Симметрические, самосопряженные и J-самосопряженные дилатации линейных операторов

При изучении неунитарных и несамосопряженных операторов полезными оказываются развиваемые в последние десятилетия как метод характеристических функций, так и метод дилатаций Сто есть метод «растяжений» заданного оператора до унитарного или самосопряженного). При этом теория унитарных дилатаций сжатий довольно полно разработана в ряде работ Б.С.-Надя и Ч. Фояша [i^. Затем Ч. Дэвис [14], Ч. Фояш и Ч. Дэвис [15], Л. А. Сахнович [l6j, А. В. Кужель [5,17^|, опираясь на метод Надя-Фояша, построили и исследовали Jунитарные дилатации произвольного плотно заданного замкнутого оператора и произвольного ограниченного оператора.

А.В.Кужель в [5, 17] построил одно из трансляционных представлений Jсамосопряженной дилатации произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Простейшие соображения говорят о том, что в случае диссипа-тивных операторов должны существовать симметрическая и самосопряженные дилатации. Для этого достаточно воспользоваться преобразованием Кэли.

Таким образом, в случае диссипативных операторов задача сводится к явному построению симметрической и самосопряженной дилатаций. Эта задача была решена в работе Б. С. Павлова [У] для оператора Шредингера, А — -Д + ^ + <-р, где <р и J5 — вещественные непрерывные функции из 1? 3 ,.

О^-J =? co^bt <00 и оператор, А ~ + % предполагается самосопряженным на.

При этом существенно используется тот факт, что.

AV)^ и мнимая компонента оператора, А ограничена. Анализ показывает, что этот метод применим и в абстрактной ситуации.

В [ц] и [13] самосопряженная дилатация построена в случае некоторых других конкретных диссипативных дифференциальных операторов (порожденных соответственно самосопряженным дифференциальным уравнением второго порядка и стационарным волновым уравнением).

Данная работа посвящена явному построению и исследованию различного типа симметрической и самосопряженной дилатаций диссипа-тивного оператора, а также J-симметрической и Jсамосопряженной дилатаций произвольного линейного оператора и, кроме того, исследованию свойств дилатаций и установлению связи между их различными представлениями. Явное построение спектрального представления самосопряженной дилатации диссипативного оператора является одним из основных результатов, полученных в диссертации. При этом в процессе построений существенно используются идеи работ Б. С. Павлова.

В главе I дается явное построение симметрической дилатации L диссипативного оператора, А «действующего в гильбертовом пространстве с непустым множеством регулярных точек j^A»), плотной областью определения (А^, и исследуются некоторые свойства такой дилатации.

В частности, в § I.I рассматриваются некоторые известные свойства диссипативных операторов, а также операторов где R" = (Aл г)" ', > ej>(A).

ПустьL вт0ГДа обозначим 8 = 8-t-, 8 ~, о*Гь. G=IT .

В § 1.2 рассматриваются различные определения дилатаций линейных операторов и некоторые общие свойства дилатаций.

В случае ограниченных операторов оператор IB, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется дилатацией [i] оператора, А, который действует в гильбертовом пространстве yCZ Н, если.

АИ = РВИ] (Vnev) С") где Р — оператор ортогонального проектирования в Н на. При этом условие (#¦) эквивалентно любому из следующих: з) R" (Ay)l = PR*(B>, u) l (Vlefr л 1/ибЖл л о1? где.

Последние два условия имеют смысл и в случае неограниченных операторов, и, таким образом, любое из них можно принять в качестве определения дилатации произвольного линейного оператора.

А, У которого J)(А^ Ф Ф .

Дилатации /8* к 1В2 оператора /i, действующие соответственно в пространствах и Н^ «называются изоморфными, если существует унитарное отображение it пространства на.

Н^ такое, что.

1) L6U U (Н^),.

2) /Й2 = /8, и1.

