Разложение по собственным функциям дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов на геометрических графах

В последние 25−30 лет получила большое развитие теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах (пространственных сетях). Начало исследований было положено в работах отечественных (B.C. Павлов [1], Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин ([2], [3]) и др.) и зарубежных (J. von Below ([4], [5]), G. Lumer [6], S. Nicaise [7]) математиков и касалось задач, описывающих различные модели: диффузии, колебаний упругих сеток, распространения нервного импульса и др. Работы зарубежных математиков, в основном, посвящены обоснованию разрешимости краевых задач на графах, исследованию структуры спектра этих задач, асимптотики спектра, получению оценок резольвенты. В настоящее время в нашей стране наиболее активные исследования проводятся творческой группой Ю. В. Покорного (A.B. Боровских, К. П. Лазарев, О. М. Пенкин, B. J1. Прядиев, С.А. Шабров), основные результаты которой отражены в [8] (см. также библиографию в [8]). Исследованы спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучена функция Грина, рассматривались многие другие проблемы. В последние годы активно исследуются волновые процессы на сетях ([9], [10], [11]).

В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи о разложении произвольных функций в ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) дифференциальных операторов и функционально-дифференциальных операторов с инволюцией, заданных на графах.

Исследование подобных вопросов для различных классов (дифференциальиых, интегральных, интегро-дифференциальных) операторов имеет важное значение во многих областях (например, в граничных задачах математической физики, квантовой механике и т. п.). В том числе, большое внимание уделяется вопросам равносходимости разложений по с.п.ф. и разложений по известным системам функций. Впервые теоремы равносходимости были получены в работах В. А. Стеклова [12], Е. Гобсона [13], А. Хаара [14] для оператора Штурма-Лиувилля. Позже эти результаты, на базе фундаментальных исследований Г. Биркгофа ([15], [16]) об асимптотике решений дифференциальных уравнений при больших значениях спектрального параметра, были распространены Я.Д. Тамарки-ным [17], М. Н. Стоуном [18] на произвольный дифференциальный оператор п-го порядка с произвольными краевыми условиями, удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([19], с. 66−67). Это условие заключается в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов в краевых условиях. В последующем, проблемы равносходимости активно разрабатывались, разрабатываются и в настоящее время. Большой вклад в развитие этих вопросов внесли отечественные математики В. А. Ильин ([20], [21], [22]), A.M. Седлецкий [23], А. П. Хромов ([32], [33], [36]), A.A. Шкаликов [24], и др.

В данной работе основное внимание также уделяется вопросам равносходимости. Наряду с традиционными операторами дифференцирования и Штурма-Лиувилля, заданными на графах, рассматриваются функционально-дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией (порождающей оператор отражения) следующего вида.

1{у) = ау'{х) + ?y'{ 1 — х) + Pi (x)y (x) + р2(х)у (1 — х). (0.1).

Изучение таких операторов представляет значительный интерес. Их исследование имеет давнюю историю [25] и активно проводится в настоящее время (например, [26], [27], [28]). Наиболее полно эти операторы, возникающие в различных спектральных задачах, изучены А. П. Хромовым и его учениками ([30]-[37]). В частности, такие операторы возникают при изучении разложений по с.п.ф. интегральных операторов, ядра которых имеют разрывы на диагоналях. Главная часть /д (у) = осу'(х) + (3у'(1 — х) оператора (0.1) обладает тем свойством, что 11(у) = (а2 — (32)у" (х). Таким образом, оператор (0.1) выступает как обобщение квадратного корня из оператора у" (х). Добавление потенциалов рь (х) значительно усложняет задачу. Другое достоинство оператора I в том, что он сводится к оператору Дирака.

Помимо вопросов равносходимости для функционально-дифференциальных операторов на графах, в работе также исследуются вопросы о сходимости обобщенных средних Рисса для таких операторов.

Для интегрального оператора, ядро которого является функцией Грина дифференциального оператора п-го порядка с регулярными по Бирк-гофу краевыми условиями, М. Стоун [18] исследовал средние по Риссу спектральных разложений вида и доказал, что на каждом [а, Ь] С (0,1) имеет место их равносуммируе-мость с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Позже, этот результат был распространен А. П. Хромовым в [29] на случай, когда условия регулярности не выполняются, но ядро Л) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В [38] В. В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай некоторых классов дифференциальных операторов. В [39] А. П. Гуревичем и А. П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на /(х), обеспечивающие равномерную сходимость.

