Факторпредставления типа II1 групп матриц с элементами из поля конечной характеристики

Локально полупростые алгебры.

Важным классом счетных дискретных групп являются локально-конечные группы, т. е. индуктивные пределы последовательностей конечных групп. Групповая алгебра локально-конечной группы есть предел конечномерных полупростых алгебралгебры, характеризующиеся этим свойством (точнее, их С*-оболочки), называются локально полупростыми или, сокращенно, ЛП-алгебрами. Теория ЛП-алгебр разработана в работах Браттели [23], Эллиотта [26], Эффроса и др. в 70-е-80-е гг. прошлого века. Напомним основные методы, используемые в этой теории.

Пусть, А = и^Дг — ЛП-алгебра. Структура ЛП-алгебры, А задается диаграммой Браттели — бесконечным градуированным графом, т. е. локально конечным графом без висячих вершин, в котором множество вершин разбито на конечные подмножества («этажи»), пронумерованные натуральными числами, а ребра (допустимы кратные ребра) могут быть проведены только между вершинами, лежащими на соседних этажах, причем из каждой вершины выходит хотя бы одно ребро к вершине, лежащей на предыдущем этаже. Этажи диаграммы Браттели соответствуют конечномерным алгебрам Ап. Вершины одного этажа графа нумеруются простыми идеалами алгебры Ап, а ребра, идущие с к-то этажа на (к + 1)-й, описывают вложения А^ с Аь+ъ кратность ребра, соединяющего вершины уп и уп+1, равна количеству компонент вида уп содержащихся в сужении Ап+1-модуля уп+1 на Ап.

Замкнутые двусторонние идеалы и группа Гротендика К0(А) ЛП-алгебры, А могут быть описаны комбинаторно на языке диаграмм Браттели. Например (см. [23]), существует биекция между множеством примитивных идеалов ЛП-алгебры и множеством насыщенных идеалов ее диаграммы Браттели (мы приводим необходимые определения в главе 1). Описание следов и представлений ЛП-алгебры требует изучения центральных мер на пространстве путей диаграммы Браттели. Подробности, другие результаты и точные ссылки приведены в обзоре [1].

В главе 1 мы рассматриваем счетную группу Г = РЗЬ (2,к), где к — счетное алгебраически замкнутое поле. Рассматриваемая группа относится к классу локально-конечных групп, в чем нетрудно убедиться, рассматривая реализацию поля к как индуктивного предела возрастающей последовательности конечных полей. В главе 1 настоящей диссертации мы детально описываем диаграмму Браттели групповой алгебры С (Р5Х (2, к)) и даем полное описание группы Гротендика конечно-порожденных проективных виртуальных модулей алгебры С (Р5Х (2, &)) с указанием в ней конуса истинных проективных модулей (теорема 1.2.1). Подчеркнем, что, как и для большинства локально-конечных групп (и ЛП-алгебр), описание с точностью до эквивалентности всех неприводимых унитарных представлений группы Г (или неприводимых^{-представлений} алгебры С (Г)) — задача труднообозримая. По терминологии теории представлений эта группа «дикая» — ее дуальный объект не имеет разумной параметризации. В то же время классификация проективных модулей, описание соответствующей категории и функтора К0 есть содержательная задача, ставшая традиционной в этой теории (ср. с [2]). Замечательно, что удается дать ответ в терминах, не зависящих от аппроксимации и структуры диаграммы Браттели.

Естественный шаг в описании /^о (Г) — нахождение следов. И тут проявляется несколько неожиданных эффектов.

Лемма (1.3.2). На алгебре С (Г) имеется лишь два неразложимых следа — след одномерного представления и след р, регулярного представления.

Это резко контрастирует с известными классическими примерами: симметрическая группа^оо, £/(оо) (см. [1−3]), дискретная нильпотентная группа ступени 2 (см. главы 2, 3 настоящей диссертации).

Лемма (1.4.2). Следы алгебры С (Г), как гомоморфизмы^о (Г) —> М, не разделяют проективные модули.

