Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена изучению качественных свойств решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка.

Исследуются следующие дифференциальные уравнения: уМ (х) =р {х, у (х), у'{х),. ., у (п-хх)) у (х)к^у{х), (2).

П— 1.

1).

У{п) = Роу{х)к~1у{х).

3) у^+р (х) ук~1у = О,.

4) М* = 0, (5) к = О (6) и неравенства: х) Тх (—Тх{Г1{х)1Ых)у))—-) ы к.

7).

71−1 уЫ+ V® > Р*ук 1 (8).

7=0.

71—1 71−1.

У{п)+ >(Ю).

7=0 п-1.

3=о.

Уравнения (1) — (6) являются обобщениями хорошо известного уравнения Эмдена — Фаулера у" + х" Ы^у = 0, (12) которое впервые появилось в работе Р. Эмдена [78] в начале XX века в связи с изучением политропной (степенной) модели газа, которая, в частности, описывает равновесные конфигурации звезд, подчиняющиеся политропному уравнению состояния [9]. При этом уравнение (12) получалось заменой переменных из уравнения в котором переменная? обозначает величину, пропорциональную расстоянию от центра звезды, а функция (9(£))к — величину, пропорциональную плотности звезды.

Подобные уравнения встречаются также в теории физики плазмы, газовой динамике и при описании поперечников Колмогорова (см., например, [5]).

Асимптотические свойства решений уравнения (12) при различных значениях, а и к подробно изучены в монографиях Р. Беллмана.

2], Дж. Сансоне [53] и Ф. Хартмана [54]. В эти монографиях описываются также асимптотические свойства решений уравнения (4) при п = 2.

Для уравнений более общего вида (4) при п > 2 и (2) вопросы продолжаемости и непродолжаемости решений, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколеблемостью, оценки продолжаемых и непродолжаемых решений изучались в работах И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [33], В. А. Кондратьева [43], Н. А. Изобова [10], В. А. Рабцевича [11], В. А. Козлова [90], А. А. Конькова [44], [45],.

A. Д. Мышкиса [50] и др. Результаты, полученные до 1990 года, и подробная библиография содержатся в монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [16]. В этой работе описано также асимптотическое поведение всех возможных решений этого уравнения при п = 2. В частности, И. Т. Кигурадзе доказано, что для уравнения (2) существует решение с любой наперед заданной вертикальной асимптотой, а при п = 2 доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику. В той же работе была выдвинута гипотеза (задача 16.4): доказать, что при п > 2 все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику.

Полная асимптотическая классификация решений уравнения (4) при п — 2 и р (х) < 0 была получена В. А. Кондратьевым и.

B. А. Никишкиным [42].

Следует отметить также монографию А. Д. Брюно [3], в которой разработаны алгоритмы локального и асимптотического анализа решений дифференциальных уравнений.

В качественной теории дифференциальных уравнений наряду с задачами об описании асимптотического поведения решений данного уравнения, представляют интерес задачи об оценках решений. Так, в работе В. А. Кондратьева [41] получены интегральные оценки решений полулинейных эллиптических уравнений. В [15] приводятся оценки решений уравнения (4), обладающих некоторыми общими свойствами, например, решений, имеющих вертикальную асимптоту.

Получение оценок решений с общей областью определения интересно не только с точки зрения получения качественных характеристик решения, но и в связи с тем, что они дают возможность доказать отсутствие глобально определенных нетривиальных решений. В монографии Э. Митидиери, С. И. Похожаева [49] получены, в частности, условия отсутствия глобальных решений дифференциального неравенства у^ ^ Яоук, к > 1, qo = const.

В [55] аналогичный результат доказан для неравенства у^ ^.

Qi (t)ykl +q2{t)yk2 Н———Qm{t)yктВ [44] получены априорные оценки уравнения (4) с нелинейностью более общего вида.

Проблема существования неколеблющихся решений и колеблемости всех решений дифференциального уравнения — одна из важных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Она была подробно изучена для уравнения (1) в случае qj (x) = О, j = 0,., п — 1. Для п — 2 F. Atkinson [70] доказал следующий критерий колеблемости всех решений.

Теорема (F. Atkinson).Пусть f (x) непрерывная и положительная при х ^ 0 функция. Пусть к целое число, большее 1. Тогда все решения уравнения y" + f (x)y2k~l=0 являются колеблющимися тогда и только тогда, когда оо.

J х f (x) dx = оо. о.

Заметим, что в линейном случае последнее условие является необходимым, но не достаточным. Свойства колеблемости решений линейных уравнений исследовались в работах Т. А. Чантурия [60, 65, 67], В. А. Кондратьева [38, 39], D. L. Lovelady [93, 94], и.

И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [33] (глава I), где содержится подробная библиография вопроса.

Для нелинейных уравнений второго порядка более общего вида.

У" +рШ (у) = 0 и у" + д (х, у) = О, теоремы, подобные теореме F. Atkinson, были получены в работах S. A. Belohorec [71], И. Т. Кигурадзе [18], J. W. Masci and J. S. W. Wong [96], [101], [103, 104].

Для нелинейных уравнений 3-го и 4-го порядка вопросы колеблемости исследовали И. В. Асташова [110, 122], В. А. Кондратьев и В. С. Самовол [43], Т. Kusano и М. Naito [91], D. L. Lovelady [95], V. R. Taylor, Jr. [99], P. Waltman [102].

Результат F. Atkinson был обобщен на уравнения высокого порядка.

У{п) +p{x)y (x)ksgny = О.

И. Т. Кигурадзе [21], см. также [33] (глава IV).

Уравнения вида (1) с некоторыми из коэффициентов qj{x) ^ О были изучены в [81, 29, 91, 93, 95, 99, 102], при этом некоторые из приведенных работ содержали нелинейности более общего вида.

Основной целью данной работы является.

• для уравнений (1), (5) и (6) получение равномерных оценок положительных решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов уравнения и не зависящих от самих коэффициентов;

• получение критерия колеблемости всех решений уравнений (1) и (5);

• для квазилинейных неравенств (8)—(11) получение равномерных оценок модулей решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов неравенств и не зависящих от самих коэффициентов;

• для уравнения (2) произвольного порядка доказательство существования решения с вертикальной асимптотой, имеющего степенную асимптотику, а для уравнений четного порядка — кнезеровских решений, имеющих степенную асимптотикудля уравнений третьего и четвертого порядков доказательство того, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику (гипотеза И. Т. Кигурадзе), а для уравнений четвертого порядка — что все кнезеровские решения имеют степенную асимптотику;

• для уравнения (4) третьего и уравнения (3) третьего и четвертого порядков получение асимптотической классификации всех решений в случаях регулярных и сингулярных нелинейностей;

• исследование асимптотического поведения решений и получение равномерных оценок модуля и аргумента решений нелинейного одномерного уравнения Шредингера.

В работе используются следующие методы получения результатов. Для получения равномерных оценок решений уравнения (1) в главе 1, неравенства (8) в главе 2 и доказательства критерия колеблемости всех решений уравнения (1) в главе 3 используется представление оператора в виде оператора квазипроизводной.

