Свойства одного класса интегралов в пространстве С2

Теория функций многих комплексных переменных — сравнительно молодая область математики, но уже имеющая богатые связи со многими её разделами. Нашла эта теория и приложения, например, в квантовой теории поля (см. [ill)"в математической статистике (см. [17]).

Интегральные представления играют важную роль в комплексном анализе. Они являются основным аппаратом для исследования свойств голоморфных функций и решения краевых задач. В теории функций многих комплексных переменных известны интегральные представления Мартинелли-Бохнера, А. Вейля и другие. Однако это не снимает задачу получения интегральных представлений и исследования их для специальных классов областей. Так, для функции двух комплексных переменных, аналитических в полных двоякокруговых областях, А. А. Темляковым (см. [33″ 1 — 3б]) были получены интегральные представления, которые в математической литературе носят его имя (см. [38], ?43~).

Внутренний интеграл в интегральных представлениях Темлякова есть интеграл Коши одного комплексного переменного. Поэтому интеграл Темлякова и интегралы типа успешно применялись при изучении экстремальных свойств функций (см. работы И. И. Баврина [4], [б!), для изучения граничных свойств функций двух комплексных переменных (см. работы Л. А. Айзенберга [i]), для решения краевых задач для функций двух комплексных переменных (см. работы В. И. Боганова, Г. Л. Луканкина [ю], ll) и дифференциальных уравнений в частных производных (см. работы В. Я. Ольхина [30).

В работах Л. А. Айзенберга (см. [2)), Ли Че Гона (см. [l9]), Опяля и Сичака (см. 144]), И. И. Баврина (см. Ы — w) интегральные представления Темлякова получили распространение на случай rtinr/Z) комплексных переменных.

И.И.Бавриным [б] - [" 81 был разработан операторный метод в теории интегральных представлений. Благодаря этому методу удалось решить ряд важных задач в теории интегральных представлений Темлякова. Так (см) получены обобщённые интегральные представления, восстанавливающие функцию, голоморфную в области по значениям довольно общих операторов от неё на границе или её части (см. [б], [7], ?83). Эти представления хотя и сохранили тесную связь с интегралом Коши, ещё более подчинены специфике определяющей области. Кроме того, поведение интегралов типа, образованных на основе интегральных представлений, входящих в общее интегральное представление Темлякова-Баврина, имеет качественные отличия от поведения интегралов типа Темлякова (см, например, [13] - [141).

Исследования интегралов типа Темлякова-Баврина велись как в направлении увеличения порядка (см. [203), так и в направлении расширения классов определяющих областей. Так, интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина с определяющими неограниченными областями изучались в работах [l5l, [211 .

Интегральные представления Темлякова сохраняются и для функций, аналитических в бицилиндре (см. [i]). Интегралы типа Темлякова хорошо изучены в случае двоякокруговых областей, а именно областей типа (Т), учениками Темлякова, например, методом линейных дифференциальных операторов (см. [411). Бицилиндр не принадлежит к типу областей (Т) в смысле .-определения из [i" ] и интегралы типа Темлякова не были изучены для случая бицилиндра.

Применение операторного метода позволило И. И. Баврину (см. [93) получить интегральные представления с фиксированными точками для функций, аналитических в поликруге, которые достаточно полно отражают специфические особ-енности поликруга. В случае двух комплексных переменных для бицилиндра из общих интегральных представлений Темлякова-Баврина с фиксированными точками получается интегральное представление Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой.

Интегральные представления с фиксированной точкой в ядре ранее исследовались для некоторых областей (см, например,). Случай бицилиндра ранее не рассматривался. Поэтому исследование интегралов Темлякова и интегралов с фиксированной точкой Темлякова-Баврина для случая бицилиндра представляется актуальной задачей.

Цель диссертационной работы. Конкретные задачи исследования состояли в следующем:

1. Исследовать интеграл типа Темлякова для случая бицилиндра, а именно получить формулы для его вычисления вне области аналитичности и применить их для исследования дифференциальных свойств.

2. Установить зависимость свойств интеграла, полученных методом интегро-дифференциальных операторов для бицилиндра, от положер ния фиксированной точки в С .

