Предельные теоремы для стохастических моделей взаимодействующих частиц

1 Модель слипающихся частиц 1.1 Описание модели.

Первая глава диссертации посвящена изучению стохастической модели одномерного газа. В начальный момент газ состоит из п одинаковых частиц, каждая из которых является материальной точкой массы ^ со случайной начальной скоростью и случайным начальным положением. Частицы газа притягиваются друг к другу. При столкновениях частицы слипаются, образуя новую частицу, называемую кластером, масса и скорость которой определяются законами сохранения массы и импульса. Движение между столкновениями подчинено второму закону Ныотона.

Мы предполагаем, что сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс и не зависит от расстояния, что достаточно естественно для одномерных моделей (действительно, из теоремы Гаусса, примененной к потоку гравитационного поля, следует, что сила притяжения пропорциональна расстоянию в степени единица минус размерность пространства). Коэффициент пропорциональности, не умаляя общности, полагаем равным единице. Отсюда ускорение произвольной частицы (или кластера) равно разности масс, находящихся справа и слева от этой частицы.

Таким образом, динамика рассматриваемой системы является полностью детерминированной. Случайность входит лишь в начальные данные частиц, и сейчас мы определим механизм, порождающий эту случайность.

Начальные положения частиц описываются при помощи следующих моделей. В равномерной модели положения частиц являются независимыми равномерно распределенными на [0,1] случайными величинами. В модели с независимыми расстояниями, далее именуемой н.р.-моделью, частицы изначально располагаются в точках ~Si,^62, • • • 5 п^п, гДе случайное блуждание с неотрицательными приращениями Хг-, удовлетворяющими нормирующему условию ЕXi = 1. Здесь можно выделить два особенно интересных частных случая. Модель с независимыми расстояниями, в которой Х{ имеют стандартное экспоненциальное распределение, называют пуассонов-ской — это связано с тем, что частицы находятся в точках п первых скачков пуассоновского процесса интенсивности п. Если же все Xi = 1, то мы имеем дело с неслучайной моделью, которую называют решетчатой.

Равномерная и пуассоновская модели являются наиболее естественными и интересными, поэтому мы будем называть их основными моделями начальных положений. Им посвящены многочисленные статьи о системах слипающихся частиц, например, [4, 34, 35, 38]. Модель с независимыми расстояниями, обобщающая пуассоновскую модель, была впервые рассмотрена автором в работе [55]. Ее введение объясняется тем, что в поведении газа ключевую роль играет именно независимость расстояний между частицами, а не вид распределения этих расстояний, см. § 3.

Для описания случайных начальных скоростей частиц используют две модели, см. [19, 34, 38, 44]. В холодном газе все начальные скорости нулевые, а в теплом газе начальные скорости частиц равны anv 1, crnv2,., anvn, где crn > 0 — некоторые нормирующие константы, a V{ - независимые одинаково распределенные случайные величины, которые предполагаются независимыми со случайными величинами, задающими начальные положения. Наиболее часто рассматривают основной случай ап = а > 0.

Хорошо известно (см., например, статью Лифшица и Ши [38]), что поведение теплого газа с сгп = а существенно отличается от поведения холодного газа. Зависимость ап от п впервые рассмотрена в работе [38], в которой также описано любопытное явление «фазового перехода» между холодным и теплым газом. Оказывается, что если ап малы, то есть газ недостаточно теплый, поведение системы частиц соответствует холодному случаю. Если же огп достаточно велики, система ведет себя абсолютно по-иному, что соответствует основному случаю теплого газа с ап = а.

Мы будем считать, что Ег^ = 0. Общий случай получается из рассматриваемого добавлением сдвига с постоянной скоростью, что, конечно же, не влияет на характеристики системы частиц и соответствует переходу к другой системе отсчета. Мы также всегда будем предполагать, что Ю) г-г- = 1, хотя изучение теплого газа возможно и при существенно более тяжелых хвостах распределения см. Куоза и Лифшиц [17].

В диссертации наибольшее внимание уделено холодному газу, а немногочисленные утверждения о теплом газе были получены именно для описания качественной разницы между этими случаями. Несмотря на кажущуюся простоту модели, холодный газ, в котором случайны только начальные положения частиц, представляет собой интересный и содержательный объект для изучения. Схожая ситуация, когда случайны лишь начальные скорости, а начальные положения задаются решетчатой моделью, рассмотрена в работах [10, 17, 19, 39, 44].