В работах G. Polya [97], Ch. I. de la Vallee-Poussin [100], A. Левина [48] приводятся некоторые достаточные условия такого представления линейных дифференциальных операторов, но для получения результатов данной работы требуется, чтобы данное представление имело коэффициенты, обладающие специальными свойствами. В главе 2 данной работы потребовалось доказать существование такого оператора квазипроизводной, коэффициенты которого на отрезке имеют соответствующие оценки. В главе 3 данной работы коэффициенты квазилинейного оператора строятся таким образом, что их пределы при х —> +оо равны 1, что используется в доказательстве теоремы 3. (см. также [124]). Для доказательства основных результатов глав 4−7 в работе применяется замена переменных, позволяющая свести исходное уравнение гг-го порядка к динамической системе на (п — 1)-мерной компактной сфере. Изучение асимптотического поведения траекторий полученной системы на сфере дает возможность исследовать асимптотическое поведение всех решений исходного уравнения.

Обозначения.

В работе используются следующие обозначения. Верхний индекс в квадратных скобках Ц] обозначает оператор квазипроизводной: где г^х) — достаточно гладкие положительные функции. Таким образом,.

УЩ{х) = г0(х)у (х), а при j > 0 имеем уЩх) = ф) (у[1~1])'(х) .

В выражениях, содержащих оценки коэффициентов rj (x), используются обозначения з т{ =: х Е [а, 6]|,.

1=1 з.

М = Цвир |гч (я): х в М].

1=1.

Таким образом,.

О < mj ^ М/, pi ^ 1.

Для заданного на отрезке [а, 6] линейного дифференциального оператора.

3=о положим.

Г fb-adegL~j.

Ql = sup < | qj (x)| • (——) '¦ x € la> 0 ^ j < degL.

Будем также использовать обозначения, а = ^ (15) и.

Ynk — 2 (16).

Основные результаты Главы 1.

В главе 1 рассматривается дифференциальное уравнение (1): п-1 г=0 где п ^ 1, к > 1, а р (х) и — непрерывные функции, причем р{х) ^ р* > 0, а также его частные случаи (соответственно, (5) и (6)) у[п] + vtly = О, уН yk-ly = О, где верхний индекс в квадратных скобках [7] обозначает оператор 7-й квазипроизводной: с достаточно гладкими положительными функциями г^(х).

Получены равномерные оценки положительных решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов уравнения и не зависящие от самих коэффициентов. Доказаны следующие теоремы.

Теорема (1.1). Пусть у (х) — заданное на отрезке [а, Ь] положительное решение уравнения (5) или (б). Тогда для всех х? (а, Ъ) справедлива оценка у{х) ^ С • 61 п к-1 где.

1 I ¦ Ф+^+тг^) г=О.

Л • / ь Ъ’а.

01 = тш < х — а, о — х, 3.

Следствие (1.1.1). Пусть функции г^(х), ] = 0,., п, определены на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам.

О < 772* < Г^(х), у = 0,., 71 — 1,.

Гу (х) < М* < +оо, у = 0,., п.

Тогда не существует заданных на всей прямой отличных от нуля знакопостоянных решений уравнений (5) и (6).

Теорема (1.2). Для любого заданного на отрезке [а, 5] положительного решения у (х) уравнения (5) справедлива оценка п у (х) ^ С2 • (х — а) хе (а, 6],.

Сг = (3- v: k MS)*I (0 • E V*г=0 г=0.

Следствие (1.2.1). Для любого заданного на, отрезке [а, Ь положительного решения у (х) уравнения (б) с нечетным п справедлива оценка п у (х) х Е [а, 6), где константа С2 та же, что и в теореме 1.2.

Следствие (1.2.2). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у (х) уравнения (5) с четным п справедлива оценка п п у{х) < 2 • С2 • [Ь — о) для всех х Е [а, 6], где константа Ci та же, что и в теореме 1.2.

Пример. Заметим, что при нечетных п равномерная оценка общей константой для положительных решений уравнения (5), вообще говоря, невозможна. Пусть е > 0. Тогда заданные на [0,1] функции п у?(х) = (х + е) являются при нечетном п положительными решениями уравнения nG' + jfcTi)" 1 • + Ы^у = 0.

При ЭТОМ у£(0) —iу +00 при? —> 0.

Следствие (1.2.3). Пусть функции гj (x), j = 0,., п, определены на неограниченном слева интервале и удовлетворяют на нем неравенствам из следствия 1.1.1. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5).

Пример. Заметим, что условие г3(х) < М* < +ос является существенным. Уравнение.

I I & I ^г" | 1 I к н!-+ = п которое является частным случаем уравнения (5), не удовлетворяющим этому условию, допускает определенное на неограниченном слева интервале (—сю, —1) положительное решение у (х) = 1 + 1/ж.

Следствие (1.2.4). Пусть функции у — 0,., п, удовлетворяют неравенствам из следствия 1.1.1 на неограниченном справа интервале. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5) с четным п и уравнения (6) с нечетным п.

Пример. Заметим, что вместе с тем на неограниченном справа интервале могут существовать отличные от нуля знакопостоянные решения уравнения (5) с нечетным и уравнения (6) с четным п. Так, уравнение.

П-1 / ч -1.

Пи + ггт) ¦ *(п) + (-1Г1 • = имеет положительное решение у (х) = определенное на неограниченном справа интервале (0, оо).

Приведем результаты об оценках решений уравнения (1).

Теорема (1.4). Пусть у (х) — заданное на отрезке [а, 6] положительное решение уравнения (1), в котором р (х)>р* И j = 0,., п — 1, при некоторых р* > 0 и $ > 0.

Тогда для всех х? (а, Ь) справедлива оценка у{х) < Съ • 53 к-1 -Е2 [ 7 Ь — а 2~п2-п+1 дз = тш < ж-а, Ь-х, —-, ———.

Теорема (1.5). Пусть у (х) — заданное на отрезке [а, Ь] положительное решение уравнения (1), в котором при некоторых р* > 0 и > 0.

Тогда для всех х Е (а, Ь] справедлива оценка у (х) ^ С4 • где.

С4 = 16 А. ^ 2 г (Н1+й), g Р* / Л • л х ' г=0 г=0.

4 = тт < х — а,.

2-п2-гг+1 Я.

Следствие (1.5.1). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у (х) уравнения (1) с нечетным п при р (х) < —р* < 0 и справедлива оценка п у{х) ^ С±-8Ъ к~ хе [а, Ь)} где.

Ь-х, —а константа С та же, что и в теореме 1.5.

Следствие (1.5.2). Для любого заданного на отрезке [а:Ь] положительного решения у (х) уравнения (1) с четным п при р (х) ^ р* > 0 и, а константа С та же, что и в теореме 1.5.

Пример. Так как оценки в теоремах 1.4 и 1.5 используют ограниченные сверху и ?>4, получить для уравнения (1) следствия, аналогичные следствиям 1.1.1, 1.2.3 и 1.2.4 для уравнений (5) и (6), нельзя. Наоборот, можно привести примеры уравнений типа (1) произвольного порядка со сколь угодно малыми qj (x), имеющих положительные решения с неограниченной областью определения. Так, уравнения у^ — е2у + уъ = 0 и у^ + е2у — у3 = 0 имеют определенное на всей числовой прямой положительное решение у{х) = е.

Основные результаты Главы 2.

