Локальные гамильтонианы для интегрируемых квантовых моделей на решетке

Интегрируемые квантовые модели занимают видное место в современной математической физике. Они. проявляют многочисленные привлекательные физические свойства, и в то же время связаны с интересными математическими структурами. Предложенный в работах [1−4](см. также обзоры [5 — 8]) квантовый метод обратной задачи является наиболее мощным средством исследования интегрируемых квантовых моделей. В его основе лежит переход от исходных операторов к зависящим от комплексного спектрального параметра матрице монодромии или данным рассеяния вспомогательной линейной задачи, в терминах которых интегрируемость модели выражается в существовании Яматрицы, задающей коммутационные соотношения матричных элементов матрицы монодромии. С помощью квантового метода обратной задачи было осуществлено динамическое вычисление спектра масс и матриц рассеяния ряда теоретико-полевых моделей. Важную роль в формулировке метода сыграли квантовое нелинейное уравнение Шредингера [I, 3], квантовая модель &1пе-бохсЬп [ 2], а также ХУ2. -модель Гейзенберга спина ½ [4] и ее более простой изотропный вариант XXXмодель [э] .

Особое место в формализме метода занимают модели на одномерной решетке. Такие модели естественно возникают при квантовании классических систем, скобки Пуассона которых связаны с компактными алгебрами Ли. С другой стороны, решеточные модели играют роль ультрафиолетовых регуляризаций непрерывных моделей. Именно с этой целью в [ю — 13] были предложены интегрируемые модели решеточный нелинейный Шредингер и решеточный синус-Гордон. Они характеризуются тем, что сохраняют классическую и квантовую йматрицы соответствующей непрерывной модели. Кроме того, в классическом случае данные рассеяния непрерывной и решеточной моделей совпадают. Поэтому такие решеточные модели являются наиболее естественной ультрафиолетовой регуляризацией интегрируемых непрерывных моделейГ14].

Однако в квантовом методе обратной задачи еще имеется ряд нерешенных технически важных вопросов. До недавнего времени к ним относилась задача о построении квантовых гамильтонианов в терминах матрицы монодромии — квантовые тождества следов. Для нелинейного уравнения Шредингера такое построение осуществляется с помощью нормального упорядочения [з, 15], однако к более сложным моделям этот способ уже не применим. В общем случае, чтобы не тлеть дело с ультрафиолетовыми расходимостями, эту задачу следует формулировать для решеточных моделей. При этом естественно возникает требование локальности — непосредственно взаимодействуют только несколько ближайших соседей.

В работах [12, 13] был предложен регулярный способ получения локальных гамильтонианов в классическом случае. Однако в квантовом случае он приводит, вообще говоря, лишь к квазилокальным гамильтонианам — непосредственно взаимодействуют все соседи с интенсивностью экспоненциально убывающей с расстоянием между ними. В некоторых случаях, используя специфику модели, этим методом «удается построить локальные гамильтонианы. Например, так обстоит дело для некоторой модификации модели решеточный нелинейный Шре-дингер, — в ней существует гамильтониан, описывающий непосредственное взаимодействие 8 ближайших соседей [12, 13] .

В этой связи в работах [16, 17] был предложен общий способ построения локальных гамильтонианов для интегрируемых квантовых моделей на решетке, который обобщал известное из литературы [8, 18, 19] построение локальных гамильтонианов в спиновых моделях с конечномерным квантовым пространством, основанное на симметрическом умноженииматриц — процедуре размножения. В случае моделей с двумерным вспомогательным пространством существует способ вычисления собственных векторов и спектра следа матрицы мо-нодромии, который получил название алгебраического анзатца Бете. В работах [16, I?] было показано, что так вычисленные собственные векторы следа матрицы монодромии являются собственными векторами построенных локальных гамильтонианов и были вычислены соответствующие собственные значения первого из них.

Большой интерес представляет также описание всех возможных матриц монодромии, поскольку это открывает путь для полной классификации интегрируемых квантовых моделей на решетке. Отметим две стороны в решении этой задачи: во-первых, построение всех возможных & -матриц, и, во-вторых, описание всех матриц монодромии для заданной £-матрицы. В настоящее время наиболее активно разрабатывается первое направление (см., например, обзор [20]). Второе направление также заслуживает внимания. Возможный подход в простейшем случае матриц монодромии с двумерным вспомогательным пространством, допускающих алгебраический анзатц Бете, был предложен в работе [21]. Этот подход развивался автором в работах [22, 23] где в том же случае матриц монодромии с двумерным вспомогательным пространством был полностью описан естественный класс неприводимых матриц монодромии конечной степени, которыми, по-видимому, исчерпываются все матрицы монодромии, допускающие алгебраический анзатц Бете.