3. Получить формулы, представляющие интеграл типа Темлякова-Баврина вне области аналитичности.

4. Установить связь между интегралами типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина для случая бицилиндра.

5. Решить с помощью исследуемых интегралов некоторые краевые задачи с краевым условием в операторной форме.

Перейдем к изложению по главам основных результатов работы.

Первая глава (§§ I — 3) посвящена изучению интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова-Баврина I рода I порядка в бицилиндре Е и вне его.

В § I приводятся основные сведения из теории интегральных представлений Темлякова, формулы, представляющие интеграл вне бицилиндра Е.

В § 2 интеграл типа Темлякова I рода исследуется методом линейных дифференциальных операторов. Получено дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет интеграл типа Темлякова.

В § 3 строятся интегралы типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра. Выясняется поведение этих интегралов как в области Е, так и вне её. Установлено, что интеграл с фиксированной точкой в бицилиндре Е представляет аналитическую функцию в области Е. Если фиксированная точка расположена вне области Е, то при нулевой и бесконечнойхарактеристи-к.е в некоторых случаях аналитичность интеграла не теряется. В этом же параграфе установлены формулы, представляющие интеграл (3.2) вне бицилиндра Е, которые указывают на неголоморфный характер изучаемых интегралов.

Во второй главе (§§ 4 — 5) изучается структура определяющих множеств гч j, (l = 1,2,3,4) при различных характеристиках интеграла. ^ 2Х).

В § 4 изучается структура множеств К в случае нулевой характеристики (>) =0). Установлено, что в разбиении прос-2 — транства С Е на подобласти, в которых справедливо определённое интегральное представление, участвуют и аргументы фиксированной точки. Структура множеств гч i не изменяется, если фиксированная точка принадлежит области Е. Здесь же установлена структура множеств IN l для бесконечной характеристики (V = + <х>).

В § 5 исследуется поведение интегралов типа Темлякова-Бав-рина I рода I порядка с фиксированной точкой в общем случае, то есть характеристика + оо. В разбиении пространства на подобласти участвуют и аргументы и модули фиксированной точки.

Получены формулы, позволяющие вычислять интеграл вне бицилиндра Е.

В третьей главе (§§ 6 — 8) интегралы (3.2) исследуются методом линейных дифференциальных операторов. В § 6 вводится оператор который для интегралов с фиксированной точкой играет особую роль. Здесь же приводятся его свойства.

В § 7 установлена дифференциальная связь между интегралами типа Темлякова-Баврина с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова для нулевой и бесконечной характеристики. Для исследова.

В § 8 получена операторная связь между интегралами с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова в общем случае, то есть характеристика ^ ^ 0,)) Ф Для исследования вводит.

О-ст яямймя пр-пр.мрммпй = —. ЛПР.

В четвертой главе (§§ 9 — II) обобщённые интегральные представления, полученные с помощью интегро-дифференциальных операнию некоторых функциональных уравнений и краевых задач.

В § 9,используя свойства интегро-дифференциальных операторов, решаются функциональные уравнения типа краевых задач, в которых известно не значение функции на остове бицилиндра Е, а значение некоторых операторов от функции. В этом же параграфе решаются краевые задачи с краевым условием в операторной форме. Решением таких торов, специфических для бицилиндра (см. [9^).применяются к решезадач являются обобщённые интегральные представления, получающиеся из интегральных представлений, построенных И. И. Бавриным.

В § 10 рассматривается класс функций, порождённый интегро-дифференциальными операторами, специфическими для бицилиндра. Установлены дифференциальные и интегральные связи с интегралом типа Коши для случая двух комплексных переменных. Эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям, играющим такую же роль, как и условие Коши-Римана для аналитических функций.

В § II, используя интегральное представление Темлякова I рода для бицилиндра, определяется значение функции 5[за J в области Е, если известно поведение дифференциального оператора на остове. Интегральное представление (3.1 Применяется к решению аналогичной задачи: по значениям на остове некоторого дифференциального оператора с фиксированной точкой восстановить значение функции в области.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа УГЛИ после окончания аспирантуры Московского областного педагогического института имени Н. К. Крупской. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [22] - [2б] и доложены на научно-исследовательском семинаре по теории функций многих комплексных переменных при Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской, а также на научных семинарах в Казанском и Саратовском государственных университетах, во П Саратовской зимней школе по теории функций и приближений.