0−2).

А|=г к ней на всем отрезке [0,1] средних вида.

Ь / (0.3).

А|=г которые являются обобщением средних Рисса вида (0.2).

Из работ, наиболее близких к вопросам, рассматриваемым в диссертации, можно отметить работу J. von Below [5] и работы воронежских математиков М. Г. Завгороднего ([41], [42]), В. В. Провоторова [43]. Их исследования, в основном, связаны с оператором Штурма-Лиувилля. Так, например, в [42] для оператора Штурма-Лиувилля, заданного на графе, с условиями типа Дирихле в граничных вершинах и определенными условиями связки во внутренних вершинах, получена теорема о разложении истокопредставимой функции в равномерно сходящийся ряд по корневым функциям соответствующей краевой задачи. Теоремы о разложении истокопредставимых функций для оператора с более общими краевыми условиями установлены в [5]. Также в [5] получены теоремы о разложении непрерывных на графе функций по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля по специальной норме.

Цели диссертационной работы: получение теорем о разложении по с.п.ф. оператора дифференцирования на графе (теоремы равносходимости и аналога теоремы Жордана-Дирихле) — получение теоремы равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на графе-пучкеполучение теорем равносходимости и исследование вопросов суммируемости по Риссу для некоторых классов функционально-дифференциальных операторов на графах.

В работе используется метод контурного интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам комплексной плоскости.

Диссертация содержит 146 страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, часть из которых делится на подразделы,.

1. Павлов Б. С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б. С. Павлов, М. Д. Фаддеев // Теор. и мат. физика. — 1983. — Т. 55, № 2. — С. 257−269.

2. Покорный Ю. В. О спектре некоторых задач на графах / Ю. В. Покорный // Успехи мат. наук. 1987. — Т. 42, № 4. — С. 128−129.

3. Пенкин О. М. О краевой задаче на графе / О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Дифференциальные уравнения. 1988. — Т. 24, № 4. — С. 701−703.

4. Von Below J. Classical solvability of linear parabolic equations on networks / J. von Below //J. Differential Equation. 1988. — V. 72. — P. 316−337.

5. Von Below J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on networks / J. von Below // Math. Metli. Appl. Sc. 1988. — V. 10. — P. 383−395.

6. Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer // Lect. Notes Math. 1980. — V. 787. — P. 219−234.

7. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission / S. Nicaise // Lect. Notes Math. № 1771. — Berlin, 1985. — P. 532−541.

8. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный и др.] М.: Физматлит, 2004. — 272 с.

9. Покорный Ю. В. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети / Ю. В. Покорный, B.JI. Пряди-ев // Успехи мат. наук. 2004. — Т. 59, вып. 3. — С. 115−150.

10. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. 1994. — V. 80.

11. Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. — Vol. 8. — P. 349 395.

12. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme / A.T. Haar // Math. Ann. 1910. — Vol. 69. — P. 331−371- - 1911. — Vol. 71. — P. 38−53.

13. Birkgoff G.D. On the asymptotic charaster of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter / G.D. Birkgoff // Trans. Am. Math. Soc. 1908. — 9 — C. 373−395.

14. Birkgoff G.D. Boundary value and axpansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkgoff // Trans. Am. Math. Soc. 1908. — 9 — C. 219−231.

15. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений / Я. Д. Тамаркин. Петроград, 1917.

16. Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. — Vol.28, № 4. — P. 695 761.

17. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Най-марк. М.: Наука, 1969. — 528 с.

18. Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье / В. А. Ильин // Докл. АН СССР. 1975. — Т. 223, № 3. — С. 548−551.

19. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.1./ В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. -1980. Т. 16, № 5. — С. 771−794.

20. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.1. / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 1980. — Т. 16, № 6. — С. 980−1009.

21. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и эк-поненциальной апроксимации / A.M. Седлецкий. М.: Физматлит, 2005. — 504 с.

22. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях / A.A. Шкаликов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. — Т. 9. — С. 190−229.

23. Babbage Ch. An essay towards the calculus of functions / Ch. Babbage // Philosophical transactions of the Royal Society of London. 1816. -V. 11. — P. 179−226.

