Математическое моделирование преобразования лазерного излучения, сформированного плоским резонатором, оптическими системами

Актуальность работы.

На сегодняшний день востребованной является передача сигнала (например, локация) на большие расстояния. В связи с этим существует необходимость формирования пучка с малой расходимостью излучения. Кроме локации существует ряд аналогичных задач при передаче информации по световодам, а также в множестве других случаев, где в качестве носителя сигнала фигурирует лазерное излучение с вполне определенными геометрическими, а, следовательно, и энергетическими характеристиками.

Как было указанно выше, одним из наиболее критичных (по отношению к ряду практических задач) параметров является расходимость лазерного излучения.

Требования, предъявляемые к этому параметру, состоят прежде всего в его уменьшении.

Для этого используются формирующие оптические системы. Чаще всего это — афокальные оптические системы (см. главу 1). Подробнее они будут рассмотрены ниже. Необходимо отметить, что для решения задачи о формировании излучения с малым углом расходимости используют плоские устойчивые оптические резонаторы (о.р.). Опыт показывает, что они создают наименьшую расходимость излучения. Указанные о.р. редко используются на практике, поскольку обладают относительно высокими дифракционными потерями. Однако для нулевой поперечной моды эти потери малы по сравнению с модами высших порядков. Именно эта мода рассматривается в настоящей работе в связи с тем, что в ней сосредоточена наибольшая энергия, а расходимость минимальна. При очень малых углах расходимости существенное влияние оказывают волновые аберрации, вносимые линзами оптической системы (о.с.), которые увеличивают расходимость.

Они рассчитываются для обычного света, исходя из геометро-оптических соображений (см. главу 1).

Однако геометрическая оптика не может учесть дифракционные и интерференционные явления, которые совершенно по-особому проявляются в процессах формирования и распространения лазерного излучения через слои свободного пространства и оптические системы.

В настоящей работе рассматривается другой, волновой, метод расчета аберраций линз. Необходимо получить возможность сознательного синтеза элементов оптической системы с целью достижения заданной по техническим условиям (т.у.) или техническому заданию (т.з.) малой величины расходимости. Такую задачу удобнее решать методом скалярной теории дифракции. Трудность решения задачи этим методом заключается в сложности формирования гибкой системы приближений, которыми заменяется реальная система, т. е. в построении аберрационной математической модели, исследование которой позволило бы получить приближенные аналитические зависимости.

Вообще, лазерные пучки, формируемые плоскими оптическими резонаторами и преобразованные оптическими системами, мало исследованы аналитическими методами даже в параксиальном приближении. Существует потребность, помимо указанных выше задач, подробно проанализировать геометрические характеристики этих пучков в пространстве за преобразующей излучение линзою (или оптической системой, ей эквивалентной). Необходимо получить адекватную математическую модель преобразования излучения, которая позволила бы исследовать геометрию поля. При этом целесообразно использовать интеграл Кирхгофа (см. главы 1,3) и метод оптически сопряженных плоскостей. Подробно указанный метод описан во второй главе. В результате исследования модели становится возможным установить критичность функции расходимости на выходе оптической системы к числам Френеля. Последнее также мало исследовано в работах, выполненных ранее.

Желательно получить приближенные аналитические выражения для погрешностей функции интенсивности, возникающие вследствие искажений, вносимых слоем свободного пространства в волновой фронт, и вследствие частичной когерентности лазерного излучения (конечной ширины спектральной линии) с целью установления их влияния на расходимость излучения. Не теряя полноты общности, погрешности могут быть исследованы в плоскости заднего фокуса линзы. Таким образом, они сводятся к погрешностям оптического фурье — преобразования (ОФП). Желательно получить аналитические модели, поскольку расчет полей через интеграл Кирхгофа дает лучшее соответствие с опытом при его вычислении аналитическими методами.

В настоящее время не существует аналитических методов, позволяющих рассчитать расходимость излучения лазера на выходе оптических систем с учетом аберраций и, следовательно, провести сознательный синтез элементов о.с., исходя из минимизации аберраций. Существуют лишь пакеты прикладных программ, позволяющие находить численные значения выходных параметров по заданным входным. Однако они не позволяют проводить сознательный синтез, т.к. не всегда соответствуют реальной волновой природе света, поскольку построены по принципам геометрической оптики.