1. АЙЗЕНБЕРГ Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций многих комплексных переменных.-Уч.зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1959, т. 77, вып. 5, с. 13−23.

2. АЙЗЕНБЕРГ Л. А. Интегральные представления функций, аналитических в Ккруговых областях (распространение ядер Сеге).- Матем. сб., 1964, т. 65(107), с. 104−143.

3. АЙЗЕНБЕРГ Л.А. 0 плюригармонических функциях.-Уч. зап./Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, I960, т. 86.

4. БАВРИН И. И. Об усилении оценок для некоторых классов регулярных функций двух комплексных переменных.-Матем. сб., 1963, т. 61(103), № 3, с. 319−333.

5. БАВРИН И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. М., 1976, с. 99.

6. БАВРИН И. И. Обобщённые интегральные представления в случае полицилиндра. -Докл. АН СССР, 1971, т.196, № I, с.

7. БАВРИН И. И. Обобщение интегральных формул Коши, Шварца, Пуассона. -Докл. АН СССР, 1972, т. 202, № I, с.

8. БАВРИН И. И. Операторы и интегральные представления.-М., 1974, — 100 с.

9. БАВРИН И. И. Операторы и интегральные представления в случае поликруга.-Сообщения АН Груз. ССР, 1976, т. 84, № 3, с. 537−541.

10. БОГАНОВ В.И., ЛУКАНКИН Г. Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения.-Докл. АН СССР, т. 176, № I, с. 16−19.

11. БОГАНОВ В. И. Интеграл типа Темлякова и некоторые краевые задачи. -Уч. зап. /Моск.обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1976, т. 188, с. 57−79.

12. ВЛАДИМИРОВ B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.-М., Наука, 1964, -412 с.

13. ГУСАКОВ В. А. Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина.-Докл. АН СССР,' 1968, т. 179, № 6, с. I26I-I263.

14. ГУСАКОВ В.А. О связи интегралов типа Темлякова-Баврина с интегралами типа Темлякова.-Сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1973, вып. 15(1), с. 82−90.

15. ГУЛЯЕВ А.В. 0 функциях, определяемых некоторым интегралом.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1970, т.269, с. 68−76.

16. ГИЛЬМУТДИНОВ Р.З. 0 некоторых классах квазианалитических функций в С (я ^ D.-C6. тр. Доек. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1980, Математический анализ и теория функций, с. 5459.

17. ЛИННИК В. Ю. Статистические задачи с мешающими параметрами.-М., Наука, 1962.18. ЛУКАНКИН Г. Л. 0 некоторых краевых задачах для функций двухкомплексных переменных.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1970, т. 269, с. 23−46.

18. ЛИ ЧЕ ГОН Интегральные представления функций комплексных переменных. -Сухакки мулли, 1969, т. 3, § I, с. 27−30.

19. ЛАТЫШЕВ А. В. Поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода 2-го порядка в случае гиперконуса.-Сб.тр. /Моск. обл.пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1972, вып. 15(2), Теория функций, функциональный анализ и их приложения, с. 177−188.

20. ЛИТВИНЮК В. А. Поведение некоторых интегралов вне области аналитичности. -Сб. тр. Доек. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1973, вып. 15(1), Теория функций, функциональный анализ и их приложения, с. II0-I34.

21. МИЛОВАНОВ В. Ф, 0 некоторых интегральных представлениях с фиксированной точкой.-Респ. сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1978, вып. 9. Математический анализ и теория функций, с. 54−64.

22. МИЛОВАНОВ В. Ф. Интегралы типа Темлякова-Баврина I рода I порядка в случае бицилиндра.-Респ. сб. тр. /Моск.обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1978, вып. 9. Математический анализ и теория функций, с. 65−75.

