Пространства граничных значений и линейные отношения, порожденные дифференциальными выражениями

Общая характеристика работы.

В диссертации рассматриваются линейные операторы и отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями или интегральными уравнениями с неванлинновской мерой. Дифференциально-операторные уравнения содержат спектральный параметр в виде произведения на неотрицательную операторную функцию, либо как аргумент неванлинновской операторной функции. Главную роль при исследовании этих операторов и отношений играют так называемые абстрактные пространства граничных значений, определяемые и изучаемые в диссертации.

При изучении линейных дифференциальных уравнений операторы появляются, например, следующим образом. Пусть I — дифференциальное выражение, являющееся левой частью однородного дифференциального уравнения. Выбирается некоторое банахово или гильбертово пространство и минимальный оператор Lq определяется как замыкание оператора, заданного выражением I на финитных функциях. Оператор L с максимальной областью определения — это замыкание оператора L1, заданного равенством L’y = 1[у] на всех функциях у, к которым применима операция I, причем у, 1[у] принадлежат заданному пространству. Если выражение / является формально самосопряженным, а выбранное пространствогильбертово, то оператор Lq симметрический. Отметим, что достаточно часто встречается ситуация, когда с дифференциальным уравнением ассоциируются не операторы, а линейные отношения.

При исследовании операторов или отношений, порожденных дифференциальными выражениями, возникает задача: выделить те граничные условия, которые определяют оператор или отношение L (Lq С Le L) с некоторыми заданными свойствами. Среди этих свойств можно отметить, например, такие, как обратимость L или L—XE (Л6С), фредгольмовость.

L, существование заданной асимптотики s-чисел, самосопряженность или диссипативность L в случае симметричности оператора Lq и т. д.

Пусть оператор Lq симметрический. В классической теории расширений симметрических операторов описание самосопряженных, диссипатив-ных, аккумулятивных расширений сводится к нахождению изометрий и сжатий, действующих из одного дефектного подпространства симметрического оператора в другое. В работах М. И. Винтика |46| и М. Ш. Бирмана [9| различным классам расширений положительно определенного оператора, А ставятся в соответствие некоторые операторы в подпространстве ker А*. Однако в применении к дифференциальным уравнениям эти операторы только в некоторых отдельных случаях удается преобразовать в операторы, определяющие граничные условия.

Описание в терминах граничных условий самосопряженных расширений L симметрического оператора Lq, порожденных обыкновенным дифференциальным выражением I, было дано в работах М. Г. Крейна [75]. Однако применение результатов М. Г. Крейна к выражениям с частными производными или к дифференциально-операторным выражениям затруднено в связи с тем, что минимальные операторы, порожденные такими выражениями, имеют бесконечные дефектные числа. Для различных конкретных классов дифференциальных выражений граничные значения строились многими авторами (М. Г. Крейн, М. И. Вишик, М. Ш. Бирман, Ф. С. Рофе-Бекетов, М. JI. Горбачу к, В. И. Горбачу к, А. Н. Кочубей, JI. И. Вайнерман, В. А. Михайлец, О. Г. Сторож, В. М. Брук и др.). Эти результаты изложены, например, в монографиях В. И. Горбачук. М. JI. Гор-бачука [51|, |124|, В. Э. Ляттце, О. Г. Сторожа [81|, Ф.С. Рофе-Бекетова, A.M. Холькитта |93|, |135|. Вопросы, связанные с обратимостью дифференциальных операторов, рассматривались в книге А. А. Дезина [60].

Как отмечено выше, одной из основных целей при описании расширений дифференциальных операторов с помощью граничных условий является получение в их терминах теорем о спектральных свойствах различных краевых задач. Поэтому желательно иметь некоторую универсальную конструкцию, охватывающую достаточно большой класс линейных операторов и отношений и позволяющую делать выводы о спектральных свойствах расширений этих операторов или отношений на основании свойств операторов (отношений), входящих в граничные условия, определяющие эти расширения. Такой конструкцией может служить абстрактное пространство граничных значений.

Отметим, что попытки построения теории расширений в терминах абстрактных граничных условий, приводящих в случае дифференциального оператора непосредственно к краевым задачам, предпринимались в работах Дж. Кэлкина [117] (см. также Н. Данфорд, Дж. Шварц [59]), А. В. Штрауса [108]. Однако законченные результаты удавалось получать лишь для операторов с конечными дефектными числами.

