Динамика ориентированных жидкостей

Данная диссертация посвящена динамическим задачам механики ориентированных жидкостей, связанных с распространением одномерных нелинейных волн и движением твердых тел и пузырьков в таких средах. Физическими примерами ориентируемых жидкостей служат широко используемые в технике и медицине жидкие кристаллы, суспензии и коллоидные растворы с анизотропными по форме частицами, растворы полимеров и другие. I. Вопросы теоретического и экспериментального исследования ориентированных жидкостей .как сплошных сред с внутренними степенями свободы векторной природы отражены в ряде монографий и обзоров [, ? 14, 17, ЛЯ J } 38, 44 • Первой здесь следует считать работу Коссера [44 1 «К0Т0Рые ввели для описания анизотропии частицы сплошной среды ориентированный триэдр. Позже эта идея нашла применение в механике деформируемого твердого тела, в частности, в теории дислокации [ 5» 3 •.

В связи с открытием нематических жидких кристаллов получил развитие более простой вариант теории, связанный с введением одного вектора. Здесь следует назвать работы Франка [523 $ 0зеена[б?>3, Эриксена [39, 50, Лесли.

5″ 83″ Основные описываемые явления: анизотропия вязкости несущей несжимаемой жидкости, инерция, упругость и релаксация векторного поля ориентации. Длина вектора ориентации частицы сплошной среды может служить мерой упорядочивания микроскопической ориентации и, в частности, вдали от состояний среды, отвечающих фазовым переходам, например, в изотропную жидкость, считается равной единице. Краевые условия обычно сводятся к заданшо вектора ориентации на ориентирующих стенках сосуда.'.

К хорошо исследованным разделам физики и механики нематических жидкостей можно отнести следующие. Статика жидких кристаллов, классификация особенностей поля ориентациидиклинаций. Влияние электрического и магнитного полей на эффекты ориентации. Диэлектрические свойства и проводимость. Устойчивость равновесия во внешних полях. Оптические свойства. Термодинамические свойства жидких кристаллов с учетом фазовых переходов. Волны малой амплитуды, их распространения, дисперсия скорости звука и затухание. Стационарные течения ориентированных жидкостей в трубах и каналах при наличии внешнего электромагнитного поля, их устойчивость и переход к турбулентности.

Специально здесь следует отметить работы, связанные с механическими эффектами. Линейные задачи и связанная с ними теория звука развиты в работах {[.4.? ^ j ^ >. Задачам равновесия поля ориентации в разных аспектах посвящены многие исследования. Равновесие в электромагнитных полях и связанный с ним эффект Фредерикоа рассмотрены в A5~ - зд, — GO ]. Дефекты в нематике теоретически исследованы в j, 64-, Gb~. Влияние граничных условий на конфигурацию нематика освещено в работах 6&J* Динамические задачи о взаимодействии течения и упругих деформаций поля ориентации в основном связаны со стационарным рассмотрением [d., Я,, * 41, 4 а, 4⁶⁴]. Вопросы об устойчивости ламинарных стационарных течений и переходе в турбу-летный режим рассмотрены в [а^ — 2/31. Равновесный переход нематика в изотропную фазу изучен в работах [лS3,54, 5},.

— 52. В данной работе исследуются вопросы о распространении одномерных нелинейных волн, в частности, разрывов ориентации, и в идеальной постановке движения твердых тел и пузырьков.

Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав и заключения.

В первой главе в основном рассматриваются одномерные волны ориентации в нематических жидких кристаллах.

В первом параграфе на основе вариационного уравнения Л. И. Седова сформулирована полная термодинамическая модель ориентированной нематической среды, представляющая собой несжимаемую вязкую теплопроводную жидкость с наличием дополнительных определяющих параметров, связанных с единичным вектором ориентации и его первым производным. Вектор ориентации входит в модель в четной степени. Наряду с известными уравнениями и соотношениями вариационное уравнение позволяет вывести новые краевые условия, в частности, условия на разрывах вектора ориентации и на свободных поверхностях, которые используются в дальнейшем.

