Синтез и применение конформных отображений для расчета электромагнитных полей

Актуальность темы

Сложность устройств современного электротехнического оборудования, рост электромагнитных нагрузок и непрерывно повышающиеся требования к точности расчета электротехнических устройств ставят задачу совершенствования и поиска новых эффективных алгоритмов расчета электромагнитных полей, в том числе плоскопараллельных, рассматриваемых в теории электрических машин и аппаратов [1−3,13,17, 25, 41, 43,44]. Известно, что расчет широкого класса таких полей в ряде случаев наиболее эффективно может быть выполнен с помощью методов функций комплексного переменного [4, 5, 7, 14, 18, 22, 33, 39, 40, 100−107]. Этим объясняется повышенный интерес к этим методам как в общих курсах теории полей и ТОЭ, так и в спецкурсах для магистров и аспирантов [10, И, 21, 26,32, 34,48,49, 59,60, 63, 66, 70, 80, 99].

Литература

посвященная теории конформных отображений и ее приложениям, весьма обширна и насчитывает многие сотни названий. Наибольшее число работ посвящено методам приближенных отображений одпосвязных областей. Отображение строится, как правило, в виде рядов Тейлора или полиномов ортогональных на контуре или внутри области. При этом используются вариационные методы, основанные на экстремальных свойствах функций, преобразующих заданные области на круг. С представлением отображений в виде степенных рядов связан метод Мелен-тьева, разработанный для случая графического задания границ, а также метод, основанный на применении функций Грина. Известны также попытки сведения задачи о построении отображений к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода [36]. Ряд авторов решают задачу конформного отображения методами электромоделирования на электропроводящей бумаге, в том числе для определения констант интеграла Кристоф-феля-Шварца [76]. Очевидно электромоделирование не может обеспечить достаточно высокой точности построения отображающей функции. В [8, стр.173] приводятся формулы (аналогичные выражениям Кристоффеля-Шварца) для отображения на кольцо двусвязных областей, границами которых являются многоугольники. Формулы содержат специальные функции типа тета-функций Якоби [71, 98]. Как и выражения Кристоффеля-Шварца, эти формулы страдают «большим недостатком», заключающимся в «трудности определения входящих в эти формулы констант ., причем здесь к числу неизвестных констант прибавляется еще параметр области, т. е. отношение радиусов окружностей, ограничивающих кольцо». Остроту проблемы подчеркнул П. Ф. Фильчаков: «. в большинстве работ. рассматриваются отображения эллипса, квадрата и еще нескольких простейших контуров, а более сложные примеры встречаются редко» [79]. Эта ситуация имеет место и в настоящее время, о чем свидетельствует отсутствие каких-либо указаний на возможность построения универсальной методики. И по сей день сохраняют смысл слова М. В. Келдыша: «Фактическое построение конформного отображения одной области на другую представляют собой иногда весьма трудную задачу.

В связи с этим на кафедре ТОЭ рассматривается новое направление, предложенное д.т.н. М. А. Шакировым [87], в основе которого лежит идея преобразования сложных областей с использованием известных отображений более простых (фундаментальных) областей. Отображение строится с применением интегральных схемных моделей фундаментальных областей. Тем самым реализуется важнейший методологический принцип теоретической электротехники, отличающий ее от других дисциплин, — переход к схемам замещения, моделирующих сложные процессы и явления в электротехнических устройствах, а также процедуры их расчета. Развитие этих идей применительно к конформным преобразованиям сложных областей и созданию на их основе простых и доступных для инженеров эффективных алгоритмов анализа полей — актуальная задача теоретической электротехники. С ней связана тематика настоящей работы.

Целью работы является разработка новых эффективных численно-аналитических методов построения конформных отображений сложных односвязных и двусвязных областей для выполнения многовариантного анализа электромагнитных полей.

Задачи исследования:

— разработка общей (универсальной) методики построения схемных моделей для синтеза конформных отображений сложных областей, одно-связных и двусвязных;

— создание метода многокаскадного синтеза конформных отображений, т. е. синтеза отображений по частям, когда вначале строится отображение упрощенной области, которая далее используется как базовая для синтеза более сложной области и т. д. (для односвязных и двусвязных областей);

— построение алгоритмов анализа электромагнитных полей, сил и моментов с применением синтезированных конформных отображений (для односвязных и двусвязных областей).

Методы исследования, использованные в работе, базировались на теории функции комплексного переменного и теории электромагнитного поля.

Новые научные результаты:

1. Метод синтеза конформных отображений односвязных и двувяз-ных областей на основе принципа фундаментальной области с использованием схемных моделей.

2. Многокаскадный синтез конформных отображений односвязных и двусвязных областей.

3. Методология использования синтезированных отображений для расчета электромагнитных полей, сил и моментов.