Модели с неприводимыми матрицами монодромии конечной степени выделены и с физической точки зренияони описывают квантовые системы с конечным числом степеней свободы, которые не распадаются на невзаимодействующие части. Как было показано в работе [23 ], такие модели дают пример широкого класса моделей, к которым полностью применим предложенный в [16, 17] способ построения локальных гамильтонианов, причем можно вычислить спектр всех локальных гамильтонианов. В частности, к таким моделям относятся УXX и XX 2 -модели произвольного спина, модели решеточный нелинейный Шредингер и решеточный синус-Гордон.

Перейдем к изложению результатов диссертационной работы.

Первая глава посвящена общему способу построения локальных гамильтонианов для интегрируемых решеточных квантовых моделей. В § 1.1 приведены необходимые общие сведения из квантового метода обратной задачи. В § 1.2 излагается общая конструкция для построения локальных гамильтонианов и методом алгебраического анзат-ца Бете вычислены собственные векторы и собственные значения первых двух локальных гамильтонианов. В § 1.3 рассмотренная общая схема иллюстрируется на примере трех конкретных моделей: ХХХ~М0~ дели спина, модели решеточный нелинейный Шредингер и модели типа решеточного нелинейного Шредингера, взаимодействующей со спиновыми примесями.

Во второй главе изучаются матрицы монодромии с двумерным вспомогательным пространством, к которым применим алгебраический анзатц Бете. Как известно, такие матрицы монодромии существуют только для (^.-матриц уи КХ2 —моделей. В обоих случаях результаты весьт близкив работе подробно рассматривается случайматрицы ХХ7, -модели. В § 2.1 получен общий вид матрицы монодромии конечной степени. В § 2.2 описаны все неприводимые матрицы монсщромии конечной степени и показано, что они представляются в виде произведения неприводимых матриц монодромии степени один. Сводка результатов о матрицах монодромии в случае? -матрицы XXXмодели приведена в § 2.3. В третьей главе установлена применимость общей схемы построения локальных гамильтонианов, к моделям с неприводимыми матрицами монодромии. В § 3.1 получены теоремы существования для локальных гамильтонианов. Их спектр вычисляется в § 3.2. В § 3.3 с помощью доказанных результатов о неприводимых матрицах монодромии рассмотрена модель решеточный синус-Гордон.

Приложения 1−3 относятся к первой главе и содержат дополнительные сведения из квантового метода обратной задачи. В Приложениях 4, 5 обсуждаются некоторые дополнения к § 2.1.

В диссертации принята двойная нумерация формул, определений и утверждений, отдельная в каждой главе. При ссылках за пределы текущей главы используется тройная нумерация, причем первое число обозначает номер главы.

1. Склянин Е. К., Фаддеев Л. Д. Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля. — ДАН СССР, 1978, т.243, № 6, с.1430−1433.

2. Склянин Е. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи I. ТМФ, 1979, т.40, i& 2, с. 194−220.

3. Склянин Е. К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. В сб.: «Дифференциальная геометрия, группы Ли и мехалика Ш», Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.95, Ленинград, 1980, с.55−128.

4. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи и xyzмодель Гейзенберга. УМН, 1979, т.34, в.5,с.13−63.

5. Faddeev L.D. Quantum completely integrable models in field theory.- In: Soviet Scientific Reviews, Math. Phys.C., v. 1, Haward Academic, London, 1981, p. 107−155.

6. Фаддеев Л. Д. Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля. В сб.: «Проблемы квантовой теории поля» (Труды У Международного совещания по нелокальным теориям поля, Алушта, 1979), Дубна, 1979.

7. Изергин А. Г., Корепин В. Е. Квантовый метод обратной задачи.-Физика ЭЧАЯ, 1982, т.13, В 3, с.501−541.

8. Kulish P.P., Sklyanin Е.К. Quantum spectral transform method. Recent developments.- In: «Integrable Quantum field theories» (Proceedings, Tvarminne, Finland, 1981), Lect. Notes in Phys., v.151, 1981, p.61−119.

9. Тахтадаян Л. А., Фаддеев Л. Д. Спектр и рассеяние возбуждений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга. В сб.: «Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика 1У», Зап. научн.семин.ЛОМИ, т.109, Ленинград, 1981, с.134−179.