Здесь также введены уравнения одномерного движения. В этом случае среда движется как твердое тело, и уравнения для ориентации отделяются в сопутствующей системе отсчета от остальных уравнений. При этом коэффициенты X 7 К^.- К5, связанные со свойствами инерции (д), упругости (Kt) и релаксации (, считаются постоянными, не зависящими от температуры. Уравнение движения служит для определения давления, уравнение энергии — температуры.

Во втором параграфе дана полная групповая классификация одномерных уравнений ориентации. На основании известных алгоритмов отыскания групп симметрии дифференциальных уравнений выведена и решена система уравнений в частных производных, определяющая операторы бесконечно-малых преобразований. В зависимости от специализации пяти параметров I Kv, получены 17 типов различных групп симметрии, содержащих в ряде случаев произвольные функции.

В третьем параграфе рассматриваются специальные случаи, когда система двух уравнений ориентации может быть полностью или частично проинтегрирована. Здесь имеются следующие возможности. Оба уравнения сводятся к обыкновенным и легко интегрируются. Одно уравнений — обыкновенное интегрируемое, второе — в частных производных. Уравнения сводятся заменой переменных к линейным. Благодаря наличию симметрии при.

— Kjl — К5 («одноконстантное» приближение) и pt=o можно указать два первых интеграла, содержащих произвольные функции, и свести систему к одному уравнению типа Sin, Gordon. «которое допускает солитонные решения Физически специализация параметров означает ту или иную степень приближения при постановке различных задач, например, возможность пренебречь инерцией ориентации, релаксацией или некоторыми упругими постоянными.

В этом параграфе также рассмотрено инвариантно-групповое решение общей системы уравнений, отвечающих нелинейной бегущей волне. Результаты §§ 1.2, 1.3 представлены в работе t>l] •.

В четвертом параграфе с помощью вариационного уравнения выведены условия на разрывах вектора ориентации или его первых производных. Здесь изучаются следующие классы функций: вектор ориентации непрерывен, частично непрерывен или разрывен. Интегральные соотношения, связанные с сохранением полного импульса и энергии среды, дают формулы для скачков давления и внутренней тепловой энергии. В предположении, что последняя растет с ростом энтропии, отсюда при адиабатическом процессе получено ограничение на скорость распространения разрыва.

В качестве примера рассмотрена автомодельная задача о скачке переориентации при отсутствии релаксации. Найдено кусочно-постоянное решение, согласно которому скачок распространяется с максимально возможной скоростью звука. Исследована единственность полученного решения при достаточно малой величине скачка. Из энергетических соображений как правило отбора решений используется максимальность интеграла действия.

В пятом параграфе исследовано влияние затухания волны переориентации на давление и температуру среды. В предположении I-C^K^K^K, распространение плоско-поляризованной волны описывается линейными уравнениями теплопроводности, для температуры — с источником, связанным с релаксацией ориентации. Существенный рост температуры и падение давления вблизи начального скачка переориентации показывают, что такие скачки, связанные, например, с действием переориентирующих стенок, могут приводить к фазовым или структурным превращениям.

Во второй главе рассматриваются задачи, связанные с движением твердых тел и пузырьков в нематических жидкостях. В первом параграфе решена сферически-симметричная задача о радиальных колебаниях газового пузырька. В результате решения внешней задачи о движении жидкости и учета необходимых краевых условий, в частности, связанных с радиальной ориентацией директора на поверхности пузырька, выведено уравнение движения его границы. По сравнению с известным уравнением Релея здесь существенный вклад дают анизотропная вязкость и упругость поля ориентации. Последнее обстоятельство аналогично действию внутреннего давления препятствует в данном случае сжатию пузырька. Физически говоря, среда стремится избегать образования сферической особенности поля ориентации. Поведение радиуса пузырька подробно исследовано для идеального нематика.