4. Программное обеспечение для синтеза конформных отображений сложных односвязных и двусвязных областей.

5. Программное обеспечение для расчета электромагнитных полей, сил и моментов с применением синтезированных конформных отображений (для односвязных и двусвязных областей).

Диссертация, кроме введения включает шесть глав, заключение, список литературы и 4 приложениясодержит. рисунков и. таблиц.

Список использованных источников

включает 107 наименований.

В первой главе изложены две центральные идеи предлагаемого метода синтеза конформного отображения сложной односвязной области. Метод иллюстрируется на примере построения отображения области электромагнита в виде 10-угольника. Показана возможность представления отображения (c)(УкД-^Д, через промежуточный параметр — комплексный потенциал 1?/ произвольного искусственного поля. Для определения Ж/ в Д-области используется вспомогательное отображение более простой фундаментальной области (ФО), охватывающей Д-область так, что ее граница лишь частично совпадает с границей Д-области. Обе идеи реализуются следующей формулой синтеза: построение конформного отображения а?(г).Д-^Д, на основе вспомогательного конформного отображения более простой (фундаментальной) области через комплексный потенциал искусственно поля Щ?. В заключительной части показано, как синтезированное отображение может быть использовано для решения проблемы определения констант интеграла Кристоффеля-Шварца для многоугольных областей.

Во второй главе В отличие от предыдущей преобразование со (2):Д-«Д0 для односвязных областей строится каскадно в результате последовательного применения нескольких вспомогательных отображений более простых областей. Принцип многокаскадного синтеза иллюстрируется на примере отображения областей электромагнита и торцевой зоны гидрогенератора. Приведены сравнения временных затрат на синтез отображений при использовании однокаскадного и двухкаскадного алгоритмов.

В третьей главе рассматриваются особенности применения синтезированных отображений, в том числе каскадно синтезированных отображек/ ^ ^ нии, для расчета магнитных полей и электромагнитных сил в областях, окруженными идеальными магнитопроводами или идеальными магнитными экранами (>Ьжрана=оо). Приводятся примеры расчета поля, индуктивностей и электромагнитных сил в электромагните и торцевой зоне гидрогенератора.

В четвертой главе рассматривается синтез конформных отображений двусвязных областей на До-кольцо при условии, что одна из границ Ог-области допускает ее преобразование в прямую или окружность с помощью выражения в аналитической форме, тогда как другая граница области произвольна. В качестве ФО используется односвязная область. Метод иллюстрируется на примере синтеза отображения воздушного зазора между явнополюсным ротором с эксцентриситетом и гладким статором.

Глава 5 логически завершает рассматриваемую в работе методологию синтеза конформных преобразований: в ней снимаются ограничения на геометрию границ двусвязных областей. Ключевой идеей является предварительное преобразование заданной сложной области в промежуточную с круговой границей и использованием односвязной ФО. Практически искомое отображение реализуется на основе преобразования ФО, которое синтезируется на основе преобразования более простой ФОь которое в свою очередь может быть синтезировано на основе преобразования еще более простой ФО2 и т. д. Метод подробно иллюстрируется на примере синтеза отображения зазора явнополюсной машины. Приводится также пример синтеза отображения зубчатого воздушного зазора турбогенератора ТВВ-320 с расчетом коэффициента Картера.

В шестой главе значительное внимание уделено рассмотрению особенностей анализа магнитных полей в двусвязных областях в связи с применением аппарата специальных тета-функций [14]. Приведена справочная таблица формул для расчета полей и электромагнитных сил в концентрическом До-кольце, необходимая для проведения электромагнитных расчетов в сложных двусвязных областях. Достоверность формул подтверждена на модельных задачах, решенных также с использованием формул Б. Хега [84].

Достоверность и точность разработанных методов синтеза конформных отображений и их применений для анализа полей гарантируется корректным использованием аппарата конформных преобразований и высокой адекватностью результатов численных экспериментов на модельных задачах с результатами аналитических решений этих задач и данными, опубликованными в литературе. Используется также прием проверки алгоритма решением одной и той же сложной задачи различными путями его применения, исключающими повторение ошибок.

Практическая ценность работы заключается.

— в устранении препятствий на пути применения метода функций комплексного переменного для расчета электромагнитных полей в одно-связных и двусвязных областях сложной конфигурации;

— в наглядности и физичности схемной интерпретации основных всех процедур синтеза конформных отображений односвязных и двусвязных областей;

— в эффективности применения синтезируемых отображений для ускоренного многовариантного анализа электромагнитных полей, сил и моментов электротехнических устройств;

— в создании базы модельных задач и контрольных примеров, которые могут быть использованы при практической реализации разработанной в работе методологии расчета электромагнитных полей.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы обсуждались:

— на НУт конференции студентов СПбГТУ 1994 г.;

— на IV Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки». СПбГТУ, 1997;

— на Н/т конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах», 16−17.06.97. СПбГТУ, 1997;

— на Н/т конференции в рамках двадцать шестой недели науки СПбГТУ, 24−29.11.97. СПбГТУ, 1997;

— на V Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки» 30−31.01.98. СПбГТУ, 1998;

— на Н/т конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах» 25−26.06.98. СПбГТУ, 1998.