10. Изергин А. Г., Корепин В. Е. Решеточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шредингера. ДАН СССР, 1981, т.259, J6 I, с.76−79.

11. Izergin A.G., Korepin V.E. The lattice quantum Sine-Gordon equation.- Lett Math. Phys., 1981, v.5, n. 3, p. 199−205.

12. Изергин А. Г., Корепин В. Е. Решеточные регуляризации кванто-вополевых двумерных моделей. В сб.: «Вопросы квантовой теории поля и статистической физики 3», Зап.научн.семин. ЛОМИ, т.120, Ленинград, 1982, с.75−92.

13. Izergin A.G., Korepin V.E. Lattice versions of quantum field theory models in two dimensions.- Nucl. Phys. B, 1982, V. B 205 FS5., n. 3, p.401−413.

14. Тарасов B.O. Классический вариант решеточной модели синус-Гордон. В сб.: «Вопросы квантовой теории поля и статистической физики 3.» Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.120, Ленинград, 1982, с.173−187.

15. Изергин А. Г., Корепин В. Е., Смирнов Ф. А. Формулы следов в квантовом методе обратной задачи. ТМФ, 1981, т.48, № 3, с.319−323.

16. Тарасов В. О., Тахтадаян Л. А., Фаддеев Л. Д. Локальные гамильтонианы для интегрируемых квантовых моделей на решетке.-ТМФ, 1983, т.57, В 2, с.163−181.

17. Тарасов В. О. Локальные гамильтонианы для интегрируемых квантовых моделей на решетке П. ТМФ, 1984, т.61, № 3, с.387−392.

18. Kulish P.P., Reshetikhin N.Yu., Sklyariin E.K. Yang-Baxter equation and representation theory.- Lett. Math. Phys., 1981, v. 5, n.5, p.393−403.

19. Кулиш П. П., Склянин Е. К. 0 решениях уравнения Янга-Баксте-ра. В сб.: «Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика Ш», Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.95, Ленинград, 1980, с.129−160.

20. Корепин В. Е. Анализ билинейного соотношения шестивершинной модели. ДАН СССР, 1982, т.265,? 6, с.1361−1364.

21. Тарасов В. О. О строении квантовых L-операторов для кматрицы xxzмодели. ТМФ, 1984, т.61, № 2, с. 163−173.

22. Тарасов В. О. Неприводимые матрицы монодромии для rматрицы ххz модели и решеточные локальные квантовые гамильтонианы. — ДАН СССР, 1984, т.278, № 5, с.1102−1105.

23. Изергин А. Г., Корепин В. Е. Корреляционные функции в квантовом методе обратной задачи рассеяния. В сб.: «Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика У1.», Зап.научн.семин. ЛОМИ, т.133, Ленинград, 1984, с.92−112.

24. Luscher М. Dynamical charges in the quntized renormalizedmassive Thirring model.- Nucl.Phys., 1976, B117, p.475−492.

25. Рупасов Б. И., Юдсон В.й. К точной теории сверхизлучения Дике: Бетевские волновые функции в модели с дискретными атомами. ЖЭТФ, 1984, т.86, в. З, с.819−825.

26. Склянин Е. К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. функц. анализ, 1982, т. 16, в.4, с.27−34.

27. Holstein Т., Primakoff H. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet.- Phys. Rev., 1940, v. 58, n.12, p.1098−1113.

28. Захаров B.E., Тахтаджян Л. А. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредингера и уравнения ферромагнетика Гейзенберга. ТМФ, 1979, т.38, № I, с.26−35.

29. Изергин А. Г., Корепин В. Е. Задача об описании всех lоператоров для R-матриц моделей ххх и xxz. В сб.: «Вопросы квантовой теории поля и статистической физики 4.», Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.131, Ленинград, 1983, с.80−87.

30. Izergin A.G., Korepin V.E. The Quantum inverse scattering method approach to correlation functions.- Comm.Matt. Phys. 1984, v. 94, p.67−92.

31. Izergin A.G., Korepin V.E. The most general L-operator for the R-matrix of the XXX-model.- Lett.Math.Phys., 1984, v.8, n.4, p.259−265.

32. Боголюбов H.M., Изергин А. Г. Решеточная модель синус-Гордонс локальным гамильтонианом. ТМФ, 1984, т.61, 1 3, с.364−377.

33. Andrei N., Johannesson H. Heisenberg chain with impuritiesan integrable model).2 Phys.Lett.A, 1984, v.100A, n.2,p.108−112.