Во втором параграфе рассматривается задача о движении тел в идеальной ориентированной жидкости при отсутствии инерции ориентации. Показано, что в этом случае как и в идеальной изотропной несжимаемой жидкости, остается справедливым закон сохранения завихренности. В частности течение жидкости можно считать потенциальным. Выведен интеграл Коши—Лагранжа. После решения вспомогательной краевой задачи о распределении вектора ориентации может быть сформирован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, в котором варьированию подлежат только обобщенные координаты формы тела.

Эффективное решение указанной задачи возможно в частном случае, который реализуется при подходящих краевых и начальных условиях, когда поле ориентации остается параллельным некоторой плоскости. В этом случае поле ориентации описывается решением линейной задачи Дирихле. Развита теория присоединенной ориентации, аналогичная теории присоединенных масс. В основном приближении выведен лагранжиан движения твердого тела, малого по сравнению с характерным масштабом внешнего потока. Рассмотрен пример сферы с постоянным на ней полем ориентации. Наличие ориентации среды приводит к ее угловым колебаниям относительно внешнего поля.

В третьем параграфе исследована задача о взаимодействии двух сфер с плоским полем ориентации. В связи с известными гидродинамическими решениями этой задачи обсуждаются следующие случаи: движение сферы вдоль и перпендикулярно линии центров, движение сфер, малых по сравнению с расстояниями между ними. В частности подробно рассматривается задача о вертикальном падении сферы под действием силы тяжести на плоскости. Показано, что на достаточно больших расстояниях от плоскости упругая сила сопротивления превышает гидродинамическую силу отталкивания, а эффект частоты колебаний сферы возрастает при приближении к плоскости. Качественное исследование показывает, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости. Оседание частицы возможно только при учете релаксации ориентации к ориентации плоскости.

В четвертом параграфе рассматривается нелинейная задача о движении тел при неплоском поле ориентации. Даны двусторонние оценки упругой энергии ориентации среды с помощью решения вспомогательных линейных задач Дирихле. В качестве примера рассмотрена задача о движении сферического газового пузырька с собственной сферической ориентацией во внешней покоящейся жидкости с однородным полем ориентации. Вычислена оценка безразмерной постоянной, связанной с энергией ориентации, вида 8,3 ^ *^, что представляется практически удовлетворительным.

В отличии от задачи с внешним сферическим распределением ориентации в данном случае линии тока поля директора стремятся выпрямиться, сжимая пузырек и способствуют его охлопыванию аналогично силе поверхностного натяжения.

Основные результаты второй главы представлены в работе.

В заключении перечислены основные результаты работы, которые выносятся на защиту.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным ру' ководителям — акад. Л. И. Седову и доц. А. Н. Голубятниковуза постоянное внимание и поддержку в работе.

— 109-ЗАКШОЧЕНИЕ.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту,.

В рамках модели Эриксена-Лесли для ориентированных не-матических жидкостей решены следующие задачи.

Дана полная групповая классификация уравнений распространения одномерных волн ориентации, связанная со специализацией коэффициентов этих уравнений. Исследована полная и частичная интегрируемость уравнений ориентации, что связано с описанием распространения нелинейных волн, в частности со-литонов. Выведены условия на разрывах и решена автомодельная задача о волне переориентации. Изучен процесс ее затухания, Показано, что диссипация энергии, связанная с релаксацией вектора ориентации, дает существенный рост температуры и падение давления в состоянии, близком к скачку переориентации, что может приводить к фазовым или структурным превращениям.

Выведен вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, для движения тел в потенциальном потоке идеальной ориентированной жидкости, на основании которого развита теория присоединенной ориентации. Для плоского поля ориентации получены уравнения движения малого твердого тела в неоднородном потоке и уравнения движения двух сфер. Решена задача о падении сферы на плоскость. Показано, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости.

Решены задачи о движении о колебаниях сферического газового пузырька во внешних однородном и сферическом полях ориентации.