В последние десять-пятнадцать лет наблюдается повышенный интерес к системам слипающихся частиц, который вызван их тесной связью с некоторыми дифференциальными уравнениями в частных производных, возникающими при описании движения жидкостей и газов. Одним из таких уравнений является уравнение Бюргерса, используемое в качестве простейшей модели гидродинамической турбулентности, см. Гурбатов и др. [7]. Решения этого и схожих уравнений допускают непосредственную интерпретацию в терминах слипающихся частиц, см. Гурбатов и др. [7], Бренье и Гренье [26], а также И, Рыков и Синай [31]. Кроме того, слипающиеся частицы могут быть использованы для построения численных решений некоторых дифференциальных уравнений в частных производных, см. Черток и др. [30].

С ходом времени частицы слипаются в кластеры, размер кластеров увеличивается, а число кластеров число уменьшается. Наконец, все частицы слипаются в один большой кластер. Описанный процесс слипания упрощенно напоминает образование звезды из космической пыли. И в самом деле, схожие системы слипающихся частиц находят применения в астрофизике, о чем будет подробно рассказано в § 1.2. Кроме того, процесс образования и укрупнения кластеров тесно связан с так называемым аддитивным слипанием (additive coalescence), см. Бертуан [23] и Жиро [35].

Стоит также упомянуть о связи между рассматриваемой здесь моделью и схожей моделью, в которой гравитация отсутствует, а между столкновениями слипающиеся частицы движутся по инерции. Такая модель, называемая баллистической, более естественна в том смысле, что отсутствие гравитации полностью снимает все вопросы о постулированной в нашей модели независимости силы притяжения от расстояния. Некоторые свойства баллистической модели изучены в работах Мартина и Пясецкого [43] и Лифшица. и Ши [39]. Оказывается, что при должном выборе начальных положений и скоростей частиц, гравитационная модель сводится к баллистической при помощи простой неслучайной замены времени: Эта идея была недавно раз-, вита Куозой и Лифшицем.

Одномерная модель слипающихся частиц с независящей от расстояния гравитацией была впервые рассмотрена в независимых работах Мартина и Пясецкого [44] и И, Рыкова и Синая [31]. Мотивировка первых авторов заключалась лишь в том, что методы, разработанные ими в [43] для баллистической модели, работают и в этом случае. Авторы же [31] рассматривали модель с гравитацией в связи с дифференциальными уравнениями в частных производных, о чем уже было сказано выше.

1.2 Постановка задач.

Теперь, когда стохастическая модель одномерного газа описана, возникает естественный и очень общий вопрос: а как ведет себя процесс слипания? Например, каков размер типичного кластера? Когда все частицы слипнутся в один большой кластер? Каков размер максимального кластера?

Изучению различных характеристик процесса слипания посвящено большое количество статей, например, [4, 17, 34, 38, 44]. Их результаты формулируются в виде предельных теорем при числе частиц 77., стремящемся к бесконечности. Таким образом, изучается поведение «типичной» системы, состоящей из большого количества частиц. Не асимптотические результаты практически отсутствуют, так как их получение в явном виде возможно лишь в исключительных и достаточно простых частных случаях.

Для описания процесса слипания мы остановимся на двух его характеристиках. Первая из них — это количество кластеров, которое мы обозначим Kn (t), где t — это время, а индекс п всегда будет указывать на число начальных частиц. При подсчете Kn{t) мы учитываем и исходные частицы, к моменту t не испытавшие столкновенийтаким образом, термин «кластер» мы понимаем чуть шире, чем результат слипания частиц. Иными словами, Kn (t) равно числу всех частиц, существующих в газе в момент t. Вторая характеристика — это кинетическая энергия газа, которую мы обозначим En{t) и определим как суммарную кинетическую энергию всех кластеров газа.

Ясно, что Kn (t) является убывающей ступенчатой случайной функцией, для которой Кп (0) = п и Kn{t) = 1 при t > где Tjasi означает момент последнего столкновения. En (t) тоже является случайной функцией, но уже кусочно-квадратичной, поскольку между столкновениями движения всех частиц равноускорены.