Пусть в линейное дифференциально-операторное уравнение спектральный параметр Л входит в виде его произведения на весовую неотрицательную операторную функцию. Такие уравнения возникают, например, при решении методом разделения переменных уравнения колеблющейся нагруженной струны (см. монографию Ф. Аткинсона [4, с. 19]). Различные задачи, связанные с такими уравнениями, изучались в книге Ф. Аткинсона [4, глава 9], в статьях В. И. Когана и Ф. С. Рофе-Бекетова [67], [130], Ф. С. Рофе-Бекетова [134], С. А. Орлова [87], С. Ли [132] и других авторов.

В этих работах использовались методы теории функций, метод гнездящихся матричных кругов (С.А.Орлов), а в статье С. Ли па матричные коэффициенты наложены требования, исключающие появление линейного отношения. Граничные задачи, порожденные дифференциально-операторным уравнением с неотрицательным операторным весом, не были включены в теорию линейных операторов и отношений в гильбертовом и банаховом пространствах, т. е. с такими задачами не связывались операторы или отношения в каких-либо пространствах. Отметим, что в статьях А. Рлейеля [133] и К. Бенневитца [112] рассматривались линейные отношения, порожденные парой дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами. Однако этот случай не охватывает дифференциально-операторные выражения с неотрицательным операторным весом. Более того, дифференциальные выражения, изучаемые в работах [133], [112], охватываются дифферетщиалыю-операторными выражениями с певан-линновской функцией, а также интегральным уравнением с неванлин-новской операторной мерой, рассмотренными в диссертации.

Цель работы: построение абстрактных пространств граничных значений, позволяющих делать выводы о свойствах расширений операторов или отношений на основании граничных условий, определяющих эти расширениявключение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах дифференциально-операторных уравнений со спектральным параметром, входящим в уравнение в виде произведения на неотрицательную операторную весовую функцию или в виде аргумента неванлинновской операторной функциивключение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах интегральных уравнений с неванлинновской меройизучение возникающих при таком включении операторов и отношений с помощью построенных абстрактных пространств граничных значений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми не только для отношений, порожденных дифференциальными выражениями с весовой функцией, но и для операторов, порожденных этими выражениями без весовой функции. Перечислим эти результаты.

1. Введено пространство граничных значений замкнутых линейных операторов и отношений, приспособленное для описания обратимых сужений, изучены свойства этого пространства и в терминах абстрактных граничных значений дано описание спектра, получены условия фредгольмо-вости и разрешимости. Кроме того, в терминах абстрактных граничных условий получены условия резольвентной сравнимости сужений и расширений линейных операторов и отношений, исследована зависимость асимптотики з-чисел резольвент от асимптотики й-чисел операторов, входящих в абстрактные граничные условия.

2. Введено пространство граничных значений симметрических операторов и отношений, изучены свойства этого пространства. В терминах абстрактных граничных значений дано описание различных классов расширений (диссипативных, самосопряженных и других).

3. Получено описание обобщенных резольвент симметрических операторов и отношений с помощью абстрактных граничных условий, содержащих операторы, голоморфно зависящие от спектрального параметра.

4. Определены линейные отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями в пространстве Ьр (Н, Л{Ь)а, Ь), где? —> Л{Ь) — неотрицательная операторная функция в гильбертовом пространстве Н. Дано описание пространств Ьр (Н, Л^)]а, Ь) (р ^ 1). Определяются также линейные отношения, порожденные интегральным уравнением с неванлинновской мерой.

5. Для введенных линейных отношений построены пространства граничных значений. С их помощью описаны различные классы расширений и сужений этих отношений. Получены условия обратимости и фредголь-мовости рассматриваемых отношений, дано описание спектра.