24. Андреев A.A. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом / A.A. Андреев // Дифференциальные уравнения. -2004. Т. 40, № 5. — С. 1126−1128.

25. Dankl Ch.G. Differential-Difference Operators Associated to Reflection Groups /Ch.G. Dankl // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. — V. 311, № 1. — P. 167−183.

26. Платонов С. С. Разложение по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов / С. С. Платонов // Тр. Петрозавод. гос. ун-та. Сер. мат. 2004. — Вып. И. — С. 15−35.

27. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале / А. П. Хромов // Докл. АН СССР. Т. 146, № 6. -1962. — С. 1294−1297.

28. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях / А. П. Хромов // Мат. заметки. 1998. -Т. 64, № 6. — С. 932−949.

29. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием / А. П. Хромов // Докл. РАЕН. 2004. — М. — С. 80−87.

30. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов / А. П. Хромов // Мат. сб. 1981. — Т. 114(156). — № 3. — С. 378−404.

31. Корнев В. В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях / В. В. Корнев, А. П. Хромов // Мат. сборник. 2001. — Т. 192, № 10. — С.33−50.

32. Курдюмов В. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования / В. П. Курдюмов, А. П. Хромов // Мат. заметки. 2004. — Т. 76, МС. 97−110.

33. Корнев B.B. Абсолютная сходимость разложений по собственным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования / В. В. Корнев, А. П. Хромов // Изв. РАН. Сер. мат. -2005. Т. 69, JH. — С. 59−74.

34. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломанных линиях / А. П. Хромов //Мат. сборник. 2006. — Т. 197, № 11. — С. 115−142.

35. Тихомиров В. В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора / В. В. Тихомиров // Мат. сборник. -1977. Т. 102, № 1. — С. 33−55.

36. Гуревич А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов / А. П. Гуревич, А. П. Хромов // Дифференциальные уравнения. 2001. — Т. 37, № 6. — С. 809— 814.

37. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И. М. Рапопорт. Киев: Издат. Академии Наук Украинской ССР, 1954. — 287 с.

38. Завгородний М. Г. Об эволюционных задачах на графах / М.Г. Зав-городний // Успехи мат. наук. 1991. — Т. 46, № 6. — С.199−200.

39. Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М. Г. Завгородний // Докл. РАН. 1994. -Т. 335, № 3. — С.281−283.

40. Провоторов B.B. Полнота системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с особенностями / В. В. Провоторов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы «Понтрягинские чтения-XVII». Воронеж, 2006. — С. 143−144.

41. Гуревич А. П., Хромов А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией / А. П. Гуревич, А. П. Хромов // Мат. заметки. 1994. — Т. 56, вып. 1. — С. 3−15.

42. Хромов А. П. О резольвенте оператора дифференцирования на простейшем графе из двух ребер, содержащем цикл / А. П. Хромов //Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен. мат. школы «Понтрягинские чтения-XVII». Воронеж, 2006. -С. 192.

43. Расулов M.JI. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений /М.Л. Расулов. -М.: Наука, 1964. 464 с.

44. Бари Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари М.: Физматгиз, 1961. — 936 с.

45. Бурлуцкая М. Ш. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для оператора первого порядка на графе / М. Ш. Бурлуцкая // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2006. — № 2. — С. 165−168.

46. Бурлуцкая М. Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией / М. Ш. Бурлуцкая, В. П. Курдюмов, A.C. Луконина, А. П. Хромов // Докл. РАН. 2007. — Т. 414, № 4. — С. 1309−1312.

47. Бурлуцкая М. Ш. О равносходимости разложений по собственным функциям дифференциального оператора первого порядка на графеМ.Ш. Бурлуцкая // Труды мат. фак-та. Воронеж, 2006. — Вып. 10. — С. 31−41.

48. Бурлуцкая М. Ш. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / М.Ш. БурлуцкаяВоронеж. гос. ун-т. Воронеж, 2006. — 17 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.07.06 ДО975-В2006.

49. Бурлуцкая М. Ш. Теорема равносходимости для дифференциальных операторов первого порядка на графе-цикле / М. Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы. Воронеж, 2006. — С. 30−31.

50. Бурлуцкая М. Ш. Теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе / М. Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы. Воронеж, 2006. — Доп. вып.- С. 4.