ТЕОРЕМА I.I. Пусть, А — линейный оператор в пространстве и /В — дилатация оператора, А, действующая в Н СГ Н). Если при этом оператор /8^, действующий в Hi «удовлетворяет следующим условиям:

1) Ht ;

2) существует унитарное отображение 66 пространства Н на Hi такое, что в) Ul = L (Vie**), e) ъ^ьаьи1. то /8Х — дилатация оператора, А .

В § 1.3 рассматриваются некоторые известные свойства пространств вектор-функций: где — гильбертово пространство. Доказываются необходимые для дальнейшего свойства оператора дифференцирования в этих пространствах.

В случае сепарабельности пространства ^ устанавливается изоморфизм между пространствами н+ «& =. н., = с помощью ортонормированной системы функций Чебышева-Лаггера [2] в L, (о, со) И 4 о) .

Далее в § 1.4 получен основной результат главы I — спектральное представление эрмитовой и симметрической дилатаций диссипативного оператора, А • При этом вначале рассматривается оператор, А, область определения которого не предполагается плотной.

Рассмотрим пространство где и построим в нем оператор L следующим образом.

Вектор li = j, где Ц? ,, принадлежит тогда и только тогда, когда.

1) L+? Л/?*(о, оо —, где класс Соболева;

2) 1о 6 9(A) — где S) = Q (A+n).

При этом оператор L определяется так:

О — - Д+ где S^. U+ - ^ j-j- ¦

ТЕОРЕМА 1.2. Оператор L является эрмитовой дилатацией оператора, А .

Следствие. Если диссипативный оператор, А плотно задан, то L — симметрическая дилатация оператора, А .

Для симметрической дилатации L получены следующие свойства:

2) Индексы дефекта оператора L: о, d^^JZ.(A)).

Далее рассматривается свойство минимальности дилатации L .

Пусть Mi и М£ - линейные многообразия пространства Н. Тогда VMz обозначает наименьшее подпространство пространства Н, содержащее и Mz .

ТЕОРЕМ^ Если пространство ^ = - се пара бел ьное, то эрмитова дилатация L является минимальной в том смысле, что о.

Доказательство проводится непосредственно нахождением т.

В случае можно построить следующее представление дилатации. Рассмотрим оператор L, v в пространстве Н = Ф Э', где = Lz.

Е = Д7Р (А) ,.

Вектор ь — j | t J тогда и только тогда, когда.

I) l!+6 W/ (о,£);

2) V, 0ef)(Ay>

3) l!+(ow vEvL.

Тогда ^ 9/l0).

ТЕОРЕМА 1.4. Оператор Lv является симметрической дила-тацией оператора, А •.

При доказательстве этой теоремы одновременно показано, что дилатации Lv и L изоморфны.

§ 1.6 посвящен трансляционному представлению симметрической дилатации диссипативного оператора, А .

Здесь рассматривается оператор LT, зависящий от параметра У>о. При У = 2 этот оператор был построен в [3^. Рассмотрим гильбертово пространство -§ f (D, где Ф^, ~ Q^r с элементами оо vc — о.

В пространстве рассмотрим неограниченный оператор S+ :

Оператор /jt, зависящий от параметра У>о, действует в пространстве следующим образом.

I. Вектор? тогда и только тогда, когда.

I). гле o.

VC.

2) /об^ГА).

3) sj-^afo, где S)*Q (A + il).

П. Если то где = Л /о, =" У*' Sn / ^ б Ж) •.

ТЕОРЕМА 1.5. При У=2 оператор т, определенный условиями I и П, является симметрической дилатацией диссипатив-ного оператора, А .

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть, А — диссипативный оператор и пространство — сепарабельное. Тогда дилатация ^ унитарно эквивалентна оператору LT при ЗГ-i.

Из доказательства этой теоремы следует, что LT — дилатация оператора, А при, изоморфная дилатации L .

Минимальность дилатации LT при '&W доказывается с помощью следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1.7. Если Bi и /62 — изоморфные дилатации оператора, А > действующие соответственно в пространствах и Н^, и со 00 л о.