Иными словами, существуют Рь Р2 Е .Ко" (Г), [Р{ ^ [Рг], для которых ф (Р) = ¥->(р2) для всех следов (р. Поэтому главной частью в анализе структуры группы Гротендика /<" 0(Г) является описание ядра ¦Коо (Г) — аннулятора всех следов и последующее восстановление группы А’о (Г) по ядру и образу гомоморфизмов следов (здесь это <0> 0 1). И тут мы обнаруживаем еще один новый эффект: Ко (А) есть расширение с нетривиальным 2-коциклом. Как показывает анализ, это связано с некоторой нерегулярностью поведения кратностей в разложении представлений Гр" на неприводимые компоненты при ограничении на меньшую подгруппу (см. таблицу леммы 1.3.1).

Главный результат главы 1 — теорема 1.2.1, в которой дано описание группы Гротендика АГ0(Г) — Мы не приводим здесь формулировку теоремы, поскольку для этого требуется ввести ряд технических определений и обозначений. В целом следует сказать, что, несмотря на некоторую громоздкость, описание Ко (С (Г)) для Г = Р8Ц2, Рр) естественнее, чем для групп Р5Х (2, к) над конечными полями, хотя бы потому, что не возникает модулей, связанных с квадратичными расширениями полей.

Результаты этой главы опубликованы в работе [4].

Дискретные нильпотентные группы.

Во 2-й и 3-й главе мы рассматриваем дискретные счетные нильпотентные группы ступени 2, прежде всего, группу Гейзенберга верхнетреугольных матриц 3×3 с элементами из счетного поля Р конечной характеристики. Напомним некоторые факты о теории представлений нильпотентных групп.

В 1962 г. в известной работе А. А. Кириллова [10] была построена теория орбит для вещественных нильпотентных групп Ли. Оказалось, что все неприводимые унитарные представления вещественной нильпотентной группы Ли параметризуются орбитами ее коприсоединенного представления и ответы на все основные вопросы теории представлений для этих групп могут быть даны в терминах орбит.

Дискретные счетные нильпотентные группы относятся к классу «диких» групп, множество их неприводимых унитарных представлений не имеет разумной классификации. В то же время множество характеров этих групп, т. е. центральных положительно-определенных неразложимых функций, имеет обозримый характер. В статье С. В. Смирнова [19] приводится классификация следов на алгебраических нильпотентных группах над счетным дискретным полем характеристики 0. Избыточно множество следов группы G параметризуется парами (iV, х), где N — нормальная подгруппа в G, х — невырожденный характер центра факторгруппы G/N. В доказательствах автор использует технику положительно-определенных функций, развитую в работах Е. Thoma, в частности [34].

В статье R. Howe [28] описано пространство примитивных идеалов дискретных конечно порожденных нильпотентных групп свободных от кручения. По теореме Мальцева каждая такая группа может быть реализована как дискретная подгруппа в односвязной нильпотентной вещественной группе Ли. С помощью этого соображения автор определяет «алгебру Ли» и коприсоеди-ненное действие группы. Основной результат состоит в том, что пространство примитивных идеалов дискретной конечно порожденной нильпотентной группы гомеоморфно подходящему пространству квазиорбит коприсоединенного действия.

Наконец, в небольшой заметке А. Михайловса [32] описана теория орбит для конечных нильпотентных групп ступени 2. Для каждой дискретной нильпотентной группы ступени 2 с 2-делимым центром определено кольцо Ли, коприсоединенное представление исходной группы в группе аддитивных характеров кольца Ли, а в случае конечной группы предъявлена конструкция, позволяющая построить неприводимое представление по орбите, включая теорему полноты и формулу для характеров.

В главе 2 мы описываем конечные факторпредставления группы Гейзен-берга H и группу Гротендика К0(С (Н)). При этом мы пользуемся техникой, отличной от техники, использованной в работах [10,19,28,32,34]. А именно: благодаря тому, что поле, над которым рассматриваются матричные элементы группы, может быть реализовано как индуктивный предел возрастающей цепочки полей, всю информацию о факторпредставлениях группы Гейзенбер-га мы получаем в результате предельного перехода. Таким способом удается описать все следы группы Гейзенберга (теорема 2.3.2), дать конструкцию факторпредставлений (теорема 2.3.1) доказать формулу Планшереля (теорема 2.4.2), и описать Ко-фУнктор (теорема 2.5.1).

Замечательно, что описание i^o-функтора и в этом случае можно дать в инвариантных терминах, не зависящих от аппроксимации и структуры диаграммы Браттели.

Обозначим через Z[l/p] группу рациональных чисел со знаменателями-степенями числа р.

XS.

