Асимптотическая эффективность критериев экспоненциальности, свободных от параметра масштаба

Экспоненциальное распределение играет важную роль в теории вероятностей, математической статистике и приложениях, таких, как теория надежности, анализ данных типа времени жизни и др. (см., например, [2], [4], [5]). В последние годы было построено множество критериев проверки экспоненциальности в тех или иных непараметрических классах распределений ([29], [50], [17], [25], [30], [35], [60] и др.). Первые же критерии экспоненциальности появились, по-видимому, в середине двадцатого века (критерии Гринвуда [28], Морана [40] и ряд других [55], [18], [24], несколько позже — критерий Лильефорса [37]).

Регулярно появляются обзорные работы, где систематизируются методы построения и исследования критериев экспоненциальности (кроме статьи Эп-стейна [24], которая была, по-видимому, первой работой такого рода, упомянем также обзоры [21], [58], [13], [32] и соответствующие разделы в [4] и [20]). Имеются даже два справочника, посвященные экспоненциальному распределению и родственным с ним распределениям [15], и [41], в которых описан ряд критериев экспоненциальности.

Самая общая постановка задачи проверки экспоненциальности выглядит так: пусть A’i,., Хп — повторная выборка, т. е. набор независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.), имеющих функцию распределения (ф.р.) F. Требуется на основании наблюдений Xi,., Xn проверить сложную основную гипотезу состоящую в том, что F принадлежит классу экспоненциальных распределений? с неизвестным параметром масштаба Л:

F: F (x) = 1 — e~Al, А > 0, ж > 0}.

Альтернативная гипотеза Hi состоит в том, что F не принадлежит S. Иногда класс альтернатив сужается, например, до класса альтернатив с возрастающей или убывающей функцией интенсивности отказов (соответственно, ВФИ или УФИ), класса «новое-лучше-старого» (см., например, [33]) или до так называемых ?-, Ми? Л1-классов (см. [30], [35], [36], где построены критерии, состоятельные в этих классах).

Весьма популярны критерии, основанные на многочисленных характериза-циях экспоненциального распределения. Например, в [12] и [11] построены статистики, основанные на свойстве отсутствия последействия и его «упрощенных» вариантах, которые могут быть выражены функциональными уравнениями для экспоненциальной функции распределения. Другие критерии, основанные на характеризациях экспоненциального распределения, подробно изучаются в диссертациях [б] и [47]. Критерии экспоненциальности, основанные на характеристических свойствах экспоненциально распределенных случайных векторов и их преобразований, построены в работах [3] и [60]. В последнее время при построении критериев экспоненциальности используются также функциональные уравнения для преобразований Лапласа и Фурье для экспоненциального распределения (например, работы Барингхауза и Хенце [16], Хепце и Мейнтаниса [31]). Кроме того, для проверки экспоненциальности против параметрических альтернатив могут использоваться критерии отношения правдоподобия (например, как показали Моран [40] и Шорак [56], критерий Морана является равномерно наиболее мощным против гамма-альтернативсм. также [5], Глава 3). Однако такие критерии редко имеют удобный для вычисления вид и, кроме того, могут оказаться непригодными при изменении альтернативы.

Критерии экспоненциальности часто не сводятся к известным и хорошо изученным видам статистик (таким, как суммы независимых случайных величин или [/-статистики), а имеют довольно причудливую структуру, так что иногда даже нахождение предельного распределения при нулевой гипотезе становится нетривиальной задачей (см., например, [60]).

Для построения и изучения критериев, свободных от масштаба, удобно перейти к нормированным случайным величинам Ui = Xi/X, i = 1,., п, где X выборочное среднее случайных величин Х,., Хп. Эти случайные величины, очевидно, зависимы (их сумма равна п). Можно построить на основе этих случайных величин эмпирическую функцию распределения и изучать функционалы от нее. Предельные теоремы для статистик такого рода изучались, например, в [46].

При изучении асимптотических свойств критериев бывает полезно сгруппировать их, исходя не из способа построения, а из структуры. Так, в работе [б] исследование критериев становится возможным благодаря тому, что все они имеют структуру Uили У-статистик, для которых хорошо развита асимптотическая теория. Мы же предлагаем выделить среди известных критериев экспоненциальности еще три группы.