Ранее, с применением скалярной теории дифракции, ввиду отсутствия гибких систем приближений (т.е. математических моделей), были получены аналитические выражения лишь для простейших, в том числе безаберрационных схем (см. главу 1).

Таким образом, построение математических моделей, описывающих преобразование излучения при прохождении через линзы и слои свободного пространства, является актуальной научно-технической задачей. При этом необходимо рассмотреть физические и математические допущения, обосновывать необходимость или возможность их.

Получение приближенных аналитических решений посредством исследования моделей может позволить найти пути к численному моделированию с использованием интеграла Кирхгофа.

В литературе не встречается описание гибких методик расчета расходимости на выходе о.с. и алгоритмов синтеза о.с. Это связано, как было отмечено выше, с отсутствием аналитических зависимостей, определяющих геометрию пучка лазерного излучения на выходе оптической системы с учетом аберраций линз.

Методики желательно представить текстуально, а алгоритмы представить графически.

Получение таких алгоритмов и методик является также актуальной задачей.

Отметим, что формула для расходимости лазерного излучения на выходе о.с., с учетом аберраций линз, выведенная с применением интеграла Кирхгофа, позволяла бы рассчитывать расходимость излучения не только на выходе афокальных оптических систем (а.о.с.), но и на выходе произвольных двухлинзовых систем. Достаточно лишь учесть, что расстояние между линзами о.с. не будет равно в случае произвольной (не афокальной) о.с. сумме фокусных расстояний первой и второй линзы.

Тема исследований.

Темой настоящей диссертационной работы является прохождение лазерного излучения через различные оптические системы.

Известно, что в последние десятилетия использование лазерного излучения получило большое распространение. Следовательно, необходимым является и решение проблем преобразования характеристик лазерного излучения. Излучение лазера преобразуется различными оптическими системами, в результате чего сильно изменяются его как геометрические, так и энергетические характеристики. Различные о.с. совершенно по-разному изменяют эти характеристики, в частности, распределение комплексных амплитуд, интенсивностей, расходимость индуцированного излучения. Следует отметить, что геометрические характеристики лазерного излучения тесно связаны с энергетическими. Поэтому, например, вопрос о концентрации излучения в узком телесном угле требует для своего решения изменения геометрических характеристик. Тогда становится возможным варьировать величину этого угла и, следовательно, концентрацию энергии в нем. Решение такого рода задач особо необходимо, например, для сварочных установок.

Вопросы контроля качества некоторых объектов (например, профиль резьбы) также требуют использования монохроматических лучей и, следовательно, прежде всего лазерного излучения. Здесь необходимо исследовать когерентные характеристики лазеров, аберрационные свойства оптических систем. Известно, что линзы вносят искажения в проходящий через них световой пучок, даже если он монохроматичен. Это связано с формой линз. Они создают изменения в волновом фронте, следовательно, влияют как на геометрию, так и на энергетику пучка. К тому же различные лазерные резонаторы дают различные типы пучков и таким образом влияют на решение описанных выше задач.

В настоящей работе исследуются, как было отмечено выше, плоские о.р., дающие наименьшую расходимость. При этом рассматриваются одиночные линзы с учетом аберраций, афокальные и произвольные о.с. Рассматривается их влияние на характеристики лазерного излучения.

Цель работы, основные задачи.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка и исследование математических моделей преобразования оптического лазерного излучения при прохождении прозрачных сред (слои свободного пространства, линзы, о.с.) для получения оценок влияния аберраций линз о.с. и параметров лазера на геометрию лазерного пучка и разработки на основе этого методик синтеза о.с. О прозрачности говорится в том смысле, что амплитудным поглощением во всех средах, через которые проходит лазерное излучение, мы пренебрегаем. Таким образом, линзы и слои свободного пространства рассматриваются только как фазовые корректоры. В начале выстраивается модель, описывающая преобразования поля линзами и слоями пространства, вблизи оптической оси (параксиальная модель). А затем — учитывающая волновые аберрации линз (аберрационная модель). Результатом является получение приближенных аналитических зависимостей, которые позволяют установить критичность указанных функций к тем или иным параметрам функциональных зависимостей, а также (что особенно важно) позволяют проводить сознательный синтез о.с.