Теорема (2.5.1.1). Пусть F — группа аддитивных характеров поля F.

Ч ————-/ч.

Пусть H=(F {1}) U (Fx F). Назовем функцию f: Н —> Z[1 /р] бинепре-рывной, если.

XN /Ч /^ч УЧ.

1) f принимает целочисленные значения на FxF и сужение f на F xF непрерывно;

2) функция g: F —> Ъ[/р], заданная формулой /(®), xeF{ 1}, fpxj? f (y) dy, х = 1, (интегрирование по мере Хаара) непрерывна.

Тогда группа Гротендика Kq (CH) изоморфна аддитивной группе бине-прерывных функций на Н. Конус истинных модулей состоит из неотрицательных функций, а порядковая единица — это функция тождественно равная единице.

Результаты этой главы опубликованы в статьях [11] и [12].

В главе 3 мы применяем другие подходы к задаче об описании следов произвольной дискретной нильпотентной группы ступени 2, более близкие к работам [19,32]. Во-первых, мы дополняем «конечномерную теорию орбит» Михайловса утверждением о функториальности соответствия между орбитами и представлениями (теорема 3.1.1), т. е. о том, что это соответствие.

9?) хорошо согласовано с операциями ограничения представления на подгруппу и индуцирования с подгруппы. Далее, в случае счетных групп мы обобщаем классическую конструкцию представления по орбите (фактически, индуцирование) так, что в результате получается факторпредставление.

Теорема (3.2.1). Пусть G — произвольная счетная нилъпотентная группа ступени 2 с 2-делимым центром, П — орбита коприсоединенного представления группы G, х € ^ — произвольная точка орбиты, Sq — стабилизатор точки х. Тогда представление = indf% группы GxG (индуцирование в смысле определения 3.2.1) неприводимо и тем самым определяет некоторое факторпредставление группы G. Это представление — типа Iii или 1п со следом.

ТгМ = [Х{9) 9eSu>

О g? Sn.

Таким образом мы получаем соответствие между орбитами и факторпред-ставлениями (точнее, следами). Мы обобщаем также на рассматриваемый случай описание следов, сделанное С. В. Смирновым в статье [19], получая еще одно описание множества следов — в терминах положительно определенных функций.

Теорема (3.4.1). Пусть G — дискретная нилъпотентная группа ступени 2, Н — нормальный делитель GС — центр факторгруппы G/Hр — естественная проекция G на G/H. Обозначим через тг характер С, имеющий тривиальное ядро. Тогда функция, заданная формулой еслир (д)еС,.

Р{9) = < если р (д)? С, является крайней точкой множества M (G). Обратно, всякая крайняя точка M (G) может быть получена такой конструкцией.

В последней теореме условие 2-делимости центра не требуется. Далее мы показываем, каким образом можно переходить от одного описания к другому теорема 3.4.2). В заключение мы доказываем теорему о разложении фак-торпредставления при сужении его на подгруппу (теорема 3.4.3). Как предписывает философия метода орбит, представление должно раскладываться в прямой интеграл по тем орбитам, на которые распадается орбита, задающая исходное представление. Здесь однако возникает техническая подробность, состоящая в том, что орбиты счетной группы сами счетны, а разложение в прямой интеграл требует континуального множества представлений. Это сказывается и в построении соответствия между орбитами и следами: каждый след определяет целый класс орбит. Поэтому мы работаем с т. наз. квазиорбитами, фактически, проверяя, что за разложением замыкания орбиты стоит разложение соответствующего следа. Результаты этой главы опубликованы в статье [13].

Оператор Лапласа на дискретной группе Гейзенберга.

В главе 4 мы рассматриваем оператор Лапласа на группе Гейзенберга верхнетреугольных матриц 3×3 с целочисленными элементами, построенный по системе образующих.

5 = {г = (Ш) — «-(¡-¡-Юг/» 1}.

Со времен работы Кестена [31] известно, что спектр оператора Лапласа несет много информации как о самой группе, так и о паре (группасистема образующих) — свойства случайного блуждания, изопериметрические неравенства, экспандерные свойства и т. д. Для конечных групп хорошо изучены связи между вторым собственным числом оператора Лапласа и геометрическими свойствами группы.