Явному построению различных представлений самосопряженной дилатации диссипативного оператора, установлению связей между и ними и исследованию некоторых свойств таких дилатаций посвящена глава П.

В § 2.1 проводится построение спектрального представления таких дилатаций следующим образом.

Пусть, А — плотно заданный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве «^г иL.

Рассмотрим пространства вектор-функций Н+ - Lz (о,°о к = iz), где *, .

Образуем гильбертово пространство Н — Ф fy Ф Н+ построим в нем оператор J следующим образом:

ЛЛ.

Вектор) «где? М+, , надлежит тогда и только тогда, когда.

1) UeW^o.-^Oi.

2) f = L + eL (o)6 при где Г*- Г**-/?*-,.

Если с P (s) ,.

Si — s.

ЛЛ U о то [-Л0 + (A*ii)f <&L где о = i dk, = c/L.

L jT.

ТЕОРЕМА 2.1. Оператор 5 является самосопряженной дилата-цией диссипативного оператора, А .

Используя вид дилатации, доказываются следующие ее свойства: х) ?>(А)Л $>(!>) = Ga- 2).

§ 2.2. посвящен построению трансляционных представлений самосопряженной дилатации диссипативного плотно заданного оператора Д? -I? J) (А). Устанавливается связь с дилатацией •.

Рассмотрим гильбертово пространство ~ Ф $ ,.

1 со где •.

Элементами являются векторы.

-а 1 * 1 /<�¦ > где ^ при к, при, /о^ ,.

ОО со.

— (ТО.

Срамка означает, что помещенный в нее элемент расположен на нулевом месте)..

В пространстве ^ рассмотрим неограниченные операторы S+ и S-: во.

ОО где ^ =. ., , /0,, .. .) •.

Построим в пространстве оператор $, зависящий от параметра Jf>o, следующим образом:.

I. Вектор ?>(Sr) тогда и только тогда, когда D оо ОО где П.

4=1 *.

ОО.

2) f = + g ^.

3) S*f-T*S.f +i?>.

*Q (A*il.

T’l-iiR-i. Если /б J>CSr), то Srf•(., Z-t.^fr,.) где у-^ + ЩА+И)*,^*^ (Дб2Ч°3)..

ТЕОРЕМА 2.2. Оператор Sr «определяемый условиями I и П, при У- 2 является самосопряженной дилатацией диссипативно-го оператора, А ..

Эта дилатация при у была получена А. В. Кужелем в [5]..

Затем в теореме 2.3. доказывается, что в случае сепарабельности пространств ^ = б и ^ 55 б оператор Sr при i является дилатацией оператора, А изоморфной дилатации 5 •.

В § 2.3. рассматривается построение самомопряженной дилатации в случае ограниченности мнимой компоненты V оператора, А ..

Образуем гильбертово пространство — S ^ (В Нгде н:= Lz (°>~-?), H:=L2(-~.о-Е)..

— А-А' xi.

Построим в Ж оператор о следующим образом..

Вектор V = I V0 €) тогда и только тогда, когда V+ /.

1) уЛвбЦУо.^Е), v-(06to?Y—-o5E) —.

2) 1.6.

3) № Дл7Ч. + v-М..

Если V6 ^(s), то v. /? v- ^ v+.

АЦ + [2vV.(°) 9+V+.

Далее в случае Q ^ ^С^) Б теореме 2.4 устанавливается, что 5 ~ дилатадия оператора Д, изоморфная дилатации S •.

В § 2.4 доказывается минимальность дилатаций S, Sr (при) и s • Доказательство проводится непосредственно, используя выражение для резольвенты оператора 5 и связь между дилатациями..

Самосопряженная дилатация, действующая в гильбертовом пространстве Н^, оператора, А «действующего в пространстве, называется минимальной, если где.

Основным результатом главы Ш является явное построение спектрального представления Jсамосопряженной дилатации произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым cJ>(A). Это обобщение результатов глав I и П..

