 1, и a Y l-1a-i)u. i.-. l х, — U3_i—су (1 _i).aJ-T V" s=l s=l (i /?,_i)/2) a j Е11ЕМ—Е 2 s 2 As 5=1 S=l 5=1 s что И доказывает требуемое неравенство (3.18). Далее, полагая /3j Ъ мы имеем: Б (7Г)= sup E-f Е Г, а эта величина по условию стремится при iT оо к бесконечности. Лемма доказана. 75.

30. Пусть последовательность {Лп}пОстремящаяся к бесконечности, и число 7 [0,1) таковы, что верно предельное соотношение: п-юо А. п lii 2-, (3.34) и, кроме того, выполнено одно из условий (а) 7 7 о, п=0 л оо или (б) 7 1/.

31. Тогда двумерные классы ABV и CNV не совпадают, точнее, существует непрерывная функция /(ж, у), определенная на квадрате [0,1, равная нулю, когда хотя бы один из ее аргументов равен нулю, принадлежащая классу (Л, K) BV и обладающая тем свойством, что величины sup Var/(а,-) OG[0,1] Var (А, А"+) в случае (а) и величины Var (А, А"+) Var (Лп+"А) в случае (б) не стремятся к нулю при п оо. Для доказательства этой теоремы нам понадобится одна вспомогательная 82.

32. Возьмем такое натуральное число г, что по 2″ *, и положим (3.39) п=0 В силу неравенства (3.37), величина aj стремится к бесконечности при j сх). Поэтому мы выберем число N 2 столь большим, что 2R/0-J при J log2 ff. 83 (3.40).

34. Определим при fc 0,1,2,… числа Oc 1 (l/(fc+ 1)). Рассмотрим функцию г{у), определенную на действиf тельной оси, равную нулю при у О и у 1, единице при у ½, линейную на отрезках [0,½] и [½, 1] и периодическую с периодом.

35. Значит, справедливо соотношение: ½ lim ТГда Var к-?оо (A, Ajv+) и последняя величина не стремится к нулю при iV оо> Поскольку функция х у) симметрична по переменным аи у, то ее двумерная (Алг+, А)-вариация также не стремится к нулю при N оо. Теорема доказана. В завершении этой главы мы обратимся к случаю размерности m 2. Из только что доказанной теоремы 3.2, а также теоремы М, мы легко получим следующее утверждение, которое и завершит доказательство основной теоремы 0.

36. Пусть размерность тп> 2, а последовательность, А такова, что существует предел отношения Агп/А при п оо. Тогда существует такая непрерывная функция f{xi,…, Хт) от т переменных, что feABVCAV. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть существует предел lim п—оо Хп 2 г. 92.

37. Пусть д{ху) — это та функция, о существовании которой говорится в ней. Тогда функция f{xu Хт) g{xi, Х2) будет искомой. Если же 7 ½, то взяв число У 6 (½, 7), *Ь1 будем иметь: i=4 Как следствие, условие (0.9), которое в нашем случае выглядит так: с" будет выполнено. Применение теоремы М завершает доказательство. 93.