Аналогичный оператор Лапласа для конечной группы Гейзенберга хорошо известен физикам, поскольку матрицы, задающие этот оператор в конечномерном представлении, возникают при изучении оператора Харпера и уравнения Матье (см. [21,22]). Несмотря на это, оценки на собственные числа, которые мы устанавливаем в этом случае, по-видимому, в силу специфики задачи, ранее известны не были (впрочем они совершенно прозрачны с точки зрения численного эксперимента).

Для бесконечных групп вычисление спектров конкретных операторов сделано лишь в считанных случаях. Например, в работе [22] вычисляется спектр оператора Лапласа на группе Гейзенберга, построенного по системе образующих (ал/)-1}. Мы рассматриваем задачу о вычислении асимптотики спектральной меры оператора в окрестности границы спектра, что можно рассматривать как аналог задачи о втором собственном числе. В работах А. М. Вершика и В. А. Каймановича (см. [8]) приведена оценка для спектральной меры на произвольной аменабельной группе. В конкретных примерах она может быть существенно уточнена.

В рассматриваемом случае спектр оператора, А совпадает с отрезком [—1,1] Рассмотрим семейство Ех, х? [—1,1] спектральных проекторов оператора Д и соответствующую спектральную меру /лА — (<5е)" где 5е € Ь2{Н) — характеристическая функция единичного элемента группы Н.

Теорема. Для любого положительного, а существует такая константа Счто имеет место неравенство /?([—1, —1 + и [1 — 1]) ^ а2+а.

Результаты этой главы получены в соавторстве с А. П. Суворовым и опубликованы в работе [14].

Структура диссертации.

В § 1.1 мы приводим основные определения теории ЛП-алгебр. Теорема о структуре группы Гротендика /С0(С (Г)) сформулирована в § 1.2. Доказательство теоремы дано в § 1.3 (описание диаграммы Браттели и следов) и в § 1.4 (анализ структуры самой группы Гротендика).

В § 2.1 мы описываем реализацию представлений конечных групп Гейзенберга, удобную для предельного перехода. В § 2.2 описана диаграмма Браттели групповой алгебры счетной группы Гейзенберга и ее двусторонние идеалы. В § 2.3 мы описываем все факторпредставления группы Я. В § 2.4 мы описываем разложение регулярного представления группы Н в прямой интеграл факторпредставлений и доказываем формулу Планшереля. В § 2.5 мы описываем группу Гротендика Ко (С (Н)). В § 2.6 все эти результаты обобщены на случай (2т + 1)-мерной группы Гейзенберга.

В § 3.1 приведены необходимые сведения о соответствии между дискретной нильпотентной группы ступени 2 и ее кольцом Ли, и доказана теорема, обобщающая классическую теорему Кириллова об описании ограничения или индуцирования представления в терминах орбит коприсоединенного представления. В § 3.2 для дискретной нильпотентной группы ступени 2 с 2-делимым центром мы строим факторпредставление, соответствующее орбите, и доказываем, что это факторпредставление имеет конечный тип. В § 3.3 мы показываем, как результаты § 2.1, 2.3 для конечных и счетных групп Гейзенберга могут быть получены при помощи теоремы 3.2.1. Мы также показываем, что утверждение теоремы 3.2.1, вообще говоря, неверно для нильпотентных групп ступени 3. В § 3.4, пользуясь техникой положительно определенных функций, мы даем описание множества следов произвольной дискретной нильпотентной группы ступени 2. И показываем, каким образом в случае 2-делимого центра, т. е. когда работает теория орбит, возможен переход от одного описания к другому.

В параграфе 4.1 мы вычисляем вид оператора Лапласа в конечномерных представлениях группы Гейзенберга. В параграфе 4.2 мы показываем, что собственные числа оператора Ап в неодномерных неприводимых представлениях не превосходят величины 1 — В параграфе 4.3 дана комбинаторная реализация характеристических полиномов оператора Дп в многомерных представлениях. Наконец, в параграфе 4.4 мы оцениваем спектральную меру оператора Д, опираясь на оценки, сделанные для конечной группы.

Автор пользуется случаем выразить самую искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А. М. Вершику за постановку задач, терпение и оказание неоценимой помощи на всех этапах работы над диссертацией.

1. Вершик A.M., Керов С. В. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и К0-функтор. В кн. ВИНИТИ. Итоги науки. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 26. 1985. С. 3−56.

2. Вершик A.M., Керов С. В. К-функтор (группа Гротендика) бесконечной симметрической группы // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 123. С. 126−151.