Знание поведения величин Kn (t) дает много информации о процессе слипания, поскольку в среднем размер кластера в произвольный момент времени t равен. Изучение же кииетической энергии важно потому, что она напрямую связана с такой фундаментальной физической характеристикой газа как температура.

Несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных различным свойствам систем слипающихся частиц, величины Kn (t) и En (t) ранее никем систематически не изучались. Единственный результат о числе кластеров для одного очень частного случая можно найти в статье Су-идана [19]. Упоминание о кинетической энергии газа, а также некоторые предположения о ее поведении, сделанные на основании компьютерного моделирования, присутствуют в работе Бонвина и др. [25]. Таким образом, теоретическое изучение энергии впервые осуществлено автором диссертации.

Прежде чем формулировать полученные результаты, рассмотрим простой и полезный детерминистический пример — поведение холодного газа при решетчатой модели начальных положений. Оказывается, что до момента t = 1 столкновения отсутствуют, а при t = 1 все частицы одновременно слипаются в один большой кластер. Действительно, так как г-ая частица.

77—7 7—1 Ti — А-Л изначально испытывает ускорение ^ — — «и движется равноускоренно до момента своего первого столкновения, то до этого момента ее положение меняется во времени как ^ + 12. Поэтому если первое столкновение в системе происходит между j-ovi и (j + 1)-ой частицами в момент то j + = + n» 2(j2:1)+1^, откуда U = 1. Значит, до t = 1 столкновений нет, и положение произвольной частицы г есть ^ + при всех t < 1. Отсюда находим, что при t = 1 происходит одновременное столкновение всех частиц.

Таким образом, в рассмотренном нами случае T^ast = 1. Оказывается, что в холодном газе при любой из рассмотренных моделей начальных положений.

Tlnast, А 1, П -> оо. (1).

Этот результат получен Жиро [34] для пуассоновской и равномерной моделей и обобщен автором на случай н.р.-модели в предложении 3.3. Аналогичное соотношение (см. (5) ниже) справедливо и для теплого газа, см. Суидан [19] и Лифшиц и Ши [38]. Отсюда ясно, почему момент t = 1, который асимптотически является моментом последнего столкновения, называют критическим.

1.3 Результаты.

Начнем с формулировки результатов о числе кластеров, которые мы получили для холодного газа. Как мы видели ранее, в холодном газе при решетчатых начальных положениях справедливо Kn{t) = п для 0 < t < 1 и Kn{t) = 1 для t > 1. Если же начальные положения частиц случайны, то процесс слипания ведет себя абсолютно по-иному, о чем свидетельствует приведенная ниже теорема. Перед тем, как ее сформулировать, обозначим li := sup {у: ¥-{Х{ < у} = О}.

Теорема 4.1. В холодном газе при п.р.-модели начальных положений существует такая неслучайная функция a (t) (зависящая от распределения Xi), что для любого t ф 1 справедливо п-^оо. (2) п.

Функция a{t) не возрастает, a{t) = 1 на [0, л/Ц), a (t) Е (0,1) на (л/Ц, 1) и a (t) = 0 на (1, оо). Если распределение Х{ непрерывно, то a (t) непрерывна на [0,1). Если же ЕХ? < оо, то (2) выполняется и при t = 1, а из непрерывности распределения Xi следует непрерывность a (t) при всех t.

В холодном газе при равномерной модели начальных положений (2) выполняется для некоторой неслучайной непрерывной a (t)Umf при всех t.

Равенство a (t) = 0 при t > 1 не вызывает удивления, поскольку согласно (1), при таких t ожидается существование лишь одного большого кластера. Учитывая это замечание, мы видим, что предельное поведение величин Kn (t) (равно как и En{t)) интересно лишь при t < 1, а при t > 1 оно тривиально. Соотношение a (t) = 1 при t G [0, yfp) также допускает простое объяснение: поскольку расстояния между соседними частицами не меньше какое-то время столкновения вообще отсутствуют. Оказывается, это время есть в точности ^Д! Еще отметим, что разобранный ранее случай с решетчатой моделью начальных положений, в которой Хг- = 1, тоже описывается теоремой 4.1.