Пусть случайные величины ?/j, г = 1,., п, определены как выше, и пусть Щ1) <. < [/(«) — соответствующий вариационный ряд. Критерии из первой группы имеют вид где г — некоторая функция, заданная на положительной полуоси. К этой группе относятся хорошо известные статистики Морана и Гринвуда, а также статистики Шермана [55], Кокса — Оукса [5], Эппса — Пулли [23] и ряд семейств статистик, недавно предложенных Хенце и Кларом (см. [30], [35], [36]).

Во вторую группу входят критерии вида где r (s, х) — функция, определенная на первом квадранте. Сюда относятся критерии Лильефорса [37], [22], Барингхауза — Хенце [17], а также их взвешенные варианты.

Наконец, третья группа, предложенная Шораком и Уэллнером в [57], содержит нормированные L-статистики (то есть линейные комбинации порядковых статистик f/(j)) с коэффициентами witn, г = 1,., п: i=l.

Как отмечалось в [57], к этой группе можно отнести статистику Джексона [34]- статистика Джини [26] и недавно предложенная в [25] статистика ФортианаГране также принадлежат к этой группе.

Перечислим преимущества такого подхода. Во-первых, варьируя r (s), r (s, x) или Wi>n, i = 1,., п, соответственно, мы можем строить новые критерии экс-поненциальности, имеющие очень простой для вычисления и исследования вид. Во-вторых, мы можем вычислять асимптотические характеристики не для отдельных статистик, а сразу для всей группы (разумеется, при некоторых ограничениях). Наконец, любые утверждения, доказанные для случайного вектора (U,., Un), допускают переформулировки в терминах двух других распределений, имеющих многочисленные приложения в теории вероятностей и математической статистике: это равномерное распределение на отрезке и многомерное распределение Дирихле на симплексе.

При построении и изучении критерия чрезвычайно важен вопрос о состоятельности, то есть о стремлении мощности критерия к единице при возрастании объема выборки. Как правило, требование состоятельности учитывается при построении критерия, однако для ряда давно известных и употребительных критериев (статистики Морана, Стивенса [59], Джини [26] и некоторые другие), построенных из «эмпирических» соображений, более или менее общие условия состоятельности до сих пор не были установлены: известно было лишь о состоятельности этих критериев против отдельных параметрических семейств альтернатив. В главе 3 настоящей работы мы доказываем состоятельность этих статистик в классе альтернатив с ВФИ или УФИ. Более того, мы выводим общие достаточные условия состоятельности в этих классах для статистик из первой и третьей групп.

Сравнение критериев друг с другом и выбор наилучшего критерия в применении к той или иной модели производится обычно на основе понятия асимптотической относительной эффективности (АОЭ). Существует несколько подходов к определению АОЭ — это эффективность по Питмену, Ходжесу — Леману, Бахадуру и некоторые другие (см. [7]).

Основная цель данной работы — асимптотическое сравнение рассматриваемых критериев экспоненциалыюсти по Бахадуру. Этот вид эффективности выбран по нескольким причинам. Во-первых, для вычисления АОЭ по Бахадуру не требуется асимптотическая нормальность, а статистики из второй группы, очевидно, не являются асимптотически нормальными. Во-вторых, АОЭ по Бахадуру позволяет различать статистики, имеющие одинаковую нитменовскую эффективность, то есть является более тонким методом сравнения критериев. В-третьих, вычисление бахадуровской эффективности требует нахождения грубой асимптотики больших уклонений, что, на наш взгляд, для статистик из вышеперечисленных трех групп является нетривиальной математической задачей, представляющей, в том числе, и самостоятельную ценность. Задача вычисления больших уклонений для критериев экспоненциалыюсти до сих пор была решена лишь в единичных случаях ([б], [47], [8], [65]).

Вычисляя АОЭ критериев экспоненциалыюсти, мы можем оценить их качество и дать обоснованные рекомендации по их использованию на практике.

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава носит обзорный характер: в ней описаны изучаемые в диссертации критерии экспоненциалыюсти, перечислены некоторые свойства и характеризации экспоненциального распределения, основные определения и теоремы теории Бахадура. Вторая глава посвящена нахождению больших уклонений. Для первой и третьей групп статистик доказаны общие теоремы, которые затем применяются к конкретным статистикамдля каждой из двух статистик второй группы также найдена функция уклонений. Это наиболее содержательная и трудоемкая часть работы. Результаты первого раздела этой главы можно также применить к большим уклонениям статистик, основанных на спейсингах равномерного распределения.