6. Установлено, что еспи рассматриваемые линейные отт-гатттения обратимы, то операторы, обратные к таким отношениям, являются интегральными. В терминах граничных значений дается критерий голоморфности семейств таких операторов. Получены формулы обобщенных резольвент симметрических отношений. Основные результаты являются новыми как в конечномерном случае, так и в случае отсутствия операторного веса (т.е. в случае, когда Л{Ь) — Е — тождественный оператор).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют, в основном, теоретическую ценность. Они используются математиками, проводящими свои исследования в теории линейных операторов и отношений и в теории дифференциальных уравнений (см., например, монографии [51], [124], [93], [135], [81]). Эти результаты могут также применяться для изучения конкретных задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция по теории характеристических функций линейных операторов (Ульяновск, 1997) — Международная конференция по теории операторов и ее приложениям (Ульяновск, 2001) — Международная конференция по дифференциальным уравнениям (Львов, Украина, 2006) — Воронежская зимняя математическая школа (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012) — Воронежская весенняя математическая школа (Воронеж, 2007) — Международная конференция «Современный анализ и приложения» (Одесса, 2007) — Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2007) — Международная математическая конференция В. Я. Скоробогатько (Дрогобыч, Украина, 2007) — Саратовская зимняя математическая школа (Саратов, 2008, 2010) — Международная конференция «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений» (Новосибирск, 2008) — Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений «(Москва, МГУ, 2009) — Международная конференция по функциональному анализу (Львов, 2010) — Десятая Международная Казанская летняя научная школа-конференция (Казань, 2011) — Крымская осенняя математическая школа КРОМШ (Крым, 2006,2007,2008, 2009, 2010, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ ([15] - [35], [113]-[116]), из которых 17 ([15] - [17], [19], [20], [22], [25], [26], [28]-[31], [35], [113]-[116]) входят в список ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, состоящего из 135 наименований.

1. Азизов Т. Я. К теории расширений изометрических и симетрических операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов. Воронежский государственный университет. — Воронеж, 1982. -32 с. — Библиогр.: с. 31. — Деп. в ВИНИТИ 09.06.82, № 3420−82.

2. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, Ф. С. Иохвидов. М.: Наука, 1986. 352 с.

3. Арлинский Ю. М. Позитивные пространства граничных значений и секториальные расширения неотрицательного симметрического оператора /Ю.М. Арлинский // Украинский математический журнал. 1988. — Т. 40. — № 1. — С. 8−14.

4. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат-кинсон. М.: Мир, 1968. 750 с.

5. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966. 544 с.

6. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН, Серия матем. -2009. Т. 73. — № 2. — С. 3 — 68.

7. Баскаков А. Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. — Т. 193. — № 11. — С. 3 — 42.

8. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю. М. Березанский. Киев: Наукова Думка, 1965. 798 с.

9. Бирман М. Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов / М. Ш. Бирман // Матем. сборник. 1956. — Т. 38. — № 4. — С. 431 — 450.

10. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов / М. С. Бродский. М.: Наука, 1969. 288 с.

11. Брук В. М. Диссипативные расширения дифференциального оператора эллиптического типа / В. М. Брук // Функциональный анализ.- 1974. № 3. — Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1974. -С. 35 — 43.

12. Брук В. М. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операторов четного порядка в пространстве вектор-функций / В. М. Брук // Матем. заметки. 1974. — Т. 15. -№ 6. — С. 945 — 954.

13. Брук В. М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциального уравнения второго порядка с переменным неограниченным операторным коэффициентом / В. М. Брук // Матем. заметки. -1974. Т. 16. — № 5. — С. 813 — 822.

14. Брук В. М. О числе линейно независимых, квадратично интегрируемых решений систем дифференциальных уравнений /В.М. Брук // Функциональный анализ. 1975. — № 5. — Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1975. — С. 25 — 33.

15. Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии / В. М. Брук // Матем. сборник. -1976. Т. 100. — К" 2. — С. 210 — 216.

16. Брук В. М. О расширениях симметрических отношений / В. М. Брук //Матем. заметки.-1977.-Т. 22, — № 6. С.825−834.

17. Брук В. М. О линейных отношениях в пространстве вектор-функций / В. М. Брук // Матем. заметки.-1978. Т. 24. — № 4. — С. 499 — 511.

18. Брук В. М. Об обобщенных резольвентах симметрических отношений в пространстве с индефинитной метрикой /В.М. Брук // Функциональный анализ. 1984. — № 22. — Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1984. — С. 29 — 34.

19. Брук В. М. О максимальной диссипативности дифференциального оператора высокого порядка с неограниченным операторным коэффициентом / В. М. Брук // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 11. — С. 1986 — 1989.

20. Брук В. М. О характеристической функции линейного отношения / В. М. Брук // Известия ВУЗов. Математика. -1986, — № 8. С. 9 13.

21. Брук В. М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах / В. М. Брук // Функциональный анализ.1988.-№ 28,-Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1988, — С. 17−22.

22. Брук В. М. О спектре дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В. М. Брук // Известия ВУЗов. Математика.1989. 8. С. 15−21.

23. Брук В. М. О краевых задачах, связанных с голоморфными семействами операторов / В. М. Брук // Функциональный анализ. 1989. № 29. Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1989. — С. 32 — 42.

