Разработка алгоритмов и программ проектирования частотно-избирательных цепей с переключаемыми конденсаторами

ных понятий для схем с переклкяаемыми конденсаторамиисследование принципов работы и основных особенностей ЦПК.

1. Соцротивяение ключей в разомкнутом (замкнутом) состоянии бесконечно большое (равно нулю). Такое допущение приводит к крайне незначительным погрешностям расчетов, поскольку на практике ключи реализуются 1ОД[-транзисторами. Ток утечки таких ключей от истока и стока на подложку составляет примерно 10″ -'^ '^ А /34/ при общем потребляемом схемой токе порядка единиц мА. Сопротивление ключей (/?к} во включенном состоянии — единицы кОмемкость коммутируемых конденсаторов — 0,5 •* 1,5 пФ. Нетрудно подсчитать, что постоянные времени переходных процессов переразрядки конденсаторов Т^ /7 составляют единицы наносекунд, мезду тем ключи замыкаются и размыкаются на интервалы времени Г = 2 + 2 0 мкс.3. Паразитные емкости ключей затвор-сток, затвор-исток равны нулю. Из данного допущения следует, что при расчетах ИЦОК не учитываются источники управляющих ключами импульсов. Такая идеализация существенно упрощает расчеты, однако в раде случаев учет влияния указанных паразитных параметров на характеристики Щ К может оказаться необходимым /9/.4. Идеализируя активные элементы Щ Ж, будем считать, что их модели характеризуются частотно-независимыми безразмерными коэффициентами и не содержат резисторы. Такое допущение позволяет разрабатывать эффективные методы анализа и синтеза 1ЩК, однако, при расчетах ЦПК с высокой точностью учет паразитных параметров активных элементов необходим.1.2, Моделирование элементов RLC и lRCцепей Рассмотрим основные принципы работы ЦПК на примерах моделирования элементов аналоговых цепей соответствующими схемами с Ж .1.2,6 изображена ветвь схемы, в которой аналоговые элементы заменены дискретными моделями. Заряд (7, через такие модели переносится дискретно, например, в моменты времени i^riT (n=0,i, Zy.)* Поэтому для схемы с дискретными моделями вместо равенства (1.2) следует использовать разностные уравнения, соответствующие различным методам численного интегрирования. Переход от дифференциальных уравнений к разностным можно отобразить в частотной обла^ сти преобразованием комплексной переменной P = rvi?^S. .^^ (1.4) где ё>2. «функция комплексной переменной Х = б /37/.Отметим, что в общем случае э.д.с. источников ,^ и е^ (рис. 1.3,а-в) могут изменяться непрерывно, например, по гармоническому закону с частотой f. Тогда соотношения (I.I2)-(I.20) справедливы, если f ^ „f /3/.Целесообразность замены резисторов переключаемыми конденсаторами (ПК-резисторам!^ обусловлена следующим. Во-первых, для изготовления ПК-резисторов по МДП-технологии требуются очень малые площади кристаллов. Например, сопротивление 10 МОм можно получить путем коммутации конденсатора емкостью I пФ с частотой 100 кГц. Такая модель резистора займет на кристалле площадь около 0,01 мм*^. При изготовлении резистора 10 МОм методом диффузии потребовалась бы площадь порядка I шг /3/.На рис. 1.5 изображен интегратор с передаточной функцией где CJ^ = i/RC — ЦСр), ^г^Р) „изображения по Лапласу входного и выходного напряжений соответственно. Запишем выражения для амплитудно-частотной и фазочастотяой характеристик (АЧХ и ФЧХ) интегратора IH, c (jOJ)l-^^ (1.23) he—J- (1.24) Схема простейшего Ж-интегратора представлена на рис. 1.6 /96/.Используя я:-преобразование, получаем где Уд^(^) и Ц (Х) — -Х-преобразования последовательностей выборок выходного и входного напряжений, разделенных во времени половиной периода коммутации Т .На рис. 1.7 изображено каскадное соединение Ж-интеграторов.Коммутация ключей этих интеграторов осуществляется так, что выходное напряжение одного интегратора совпадает с входным напряжением другого интегратора при t=nT-h T/Z, поэтому передаточная функция первого интегратора определяется выражением (1.29) без множителя в“ ^^, а ФЧХ этого интегратора совпадает с ФЧХ идеального А/?С-интегратора (1.24).