При этом решаются следующие задачи:

1) В результате построения и исследования параксиальной модели выводятся геометрические характеристики пучка, преобразованного линзой и системой линз (на примере двухлинзовой), подробно анализируется пространственная структура поля, сформированного плоским оптическим резонатором, на выходе оптической системы.

2) На основе построенной математической модели исследуется критичность геометрических характеристик лазерных пучков, сформированных плоскими оптическими резонаторами и преобразованных линзами или оптическими системами, к числам Френеля, т. е. фактически к параметрам лазера.

3) В результате исследования построенной аберрационной модели, с использованием скалярной теории дифракции, выводится формула для расходимости на выходе двух линзовой афокальной оптической системы с учетом аберраций.

4) Разрабатываются методики расчета расходимости с учетом аберраций линз и методики синтеза оптической системы, формирующей заданную геометрию пучка (расходимость), исходя из минимизации аберраций и обеспечения необходимой расходимости.

Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Впервые разработана адекватная параксиальная модель преобразования излучения оптическими системами, позволяющая проводить подробное исследование характеристик поля, сформированного плоским оптическим резонатором и преобразованного оптической системой, установить критичность этих характеристик к числам Френеля для пучков, преобразованных линзой или системой линз.

2) На основе означенной модели проведен приближенный расчет геометрических параметров лазерного излучения плоского резонатора на выходе оптической системы.

3) Впервые разработана математическая модель, позволяющая получить приближенную аналитическую зависимость для расходимости на выходе двух линзовой оптической системы с учетом аберраций каждой из линз (аберрационная модель). Выведены приближенные аналитические зависимости для расходимости и волновых аберраций каждой из линз.

4) Исследование аберрационной модели позволило установить влияние аберраций линз двух линзовой оптической системы на расходимость. Выведены аналитические зависимости для аберрационной и когерентной погрешностей интенсивности. Расчет их проведен в фокальной плоскости линзы (плоскость формирования пространственно-частотного спектра). Указанный расчет носит модельный характер.

5) Впервые предложены методики расчета расходимости излучения на выходе оптической системы с учетом аберраций линз и методики и алгоритмы синтеза формирующей оптической системы, исходя из минимизации аберраций на базе полученных приближенных аналитических зависимостей.

Практическая ценность.

Практическая ценность работы состоит прежде всего в том, что построение и исследование адекватной математической модели позволяет быстро синтезировать оптические системы, формирующие заданную по техническим условиям расходимость излучения лазера на выходе о.с., исходя из условия минимизации аберраций. Кроме этого, аналитичность полученных зависимостей позволяет провести более гибкую оценку влияния того или иного параметра о.с. и о.р. на расходимость математическими методами. Получение приближенных аналитических зависимостей позволяет в дальнейшем осуществить численное моделирование преобразования излучения, сформированного плоским резонатором, системой линз с использованием скалярной теории дифракции.

Апробация работы.

Основные материалы и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Научный семинар во Всероссийском научно-исследовательском институте оптико-физических измерений (ФГУП «ВНИИОФИ»). — Москва, 2005 г.

2. «Гагаринские чтения XXXI, XXXII, XXXIII», международные научные молодежные конференции. — Москва, 2005 г., 2006 г., 2007 г. соответственно.

3. Всероссийская научно-техническая конференция «Новые материалы и технологии» (НМТ-2006) -Москва, 2006 г.

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах: 5 статьях в научных журналах и сборниках трудов «МАТИ» — РГТУ им. К. Э. Циолковского, 5 научных трудах и тезисах докладов на конференциях.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем составляет 168 страниц печатного текста, включая рисунки.

4.4. Выводы.

Предложен гибкий алгоритм выбора оптической системы для уменьшения расходимости лазерного пучка на ее выходе. В случае если расходимость достаточно велика (в том числе это относится и к неустойчивым резонаторам, более десяти угловых минут), можно ограничиться одиночной коллимационной линзой. Причем, в этом случае аберрации можно не учитывать, поскольку здесь они не сильно влияют на расходимость.

Влияние аберраций на расходимость зависит от величины расходимости. Предложена довольно простая методика вычисления расходимости на выходе с учетом аберраций, которая оформлена графически в виде алгоритма. Расчет предложено производить не по параксиальной формуле, но по формуле, которая выведена в третьей главе (3.19).