В третьей главе обсуждается вопрос о состоятельности изучаемых статистик в классах ВФИ (УФИ) и вычисляются точные наклоны и значения локальной АОЭ по Бахадуру для следующих четырех модельных параметрических семейств альтернатив: плотность Макегама, плотность Вейбулла, плотность с линейной интенсивностью отказов и гамма-плотность. В четвертой главе выводятся условия локальной асимптотической оптимальности всех изучаемых критериев.

По теме диссертации опубликовано 7 работ, они перечислены в конце списка литературы под номерами [62] - [68]. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Асимптотические методы в теории вероятностей и математической статистике» в Санкт-Петербурге в 1998 г.- на международной конференции молодых статистиков (EYSM) в Марли-ле-Руа (Франция) в 1999 г.- на международной конференции «Модели долговечности, старения и деградации в теории надежности, здравоохранении, медицине и биологии» в Санкт-Петербурге в 2004 г.- на семинаре летней школы по математической статистике в Торньоне (Италия) под руководством проф. К. Клаассена в 2004 г.- на семинаре СПбГУ по предельным теоремам теории вероятностей под руководством проф. В. В. Петрова в 1997 г.- на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И. А. Ибрагимова в 2005 г.

Заключение

.

Результаты настоящей работы позволяют дать рекомендации по проверке экспоненциальности с помощью всех изучаемых статистик. В случае, когда нам неизвестен вид альтернативы, стоит воспользоваться одной из изученных нами статистик типа Колмогорова — Смирнова: статистики Лильефорса или статистики БарингхаузаХенце. При этом статистика Барингхауза — Хенце в большинстве случаев предпочтительнее. Для рассмотренных альтернатив она обладает, как правило, чуть более высокой эффективностью, и при этом, в отличие от статистики Лильефорса, имеет стандартное предельное распределение. Впрочем, как видно из последней главы, существуют альтернативы, для которых и статистика Лильефорса локально оптимальна. К преимуществам этих двух статистик можно отнести еще и то, что для их состоятельности не требуется существования математического ожидания наблюдений при альтернативе.

Если известно, что при альтернативе распределение наблюдений принадлежит классу ВФИ (УФИ), то можно применить один из критериев первой или третьей группы, для которого выполнены условия теорем 2.2 или 2.5. Если же альтернатива регулярна и известен ее вид, то статистика первой или третьей группы, построенная согласно замечанию 4.1, при выполнении ряда условий является ЛАО по Бахадуру. Таким образом, нами предложен способ построения локально оптимальных по Бахадуру критериев, имеющих довольно простой вид и асимптотически нормальных.

10] abrahamson, i.g. Exact Bahadur efficiencies for the Kolrnogorov — Smirnov and Kuiper oneand two-sample statistics// Ann. Math. Stat., 1967, 38, No. 5,1475−1490.

11] Ahmad, I., Alwasel, I. A goodness-of-fit test for exponentiality based on the meinoryless property// J. Roy. Stat. Soc., 1999, B61, Pt. 3, 681 — 689.

12] Angus, J.E. Goodness-of-fit tests for exponentiality based on a loss-of-memory type functional equation// Journ. Statist. Plann. Inference, 1982, 6, 241 — 251.

13] Asher S. A survey of tests for exponentiality// Cornmun. Stat. Theory and Methods, 1990, 19, 1811 — 1825.

14] BAHADUR, R.R. Some limit theorem in statistics. Philadelphia: SIAM, 1971.

15]*Balakrishnan, N., basu A. (Eds.). The Exponential Distribution: Theory, Methods and Applications. Gordon and Breach: 1995.

16] baringhaus, L., Henze, N. A class of consistent tests for exponentiality based on the empirical Laplace transform// Ann. Inst. Statist. Math., 1991, 43, 551 — 564.

17] baringhaus, L., Henze, N. Tests of fit for exponentiality based on a characterization via the mean residual life function// Statistical Papers, 2000, 41, 225−236.

18] Bartholomew, D.J. Testing for departure from the exponential distribution// Biometrika, 1957, 44, 253 — 256.

19] Chernoff, H. A measure of asymptotic efficiency for tests of a hypothesis based on sums of observations//Ann. Math. Stat., 1952, 23, No. 4, 493−507.

20] D’Agostino, R., Stephens, M. Goodness-of-fit techniqus. New York: Marcel Dekker, Inc, 1986.

21] doksum, K.a., Yandell B.S. Tests of exponentiality. //In: Handbook of Statistics, 1984, 4(2), North-Holland, 579 — 612.

22] Durbin, J. Kolmogorov — Smirnov tests when parameters are estimated with applications to tests to exponentiality and tests on spacings// Biometrika, 1975, 62, 5−22.