— на 52 н/т конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУТ (25 января 1999 г.).

Публикации по теме диссертации представлены 11-ю работами, из которых 3 статьи, остальные — тезисы к докладам на конференциях.

Ниже приводится список основных обозначений, принятых в работе. А. Математические символы г = х +)у.

— мнимая единица;

— комплексное число или точка плоскости комплексных чисел 1)2 с координатами.

Х’Л о = Е, + /п — комплексное число или точка плоскости комплексных чисел До с координатами.

— аргумент комплексного числа г;

— абсолютная величина (модуль) гр-г9;

— действительная и мнимая части /(г);

— величины комплексно-сопряженные г, /(г) или только г в /(г) соответственно;

8п (мД), сп (и, к), <�Хп{и, к) — три эллиптические функции Якоби с аргументом и и модулем к;

— дополнительный модуль;

— эллиптический интеграл 1-го рода в нормальной форме Лежандра;

2 —2.

Р ч.

Ке/(г), 1ш/(г) к' = л1-к2.

Р (<�р, к) = ].

К = К (к) = Р.

71 полный эллиптический интеграл 1-го рода;

К'= К (к') = д3(у, т), а4(у, т).

— четыре тета-функции Якоби с аргументом у и модулем хсвязь между % и ксвязь между аргументами тета- (V) и эллиптических (и) функций при модуле к или тэллиптический параметр (ном) Якоби;

Б. Физические символы.

7,/ - механическая сила, [Н];

М — механический момент, [Н м];

А — векторный магнитный потенциал магнитного поля, [Вб/м]- В — индукция магнитного поля, [Тл];

Н — напряженность магнитного поля, [А/м];

Нх, Ну, Щ, Нц — компоненты вектора Н в направлении возрастания соответствующих координат, например X, у, 11, [А/м]- Ф — магнитный поток, [Вб]- у — удельная электрическая проводимость.

См/м];

8 — диэлектрическая проницаемость [Ф/м]- ц — магнитная проницаемость (для свободного пространства: р. = = 4я-1(Г7=12.566. -Ю-7 [Гн/м]) — /,./,/ -ток [А];

II, и — напряжение [В];

2 = К+]Х — комплексное сопротивление, [Ом];

Я, 0=ИК — электрическое сопротивление, [Ом] и электрическая проводимость, [См]- Ь — индуктивность, [Гн];

Ж = V + ]И — комплексный потенциал поля, [В];

У (х, у) — функция потока, [В]- Ч.

К и.

1К д./ЯТ.

II (х, у) — функция потенциала, [В];

У, А — связь функции потока с векторным потенй0 циалом поля;

— время, [с];

1,Н — линейные размеры (длина и высота), [м];

В. Символы, относящиеся к электрическим машинам т к{: 4 е Р.

8, Ътах къ У К т, а = —.

Аь А1.

Аг, Ь2.

Н, 12 а.

7' 2 число фаз;

— радиусы статора и ротора соответственно в Дт и До-областях, [м];

— эксцентриситет ротора относительно статора вдоль оси х, [м];

— число пар полюсов;

— воздушный зазор, [м];

— коэффициент воздушного зазора (коэффициент Картера);

— число пазов статора;

— число пазов, пазовых делений и их отношения для неявнополюсного ротора;

— ширина полюсного наконечника явнопо-люсного ротора, [м];

— полюсное деление, [м];

— коэффициент полюсной дуги явнополюс-ного ротора;

— высота и ширина паза статора, [м];

— высота и ширина паза неявнополюсного ротора, [м];

— зубцовое деление статора и неявнополюсного ротора, [м].

— число параллельных ветвей обмотки статораЯ.

Lf.

La-, Lfo Lc.

Mab = Mba, Mac=Mca, Mbc = Mcb.

— число пазов на полюс и фазу;

— собственная индуктивность обмотки ротора синхронной машины, [Гн];

— собственные индуктивности статорной обмотки (без учета взаимной индукции от других фаз) синхронной машины, [Гн];

— взаимные индуктивности фаз статорной обмотки синхронной машины, [Гн];

Г. Символы, относящиеся к синтезу приближенного конформного отображения.

