Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Экспоненциальная дихотомия линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Диссертация: Экспоненциальная дихотомия линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В терминах решений краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова: а) получены оценки параметров экспоненциальной дихотомииб) получены оценки модулей мультипликаторов, характеризующие их расстояние до единичной окружностив) доказаны теоремы о возмущении коэффициентов, при которых сохраняется дихотомияг) доказаны теоремы о непрерывной зависимости, из которых вытекает, что задача… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Условие эскпоненциальной дихотомии линейных систем с периодическими коэффициентами
    • 1. 1. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения Ляпунова со специальной правой частью
    • 1. 2. Оценки матрицы Грина, нормы решения краевой задачи (1.0.3) и параметров дихотомии
    • 1. 3. Оценки мультипликаторов системы (1.0.1) и взаимного наклона подпространств
    • 1. 4. Об исследовании асимптотической устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами
  • Глава 2. Системы дифференциальных уравнений с периодическими возмущениями
    • 2. 1. Теорема о непрерывной зависимости решения краевой задачи (1.1.2) от элементов матрицы A (t)
    • 2. 2. Дихотомия относительно единичной окружности Г матрицы мо-нодромии возмущенной системы (2.0.1)
    • 2. 3. Теоремы о непрерывной зависимости краевой задачи (1.4.1) от элементов матриц A (t), C (t) и условия асимптотической устойчивости решений возмущенной системы (2.0.2)
    • 2. 4. Оценки границы области притяжения нулевого решения и скорости убывания решений при t —оо системы (2.0.3)

Экспоненциальная дихотомия линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В диссертации рассматриваются линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами = Л (0у, (1) где A (t) — Т-периодическая непрерывная матрица размера N х N, т. е. A (t + Т) = A (t). Проводятся исследования задачи об экспоненциальной дихотомии системы (1).

Напомним определение экспоненциальной дихотомии для линейной системы дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами (см., например, [16]).

Определение. Система дифференциальных уравнений (1) с непрерывной матрицей A (t) называется экспоненциально дихотомичной, если пространство CN распадается в прямую сумму замкнутых подпространств.

С^ = С1(0)(c)С2(0), причем выполняются следующие условия: а) решения yi (t) = Y (t)yi уравнения (1), где Y (t) — матрицант системы (1), выходящие в момент t = 0 из подпространства Ci (0) (г/®Е Ci (0)), подчиняются оценке yi (t)\ < М. е-^-^Щ (t>S] t, se (-00,00)) с некоторым показателем v > О, М = constб) решения y2(t) = Yfyy® уравнения (1), выходящие в момент t = О из подпространства Сг (0) {у2? ^2(0)), подчиняются оценке.

Ыт < M2e-^s-«\y2(s)\ (t < S] t, s, e (-00, 00)) с некоторым показателем и2 > О, М2 = constв) взаимный наклон подпространств.

Ci (*) = y (*)Ci (0), C2(t) = Y (t)C2{ 0) не может при изменении t стать слишком малымточнее при некотором (3 > 0 выполняется условие.

Sn (Ci (i), C2(t)) = inf \Z1 + ?21| > P, te (-00, 00). zk? Ck{t)(k=l, 2),\zk\=l.

Будем называть величины //ь i/2, Mi, М2, /3 — параметрами дихотомии.

Исследования дихотомии дифференциальных уравнений были начаты в работах О. Перрона, М. Г. Крейна, А. Д. Майзеля, X. Массеры и X. Ше-фера (см., например, [16], [44], [46], [71]). В настоящее время имеется ряд критериев экспоненциальной дихотомии. Наиболее изученными являются уравнения с постоянными коэффициентами. В этом случае критерии формулируются с использованием функции Ляпунова, мультипликаторов, в терминах разрешимости краевой задачи для неоднородного дифференциального уравнения на числовой прямой (см., например, [11], [16], [46], [65]). В работах М. Г. Крейна было получено условие экспоненциальной дихотомии в терминах разрешимости уравнения Ляпунова (см. [16]).

НА + А*Н = -С со специальной правой частью С. В терминах решения этого уравнения С. К. Годунов и А. Я. Булгаков получили оценки на параметры дихотомии в случае постоянных коэффициентов и для этого случая разработали алгоритмы с гарантированной точностью для численного решения задачи о дихотомии (см., например, [9], [10], [11]). Следует отметить, что в литературе имеется ряд алгоритмов численного решения задачи о дихотомии системы (1) с постоянными коэффициентами, основанные на других критериях (см., например, [1], [14], [59], [60], [64], [73]).

В случае дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами также имеется большое количество результатов по решению задачи о дихотомии. Существенный вклад в её решение внесли работы М. Г. Крейна, А. Д. Майзеля, X. Массеры и X. Шефера, П. Хартма-на, В. Коппеля, Е. Н. Розенвассера, А. М. Самойленко, В. Л. Кулика (см., например, [16], [40], [44], [46], [49], [51], [55], [65]). Отметим, что не все результаты, полученные для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеют аналоги в случае дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В частности, в случае переменных коэффициентов в литературе не было аналогов ряда важных результатов М. Г. Крейна о дихотомии дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые имеют очень важное значение при разработке и обосновании алгоритмов численного решения задачи о дихотомии. Следует добавить, что в настоящее время в литературе нет численных алгоритмов по решению задачи о дихотомии дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами такого уровня строгости, как в случае постоянных коэффициентов. Поэтому продолжение исследований дихотомии дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является актуальной задачей.