23] Epps T.W., Pulley L.B. A test for exponentiality vs. monotone hazard alternatives derived from the empirical characteristic functions// J. Roy. Stat. Soc., 1986, Ser. B, 48, 206 — 213.

24] Epstein, B. Testing for the validity of the assumption that the underlying distribution of life is exponential// Technometrics, 1960, 2, 1 — 2, p.83 — 101, 167 — 183.

25] Fortiana, G., Grane, A. A scale-free goodness-of-fit statistic for the exponential distribution based on maximum correlations// Journ. of Statist. Plann. Inference, 2002, 108, 85−97.

26] Gail, M.H. and GASTWIRTH, J.L. A scale-free goodness-of-fit test for the exponential distribution based on the Gini statistic// J. Roy. Stat. Soc., 1978, B40, No. 3, 350−357.

27] Girone, G. La distribuzione del rapporto di concentrazione per campioni casuali di variabili esponenziali. In: Studi di Probability, Statistica e Ricerca Operativa in onore di G. Pompilj, G. Dall’Aglio (ed.), 1971, Oderisi, Gubbio, 320 — 326.

28] Greenwood, M. The statistical study of infectuous diseases// J. Roy. Stat. Soc., 1946, Ser. A, 109, 85−110.

29] Grzegorzewski P., Wieczorkowski, R. Entropy-based goodness-of-fit tests for exponentiality// Commun. Stat. — Theor. Meth., 1999, 26, 1183 -1202.

30] Henze, N. and Klar, B. Testing exponentiality against the ?-class of life distributions// Mathern. Meth. Stat., 2001, 10, 232 — 246.

31] Henze, N., Meintanis, S.G. Goodness-of-fit tests based on a new characterization of the exponential distribution// Commun. Statist. — Theor. Meth., 2002, A31, 1479 — 1497.

32] Henze, N., Meintanis, S.G. Recent and classical tests of exponentiality: a partial review with comparisons// Metrika, 2005, 61, 29 — 45.

33] Hollander, M., Proschan, F. Testing whether new is better than used// Ann. Math. Stat., 1972, 43, p. 1136 — 1146.

34] jackson, O.A.Y. An analysis of departures from the exponential distribution// J. Roy. Stat. Soc., 1967, B29, 540−549.

35] klar, B. On a test for exponentiality against Laplace order dominance// Statistics, 2003, 37, 505 — 515.

36] KLAR, B. Tests for exponentiality against the M. and CM classes of life distributions// Test, 2005, 14, No.2.

37] Lilliefors, H. On the Kolmogorov-Smirnov test for the exponential distribution with mean unknown// J. Amer. Stat. Ass., 1969, 64, 387−389.

38] litvinova, V.V. Asymptotic Properties of Some Tests for Exponentiality// Модели долговечности, старения и деградации в теории надежности, здравоохранении, медицине и биологии (Материалы международной конференции LAD'2004, Санкт-Петербург, 3−5 июня 2004), том 2, стр. 206.

39] Metz, J.A.J., Haccou, P. and Meelis, E. On the Shapiro-Wilk test and Darling’s test for exponentiality// Biometrics, 1994, 50, 527−530.

40] moran, P. The random division of an intervalPart II// J. Roy. Stat. Soc., Ser. B, 1951, 13, No. 1, 147−150.

41] Nabendu, P., Chun J. and Crouse, R. Handbook of Exponential and Related distributions for Engineers and Scientists. Chapman and Hall: 2002.

42] Nikitin Ya.Yu. Bahadur efficiency of a test of exponentiality based on a loss-of-memory type functional equation// J. Nonparametric Statist., 1996. 6, No. 1, 13 — 26.

43] Patel, Jagdish K., Kapadia, C.H., Owen, D.B. Handbook of statistical distributions. Statistics: Textbooks and Monographs., Vol.20. New YorkBasel: Marcel Dekker Inc., 1976.

44] plachky, D., Steinebach, J. A theorem about probabilities of large deviations with an application to queuing theory// Periodica Mathematica Hungar-ica, 1975, 6, No. 4, 343−345.

45] PURI, p. S. and Rubin, H A characterization based on the absolute difference of two i.i.d. random variables// Ann. Math. Stat., 1970, 41, 2113−2122.

46] Randles, R.H. On the asymptotic normality of statistics with estimated parameters// Ann. Statist., 1982, 10, No. 2, 462−474.