23. МИЛОВАНОВ В. Ф. Свойства одного класса интегралов с фиксированрной точкой в пространстве С .-М.- 1979.-16 с. -Рукопись представлена Моск. обл. пед. ин-том им. Н. К. Крупской. Деп. в ВИНИТИ 13 июня 1979, № 2153−79.

24. МИЛОВАНОВ В. Ф. Операторная связь интегралов типа Темлякова—Баврина I рода I порядка в случае бицилиндра.-Межвузовский сб. научн. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1980. Математический анализ и теория функций, с. 79−83.

25. МИЛОВАНОВ В.Ф. О решении краевых задач с краевым условием на остове бицилиндра, заданном в операторной форме,-Уссурийск, 1983. -10 с. -Рукопись представлена Уссурийским гос. пед. ин—том. Деп. в ВИНИТИ 8 июля 1983, № 3777−83.

26. МИХЛИН С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.

27. НАТАНСОН И. П. Теория функций вещественной переменной.-М.:Наука, 1974.-480 с.

28. НЕЛАЕВ А. В. Исследование поведения интегралов типа Темляковари интегралов типа Темлякова-Баврина в пространстве С .-Сб.тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1975, вып. 5. Математический анализ и теория функций, с. 75−85.

29. ОЛЬХИН В.Я. 0 дифференциальном операторе Темлякова.-Респ. сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, М., 1976, вып. 6, Математический анализ и теория функций, с. 50−62.

30. ПРИВАЛОВ И.И.

Введение

в теорию функций одного комплексного переменного.-М.: Гостехиздат, 1967. -444 с.

31. СЕЧКИН Г. И. Группы операторов для выпуклых и звёздных областей и их приложения к решению функциональных уравнений.-Сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1973, вып.2.Математический анализ и теория функций, с. 60−67.

32. ТЕМЛЯКОВ А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных.-Изв. АН СССР. Серия математ., 1957, т.21, с. 89−92.

33. ТЕМЛЯКОВ А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных.-Докл. АН СССР, 1958, т. 120, № 51, с. 976−979.

34. ТЕМЛЯКОВ А. А. Интегральные представления.-Докл. АН СССР, 1959, т. 129, № 5, с. 986−988.

35. ТЕМЛЯКОВ А. А. Краевые задачи для уравнений с особыми’плоскоtстями.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1959, т. 77, с. 91−98.

36. УЛЯШЕВ В. Т. Интегральные представления Темлякова-Баврина в случае бесконечных полных двоякокруговых областей.-Сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1973, вып. 15(2). Теория функций, функциональный анализ и их приложения, с.145−158.

37. ФУКС Б.А.

Введение

в теорию функций многих комплексных переменных. -М.: Физматгиз, 1962. -420 с.

38. ХВОСТОВ А. Т. Исследование свойств интегралов типа Темлякова вне области аналитичности.-Уч. зад. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1967, т. 188, с. 137−172.

39. ХВОСТОВ А. Т. Обобщённые условия Коши-Римана интегралов типа Темлякова.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской, 1967, т. 188, с. 137−172.

40. ХВОСТОВ А. Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова методом однородных линейных дифференциальных операторов первого порядка.-Докл. АН СССР, 1969, т. 186, № 3, с. 522−525.

41. ШАБАТ Б.В.

Введение

в комплексный анализ.-М.: Наука, 1976, ч. II. -400 с.

42. История отечественной математики.-Киев.:Наукова думка, 1970.44.. Ojbiagj J. 5ioLouk^nteytaJl ^.охтиваь^fox ¦^ипьЬиоп-З hjo6o/nozfbkic in oontr&y. n-UxcuZOA do/ru.

43. Sicumm-^unSiionam Junti-tioriAh- -/giO. SiLohasch, J}kcucU.yr)Lc cfac WiS-Imitko^ie*, djLL^Xify db&hUhte. Maihju^aiUck-^hLioithe&ectiJe. 6d- /09. Л.

44. Tullch&e. И/. faUxoxCbQit-tfeovLtoeint X&juMt jfiAOJLdohotomox^hJUc JuJtAtiohj^J-kadnmic cUlt WLi5e*jJch4-f.-ie*j. du/bZiy. beHchie* McvtlvonatifcA -^haachrk&cuie. Set, ios.