— отображение Дгобласти на Д0-область;

— отображение ?)ш-области на Дгобласть;

— вспомогательное отображение .^-области на^г полуплоскость;

— относится к искусственному полю;

— относится к фундаментальной области;

— дискретизация контура;

— ширина участка дискретизации, [м];

— комплексный потенциал искусственного поля, [В];

— комплексный потенциал искусственного поля в ФО, [В]- со (z) или a>(z):Dz-*Da z (со) или z ((u):D (,^Dz t (z) или i (z):Dz->Dt индекс S индекс F п а.

W8 WF.

Д. Сокращения ФО.

ЭМГЭ.

— фундаментальная область (ФО и £>/-область — синонимы).

— эквивалентный многомерный генератор Э.Д.С.

6.7. Выводы.

1. Расчет магнитного поля в двусвязных областях методом конформных преобразований связан с применением специальных функций.

2. Подтверждена достоверность как процедур синтеза конформных отображений, так и полученных формул для расчета магнитного поля, электромагнитных усилий, моментов и индуктивностей.

3. Материал главы отражает завершенность тематики диссертации, поскольку в ней представлен весь необходимый справочный материал по применению синтезированных отображений двусвязных областей для расчета магнитных полей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Представлено системное рассмотрение трех важнейших аспектов проблемы применения функций комплексного переменного для многовариантного анализа электрических и магнитных полей:

— синтез приближенных конформных преобразований односвязных и двусвязных областей в канонические области;

— расчет полей и электромагнитных сил в канонических областях;

— трансформирование результатов расчета полей и сил из канонических в заданные области.

2. По каждому из трех аспектов представлены теоретические обоснования, физические или схемные интерпретации, а также алгоритмы их реализации с большим числом примеров и анализом их решений, подтверждающими достоверность всех шагов предложенной методологии.

3. Отличительной особенностью предлагаемого метода приближенного синтеза преобразования со (У) является использование вспомогательного отображения более простой {фундаментальной) области (ФО). Принципиально важно, чтобы конформное преобразование ФО было известно. Выбор ФО решается компромиссом между простотой ее преобразования и степенью совпадения границ ФО и заданной области. Чем выше степень совпадения, тем меньше порядок линейной системы и и ^ /" уравнении, используемом для восстановления границы заданной области внутри ФО, и тем выше точность синтеза.

4. Синтез отображений двусвязных областей реализован на базе односвяз-ной ФО.

5. Эффективность и гибкость метода построения Д—"Д, на основе принципа ФО проявляется:

— в возможности использования одной и той же ФО для синтеза конформных отображений областей с существенно различающейся геометриейграницы областей могут включать как прямолинейные, так и криволинейные участки;

— в простоте адаптации при вариации границы анализируемой области;

— в модульной структуре алгоритма, позволяющего весьма просто перестраивать программу на различные ФО, более удобные для соответствующего класса задачстандартные ФО могут быть заложены в библиотеку программы, которая также может дополняться новыми ФО.

6. Любая область, для которой синтезировано конформное отображение, может рассматриваться как новая ФО, на базе которой можно построить конформное преобразование еще более сложной области. Последняя в свою очередь также может рассматриваться как ФО и вновь использоваться для синтеза сверхсложной области и т. д. Многокаскадный синтез конформных отображений играет важную роль в тех случаях, когда од-нокаскадный синтез требует решения системы уравнений весьма высокого порядка, недоступного для используемой ЭВМ, а также для повышения точности синтеза отображения.

7. Многокаскадный синтез имеет особое значение для двусвязных областей, позволяя вначале преобразовать в окружность внешнюю границу, а потом внутреннюю (или наоборот).

8. Высокая точность расчета полей, индуктивностей, электромагнитных сил и моментов с помощью синтезированных отображений обеспечивается корректным вычислением первых и вторых производных отображений по формулам, полученных непосредственным дифференцированием синтезированных преобразований.

9. Синтез отображений реализуется в явной форме ©-(г). Вместе с тем для односвязных областей с прямолинейными границами получена и неявная форма г (ш) в результате определения констант, входящих в интеграл Кристоффеля-Шварца, с помощью синтезированного отображения.

Ю.Метод анализа полей с помощью синтеза конформных отображений относится к группе интегральных методов и потому потенциально точнее по сравнению с дифференциальными методами (конечных элементов и сеток). Преимущества по сравнению с традиционными интегральными методами заключаются в разделении одноразовой процедуры синтеза отображения области и многовариантным анализом поля в области (при изменении токов, положения обмотки, числа витков и т. д.). 11. Эффективность изложенной методики расчета полей и ее доступность для восприятия с помощью простейших схемных моделей позволяет рекомендовать разработанный метод синтеза конформных отображений для внедрения в специальные курсы теории электромагнитных полей и тоэ.