Сравним выражения (1.28), (1.27) с равенством (1.22). Функция (1.28) соответствует преобразованию комплексной частоты (I.I4), а функция (1.27) — преобразованию />-4- ^ ' (1.32) Таким образом, схема Ж-интегратора, изображенная на рис. Описанный способ компенсации дополнительного фазового сдвига можно использовать при четном числе интеграторов. В работе /70/ в схему интегратора предлагается ввести еще два конденсатора (рис. 1.8). Полученная схема соответствует передаточной функции дискретного интегратора без потерь (1.27) независимо от того, в четные или нечетные моменты отсчета фиксируется выходное напряжение. В общем случае характеристики 1ЩК чувствительны к паразитным емкостям между обкладками конденсаторов и землей (подложкой микросхемы). Влияние паразитных емкостей иллюстрирует рис. 1.9. Паразитные емкости С&bdquo-^ и Спг яе влияют на работу интегратора: емкость Сщ заряжается от напряжения на инвертирующем входе ОУ, которое близко к нулюемкость Cm заряжается от выходного напряжения ОУ. Паразитная емкость Ср подключена параллельно конденсатору Су при любом положении ключей, поэтому при расчете схем вместо емкости С^ необходимо учитывать емкость С^+С“ • В связи с этим при заданной точности отношения емкостей С*^/^/ появляется ограничение на допустимое наименьшее значение емкости С/ (при Ci — 0,5 -i- 2,5 пФ емкость С&bdquo- „0,02 Ш) /124/.Представленные схемы интеграторов различаются не только чувствительностью характеристик к паразитным емкостям. Важная особенность интегратора о заземленной емкостью (рис. 1.6) в том, что выходное напряжение этого интегратора имеет вид кусочно-постоянной функции даже при непрерывно изменяющемся входном сигнале, (т.е. схема обладает свойством выборки и задержки сигнала).Отметим, что схема на рис. 1.10,6 не обладает отмеченным выше свойством, поскольку при замкнутых ключах Kj между входными и выходными зажимами цепи существует непосредственная связь через конденсаторы С/ и ^^ .На рис.I.II, а представлена схема другого инвертирующего интегратора (ключи Kj и К2 коммутируются так'^же, как в схемах, описанных выше) /83,112/. Эта схема обладает свойством выборки и задержки сигнала и, кроме того, при определенных условиях она не хуже схем на рис. 1.10 по чувствительности к паразитным емкостям. Запишем для этой схемы уравнения непрерывности заряда C^Us, cnT^T) = C^u^(nT* T/Z).Частные схемы интеграторов и интеграторов-сумматоров получаем, выбирая в обобщенной схеме соответствующий входной зажим. Преимущество данной схемы заключается в том, что увеличение отношения емкостей С /С можно достигать без увеличения суммарной емкости интегратора. Выше рассматривались схемы интеграторов, ключи которых управляются по простому закону. На рис. 1.15,а представлена схема ПКинтегратора /61/, в которой для снижения чувствительности к паразитным емкостям ключи управляются в соответствии с временной диаграммой, изображенной на рис. 1.15,6. Ключ К/ замкнут, если напряжение U-i на диаграмме не равно нулю. Особенность схемы состоит в том, что при замыкании ключа К2 емкость С&bdquo-^ закорачивается и поэтому не влияет на работу интегратора. Разностное уравнение для этой схемы имеет вид Cs, Us,(nT) :=Cs, U2^(nT-Т/З) = С^^и^СпТ-Т) -С, и,(пТ'Т).Далее, с помощью >t-преобразования получаем функцию Н (Х), совпадающую с выражением (1.28).Для реализации дискретного интегратора без потерь управлять ключами следует согласно диаграмме, изображенной на рис. 1.15,в.Один из возможных методов реализации фуякщш F (%) иллюстрирует рис. 1.16 /146/. Способ коммутации ключей схемы и четырехпоп и (X) ЪХ'+ Xъ. ^ % и,(пТ} :Ъ. С rj: U. CnTj Ъ Тг Рис. I. I6 люсники Tj и Т2 выбирают так, чтобы выполнялось соотношение ^^C^Hi iX.) -F (X) -jjj^ > (1.48) где Нс (^) -y'i (Z)/l/(X).Две схемы, реализующие соотношение (1.48), представлены на рис. 1.17,а, б. Коммутация ключей схемы осуществляется согласно временной диаграмме, изображенной на рис. 1.17,в, Для реализации индуктивности L с помощью представленных схем требуется, как правило, слишком малая емкость {C⁰, 0/55T/L /132/). Кроме того, размах напряжения на выходе ОУ может значительно превышать входное напряжение схемы. Указанные недостатки в значительной степени устранены в схемах ПК-идцуктивностей, предложенных в работах /131,132/ (рис. 1.18,а, б).