В главе 2 рассматривается дифференциальное неравенство (8):

Эя-'} = 0,., п — 1, справедлива оценка где п-1 к где а^х) — непрерывные функции, а также его частный случай (7): гп[х)тх {¦¦¦?{п{х)?(го{х) у))¦•¦) Ы к где все Vj (x) — достаточно гладкие положительные функции. Получены равномерные оценки модулей решений, имеющих общую область определения.

Теорема (2.1). Для любого заданного на отрезке [a, b] решения у (х) неравенства (7) справедлива оценка у (х) ^ Ci • min{:ra, bx}~n/{-k~l x G (a, b), где.

Ci — Ci (n, k, inf гДж), sup гДж)), причем inf Vj (x) берется по всем x G [a, 6] и j = 0,., п — 1, а sup rj (x) — по всем x G [a, 6] я j = 0,., п.

Следствие (2.1.1). Пусть функции Tj (x), j = 0,. заданы на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам О < m* < rj (x) < M* < +00. Тогда не существует заданных на всей прямой нетривиальных решений неравенства (7).

Теорема (2.2). Для любых k > 1, р* > О, Q > 0, n ^ 1 существуют такие O > 0 и С2 > 0, что для любых непрерывных функций ciq (x), ., ani (x), заданных на произвольном отрезке [a, Ь] и удовлетворяющих условию sup{ |а,(:r)|1/(n~j) :а:&euro- [0,6], j = 0,., n — 1 } ^ Q, и любого заданного на [а, Ь] решения неравенства (8) справедлива оценка у (х) ^ Ci min {(5, x — g, b — x J-™/^-1) 5 x G (a, 6).

Так как любое решение неравенства (9) — это взятое с обратным знаком некоторое решение неравенства (8) и наоборот, имеет место аналогичное утверждение и для неравенства (9) (следствие 2.2.1).

Замечание 1. Отметим, что для теоремы 2.2 не существует следствия, аналогичного следствию 2.1.1. В качестве контрпримера приведем неравенство у^ +еу ^ ук, которое имеет определенное на всей прямой решение у (х) =.

Замечание 2. Для неравенств (10) и (11): п-1.

V{i) ^ Р* lfl*> 0 п-1 у*" '+ ?>(*) y{i)>-p, ук i=0 при тех же условиях на а^ж), п и Ане существует оценок, аналогичных оценкам, приведенным для неравенств (8) и (9).

Основные результаты Главы 3.

В главе 3 исследуется уравнение (1), коэффициенты qj (x) которого таковы, что сходятся интегралы оо.

J хп^-гф) dx, j = 0,., п — 1. х.

В этом случае для функции р (х) получены достаточные условия, при которых уравнение (1) имеет неколеблющееся решение с ненулевым пределом при х —> +оо. При р (х) > 0 доказано, что эти условия являются необходимыми. Для четных п этот результат имеет следствие, являющееся обобщением критерия F. Atkinson колеблемости всех решений уравнения (1).

Теорема (3.1). Пусть в уравнении (1) функции р (х) и qj (x), j=0,l,., n — 1, удовлетворяют условиям оо оо, (17) оо хп~:>-1д0(х)(1х < оо. (18).

Тогда для любого к ^ О уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у (х), которое при х —> оо стремится к к, а его производные удовлетворяют условиям оо.

3−1 X у^х) ¿-х < оо, 7 = 1 ,., 71. (19) ж.

Теорема (3.3). Пусть в уравнении (1) функция р (х) положительна, а функции ([¡-(х), ] = 0,. — 1, удовлетворяют условиям (18).

Тогда следующие условия равносильны: ([) функция р (х) удовлетворяет неравенству (17), (И) уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у (х), которое при х —> оо не стремится к нулю.

Следствие (Критерий колеблемости). Пусть в уравнении (1) четного порядка п функцияр (х) положительна, а функции ^-(сс), 3 = 0,., 71 — 1, удовлетворяют условиям (18). Тогда следующие условия равносильны:

0) оо оо, X и) все решения уравнения (1), определенные в окрестности +оо, являются колеблющимися.

Основные результаты Главы 4.

В главе 4 исследуются асимптотические свойства знакопостоянных решений уравнения (2). Для произвольного п ^ 2 и к > 1 доказывается существование решений уравнения с вертикальной асимптотой, имеющих степенную асимптотику. При 2 ^ п ^ 13 доказывается существование (п — 1)-параметрического семейства таких решений. В случае четного п доказывается существование однопараметрического семейства кнезеровских решений, стремящихся к нулю на бесконечности, имеющих степенную асимптотику. При п = 3,4и/с>1 доказывается, что все решения, имеющие вертикальную асимптоту, имеют степенную асимптотику, а при п = 4 — что степенную асимптотику имеют и все кнезеровские решения.

Рассматривается уравнение (2), в котором к > 0, а непрерывная положительная функция 2/о, 2/1, • • • >2/71−1) удовлетворяет условию Липшица по 2/о, 2/1 > • • •> Уп-ь.

В этом разделе предполагается, что непрерывная положительная функция р (х, ¦ • •, Уп-1) в уравнении (2) имеет предел ро > 0 при х —" х* — 0, уо —" оо, ., Уп-1 оо, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение.

РО, 2/о, • • -, 2/71−1) -ро = 0 п—1 V.

7=0.

— т.

20).

Кроме того, в окрестности точки х* для достаточно больших Уо, • • •- Уп-1-, -^о, ¦ • •>^п-1 предполагается выполненным соотношение р (х, 2/о,, Уп-1) — рО, 20, • • •, 2п1) К шах з.

1"Г" для некоторых > 0 и ¡-л > 0.

В случае, когда р = = const > 0, то есть когда уравнение (2) принимает вид (3), непосредственными вычислениями проверяется, что функция у (х) = С (х* — х)" а, х < х*, является его решением при п «. /а (ck + 1). (а + п — 1) ^ 1 а С к — Г ро.

Доказывается, что уравнение (2) имеет решение вида у (х) = С (х* - (1 + о (1)), х -> ж* - О,.

22).

23) где константы, а и С задаются формулами (22).

Доказыватся также, что при 3 ^ п ^ 13 существует (п —^{-параметрическое} семейство решений уравнения (2) с такой асимптотикой.

Далее рассматривается уравнение (2) при четных значениях п. Предполагается, что функция р (х, ?/о, • • •, уп-1) непрерывна и стремится к пределу ро = const > 0 при х —> оо, у q —> О,., уп- —> 0, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение р{х, 2/0, • • •, 2/n-i) = О п-1 Ж.

— 7 V.

3=0 7.

24).

Кроме того, при ж —> оо, j/o —> 0, ., уп-1 —> 0,^о —> 0,. —> 0 предполагается выполненным соотношение р (х, 2/0) • • ¦, Уп-i) — z0, ., ^n-l) max j для некоторых К2 > 0 и? i > 0.

Уравнение (3) при четных значениях п имеет решение у (х) = С{х — х*)~а, х > х*, (26) где константы, а и С определяются формулами (22). Это решение определено на интервале (ж*, сю) и стремится к нулю вместе со всеми своими производными при х —> сю.

Доказывается, что существует однопарараметрическое семейство решений уравнения (2) с асимптотикой у (х) = СаГа (1 + о (1)), х-^оо, (27) где константы, а и С определяются формулами (22).