Оказывается, что a (t) равняется вероятности некоторого события, которое в явном виде выражается через S{ (или, что-то же самое, через Xi). Подсчет этой вероятности в общем случае не представляется возможным. Тем не менее, для основных моделей начальных положений функция a (t) может быть найдена в явном виде, о чем свидетельствует следующая примечательная теорема.

Теорема 5.1. В холодном газе для предельных функций при основных моделях начальных полоо/сений aPmss (t) = aUmf (t) = 1 — t2 при 0 < t < 1.

Существует разительный контраст между простотой формулировки этого результата и сложными вычислениями, которые требуются, чтобы его получить. Удивительно даже то, что функцию aPoiss (t) = aUmf (t) удалось найти в явном виде. Забегая вперед, сообщим, что для этого потребовалось вычислить вероятность Ц =r{infg (5,.-«) > о}, где Si — экспоненциальное случайное блуждание, то есть блуждание с экспоненциально распределенными приращениями. Подсчет этой вероятности сложен тем, что не сводится к применению предельных теорем, например, таких как принцип инвариантности.

Далее наша цель состоит в усилении теоремы 4.1, являющейся, по сути дела, поточечным, то есть справедливым для всех t, законом больших чисел для Kn (t). Мы докажем не просто поточечную центральную предельную теорему, а ее функциональную версию. Заметим сперва, что траектории рассматриваемого процесса являются элементами пространства Скорохода D.

Теорема 6.1. Если в холодном газе при н.р.-модели начальных положений распределение Xi непрерывно и удовлетворяет условию < оо при некотором 7 > 4- то существует центрированный гауссовский процесс К (-) на [0,1) (зависящий от распределения Xi) такой, что.

Кп (-) — тао (-) в ^ х ^ всех е g у vn при п —> оо. Его траектории непрерывны с вероятностью 1, аК" (0) = 0. Ковариационная функция R (s, t) процесса К (-) непрерывна на [0,1)2, R (s, t) > 0 на (у/Ц, I)2 и R (s, t) = 0 на [0,1)2 (у/Ц, I)2.

В холодном газе при равномерной модели начальных положений соотношение (3) выполняется для некоторого центрированного гауссовского процесса KUmf (¦), заданного на [0,1). Его траектории непрерывны с вероятностью 1, a KUmf (0) = 0. Ковариационная функция RUmf (s, t) процесса j^Umf ^ неПрерЫвна на [о, 1)2- и кроме того, RUmf (Sj t) = RPmss{s, t) — s2t2.

Мы видим, что хотя aPoiss (•) = aUmf (-), но пуассоновская и равномерная модели приводят к различным предельным процессам KPmss (') и Кит*(-). Любопытна и достаточно неожиданна положительность R (s, t) для н.р.-модели.

Из теоремы 6.1 немедленно вытекает (см. Биллингсли [2, § 15]), что.

K" {t) ~na{t) -А ЩО, cr2(t)), n ^ со (4).

V Т1 для любого t < 1, где a2(t) := R (t, t). Можно показать (см. предложение 6.1), что для н.р.-модели это справедлртво при менее ограничительном I условии MXf < оо, а непрерывности распределения Х{ не требуется. Конечно, (4) будет выполняться и для любого t > 1, если положить a2(t) := 0 при t > 1. Таким образом, (4) справедливо при всех t Ф 1.

Возникает естественный вопрос: можно ли доказать слабую сходимость траекторий процесса в пространстве ?>[0,1], тем самым усилив (3) в теореме 6.1? Очевидно, для ответа необходимо сперва выяснить, выполняется ли (4) при t — 1. Оказалось, что даже этот более простой вопрос слишком сложен в общем виде, и мы не можем дать на него исчерпывающего ответа даже в частном случае холодного газа с пуассоновской моделью начальных положений. По-видимому, при t = 1 левая часть (4), то есть слабо сходится, но ее предел не является гауссовским. Поэтому справедливость сходимости (3) во всем ?)[0,1] весьма сомнительна: предельный процесс должен странным образом перестать быть гауссовским в точке 1. Сформулируем имеющийся у нас результат с должной строгостью.