47] Rank, R.F. Statistische Anpassungtests und Warscheinlichkeiten grofier Ab-weichungen. Vom Fachbereich Mathematik der Universitat Hannover zur Er-langung des Grades Doktor der Naturwissenschaften Dr.rer.nat. genehmigte Dissertation. Hannover, 1999.

48] Rao, J.S. Bahadur efficiency of some tests for uniformity on the circle// Ann. Math. Stat., 1972, 43, No.2, 468 — 479.

49] Rao, J.S. and Sethuraman, J. Weak convergence of empirical distribution functions of random variables subject to perturbations and scale factors// Ann. Statist., 1975, 3, No.2, 299−313.

50] Sen, K.S. and Srivastava P.V. Tests for exponentiality against new better than old in expectation and new better than some used in expectation alternatives// Сornmun.Statist. — Theor. Meth., 2000, 29, 157 — 180.

51] sethuraman, J., Rao, J.S. Pitman efficiencies of tests based on spacings// Nonparametric Techniques in Statistical Inference, 405−416, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1970.

52] Shanbhag, D.N. Characterizations for exponential and geometric distributions// J. Amer. Stat. Ass., 1970, 65, 1256−1259.

53] SHAO, Q.-M. Self-normalized large deviations// Ann. Probab., 1997, 25, 285 328.

54] Shapiro, S., Wilk, M. An analysis of variance test for the exponential distribution complete samples// Technometrics, 1972, 14, 355−370.

55] Sherman, B. A random variable related to the spacing of sample values// Ann. Math. Stat., 1950, 421, 339 -361.

56] SHORACK, G.R. The best test of exponentiality against gamma alternatives// J. Amer. Stat. Ass., 1972, 67, No. 337, 213−214.

57] Shorack, G.R., Wellner, J.A. Empirical Processes with Applications to Statistics. New York: Wiley, 1986.

58] Spurrier, J.D. An overview of tests for exponentiality. // Commun. Statist. — Theor.Meth., 1984, 20, 33−35.

59] Stephens, M.A. On the W test for exponentiality with origin known// Technometrics, 1978, 13, 1635 — 1654.

60] taufer, e. and Jammalamadaka, S.R. Testing exponentiality by comparing the empirical distribution function of the normalized spacings with that of the original data// J. Nonparametric Stat., 2003, 15, No.6, 719 — 729.

61] Ziiou, X., Jammalamadaka, S.R. Bahadur efficiencies of spacings tests for goodness of fit// Ann. Inst. Statist. Math., 1989, 41, No. 3, 541−553.

Публикации автора по теме диссертации.

62] Чирина, А. В. Бахадуровская эффективность критерия экспоненциалыюсти, основанного на свойстве отсутствия последействия// Записки научных семинаров ПОМИ РАН, 1997, т. 244, с. 315−329.

63] Чирина, А. В. Асимптотическая эффективность и локальная оптимальность по Бахадуру критерия экспоненциальности, основанного на статистике Морана// Записки научных семинаров ПОМИ РАН, 2002, т. 294, с. 245−259.

G4] Чирина, А. В. Большие уклонения некоторых свободных от параметра масштаба функций от выборки из гамма-распределения// Записки научных семинаров ПОМИ РАН, 2003, т. 298, с. 252−279.

65] Nikitin, Ya.Yu., Tchirina, A.V. Bahadur efficiency and local optimality of a test for the exponential distribution based on the Gini statistic// J. Ital. Statist. Soc., 1996, Vol. 5, No. 1, 163−175.

66] Nikitin, Ya.Yu., Tchirina, A.V. Tests of exponentiality based on characterizations and their efficiencies. // Международная конференция «Асимптотические методы в теории вероятностей и математической статистике». Санкт-Петербург, 24 — 28 июня 1998 г. Тезисы докладов, стр. 207 — 210.

67] TCHIRINA, A.V. Asymptotic properties of a test for exponentiality based on the Gini statistics. //Eleventh European Young Statisticians' Meeting (EYSM), Marly-le-Roi, France, August 24 — 28, 1999, pp. 186−199. http: / / www.inra.fr/miaj / public/SCS/EYSM/eysmactes.ps.

68] TCHIRINA, A.V. Asymptotic Comparison of Scale-Free Exponentiality TestsjjМодели долговечности, старения и деградации в теории надежности, здравоохранении, медицине и биологии (Материалы международной конференции LAD'2004, Санкт-Петербург, 3−5 июня 2004 г.), т. 2, стр. 308 — 309. т.