Теорема (4.1). Пусть в уравнении (2) непрерывная положительная функция р (х, уо, ¦ • •, уп-1) имеет при х —> х* — О, Уо —> оо, ., уп-1 —"¦ сю предел ро = const > 0, причем выполняются условия (20), (21). Тогда для такого х* существует решение уравнения (2) с асимптотикой (23)-(22).

Теорема (4.2). Пусть 3 ^ п ^ 13, а непрерывная функция р (х, Уо, ., Уп-1) при X х* - 0, Уо оо, ., Уп-1 оо имеет предел ро > 0, удовлетворяющий условиям (20), (21). Тогда существует (п — 1)-параметрическое семейство решений уравнения (2), имеющих асимптотику (23)-(22).

Ненулевое решение у (х) уравнения (2), определенное на интервале [яд, оо) будем называть кнезеровским, если оно удовлетворяет условиям.

— 1) У0(ж) > 0, г = 0,., п — 1.

Теорема (4.3). Если при х —> оо, г/о —> 0, ., уп-1 —"¦ 0 непрерывная положительная функция р (х, уо,., yn-i) стремится к пределу pq > 0, причем выполняются условия (24) и (25), то уравнение (2) при четном п имеет кнезеровское решение с асимптотикой (27), где константы, а и С определяются формулами (22).

Для п = 3 и п = 4 при некоторых предположениях на функцию р (х, уо,., уп-) доказывается, что описанное выше асимптотическое поведение кнезеровских решений и решений с вертикальной асимптотой является для них единственно возможным.

Теорема (4.5). Пусть в уравнении (2) п = 3 или п = 4, а положительная непрерывная функция р (х, ., уп-) удовлетворяет условию Липшица по уо,., уп~ и имеет предел ро > 0 при х —> х* — 0, уо —> оо, ., уп-1 —> оо. Тогда любое положительное решение уравнения (2) с вертикальной асимптотой х = х* имеет асимптотику (23) с константами, а и С, заданными формулами (22).

Описаны все возможные случаи поведения знакопостоянных решений уравнения (2) при выполнении условия о < Ршт < р (х, 2/0, — - -, Уп~) ^ Ртах < +00. (28).

Теорема (4.6). Все решения уравнения (2), знакопостоянные, начиная с некоторого момента, имеют вертикальную асимптоту, либо стремятся к нулю вместе со всеми своими производными до порядка п. Второй случай может иметь место только для четныхп, при этом функции у^х), 3 = 1,., п — 1 на всей области определения имеют тот же знак, что и у (х), если j четно, и противоположный, если з нечетно.

Теорема (4.7). Пусть в уравнении (3) п = 4. Тогда все кнезеровские решения уравнения (3) имеют вид у (х) = С (х — х*)~а, х>х*, где С и, а определяются формулами (22), а х* — произвольная константа (играющая роль параметра в однопараметри-ческом семействе кнезеровских решений).

Теорема (4.8). Пусть в уравнении (2) п = 4, а положительная непрерывная функцияр (х, уо, 2/1, г/25 Уз) удовлетворяет по 2/0″ 2/1? 2/2,2/3 условию Липшица. Тогда существует кнезеров-ское решение уравнения (2).

Теорема (4.9). Пусть п = 4, а функция -?>(?, 2/о> Уъ 2/2, Уз) удовлетворяет условиям теоремы 4−8 и условию (28). Кроме того, пусть при х —>• +ооуо —> 0- • • •- Уз —* 0 существует предел функции р (х, уо?2/1? 2/2,Уз)> равный ро > 0. Тогда любое кнезеровское решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой у{х) = Сх~а (1 + о (1)), х —> -f-oo, где С и, а определяются формулами (22).

Далее рассматривается поведение решений уравнения (2) при убывании аргумента х.

При четных п замена независимой переменной х' — — х переводит уравнение (2) в уравнение того же типа, поэтому справедливы результаты, которые были получены выше для поведения решений при возрастании х.

Теорема (4.10). При п = 4 в предположении, что непрерывная положительная функция р (х, уо, Уъ • • • > Уп-i) имеет положительный предел р$ > 0 при х х* + 0, (—1)гу^ —" +оо, г' = 0,1,., п — I, и удовлетворяет условию Липшица по г/о, 2/ъ 2/2- 2/3- любое положительное решение уравнения (2), заданное на интервале и имеющее вертикальную асимптоту.

00 ОС *, удовлетворяет соотношению у{х) = С (х — гс*)-а (1 + о (1)), х х* + 0, где С и, а определены в (22).

Заметим, что при нечетных п у уравнения (2) с непрерывной положительной функцией р (.г, уо, ., уп-г) нет решений, имеющих вертикальную асимптоту и определенных справа от нее.

Перейдем к кнезеровским решениям уравнения (2). Среди решений, определенных на интервале (—оо, жо], кнезеровскими естественно назвать положительные решения, все производные которых до порядка п включительно также положительны.

Теорема (4.11). При п = 3 или п = 4 все кнезеровские (при убывании аргумента) решения уравнения (3) имеют вид у (х) = С (х* — х < где С и, а определяются формулами (22).

Теорема (4.12). Пусть п = 3 или п = 4, а р (х, уо,., уп-) — непрерывная положительная функция, удовлетворяющая условию Липшица по уо, уп-. Тогда существует кнезе-ровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2).

Теорема (4.13). Пусть п — 3 или п = 4. Кроме того, пусть функция р (х, у о,., уп-1) удовлетворяет условиям теоремы выполняется условие (28) и существует предел функции р{х, у0,. ., уп-) при хоо, уо -> 0, .уп 1 О, равный ро > 0. Тогда любое кнезеровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой у (х) = С х~а, х —> —оо, где константы С и, а определены в (22).

Основные результаты Главы 5.

В этой главе доказано существование колеблющихся решений для любого п > 2 и исследуется асимптотическое поведение колеблющихся решений уравнения (2) при п — 3,4. Решение будем называть колеблющимся если оно имеет бесконечную последовательность нулей (ограниченную или неограниченную).

Теорема (5.1). При п > 2 уравнение (2), в котором непрерывная функция р (х, уд> • • • > Уп-) удовлетворяет условию (28) и условию Липшица по .уп 1} имеет знакопеременные решения.

Для случая п = 3, для уравнения (3) имеют место следующие резльтаты.

Пусть х < Х2 < ••• < XI <. — такая последовательность точек, что у (хг) = 0, г = 1, 2,., и у (х) ф 0 при х Е (х^, х^+х), а х^ < х'2 < • • • < х- <. — такая последовательность, что у'(х[) = 0, а на интервалах (х^, х^+1), г = 1,2,., функция у (х) монотонна.

Теорема (5.2). Лр-гг п — 3 существует такая константа В Е (0, 1), зависящая только отр$ и к, что любое знакопеременное решение у (х) уравнения (3) удовлетворяет условиям:

1) ^ ^ = В~ г = 2, 3,., (29).

2) =? = 1,2, 3,., (30) г/№).

4) |у (^)| = М (®—х.)" а.? = 1.2, з,. (32) длянекоторых М > 0 и х*- причем константа М зависит только от ро и то.