Определим для примера соотношение между напряжениями l/(nTj и и'(пТ) на входе схемы, изображенной на рис. 1.18,а.Окончательно с помощью %-преобразования получаем f (%) = V’mlVcx) ^-(3 х“ ^ x'^)/(i — r» 0, что совпадает с (1.47).Схемы на рис. 1.17 моделируют незаземленную индуктивность. Модель заземленной индуктивности можно получить, если часть ключей схем закоротить, как показано пунктиром на рис. 1.18,а, б. fiJ^^ К, 3 / .Другой способ моделирования индуктивности основан на применении преобразователей сопротивления /4,33/.На рис. 1.22,б представлена модификация последней схемы для реализации отрицательной индуктивности, а рис. 1.22,в иллюстрирует возможность замены ОУ в схеме на рис. 1.21,а повторителем напряжения. В работах /100,101,103/ для моделирования индуктивности предлагается использовать преобразователи активного сопротивления с m (ПСЖ).Из сравнения равенств (1.64) и (1.7) следует, что ПСЖ моделирует индуктивность Рис. 1.26 иллюстрирует, как с помощью ПСПК можно реализовать индуктивный многополюсник. В этом случае вместо (1.64) получаем матричное уравнение где Q (X) и l/cx,) — векторы —:-преобразований зарядов 0.^(nTj и напряжений Ы^СпТ) многополюсника (рис. 1.26) — [С^], [С^.], [Cg] - диагональные матрицы соответственно с элементами C^i, Поступая аналогичным образом, но используя билинейные ПКинтеграторы, можно получить модели индуктивности, соответствующие билинейному %-преобразованию частоты /100,103/.Комплексное сопротивление конденсатора 7-Q= i/ Р^С моделируется при F (-^)= 7i'. Перечисленные функции F (X) и соответствующие им резистивные, индуктивные и емкостные элементы легко реализуются схемами, представленными в таблице I.I. Однако при замене элементов RLCцепей моделями из табл.1.1 необходимо обеспечить выполнение законов Кирхгофа для введенных эквивалентных значений тока и напряжения 1д (Z), If^ (СС).Первый закон Кирхгофа удовлетворяется в любом случае, поскольку для произвольного узла схемы с Ж согласно равенству (1.66) и закону непрерывности заряда имеем Таблица I. I Элементы Схемы для моделей с КИН Fa) R w из о кII /^ -/ L .1. IfZ -/ Ely спТ) = ^ ZAC^J (пТ) = О, где IgjCfiT) и AChjCriT) «эквивалентный ток и приращение заряда через J*-po ветвь.1.27,е показано условное обозначение КИН. Пусть ключи Kj на рис. Методика проектирования сложных Ц Ж с КИН изложена в работе /14/. В данном разделе отметим лишь, что в схемах с КИН используются, как правило, сравнительно сложные законы управления ключами и большое число конденсаторов и ключей, однако при этом требуется меньше активных элементов, чем при моделировании лестничных /? А С-схем методом переменных состояния с помощью Ж-интеграторов.Во-вторых, на практике нередко возникает необходимость рассматривать работу Ц Ж, совмещенных с традиционными аналоговыми элементами. Например, такая ситуация может возникнуть, если в качестве входной цепи или нагрузки для Ц Ж используется аналоговый прибор (фильтр). Кроме того, при учете паразитных свойств элементов Щ Ж (резистивности ключей, конечности полосы пропускания ОУ и т. п.) в состав схем с Ж могут входить многополюсники с известными схемными функциями переменной р, В таких случаях возникает проблема моделирования аналоговых многополюсников для расчета электронных схем с Ж на Ц Ш. Для решения указанной проблемы предлагается следующая методика.1. Аналоговый многополюсник описываем системой дифференциальных уравнений. Такую систему уравнений можно сформировать, например, по известной матрице схемных функций многополюсника Т (р) /17/.2. Полученную систему уравнений с помощью методов неявного интегрирования сводим к системе разностных уравнений, координатный базис которой совпадает с коо1щинатным базисом уравнений Щ Ж. (при этом шаг интегрирования п может не совпадать с периодом коммутации Т).3. Полученные разностные уравнения решаем совместно с уравнениями 1 Щ. Отметитм, что в простейших случаях, напршлер, при описании отдельных элементов аналоговых подсхем, разностные уравнения целесообразно использовать для построения дискретных