Теорема 7.1. Предположим, что справедлива приведенная ниже гипотеза 7.1. Тогда в холодном газе при пуассоновской модели начальных положений последовательность плотна, а предел любой ее слабо сходящейся подпоследовательности имеет атом в нуле, но не равен нулю тождественно.

Таким образом, в холодном газе при пуассоновской модели Кп (1) имеет порядок у/п. Интересно сравнить этот результат с результатом Суида-на [19], который нашел распределение Кп{1) для теплого газа с ап = 1 при решетчатых начальных положениях частиц и в качестве следствия получил ЕКп (1) — logп.

Справедливость теоремы 7.1 зависит от приводимой ниже гипотезы, которая представляет большой интерес и сама по себе, без учета ее приложений к модели слипающихся частиц.

Гипотеза 7.1. Для экспоненциального блуждания S{ существует предел т lim fc¼ Р (min V (5i — ESf) > о) G (0, oo). k—^oo ll.

Можно сказать, что гипотеза 7.1 — это утверждение об односторонних малых уклонениях проинтегрированного центрированного случайного блуждания. Мы предполагаем, что она справедлива не только для экспоненциального блуждания, а для гораздо более широкого класса блужданий, удовлетворяющих некоторым моментным ограничениям. Схожие задачи об асимптотике односторонних малых уклонений проинтегрированных случайных процессов представляют большой интерес и в настоящее время активно изучаются, см. например, статью Молчана и Хохлова [47], а также тезисы конференции «Вероятности малых уклонений и смежные вопросы», прошедшей в 2005 году в Санкт-Петербурге.

Метод, при помощи которого были получены теоремы 4.1 и 6.1, также можно причислить к результатам диссертации. Наши доказательства опираются на обнаруженное свойство локальности процесса слипания, которое состоит в том, что поведение каждой частицы практически полностью определяется движением лишь соседних с нею частиц. В § 3.2 приведено количественное описание этой локальности, при помощи которого предельные теоремы 4.1 и 6.1 (как и многие другие, не столь важные результаты) получаются из стандартных предельных теорем для слабо зависимых случайных величин.

Приведенные выше результаты позволяют сказать, что мы получили практически исчерпывающее описание числа кластеров в холодном газе. Теперь сформулируем наш единственный (и достаточно далекий от завершенности) результат о количестве кластеров в теплом газе.

Утверждение 8.1. Если в теплом газе п~1 оо, то при любой из описанных моделей начальных положений для любого t > О.

Таким образом, в теплом газе мгновенно образуются кластеры неограниченного размера, что существенно отличается от поведения холодного газа. В холодном же газе, как показывает теорема 4.1, в любой докритический момент t < 1 размер среднего кластера есть a (t)-1, то есть конечное число. Мгновенное образование кластеров в теплом газе можно объяснить тем, что расстояния между частицами имеют порядок п-1, скорости частицпорядок сгп, отсюда время, затрачиваемое частицей на прохождение такого расстояния имеет порядок п~1сг~1 —> 0. Достаточно точная оценка размера мгновенно образующихся кластеров дана в предложении 8.1.

Перейдем к формулировке результатов о кинетической энергии газа En (t). Здесь, как и ранее, оказывается полезным сначала разобрать детерминистический' случай холодного газа с решетчатыми начальными положениями. Как мы видели, до момента t = 1 столкновений нет, все частицы движутся равноускоренно, ускорение г-ой из них есть п~~^г+1, поэтому при t < 1 имеем.

При t > 1 в системе будет лишь один кластер, скорость которого равна нулю, что следует из того, что суммарной импульс системы не меняется во п —У оо. п времени и для холодного газа изначально равен нулю, поэтому En{t) = 0. Таким образом, здесь En (t) -" при любом t > 0.

Далее нам потребуется следующее условие. Пусть Ln (t) означает размер максимального кластера, существующего в системе в момент t. Эта величина достаточно подробно изучена для различных случаев начальных скоростей и положений в работах [17, 19, 34, 38]. Соотношение.

Lnif) р /г —> l{t>!}, п оо (5).

71 мы будем называть условием существования макроскопического кластера в момент t или, кратко, УСМК{£). Это условие вовсе не является экзотическим и выполняется в подавляющем большинстве случаев, о чем подробно написано в § 9.1. Например, при t > 1 для холодного газа УСМК (^) сразу следует из (1), а для теплого газа это условие, описывающее слипание почти всех частиц в один большой кластер к моменту t = 1, является естественным аналогом соотношения (1) для холодного газа.