Теорема (5.3). Пусть функция р (х, уо, у1, у2) > 0 является непрерывной, удовлетворяет условию Липшица по У0, У, У2 и равномерно по уо, У, У2 стремится кро > 0 при х —" оо. Пусть кроме того у (х) — колеблющееся решение уравнения (2), а х < Х2 <. и х[ < х'2 <. — введенные выше последовательности точек обращения в нуль решения и точек локального экстремума решения. Пусть В Е (0,1) — константа, существование которой утверждается в теореме 5.2. Тогда при г —> оо справедливы соотношения:

1) > В, 2) хг+2 ~ хг+1 Ухг) з) — -Ва+ 4) У (ХГ) = (^Г+°(1).

У Vхi).

Под знакопеременными решениями уравнения (2) при убывании аргумента будем понимать решения этого уравнения, определенные на интервале (ж*, жо), гДе ^ х* <^о ^ и не являющиеся знакопостоянными ни на каком интервале вида (ее*, xi), где ж* < CCi < Жо.

Теорема (5.4). Пусть непрерывная функция р (х, уо, г/i, ?/г) удовлетворяет условию Липшица по переменным уо, у, у2-Кроме того, пусть р{х, уо, у, у2) —> Ро > 0 пРи х х* + О равномерно по уо, у, У2.

Тогда для п = 3 существует такая постоянная В Е (0,1), что любое знакопеременное решение уравнения (2), определенное на интервале (x*, xq), —оо ^ х* < xq < оо, удовлетворяет условиям.

—> г -" оо,.

З^г хг+1 v Щ-г~ва+Х>

4) у{х'г) = х, — х['а+^ i-oo, где х > Х2 >. > Х{ >. и х[ > х'2 >. > х >. — такие последовательности, что у (х{) = 0, у (х) -ф О при < х < Х{, у'(х) = О у'(х) Ф О пРи х]+1 < х < х.

Теорема (5.5). Пусть п = 4. Тогда для любого знакопеременного решения у (х) уравнения (3) найдутся такие положительные постоянные Лтщ и Атах, что расстояние между двумя соседними точками, где решение у (х) обращается в нуль, больше, чем Ат1П и меньше, чем Атах.

Теорема (5.6). Для любого Н > 0 существует периодическое решение уравнения (3) с п = 4, все локальные экстремумы которого равны по модулю к.

Заметим, что для каждого Н > 0 такое периодическое решение единственно с точностью до сдвига вдоль оси ОХ.

Теорема (5.7). Пусть у{х) — знакопеременное при возрастании аргумента, максимально продолженное вправо решение уравнения (3) при п = 4. Пусть х < х2 <. < <. — последовательность точек обращения в ноль знакопеременного решения у{х), такая что у (х{) = О, г = 1, 2,. и у (х) ф О при X? (Хг, Хг+1), I — 1, 2,.. а х[ < х'2 <. ¦. < х <. .. — ПОследовательность локальных экстремумов знакопеременного решения у (х), такая что у'(х[) = 0 и у (х) монотонна при х? (х{, Х{+), г = 1,2,.

Тогда существуют конечные, отличные от нуля пределы последовательностей (х{+1 — Х{), у (х[), у'(х^, у" {х'^ и у" '(х^, а последовательности у" (хг) и у" '(х) стремятся к нулю.

Основные результаты Главы 6.

В главе 6 приведена асимптотическая классификация решений дифференциальных уравнений (3) и (4) при п = 3,4. При этом рассматриваются как регулярные нелинейности (к > 1), так и сингулярные (0 < к < 1).

Теорема (6.1). Пусть к > 1, а р (х) — заданная на всей числовой прямой непрерывная положительная функция, имеющая положительные пределы р* и р* соответственно при х —"• —оо и х —" -Ьоо. Тогда все максимально продолженные решения уравнения у" ' + р (х) ук~1у = О в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие шесть типов (см. рис. 6.1).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение у{х) = 0.

1−2. Заданные на полупрямой (6,-Ьоо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ±): у{х) = ±Сзк{р (Ь)) (х — Ь)-*5т (1 + 0(1)), я Ь + О, у (х) = ±Сзк (р*) х~А (1 + 0(1)), ж +оо, где.

3. Заданные на полупрямой (—оо, Ь) решения, колеблющиеся вблизи обеих границ области определения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании.

Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям.

Нт у^х) = 0, Нт х—>Ь.

У{з)(х) х—>—оо, а в точках локального экстремума з оо, =0,1,2, у{х') = х-у{х') = Ь-х X х' — оо, 6 + 0.

4~5. Заданные на ограниченном интервале Ь") решения, колеблющиеся вблизи правой границы области определения и соответственно положительные или отрицательные в некоторой окрестности левой границы. При убывании аргумента они имеют степенную асимптотику (с совпадающими знаками ±): у (х) = ±Сф (Ь')) {х — (1 + о (1)), ж Ь' + О, а при возрастании — удовлетворяют соотношениям.

УЬ)(х).

Нт оо,.

7=0,1,2, причем в точках локального экстремума з у (х') = IЬ" -, X.

0.

Теорема (6.2). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения гЛ (®)+ро УТ~1У — о в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа (см. рис. 6.2).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение к-1, у (х) = 0.

1. Заданные на полупрямой (—оо, Ъ) колеблющиеся решения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании. Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям.

Нт г) = 0, х-^—оо.

Нт х-^Ь уСй (х) оо,.

3 = 0,1,2,3, а в точках локального экстремума —.

С х — ^ у (х) <:с2х.

33) с зависящими только от к и ро положительными константами С и С2.

2. Заданные на полупрямой (6, +оо) колеблющиеся решения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при возрастании аргумента и стремится к нулю при его убывании. Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям.

Нт х-^Ъ.

У (зх) оо,.

Нт уМ (х) = 0,? = 0,1,2,3, х—"+оо, а в точках локального экстремума — соотношениям (33) с зависящими только от к и ро положительными константами Сх и С2.

3. Колеблющиеся решения, заданные на ограниченном интервале (Ь', Ъ"). Для них и их производных выполняются соотношения.

Нт х^Ъ' у^х).

Нт х^Ъ" .

Уих).

3 = 0,1,2,3, а в точках локального экстремума, достаточно близких к какой-либо границе интервала — соотношения (33) соответственно с Ь — Ь' или Ь = Ь" и с зависящими только от к и ро положительными константами С и С^.

Теорема (6.3). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения ylV (x)~Po yk~ly — О в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа (см. рис. 6.3).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение у{х) = 0.

1−2. Заданные на полупрямой (6,+оо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ±): у{х) = ±CAk (p (b)) (я — Ь)~А (1 + 0(1)), я — Ъ + О, у (х) = ±-Сф*) х~А (1 + о (1)), я -> +00, где.

4(fc + 3)(2fc + 2)(3fc + 1) ^.

P (k~ I)4 J '.

3−1 Заданные на полупрямой (—оо, Ь) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ±): у (х) = ±САк{р*) (1 + о (1)), х -> -оо, у (х) = ±Сф{Ь)) (Ъ — (1 + о (1))? ж — Ъ — 0.

5. Заданные на всей числовой прямой периодические колеблющиеся решения. Все они могут быть получены из одного, скажем, z (x), с помощью соотношения у (х) = 4z (Xk~1x + х0) caiap) с произвольными, А > 0 и xq. Следовательно, существуют такие решения с произвольным максимумом h > О и с произвольным периодом Т > О, но не с произвольной парой (/i, Т).