моделей, подобных дискретным моделям индуктивности и емкости, которые применяются при анализе аналоговых схем во временной области /56/. Изложенная методика расчета схем используется в третьей главе при исследовании Щ Ж с паразитными параметрами. I•4» Основные особенности и свойства ИЦПК Выше были рассмотрены способы моделирования различных элементов аналоговых цепей с помощью ЦИК, при этом для ряда схем с ПК получены передаточные функции комплексной переменной «Х,, Приведенные примеры убедительно иллюстрируют трудоемкость процесса формирования уравнений даже для простейших идеализированных схем с Ж, Очевидно, что характеристики сложных ЦПК можно рассчитывать только с помощью ЦВМ, Отметим основные особенности и свойства ИЦПК, которые необходимо учитывать при разработке эффективных методов и алгоритмов расчета фильтров с переключаемыми конденсаторами. Использование понятий дискретных импульсных характеристик и соответствующих им схемных функций комплекедой переменной ОС корректно для И1ЩК, в которых входные и выходные сигналы — кусочно-постоянные функции времени. На практике ГЩК слрсат для обработки непрерывных сигналов. При наличии непосредственной связи выходных зажимов цепи о входными (например, как в схеме на рис. 1.10,6 при замкнутых ключах Kj) непрерывно изменяющаяся составляющая содержится и в выходном сигнале. Последнее обстоятельство необходимо учитывать цри расчете ИЦШС во временной и частотной областях. Другая важная схемотехническая особенность ИЦПК заключается в том, что^ э они содержат только емкостные контуры и контуры, включающие конденсаторы и источники напряжения и заряда. Данная особенность является определяющей при выборе координатного базиса для уравнений, характеризующих состояние схем. Поскольку при расчете схем с емкостными контурами используют условие сохранения (непрерывности) заряда /46/, в качестве координатного базиса для уравнений ИЦПК целесообразно выбрать напряжение и заряды (либо приращение зарядов). Использование такого коорцинатного базиса продемонстрировано в разделе 1.2.1.5. Выводы 1. С обоснованием принятых допущений сформулировано определение идеализированных цепей с переключаемыми конденсаторами. Показана целесообразность разработки алгоритмов и программ для расчета таких цепей.2. Моделирование аналоговых многополюсников и их элементов при синтезе И П Щ можно осуществлять по разностным уравнениям, полученным из дифференциальных уравнений аналоговых схем с помощью методов численного интегрирования. Различные методы численного интегрирования приводят к .ИЦПК, соответствующим различным X, преобразованиям комплексной частоты. Кроме того, синтез ИЦПК можно проводить в области комплексной переменной X. В частности, предложена обобщенная схема ПК-интегратора для моделирования аналоговых интеграторов указанным способом при различных «К. преобразованиях комплексной частоты р .3. Переход от дифференциальных уравнений и схемных функций переменной р к разностным уравнениям и функциям комплексной переменной % может служить основой алгоритмов анализа ЦПК, содержащих компоненты аналоговых схем.4, Основные схемотехнические особенности ИЦПК исследованы с помощью аналитического обзора способов моделирования схемами с ПК резисторов, интеграторов, индуктивностей и преобразователей сопротивления. ИЦПК классифицированы как дисретно-аналоговые кусочно-стационарные цепи, ивариантные к сдвигу на период коммутации Т, Во временной области и в области комплексной переменной X. Ш Д Ж характеризуются соответственно импульсными характеристиками п спТ) и схемными функциями А/ '(%), где, А и /< номера фаз входа и выхода. Свойство неинвариаятности ЦПК к сдвигу на to ФпТ обеспечивает дополнительную свободу выбора при синтезе фильтров с Ж, 5. Из схемотехнических особенностей ЦПК следует, что в качестве координатного базиса уравнений, характеризующих состояние схем с ПК, целесообразно выбрать напряжение и заряды (или приращения зарядов).2. АНАЛИЗ ВДЕАЖЗЙРОВАННЫХ ЦЕПЕЙ С ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫМИ КОБДЕНСАТОРАМИ Целью настоящей главы является разработка аеторитмов