В § 3.1 строится спектральное представление Jэрмитовой дилатации произвольного линейного оператора, А, действующего в гильбертовом пространстве, при условии, что.

Рассматривается оператор 8, введенный в § 1,1, и операторы.

Э = V/6/, J=si|hB..

В пространстве Н+ - L*z (о,<�хэ —), где ^ = Q^y, индефинитная метрика вводится с помощью оператора: ЗШ оператор J действует на векторы 1,+. (i) при каждом фиксированном ~t) и.

L-, (ji 1+, U) H+ ..

Оказывается (теорема 3.1), что оператор L, построенный в § 1.4, является Jэрмитовой дилатацией оператора, А. Мы его будем обозначать Lj ..

Если *р (А) =^f, то Lj — J" -симметрическая дилатация оператора, А ..

§ 3.2 посвящен построению спектрального представления Jсамосопряженной дилатации произвольного плотно заданного оператора Д при условии, чтоl.

Рассматриваются введенные в § I.I операторы В и 6 и.

Л* / ^ 1 Л. /V операторы Затем в пространстве.

— Lz °> ^г.), где — Q ^ так же, как и в пространстве, вводится индефинитная метрика с помощью л— оператора Jt. к ъ пространстве H = wtФ Ф Ниндефинитная метрика вводится с помощью оператора J :.

Jсамосопряженная дилатация Sj имеет тот же вид, что и дилатация S, только условие 3) на область определения дилатации несколько отличается от прежнего:.

LtW = T4.(e)ti 3Q (A + il) f..

ТЕОРЕМА 3.2. Оператор Sj является Jсамосопряженной дилатацией оператора Д ..

Эта теорема доказывается с помощью леммы..

ЛЕММА 3.1. Если оператор F, действующий в невырожденном пространстве И с индефинитной метрикой, задаваемой оператором J, является Jсимметрическим и CZ J>(F) «то FJ-самосопряженней оператор..

— 18.

Теорема 3.3 устанавливает вид оператора Sj- ..

В § 3.3 рассматривается трансляционное представление Jсамосопряженной дилатации и дан метод построения дилатации для определенного класса конкретных операторов, в частности, оператора Итурма-Лиувилля. J.

В пространстве рассмотрим оператор.

Оператор J задает в пространстве Ж индефинитную метрику. Затем рассматривается оператор ST с параметром }f > о, построенный выше, имея в виду, что операторы б? и О определяются равенствами.

Q-fm, , а (c)=, 7<2(А*-г) •.

Этот новый оператор, который мы обозначим STij, при является Jсамосопряженной дилатацией оператора Д ,.

Устанавливаются некоторые свойства Jсамосопряженных дила-таций, в частности, минимальность и связь различных представлений..

В заключение главы Ш рассматривается построение J* -самосопряженной и самосопряженной дилатации конкретных операторов, используя результаты работы Черновой Г. И. ..

Дилатации строятся для операторов следующего вида..

Пусть А0 — симметрический оператор, действующий в гильбертовом аространстве^, и и, YZ* * «л*. У?*3 *, fc^ytj, где — ^ 6 (А» ^(71) — дефектное подпространство оператора, А, отвечающее числу Д ..

Рассмотрим расширение, А оператора Д0 с областью определения где: f, Л и @ - постоянные, /а1 +.

Оператор, А действует так:.

Оператор, А является правильным расширением [б" ] оператора А0 • Для этих операторов и строятся дилатации. Заметим, что для таких операторов т)..

В дополнении рассматривается одна модификация понятия характеристической функции линейного ограниченного оператора, а именно: характеристическая афункция оператора..

В случае сжатий Б.С.-Надь и Ч. Фояш [i] определили характеристическую функцию равенством i й ^ где swr-rr) — дефектный оператор, отображающий пространство, в котором действует оператор ~Г, в дефектное подпространство — &-)т оператора ~Т~ ..

При этом, как было показано в [i], при. наличии инвариантного подпространства ^ «у оператора Т характеристическая функция 0 Т (>) допускает факторизацию: 11 О.