6−9. Заданные на ограниченном интервале (&', Ъ") решения со степенной асимптотикой вблизи каждой границы области определения (с независимыми знаками ±): у (х) = ±Cik (p (b')) (Я — &-'ГА (1 + 1)), + О, у (х) = ±Cik (p (b")) (Ь" - (1 + о (1)), я — Ь" - 0.

10−11. Заданные на полупрямой (—оо, Ь) решения, колеблющиеся при х —> —оо и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи правой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику: у (х) = ±-СиШ) (ь — х)-А (1 + о (1)), х^Ь-О.

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —" —оо.

12−13. Заданные на полупрямой (ft, +оо) решения, колеблющиеся при х —" +оо и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи левой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику: у{х) = ±C4k (p{b)) {х — (1 + о (1)), + 0.

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —" +оо.

Для уравнения yl" + p (x, y, y', y") ук~1у = 0, (34) где к > 1, а функция р: R х Е3 —> Е непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по последним трем аргументам и.

О < т ^ р (х, у0, yh у2) < М < оо, (35) доказывается непрерывная зависимость положения асимптот от начальных условий решения, а также существование максимально продолженных решений с любой областью определения.

Будем говорить, что функция у (х) имеет резонансную асимптоту х — ж*, если lim у (х) — +оо, lim у (х) = —оо.

Теорема (6.4). Пусть к > 1, функция р (х, г/о, у, г/2) не~ прерывна, удовлетворяет неравенствам.

О < т ^ р (х, г/о, 2/1, 2/2) ^ М < оо и условию Липшица по последним трем аргументам. Пусть у (х) — решение уравнения у" ' + р (х, у, у', у") ук1у = 0, (36) имеющее резонансную асимптоту х = х*. Тогда положение асимптоты х = х* непрерывно зависит от данных Коши решения в любой точке его области определения.

Теорема (6.6). При выполнении условий теоремы 6.4 для любых конечных или бесконечных значений х* < х* существует максимально продолженное решение уравнения (36), определенное на интервале (хх*).

Аналогичные результаты об асимптотическом поведении решений уравнения (36) получены в случае 0 < k < 1.

Основные результаты Главы 7.

В главе 7 рассматривается дифференциальное уравнение у" (х)=р (х)у (х)Гу (х), (37) где т > 0, х Е Ж, а р (х) — непрерывная комплекснозначная функция.

Получены асимптотические формулы для модуля и аргумента решений и равномерные оценки решений.

При р (х) = ро = const? С R существует решение Y{x)) определенное на (0, +оо), которое имеет вид.

Y{x) = arg У{х) = С2пх с постоянными.

1+4/га c2 = -q.

Impo.

— Rep0 + W (Repo)2 + ^^.^(Impo)2.

Q =—-• 2 Теорема (7.1). Пусть m > 0 и p (x) = po = const eCR. Тогда все нетривиальные решения уравнения (37) исчерпывающе описываются следующим образом:

1. Все непродолжаемые решения, определенные на полуоси (—оо, xq) или (жо, +оо), которые имеют точный вид: у (х)I = I Y (x ~ жо|) |, wgy (x) — arg У (|ж — х0) + с произвольными вещественными xq и.

2. Для любого непродолжаемого решения, определенного на ограниченном интервале (х, Х2), справедливо представление у (х) = У (ха*|)|(1 + 0(1)), argу (х) = argy (|x — xk) (1 + о (1)) где х —> Xk, k = 1, 2.

Теорема (7.2). Пусть р (х) —непрерывная комплекснознач-ная функция, m > 0 и р (х0) — ро Е С М. Пусть у (х) — не-продолжаемое решение уравнения (37), определенное на (xi, xq) или (х0, Х2) при —оо < х < xq < Х2 ^ +оо. Тогда у (х) = №-^о|)| (1 + 0(1)), argу (х) = aigY (x — ж0|) (1 + о (1)), при X —> Xq.

Теорема (7.3). Пусть р (х) —непрерывная комплекснознач-ная функция, е = ±1, m > 0, р (х) —" Е С Ж при х —> еоо. Пусть у (х) — решение уравнения (37), определенное в окрестности еоо. Тогда y (x) = Y (x)(l + o (l)): argу (х) — arg Y (|:r|) (1 + о (1)), при X —> ?00.

Теорема (7.4). Пусть Rep (x) > р* > 0. Тогда для любого решения у (х) уравнения (37), определенного на (xq — е, xQ + с) и такого, что у (хо) 0, справедлива оценка г2 < -ЬЫГт.

Р* с постоянной С > 0, зависящей только от т.

Следствие (7.4.1). Пусть для функции р (х) выполняются условия теоремы 7.4. Тогда для любого решения у (х) уравнения (37), определенного на [a, b], выполнено для всех х Е [а + е, 6 — е].

Следствие (7.4.2). Пусть для функции р (х) выполняются условия теоремы 7.4. Тогда для любого решения у (х) уравнения (37), определенного на (—оо, Хо) или (хо, +оо), на всей области определения выполняется неравенство у (х) <х — fcjp~f.

Следствие (7.4.3). Если Кер (х) > д*х~г, д* > 0, г > О, то для любого решения у{х) уравнения (37), определенного на (О, +оо), для всех х > 0 выполнено.

Во всех случаях С зависит только от т и совпадает с соответствующей постоянной из теоремы 7.4.

Следствие (7.4.4). Если функция р (х) удовлетворяет условиям теоремы 7.4, то единственным решением уравнения (37), определенным на (—оо,+оо), является тривиальное решение у (х) ЕЕ 0.

1. Беклемишева J1. А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. — Матем. сб., 1962, т. 56, № 2, с. 207−236.

2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Иностранная литература. 1954.

3. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгбраических и дифференциальных уравнениях. — М.: Наука. Физматлит, 1998, 288 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. — М.: Наука, 1975.

5. Буслаев А. ПТихомиров Б. М. Спектры нелинейных дифференциальных уравнений и поперечники соболевских классов. — Матем сб., 1990, т. 181, № 12, с. 1587−1606.

6. Дж. У. Бик. Теория гомологий.

Введение

в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО. 2005.

7. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. — Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 474 476.

8. Евтухов В. М., Костин А. В. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — ДАН СССР, 1976, т. 231, № 5, с. 1059−1062.

9. Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. — Москва, МГУ, 1981.

10. Изобов Н. А. Об уравнениях Эмдена Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 189−199.

11. Изобов Я. А., Рабцевич В. А. О неулучшаемости условия И. Т. Кигурадзе Г. Г. Квиникадзе существования неограниченных правильных решений уравнения Эмдена-Фаулера. — Дифф. уравнения, 1987, т. 23, № 11, с. 1872−1881.

12. Изюмова Д. В., Кигурадзе И. Т. Некоторые замечания о решениях уравнения и" + a (t)f (u) = 0. — Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 4, с. 589−605.

13. Квиникадзе Г. Г. Некоторые замечания о решениях задачи Кнезера. — Дифф. уравнения, 1978, т. 14, № 10, с. 1775−1783.

14. Квиникадзе Г. Г. О монотонных правильных и сингулярных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф. уравнения, 1984, т. 20, № 2, с. 360−361.