расчета временных и частотных характеристик ИЦПК. В наиболее распространенных методах анализа электронных схем используют узловые уравнения, расширенные узловые и гибридные уравнения, уравнения с переменными состояния /30,33,40,56/. Расчет схем, как правило, можно разделить на два этапа: формирование уравнений в заданном координатном базисе и решение этих уравнений. Перечислим особенности этапа формирования уравнений схем с ПК, обусловленные схемотехническими особенностями этих схем.1. Координатным базисом систем уравнений ИЦДК могут служить напряжения ветвей, потенциалы узлов, заряды, переносимые через ветви схемы или приращения этих зарядов.2. Уравнения во временной области должны учитывать периодические изменения топологии схемы, вызванные работой ключей.3. Уравнения в частотной области и в области комплексной переменной %. должны соответствовать множеству схемных функций ЦПК для всех возможных комбинаций номеров фаз входа и выхода (раздел 1.4), При разработке методов формирования уравнений в области переменной X используется -^ -преобразование разностных уравнений ЦПК. Кроме того, частотный анализ схем с Ж, инвариантных к сдвигу на период коммутации Т, можно проводить по результатам временного анализа. В связи с этим разработку алгоритмов анализа ИЦПК целесообразно начать с развития методов формирования уравнений схем во временной области.2.1, Уравнения ИЦПК во временной области Одной из первых работ, посвященных формированию уравнений ИЦПК во временной области, является работа /109/, Авторы указанной статьи для анализа пассивных ИЦПК предложили использовать узловые уравнения, в которых вместо проводимостеи ветвей и токов учитываются соответственно емкости ветвей и приращения зарядов через эти ветви. Однако, предложенный способ формирования таких уравнений для каждой фазы ЦПК путем разбиения схемы на подсхемы ключей и подсхемы конденсаторов не пригоден для разработки эффективных алгоритмов машинного анализа схем с ПК. В работе /150/ для учета состояния ключей схемы предложено использовать последовательность так называемых «матриц переключений», Применение таких матриц позволило автору указанной статьи получить расширенные узловые уравнения активной ИЦПК в общем виде. Эффективный алгоритм машинного формирования таких уравнений предложен в работах /73,152/.Анализу ЦПК методом переменных состояния посвящены работы /77,123,143/. В работах /123,143/ в качестве переменных состояния используют напряжения на конденсаторах, а в работе /77/ уравнения состояния формируются для зарядов, переносимых через ключи схемы. При формировании уравнений ИЦПК авторы упомянутых выше работ широко используют специальные матрицы, учитывающие особенности схем с Ж. Ниже дальнейшая разработка методов и алгоритмов формирования уравнений ИЦПК проводится с помощью обычных топологических матриц электрических цепей.2.I.I. Компонентные и топологаческие уравнения.

4.5. Выводы.

1. Исследование основных путей построения фильтров с ПК показало, что при изготовлении ЦПК по интегральной полупроводниковой технологии целесообразно применять универсальные базовые кристаллы, пригодные для реализации различных по функциональным возможностям и способам построения типов фильтров. Для проектирования таких базовых кристаллов предложено использовать обобщенные схемы звеньев с ПК.

2. Синтез ЦПК путем моделирования узловых уравнений лестничных ЬСсхем с резистивными нагрузками можно осуществлять по новой методике с использованием звеньев только с конечной доброт-, ностью полюсов передаточных функций.

3. Разработана методика проектирования звеньев с ПК, пригодных для реализации каскадных ФПК и для моделирования уравнений низкочувствительных лестничных, А Ссхем. Алгоритмы расчета звеньев реализованы в программе параметрического синтеза ЦИК «БИКВАД 4. При проектировании цепей с ПК учет паразитных параметров реальных элементов можно осуществлять путем предыскажения частотных характеристик фильтров. С этой целью разработана методика параметрического синтеза ЦПК с применением уравнений, полученных для неидеальных ОУ в области комплексной переменной? .