О I о.

9Т00= I W о тг. L iV г) где J, №, V — постоянные унитарные операторы, а.

0 Т (>0 — характеристическая функция оператора Т^, где * т, = ат.

Т>Т у,.

Указанное свойство характеристической функции играет существенную роль при изучении различных классов сжатий..

В [is] А. В. Кужель ввел понятие характеристической функции в случае произвольного ограниченного оператора ~Г равенством.

0T (>)=Tj-*Qr.(l->T*yQr, о) где J=s-r (r-ГТ), 6 Т ~ 11~Т*Т ¦.

В частности, если — сжатие, то У — Р, где Р — оператор проектирования на. В этом случае указанное определение характеристической функции совпадает с определением Б.С.-Надя и Ч.Фояша..

В [il] был также получен аналог теоремы Надя-Фояша о факторизации характеристической фун: кции. Однако при этом вводилось понятие WFподпространства и теорема о факторизации была получена только в случае существования у рассматриваемого оператора инвариантного и/Fподпространства. Все попытки избавиться от указанного ограничения на инвариантные подпространства оказались безрезультатными..

Здесь введена некоторая модификация, понятия характеристической функции, что дает возможность установить в общем виде теорему о факторизации, перенести многие результаты Б.С.-Надя и Ч. Фо-яша и других авторов на ограниченные операторы, не являющиеся сжатиями, и упростить доказательство ряда утверждений..

Пусть, А — линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве^. Оператор-функцию определяемую равенством.

AJ-2QA.(r-MTQA > гдеА*А Од- |(Х2Г-А" А|^, апроизвольное фиксированное положительное число, будем называть характеристической функцией оператора Д, соответствующей параметру, а, или, кратко, характеристической афункцией оператора, А ..

В частности, понятие характеристической Iфункции совпадает с понятием характеристической функции из работ [п, 18 ] ..

Оказывается, что характеристическая а-функция оператора, А связана с характеристической функцией (3) оператора Т=а* А равенством:.

— Q 0T (ai) ¦ (4).

При этом в случае /|А (1 ^ можно считать, что в равенстве.

4) 9 Т есть характеристическая функция Б.С.-Надя и Ч.Фояша..

Пусть ^ - инвариантное относительно оператора Д подпространство. Тогда.

Al Г V где А,= ал|5х.

Д — линейный ограниченный оператор, отображающий ^ в^. Инвариантное подпространство называется и/Fподпространством, если Г-Q^* L Одя, где L — некоторый ограниченный оператор, отображающий ^ в. Используя процесс факторизации, описанный в [п], доказано, что в случае наличия у оператора л/ Fподпространства, характеристическая афункция допускает факторизацию i//V, (Wa'm:)v о W^d) j l о I 2 где U, uP, V, как и в [il], есть некоторые постоянные операторы типа изометрических..

При этом если ||Д (| й <Х, то каждое инвариантное подпространство оператора Д является Л/Fподпространством, и, следовательно, в этом случае характеристическая а-функция может быть факторизована без каких-либо ограничений на инвариантные подпространства. В этом случае операторы JJ и / являются унитарными, а оператор сО удовлетворяет соотношениям.

На случай характеристической dфункции перенесены также результаты Д. Кларка [12^, полученные для характеристической I-функции..

В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул, в которой первое число указывает номер главы, а второе — номер соответствующего утверждения главы..

Настоящая работа выполнена в Симферопольском государственном университете им. М. В. Фрунзе..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, [l9−22j и докладывались во Всесоюзной летней школе по операторам в функциональных пространствах в 1982 г. в г. Минске, на семинарах по функциональному анализу Симферопольского госуниверситета (руководитель — проф. А.В.Кужель), на семинаре по теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой Воронежского госуниверситета (руководитель — проф. И.С.Иохвидов), на семинаре кафедры высшей математики физического факультета Харьковского госуниверситета (руководитель — доцент В.К.Дубовой)..