15. Квиникадзе Г. Г., Кигурадзе И. Т. О быстро растущих решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 465−468.

16. И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, (1990) 432 с.

17. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1962, т. 144, № 1, с. 33−36.

18. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений уравнения и" + a (t)|ii|nsgnw = 0. — Cas. pest. mat., 87 (1962), № 4, 492−495.

19. Кигурадзе И. Т. Об асимптотических свойствах решений уравнения и" + a{t)un = 0. — Сообщ. АН ГССР, 1963, т. 30, № 2, с. 129−136.

20. Кигурадзе И. Т. О неколеблющихся решениях уравнения uff + a{t)unsgiiu = 0. — Сообщ. АН ГССР, 1964, т. 35, № 1, с. 15−22.

21. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений уравнения dmu/dtm + a{t)unsgnu = 0 — Мат. сб., 65 (1964), № 2, 172−187.

22. Кигурадзе И. Т. К вопросу о колеблемости решений нелй-нейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 8, с. 995−1006.

23. Кигурадзе И. Т. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения типа Эмде-на Фаулера. — Известия АН СССР, мат., 1965, т. 29, № 5, с. 965−986.

24. Кигурадзе И. Т. О монотонных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. — Известия АН СССР, мат., 1969, т. 33, № 6, с. 1373−1398.

25. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, № 8, с. 1387−1398 и № 9, с. 1586−1594.

26. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Тбилиси: ТГУ, 1975.

27. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — В сб.: «Современные проблемы математики. Новейшие достижения», т. 30 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/, М.: 1987, с. 3−103.

28. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. — В сб.: «Современные проблемы математики. Новейшие достижения», т. 30 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/, М.: 1987, с. 105−201.

29. Кигурадзе И. Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф.уравнения. 1992. т. 28, № 2. с. 207−219.

30. Кигурадзе И. Т. О взрывных кнезеровских решениях нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Дифф. уравнения, 2001, т. 37, № 6, с. 735−743.

31. Кигурадзе И. Т., Рахункова И. О. О разрешимости нелинейной задачи типа Кнезера. — Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 10, с. 1754−1765.

32. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Замечании об асимптотическом поведении решений уравнения и" + а (1)и = 0. — Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 6, с. 1115−1117.

33. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990, 432 с.

34. Кигурадзе И. Т., Мухигулашвили С. О нелинейных краевых задачах для двумерных дифференциальных систем. — Дифференц. уравнения, 2004, т. 40, № 6, с. 747−755.

35. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

36. Кондратьев В. А. Элементарный вывод необходимого и достаточного условия неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. — Успехи мат. наук, 1957, т. 12, вып. 3 /75/, с. 159−160.

37. Кондратьев В. А. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения у" + р (х)у = 0. — ДАН СССР, 1957, т. 113, № 4, с. 742−745.

38. Кондратьев В. А. О колеблемости решений лйнейных уравнений третьего и четвертого порядка. — Труды ММО, 1959, т. 8, с. 259−281.

39. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения уМ р (х)у — 0. — Труды ММО, 1961, т. 10, с. 419−436.

40. Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков. — ДАН СССР, 1968, т. 118, № 1, с. 22−24.

41. Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1991, т. 16, с. 186−190.

42. Кондратьев В. А., Никишкин В. А. О положительных решениях уравнения у" = р (х)ук. — В сб. «Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением», Саранск: 1980, с. 134−141.

43. Кондратьев В. А., Самовол В. С. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена Фау-лера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 4, с. 749−750.

44. Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, сер. Математика, 2001, т.65, № 2, с. 81−126.

45. Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. — Современная математика. Фундаментальные направления, т. 7 (2004), с. 3−158.

46. Костин А. В. К вопросу о существовании у системы обыкновенных дифференциальных уравнений ограниченных частных решений и частных решений, стремящихся к нулю при t —*¦ оо. — Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 5, с. 585−604.

47. Костин А. В. Об асимптотике непродолжаемых решении уравнений типа Эмдена Фаулера. — ДАН СССР, 1971, т. 200, № 1, с. 28−31.

48. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ +• • • + рп (г)х = 0. — УМН, 1969, т. 24, вып. 2 (146), с. 43−96.

49. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. — М.: Наука, 2001, Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 234, 383 с.

50. Мышкис А. Д. Пример непродолжимого на всю ось решения дифференциального уравнения второго порядка колебательного типа. — Диф. уравнения, 1969, т. 5, № 12, с. 22 672 268.

51. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.

52. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.

53. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2. — М.: Иностранная литература, 1954.

54. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.

55. Хей Дж. О необходимых условиях существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств высокого порядка. — Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, № 3, с. 362−368.

56. Чантурия Т. А. О неколеблющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. -— Со-общ. АН ГССР, 1969, т. 55, № 1, с. 17−20.

57. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. — Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 6, с. 948−961.

58. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении решений уравнения и" Лansignu^0j~Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, № 7, с. 1195−1206.

59. Чантурия Т. А. О некоторых асимптотических свойствах решений обыкновенных, дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1977, т. 235, № 5, с. 1049−1052.

60. Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 3, с. 470−482 и № 4, с. 635−644.

61. Чантурия Т. А. О колеблемости всех решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка. — Матем. заметки, 1980, т. 28, № 4, с. 565−569.

62. Чантурия Т. А. О монотонных и колеблющихся решениях обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. — Ann. Polon. Math, 1980, т. 37, № 1, с. 93−111.

63. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении колеблющихся решений уравнений типа Эмдена Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 6, с. 1035−1040.

64. Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений некоторых классов неавтономных дифференциальных уравнений. — Матем. заметки, 1982, т. 32, № 4, с. 577−588.

65. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Докл. семинара Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа Тбилис. гос. ун-та, 1982, т. 16, с. 3−72.

66. Чантурия Т. А. О неограниченных решениях линейннх обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 231−242.

67. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференцпального уравнения общего вида. — Дифференц. уравнения, 1986, т. 22, № 11, с. 1905;1915.

68. Чантурия Т. А. О существовании сингулярных и неограниченных колеблющихся решений дифференциальных уравнений типа Эмдена Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1992, т. 28, № 6, с. 1009−1022.

69. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений. — Матем. сб., 1951, т. 28, вып. 70, с. 217−240.

70. Atkinson F. V. On second order nonlinear oscillations. — Pacif. J. Math., 1955, 5, № 1, p. 643−647.

71. Belohorec S. A criterion for oscillation and nonoscillation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 20, p. 75−79.

72. Belohorec S. Two remarks on the properties of solutions of a nonlinear differential equation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 22, p. 19−26.

73. Belohorec S. Monotone and oscillatory of solutions of a class of nonlinear differential equation. — Math. Casop., 1969, 19, № 3, 169−187.

74. M. F. BidautVeron, Local and global behaviour of solutions of quasilinear elliptic equations of Emden-Fowler type. — Arch. Rat. Mech. Anal. v. 107 (1989) 293−324.

75. H. Brezis, T. Kato, Remarks on the Shrodinger operator with singular complex potential. — J. Math, pures et appl., v. 58 (1979) 137−151.

76. P. Constantin, Decay estimates of Schrodinger equations. — Commun. Math. Phys., v. 127 (1990) 101−108.

77. S. Doi, On the Cauchy problem for Schrodinger type equations and the regularity of solutions. — J. Math. Kyoto Univ., v. 34 (1994) 319−328.