24. Брук В. М. О голоморфных семействах линейных отношений /B. М. Брук // Функциональный анализ. 1992. — № 33. — Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1992. — С. 24 — 28.

25. Брук В. М. О теореме единственности для голоморфных семейств операторов / В. М. Брук // Матем. заметки. 1993. — Т. 53. — № 3,C. 155 156.

26. Брук В. М. О спектре операторов, связанных с равномерно корректными задачами / В. М. Брук, В. А. Крысько // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т. 40. — № 10. — С. 1417 — 1418.

27. Брук В. M. О спектре линейных отношений, связанных с равномерно корректными задачами / В. М. Брук // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т. 43. — № 1. — С. 21 — 27.

28. Брук В. М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных равномерно корректной задачей и неотрицательной операторной функцией / В. М. Брук // Известия ВУЗов. Математика. 2007. — № 1. -С. 3−9.

29. Брук В. М. Об обратимых сужениях отношений, порожденных дифференциальным выражением и неотрицательной операторной функцией / В. М. Брук // Матем. заметки. 2007. — Т. 82. — № 5. -С. 652−664.

30. Брук В. М. Об обобщенных резольвентах линейных отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В. М. Брук // Известия ВУЗов. Математика. 2008. — № 11. — С. 12 — 26.

31. Брук В. М. О спектре линейных отношений / В. М. Брук // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2009. — С. 30 — 31.

32. Брук В. М. О резольвентной сравнимости граничных задач для линейных отношений / В. М. Брук // International Scientific Journal. Spectral and evolution problems. 2010. — V. 20. — Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University, 2010. — P. 84 — 90.

33. Брук В. М. О числе линейно независимых, квадратично интегрируемых решений дифференциальных уравнений / В. М. Брук // Вестник ВГУ. Серия: Физика, Математика.-2011.1.-С. 100−106.

34. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений / В. П. Бурский. Киев: Наукова Думка, 2002. 316 с.

35. Вайнерман Л. Й. Про існування функцій розподілу диференціального рівняння другого порядку з операторними коефіцізнтами /JI. Й. Вайнерман // Доповіді АН Украінськоі PCP. 1972. — № 1. -С. 3−5.

36. Вайнерман Л. И. Краевые задачи для сильно эллиптического уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве / Л. И. Вайнерман // Кибернетика. 1973. — № 6. — С. 143−144.

37. Вайнерман Л. И. Самосопряженные граничные задачи для сильно эллиптических и гиперболических уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве / Л. И. Вайнерман // Доклады АН СССР. 1974. — Т. 218. — № 4. — С. 745−748.

38. Вайнерман Л. И. Диссипативные граничные задачи для дифференциального уравнения второго порядка с неограниченным переменным операторным коэффициентом / Л. И. Вайнерман // Украинский матем. журнал. 1974. — Т. 16. — № 4. — С. 530 — 534.

39. Вайнерман Л. Й. Еліптичне рівняння другого порядку з необмеженим операторним коефіцізнтом що вироджуэться /Л. Й. Вайнерман // Доповіді АН Украінськоі PCP.-1977. JV® 3.— С. 195 198.

40. Вайнерман Л. И. Вырождающееся эллиптическое уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве / Л. И. Вайнерман // Дифференциальные уравнения. 1978. — Т. 14. — № 3. — С. 482 — 491.

41. Вайнерман Л. И. Вырождающееся эллиптическое уравнение с переменным операторным коэффициентом / Л. И. Вайнерман // Украинский матем. журнал. 1979. — Т. 31. — № 3. — С. 247 — 255.

42. Вайнерман Л. И. О расширениях замкнутых операторов в гильбертовом пространстве / Л. И. Вайнерман // Матем. заметки. 1980. -Т. 28. — № 6. — С. 833 — 842.

43. Верник А. Н. Обобщенные резольвенты и спектральные функции бесконечномерного аналога оператора дифференцирования Крейна-Феллера / А. Н. Верник, Д. 3. Ильязова // Известия ВУЗов. Математика. 1986. — № 4. — С. 20 — 26.

44. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений / М. И. Вишик // Труды Моск. матем. общества. 1952. — Т. 1. — С. 187 — 246.

45. Войтицкий В. И. Многокомпонентные задачи сопряжения и вспомогательные абстрактные краевые задачи / В. И. Войтицкий, Н. Д. Ко-пачевский, П. А. Старков // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. — Т. 34. — С. 5 — 44.