Теперь сформулируем полученный нами результат.

Теорема 9.1. При любой из описанных моделей начальных положений, в холодном газе, а таксисе в теплом газе при выполнении п-1 <С ап и ап = 0(1) при п —"• оодля любого t Е (0,1) U (1, оо).

УСМЩ => En (t) A ^l{t.

Эту теорему можно пояснить следующим образом. Кинетическая энергия газа изменяется по двум причинам, из-за гравитации и при столкновениях. Хорошо известно, что при абсолютно неупругих столкновениях, каковыми являются столкновения слипающихся частиц, кинетическая энергия убывает. В холодном газе, с одной стороны, абсолютные скорости частиц возрастают из-за гравитации, и в силу этого энергия системы увеличивается, но с другой стороны, при столкновениях энергия уменьшается. Оказывается, что в холодном газе до критического момента t = 1 уменьшением энергии при столкновениях можно пренебречь. Таким образом, до t = 1 энергия холодного газа ведет себя так же, как и в детерминистическом случае, где до t = 1 столкновений вообще нет..

Совершенно иную ситуацию мы наблюдаем в теплом газе, что легко проиллюстрировать, рассмотрев основной случай ап = а > 0. Из закона больших чисел здесь Еп (0) = ^ XliLiO7^)2 т > 0, что соответствует положительной начальной температуре газа. Как мы видим из теоремы 9.1, теплый газ мгновенно охлао/сдается, после чего его энергия ведет себе так же, как и в случае холодного газа. Такое мгновенное «охлаждение» было обнаружено при помощи компьютерного моделирования и описано в работе Бонвина и др. [25], которая и дала автору диссертации мотивировку для теоретического описания этого явления. Мгновенное «охлаждение» объясняется тем, что в теплом газе происходит мгновенное образование больших кластеров, за счет чего начальные скорости усредняются и практически исчезают в силу Euf = 0..

Асимптотическое равенство энергии нулю при t > 1 для холодного газа легко следует из закона сохранения импульса и (1). Для теплого газа УСМК (^) гарантирует слипание почти всех частиц в один большой кластер. Импульс такого кластера практически равен импульсу всей’системы, который, в свою очередь, равен начальному импульсу ^ Y^i=i 0. Энергия же частиц, не вошедших в макроскопический кластер, пренебрежимо мала..

Результаты этого параграфа опубликованы в работах автора [4, 5, 55]..

Заключение.

При изучении одномерной стохастической модели притягивающихся слипающихся частиц были получены следующие результаты..

1. Разработан общий метод доказательства предельных теорем для модели со случайными начальными положениями и нулевыми начальными скоростями частиц (холодный газ)..

2. Для холодного газа получен закон больших чисел для количества кластеров в произвольный момент времени..

3. Для основных моделей начальных положений предел в законе больших чисел из п. 2 найден в явном виде..

4. Для числа кластеров в холодном газе получена функциональная центральная предельная теорема, существенно усилившая результат п. 2..

5. Частично описано поведение количества кластеров в холодном газе в критический момент времени? = 1..

6. Для модели со случайными начальными положениями и случайными начальными скоростями частиц (теплый газ) получена близкая к оптимальной оценка размера мгновенно образующихся кластеров..

7. Для моделей холодного и теплого газов получена предельная теорема для кинетической энергии в произвольный момент времени. В частности, в этой теореме показано, что теплый газ мгновенно охлаждается..

При изучений марковской модели движения частицы в случайной среде под действием постоянного внешнего поля были получены следующие результаты..

8. Показано, каким образом рассматриваемая марковская модель движения частицы в случайной среде выводится из положений классической модели Лоренца с неупругими столкновениями. Объяснено, в каком смысле эти модели близки друг к другу..

9. Для траектории движущейся частицы получена функциональная центральная предельная теорема. В этой теореме показано, что на макроскопическом уровне частица испытывает снос с постоянной скоростью в направлении внешнего поля. После устранении сноса движение частицы является диффузией, инвариантной относительно вращений вокруг направления поля..