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:.

1. Явное построение спектрального представления симметрической дилатации диссипативного оператора и связь этого представления с другими. 9.

2. Минимальность симметрических дилатации..

3. Явное построение спектрального представления самосопряженной дилатации диссипативного оператора и связь этого представления с трансляционным представлением и представлением в случае ограниченности мнимой компоненты диссипативного оператора..

4. Свойство минимальности самосопряженных дилатации..

5. Спектральное представление Jсамосопряженной дилатации произвольного линейного оператора с плотной областью определения и непустым множеством регулярных точек..

6. Факторизация характеристической афункции линейного ограниченного оператора..

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А. В. Кужелю за постоянное внимание к работе..

1. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1970. — 431 с..

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. — 544 с..

3. Кужель А. В., Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов. ДАН СССР, 1980, т.253, № 4, с. 812−815..

4. Павлов Б. С. Теория дилатаций и спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных операторов. В сб.: Матем. про-граммир. и смежн.вопр. Теория операторов в линейных пространствах. — М., 1976, с. 3−69..

5. Кужель А. В. Самосопряженные и Jсамосопряженные дилатации линейных операторов. Теория функций, функц. анализ и их прил. 1982, вып. 37, с. 54−62..

6. Кужель А. В. Правильные расширения эрмитовых операторов. ДАН СССР, 1980, т. 251, № I, с. 30−33..

7. Павлов Б. С. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шредингера и разложение по его собственным функциям. -Мат. сб., 1977, 102(144), № 4, с. 511−536..

8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 400 с..

9. Кужель А. В. Аналог формулы М. Г. Крейна для резольвент несамосопряженных расширений эрмитова оператора. Теория функций, функц. анализ и их прил. 1982, вып. 36, с. 49−55..

10. Чернова Г. И. Об одном общем случае вычисления характеристических функций линейных операторов. Динам.системы. 1983, вып.2, с. 122−129..

11. Кужель А. В. Обобщение теоремы Надя-Фояша о факторизации характеристической оператор-функции. Acta Sci.math., 1969, 30, № 3−4, с. 225−234..

12. Clark D.N. On models for noncontrations. Acta Sci.math., 1974, 36, 1−2, p. 5−16..

13. Павлов Б. С., Фадеев JI.Д. Построение самосопряженной дилатации для задачи с импедансными граничными условиями. Зап. ЛОМИ АН СССР, 1977, 73, с. 217−223..

14. Davis Ch. Junitary dilation of general operators. Acta Sci. math., 1970, 31, № 1−2, p. 75−86..

15. Davis 0., Foias C. Operators with bounded characteristic function and their Junitary dilation. Acta Sci. math., 1971, 32, № 1−2, p. 127−139..

16. Сахнович Л.A. 0 Jунитарной дилатации ограниченного оператора. Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, вып. 3, с. 83−84..

17. Кужель А. В. Jсамосопряженные и J-унитарные дилатации линейных операторов. Функц. анализ и его прил. 1983, т. 17, вып. I, с. 75−76..

18. Кужель О. В. Характеристична оператор-функЩя дов1льного обмеж-ного оператора. ДАН УРСР, сер. А, 1968, 3, с. 233−236..

19. Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации дис-сипативных операторов. Сб.: Теория функций, функц. анализ и их прил., 1982, вып. 37, с. 51−54..

20. Кудряшов Ю. Л. Связь между различными представлениями самосопряженной дилатации диссипативного оператора. Рукопись деп. в ВИНИТИ, К> 3−83. Деп. от 3.01.83. — 15 с..

21. Кудряшов Ю. Л. Минимальные симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 2.83 Деп. от 3.01.83. -II с..

22. Кудряшов Ю. Л. Об одной модификации понятия характеристичес кой функции линейного ограниченного оператора. В кн.: Ма тематический анализ и теория вероятностей. Сб. науч. тр. Киев: Наук, думка, 1978, с. 92−95..