78. R. Emden, Gaskugeln. — Leipzig, 1907.

79. B. Guerch, L. Veron, Local properties of stationnary solutions of some nonlinear singular Schrodinger equation. — Rev. Mat. Iberoamericana v. 7 (1991) 65−114.

80. N. Hayashi, Global existence of small solutions to quadratic nonlinear Schrodinger equations. — Comm. P. D. E., v. 18 (1993) 1109−1124.

81. Kartsatos A. G. N th order oscillations with middle terms of order N 2 — Pacific J. Math., 67 (1976), № 2, 477−488.

82. T. Kato, Shrodinger operators with singular potentials. — Israel Jl. Math., v. 13 (1972) 135−148.

83. T. Kato, On some Shrodinger operators with a singular complex potential. — Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, v. 5 (1978) 105 114.

84. I. Т. Kiguradze. On asymptotic behaviour of solutions of nonlinear non-autonomous ordinary differential equations. — Col-loq. Math. Soc. Janos Bolyai. 30. Qualitative theory of differetial equations, Szeged (Hungary), 1979, p. 507- 554.

85. I. T. Kiguradze. On Kneser solutions of the Emden-Fowler differential equation with a negative exponent. — Tr. In-ta matem-atiki NAN Belarusi 4 (2000), 69−77.

86. I. T. Kiguradze., T. A. Chanturia. Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary differential equations. — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1993.

87. I. T. Kiguradze., T. Kusano. On periodic solutions of even-order ordinary differential equations. — Ann. Mat. Рига Appl., 180 (2001), № 3, 285−301.

88. A. J. Kneser. Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser Differentialgleichungen beigrosser reden. — Wethen der Arguments, I. J. Reine und angew. Math., 1898, 116, p. 173−212.

89. V. Kondrat 'ev, M. Shubin, Discreteness of spectrum for the Schrodinger operators on manifolds of bounded geometry. — Operator Theory: Advances and Applications, v. 110, Birkhauser Verlag Basel/Switzerland (1999).

90. Kozlov V. A. On Kneser solutions of higher order nonlinear ordinary differential equations. — Ark. Mat., 1999, v. 37, № 2, p. 305−322.

91. Kusano Т., Naito M. Nonlinear oscillation of fourth-order differential equations. — Canad. J. Math., 28 (1976), № 4, 840−852.

92. Kusano Takasi, Trench William F. Global existence of nonoscillatory solutions of perturbed genral disconjugate equations. — Hiroshima Math. J., 17 (1987), 415−431.

93. Lovelady D. L. On the oscillatory behavior of bounded solutions of higher order differential equations. — J. Diff. Equations, 19, (1975), № 1, 167−175.

94. Lovelady D. L. An asymptotic analysis of an odd order linear differential equation. — Pacif. J. Math., 57 (1975), № 2, 475−480.

95. Lovelady D. L. An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlinear differential equation. — Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 58 (1975), № 4, 531 536.

96. MasciJ. W. j Wong J. S. VF. Oscillation of solutions to second-order nonlinear differential equations. — Pacif. J. Math., 24 (1968), № 1, 111−117.

97. G. Polya On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation. — Trans. Amer. Math. Soc. 24 (1924), 312−324.

98. Rozov N. Kh. Duck trajectories of three-dimensional sigularly perturbed systems. — Georgian Math. J., 14 (2007), № 2, 341 350.

99. Taylor W. E., Jr. Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations. — Internat. J. Math., 6 (1983), № 3, 551−557.

100. Ch. I. de la Vallee-Poussin Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordre n. — Journ. Math. Pur. et Appl., 1929, v. 9, № 8, p. 125−144.

101. Waltman P. Some properties of solutions of u" + a (t)f (u) = 0. — Monatsh. Math., 67 (1963), 50−54.

102. Waltman P. Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations. — Pacif. J. Math, 18 (1966), 385−389.

103. Wong J. S. W. A note on second order nonlinear oscillation. — SIAM Review, 10 (1968), 88−91.

104. Wong J. S. W. On second-order nonlinear oscillation. — Funk-cialaj Ekvacioj, 11 (1968), 207−234.Список основных работ автора по теме диссертации.

105. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — В сб. Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И. Н. Векуа, Тбилиси: ТГУ, т. 1, № 3, 1985. с. 9−11.

106. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — УМН, 1985, т. 40, вып. 5 (245), с. 197.

107. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 6152−85Деп, 16 с.

108. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений. — Диф. уравнения, 1986, т. 22, № 12, с. 2185.

109. И. В. Асташова. Асимптотическое поведение решений одного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 7284-В86, 25 с.

110. И. В. Асташова. О некоторых свойствах знакопеременных решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И. Н. Векуа, Тбилиси, ТГУ, 1990, т. 5, № 3, с. 17−20.

111. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении знакопостоянных решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — 1990, ЦНТИ «Информсвязь», Деп. ВИНИТИ № 10, 12 с.

112. И. В. Асташова. О существовании решения с заданной областью определения одного уравнения третьего порядка. — В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И. Н. Векуа, Тбилиси, ТГУ, 1992, т. 7, № 3, с. 16−19.

113. И. В. Асташова. О качественных свойствах решений уравнений типа Эмдена Фаулера. —УМН, 1996, т.51, № 5, с. 185.

114. И. В. Асташова. Об одномерном уравнении Шредингера с комплекснозначным потенциалом. — Дифференц. уравнения, 1998, т. 34, № 6, с. 847.

115. Асташова И. В., Кондратьев В. А., Муравей Я. А., Филинов ский А. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — Москва, МАТИ, 2001, 147 с. (монография).

116. I. V. Astashova, А. V. Filinovskii, V. A. Kondratiev, L. A. Muravei. Some Problems in the Qualitative Theory ofDifferential Equations. — Journal of Natural Geometry. Jnan Bhawan. London. 2003. v. 23. № 1−2. p. 1−126. (монография).

117. I. V. Astashova. Estimates of Solutions to One-dimensional Schrodinger Equation. — World Scientific: Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress. Singapore, 2003, v. II, p. 955−960.

118. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка. — Дифференц. уравнения, т. 40, № 11, 2004, с. 1570.

119. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 2005, т. 41, № 11, с. 1579−1580.

120. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Доклады РАН, 2006, т. 409, № 5, с. 586−590.

121. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений с отрицательным потенциалом. — Дифференц. уравнения, т. 42, № 6 (2006), с. 852.

122. И. В. Асташова. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных неравенств. — Дифференц. уравнения, т. 42, № 6 (2006), с. 855−856.

123. И. В. Асташова. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Фундаментальная и прикладная математика, т. 12 (2006), № 5, с. 3−9.

124. И. В. Асташова. Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2007, вып. 26, с. 29−38.

125. И. В. Асташова. О колеблемости решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, т. 43, № 6 (2007), с. 852.

126. I. V. Astashova. On Existence of Non-oscillatory Solutions to Quasi-linear Differential Equations. — Georgian Mathematical Journal, № 2, v. 14 (2007) p. 223−238.

127. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. — Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 261, 2008, с. 26−36.

128. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, т. 72, № 6, 2008, с. 103−124.