В настоящей диссертации мы проводим исследования задачи об экспоненциальной дихотомии системы (1) с периодическими коэффициентами и получаем условия дихотомии, которые можно рассматривать, как аналоги условий М. Г. Крейна в случае систем с постоянными коэффициентами. Установленный признак экспоненциальной дихотомии формулируется в терминах разрешимости специальной краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова.

— Н + HA (t) + A*{t)H = Fit).

Л L.

В терминах решения этой задачи в диссертации получены оценки параметров дихотомии и модулей мультипликаторов системы (1), а также доказаны теоремы о возмущении и непрерывной зависимости.

Проведенные нами исследования основаны на результатах М. Г. Крейна [16], [39], полученных для задачи о дихотомии системы (1) с постоянными коэффициентами и для дискретного уравнения Ляпунова, а также на работах [19], [20], в которых проводились исследования асимптотической устойчивости решений системы (1) в терминах разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова.

H + HA{t)+A*{t)H = -C{t), 0 < t <�Т, (2).

Н (0) = Н (Т) > 0.

В частности, в работах [19], [20], используя решения этой задачи получены оценки скорости убывания матрицанта системы (1) при t —> оо, которые в случае постоянных коэффициентов совпадают с известной оценкой М. Г. Крейна [16] нормы матричной экспоненты.

В данной диссертации показывается также, что на основе задачи (2) можно проводить численные исследования асимптотической устойчивости решений системы (1).

Настоящая диссертация состоит из трех глав. Приведем описание основных результатов.

Заключение

.

Сформулируем кратко основные результаты диссертации.

1. Установлены новые условия экспоненциальной дихотомии систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Эти условия формулируются в терминах разрешимости специальной краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова.

2. В терминах решений краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова: а) получены оценки параметров экспоненциальной дихотомииб) получены оценки модулей мультипликаторов, характеризующие их расстояние до единичной окружностив) доказаны теоремы о возмущении коэффициентов, при которых сохраняется дихотомияг) доказаны теоремы о непрерывной зависимости, из которых вытекает, что задача о построении решений краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова хорошо обусловлена.

3. На основе теоретических результатов разработаны алгоритмы для численного исследования асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в линейных членах.

Показать весь текст

Список литературы

  1. АБРАМОВ А. А. О граничных условиях в особой точке для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1971. Т. И, № 1. С. 275−278.
  2. АКУЛЕНКО Л. Д. Оптимальная эволюция динамической системы при высокочастотных воздействиях // ДАН. 2005. Т. 405, № 1. С. 35−38.
  3. К., Булгаков А. Я., Демиденко Г. В. Числовые характеристики асимптотической устойчивости решений линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1227−1237.
  4. К., Булгаков А. Я., Демиденко Г. В. Асимптотическая устойчивость решений возмущенных линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 493−507.
  5. Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.6. баталова 3. е., Бухалова н. в. О структуре фазового пространства параметрически возбуждаемого ротора // Динам, систем: Качеств.-числ. исслед. динам, систем. Горький, 1988. С. 18−33.
  6. Дж., ван Лоун ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.
  7. ГОРЯЧЕНКО В. Д. Элементы теории колебаний. М.: Высш. шк., 2001.
  8. ДалецкиЙ Ю. Л., крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.
  9. Г. В., Матвеева И. И. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 332−348.
  10. ДЖАКОВ П., МИТЯГИН Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Дирака // УМН. 2006. Т. 61, вып. 4. С. 77−182.
  11. С. М., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 6. С. 10−14.
  12. КАТТАНИ К., СеЙРАНЯН А. П. Области неустойчивости системы с периодически изменяющимся моментом инерции // ПММ. 2005. Вып. 6. С. 905−911.
  13. А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.38. коняев С. и. К исследованию устойчивости решения уравнения Уиттекера // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, № 5. С. 1048−1050.
  14. ЛАПТИНСКИЙ В. Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск, 1998.
  15. МАЙЗЕЛЬ А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политех, ин-та, 51, сер. ма-тем. 1954. С. 20−50.45. малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952.
  16. МАССЕРА X. Л., шеффер X. X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.
  17. В. А., СтаржинскиЙ В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.
  18. Bittanti S., Bolzern P., colaneri P. The extended periodic Lyapunov lemma // Automatica. 1985. V. 21. P. 603−605.
  19. BULGAK A., BULGAK H. Linear algebra. Konya: Selguk University, 2001.
  20. BULGAKOV A. YA. Matrix computation with guarateed accuracy in stability theory. Konya: Selguk University, 1995.
  21. Demidenko g. v., KlevtsovA y. y. A modification of the matrix sign function method // Selguk Journal of Applied Mathematics. 2001. V. 2, № 1. P. 47−58.
  22. KANO H., NlSHIMURA T. Lyapunov equations, inequalities and stability theorems for periodic systems // Trans. Inst. Systems Control Inform. Engrs. 2000. V. 13, № 3. P. 134−140.
  23. SANSONE G. The Minor sky stroboscopic method applied to the Mathieu Van der Pol oscillator // В кн.: Комплексный анализ и его приложения. М. Наука, 1978. С. 531−533.
  24. ZHOU Q., Wang Н. Periodic solution in electron beam focusing theory // Acta Math. Appl. Sin. 1988. V. 11, № 4. P. 433−443.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!