Разработан (раздел 4.3.1) алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия частичной минимизации аберраций. Расчет предложено проводить на основе решения системы четырех уравнений. Первые два из которых являют собой условия рх 0, р2 -" 0- вторые два — представляют собой уравнения линз. Предложены рекомендации по выбору свободных конструктивных параметров. Таких параметров оказывается четыре: ivt2, rimax"r2maxРешение системы уравнений позволяет получить связанные параметры линз, представляющие собой радиусы кривизны их оптических поверхностей. Таким образом, установлена возможность синтеза оптической системы и предложена методика синтеза в виде текстовых пунктов и в виде графического алгоритма (см. рис. 4.4).

Разработан алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия полной минимизации аберраций (расходимость на выходе всего несколько десятков угловых секунд). В этом случае к системе уравнений, описываемой выше, добавляются два уравнения V,-«0,V2-"0, которые определяют минимизацию так называемых остаточных аберраций. Методика синтеза предложена текстуально и графически (см. рис. 4.5). Количество свободных параметров уменьшается до двух, что также обеспечивает возможность синтеза оптической системы.

Таким образом, обосновано пятое положение, выносимое на защиту.

Заключение

.

В процессе выполнения работы были получены следующие результаты:

1. Построены математические модели, описывающие преобразование излучения, сформированного плоским резонатором, двухлинзовыми системами, без учета волновых аберраций линз (параксиальная модель) и с учетом аберраций (аберрационная модель).

2. Исследование математической модели преобразования поля линзой (или двухлинзовой системой, ей эквивалентной) позволило установить, что радиусы световых пятен прямо пропорциональны удалению пятна по оптической оси. Геометрические параметры пучка до и после системы связаны линейно.

3. Получены приближенные зависимости для расходимости излучения, сформированного плоским резонатором, на выходе оптической системы и для волновых аберраций линз.

4. Установлено, что в области малых чисел Френеля (N^"5) исследуемая в работе функция расходимости на выходе оптической системы особо критична к этим числам. В области больших чисел Френеля (N>"5) расходимость практически не зависит от них. С понижением чисел Френеля расходимость уменьшается.

5. Установлено, что основная часть аберраций, создаваемых линзами афокальной оптической системы, описываемая величинами р{ и р2, входит в полученную формулу распределения поля на выходе оптической системы автономно. Это приводит к тому, что для каждой из линз существует возможность независимого устранения аберраций.

6. Выведенная в результате исследования модели аналитическая зависимость расходимости на выходе с учетом аберраций позволила получить оценки влияния их на расходимость. Устранение части аберраций, описываемых /?, и /?2, не ведет к их полному устранению. Показано, что при небольших расходимостях, которые соответствуют плоским резонаторам, вклад остаточных аберраций, описываемых выражениями V, и V2, в уширение пучка достаточно велик («40%). Установлено, что остаточные аберрации входят в формулу расходимости автономно.

7. Проведенные на основе модельной схемы оптического фурьепреобразования оценки аберрационной и когерентной погрешностей функции интенсивности в плоскости ПЧС показали, что слой свободного пространства вносит пренебрежимо малые погрешности в функцию интенсивности вблизи оптической оси (относительная погрешность для типового случая «5%, расстояние от оси не более 10 мкм). Фактор частичной когерентности лазерного излучения вносит еще меньшую погрешность. С увеличением расстояния от оптической оси в плоскости ПЧС влияние аберрационной погрешности на функцию интенсивности резко возрастает.

8. Предложен алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия частичной минимизации аберраций. Решение системы уравнений позволяет получить связанные параметры линз, представляющие собой радиусы кривизны их оптических поверхностей. Методика синтеза оптической системы представлена в виде текстовых пунктов и в виде графического алгоритма. Показано, что свободных параметров — четыре. Этого достаточно для синтеза системы.

9. Предложен алгоритм расчета конструктивных параметров линз, исходя из условия полной минимизации аберраций (расходимость не превышает двух — трех десятков угловых секунд). Методика синтеза изложена также текстуально и графически. Показано, что в этом случае имеются два свободных параметра, что также достаточно для обеспечения синтеза.

Таким образом, решена актуальная научно-техническая задача построения и исследования математических моделей, описывающих преобразование поля, сформированного плоским резонатором, оптическими системами. Получены приближенные формулы для аберраций, расходимости и уравнения синтеза оптических систем, исходя из минимизации аберраций линз.