3. Вершик A.M., Керов С. В. Характеры и факторпредставления бесконечной симметрической группы // Докл. АН СССР. Т. 257. 1981. N. 5. С. 1037−1040.

4. Вершик A.M., Кохась К. П. Вычисление группы Гротендика алгебры C (PSL (2, к)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле // Алгебра и анализ. Т. 2. 1990. вып. 6, 98−106.

5. Залесский А. Е. Group Rings of Locally Finite Groups and Representation Theory // Contemp. Math. V. 131. Part 1. P. 453−472.

6. Зелевинский А. В., Наркунская Г. С. Представления группы SL (2,Fq), q = 2п // Функц. анализ и его прил. Т. 8. 1974. С. 75−76.

7. Ленг. С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

8. Вершик А. М., Кайманович В. A. Random walks on discrete groups: boundary and entropy // Ann. Prob. V. 11. 1983. N 3. P. 457−490.

9. Кириллов А. А. Положительно определенные функции на группе матриц с элементами из дискретного поля // ДАН СССР. 1965. Т. 162, N 3. С. 503−505.

10. Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли// УМН. 1962. Т. XVII. Вып. 6. С. 57−110.

11. Кохась К. П. Классификация комплексных фактор-представлений трехмерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 283. 2001. С. 140−155.

12. Кохась К. П. Классификация конечных факторпредставлений (2m + X)-мерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики // Функц. анализ. Т. 36. № 3. 2002. С. 79−83.

13. Кохась К. П. Конечные факторпредставления нильпотентных групп ступени 2 и теория орбит // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 307. 2004. С. 120−140.

14. Кохась К. П., Суворов А. П. Спектральные оценки оператора Лапласа дискретной группы Гейзенберга // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 256. 1999. С. 129−144.

15. Кохась К. П. Струйные инварианты неголономного распределения Ц Функц. анализ. Т. 28. Вып. 3. 1994. С. 75−77.

16. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988.

17. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976. 550 с.

18. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968. 664 с.

19. Смирнов C.B. Положительно определенные функции на алгебраических нильпотентных группах над дискретным полем // ДАН СССР. 1966. Т. 170, N3. С. 524−525.

20. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1 М.: Мир, 1984.

21. J. Avron, P. H. M. van Mouche, В. Simon On the measure of the spectrum for almost Mathieu operator // Commun. Math. Phys. V. 132. 1990. P. 103−118.

22. Beguin C., Valette A., Zuk A. On the spectrum of a random walk on the discrete Heisenberg group and the norm of Harper’s operator // Journal of Geom. and Phys. V. 21. 1997. P. 337−356.

23. Bratteli O. Inductive limits of finite dimensional C*-algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 171. P. 195−234.

24. Effros E., Hahn F. Transformations groups and C*-algebras I I Memoirs of Amer. Math. Soc. 1967. N. 75.

25. Effros E., Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations // J. Oper. Theory. V. 2, 1979. N. 2. P. 215−231.

26. Elliott G. On classification of inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras I I J. Algebra. 1976. V. 2. N. 2. P. 215−231.

27. Goodman F. M., P. de la Harpe, Jones V. F. R. Coxeter graphs and towers of algebras. MSRI publicationes, 14. Springer-Verlag, 1989.

28. Howe R. On representations of discrete, finitely generated, torsion-free, nilpotent groups I I 1977.

29. Hofstadter D. R. Energy levels and waves functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields // Phys. Rev. V. B14. 1976. P. 255−259.

30. Ishikawa K., Maeda N., Ochiai T., Suzuki H. Quantum Hall Dynamics on von Neumann lattice // arxiv.org:cond-mat/9 809 287.

31. Kesten H. Symmetric random walks on groups // Trans. Amer. Math. Soc. V. 92. 1959. P. 336−354.

32. Mihailovs A. Tho orbit method for finite groups of nilpontency class two of odd order // arxiv.org: math. RT/1 092.

33. Rosenberg J. Un complement a un theoreme de Kirillov sur les caracteres de GL (n) d’un Corps infini discret // G. R. Acad. Sei. Paris. 1989. T.309. Ser. I. P. 581−586.

34. Thoma E. Uber unitare Darstellung abzahlbarer, diskreter Gruppen // Math. Ann. 1964. V.153. P. 111−138.