46. Горбачук В. И. О некоторых классах граничных задач для уравнения Штурма-Лиувилля с операторным потенциалом / В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук //Украинский матем. журнал. 1972. Т. 24.-№ 3. — С. 291 — 305.

47. Горбачук В. И. О спектре самосопряженных расширений минимального оператора, порожденного уравнением Штурма-Лиувилля с операторным потенциалом / В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук //Украинский матем. журнал, 1972, — Т. 24, — № 6. — С. 726 — 734.

48. Горбачук В. И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук. Киев: Наукова Думка, 1984. 284 с.

49. Горбачук В. И. Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи для дифференциальных уравнений / В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук, А. Н. Кочубей // Украинский матем. журнал. -1989. Т. 41. — № 10. — С. 1299 — 1313.

50. Горбачук М. Л. Самосопряженные граничные задачи для дифференциального уравнения второго порядка с неограниченным операторным коэффициентом / М. Л. Горбачук // Функцион. анализ и его прил. 1971. — Т. 5. — № 1. — С. 10 — 21.

51. Горбачук М. Л. Диссипативные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / М. Л. Горбачук, А. Н. Кочубей, М. А. Рыбак // Докл. АН СССР. 1972. — Т. 205. № 5. С. 1029 — 1032.

52. Горбачук М. Л. О резольвентной сравнимости граничных задач для операторного уравнения Штурма-Лиувилля / М. Л. Горбачук, В. А. Кутовой // Функцион. анализ и его прил. 1978. — Т. 12. — № 4. — С. 68 — 69.

53. Гохберг И. Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн // Успехи матем. наук. 1957. — Т. 12. — № 2. — С. 43 — 118.

54. Гохберг И. Ц.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1965. 448 с.

55. Гохберг И. Ц. Две теоремы о растворе подпространств банахова пространства / И. Ц. Гохберг, А. С. Маркус. Успехи матем. наук. -1959. — Т. 14. — № 5. — С. 135 — 140.

56. Данфорд Н., Линейные операторы. Спектральная теория / Н. Дан-форд, Дж. Шварц. М.: Мир, 1966. 1064 с.

57. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач / А. А. Дезин. М.: Наука, 1980. 208 с.

58. Деркач В. А. Граничные отношения и вейлевские семейства / В. А. Деркач, М. М. Маламуд, X. де Сноо, С. Хасси // Докл. РАН. -2004. Т. 399. — № 2. — С. 151 — 156.

59. Дьяченко М. И., Ульянов П. Я. Мера и интеграл / М. И. Дьяченко, П. J1. Ульянов. М.: Факториал, 1998. 160 с.

60. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Мир, 1967. -624 с.

61. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. М.: Мир, 1972. 740 с.

62. Кац И. С. О спектральных функциях струны / И. С. Кац, М. Г Крейн // Дискретные и непрерывные граничные задачи Ф. Ат-кинсон]. Дополнение 2. / М.: Мир, 1968. С. 648 — 737.

63. Коган В. И. О квадратично интегрируемых решениях симметрических систем дифференциальных уравнений произвольного порядка / В. И. Коган, Ф. С. Рофе-Бекетов // Препринт, АН УССР. -Харьков, 1973. С. 1 — 60.

64. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1972. 496 с.

65. Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач и ее приложениях / Н. Д. Копачевский // Spectral and Evolution Probleme. 2011.-V.21,-Issue 1. Simferopol, 2011. С. 2−39.

66. Копачевский H. Д. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн // Украинский матем. вестник. -2004. Т. 1. 1. — С. 69 — 97.

67. Кочубей А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений / А. Н. Кочубей // Матем. заметки. 1975. — Т. 17. — № 1. — С. 41 — 48.

68. Кочубей А. Н. О спектре самосопряженных расширений симметрического оператора / А. Н. Кочубей // Матем. заметки. 1976. — Т. 19. — № 3. — С. 429 — 434.

69. Кочубей А. Н. О расширениях положительно определенного симметрического оператора / А. Н. Кочубей // Докл. АН УССР. Сер. А. -1979. № 3. — С. 168 — 171.

70. Кочубей А. Н. Одномерные точечные взаимодействия / А. Н. Кочубей / Украинский матем. журнал. 1989. — Т. 41. — № 10. — С. 13 911 395.

71. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения / М. Г. Крейн // Матем. сборник. -1947. Т. 20. — № 3. — С. 431−495- Т. 21.3.-С. 365−404.

72. Крейн М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. М.: Наука, 1973. 552 с.

73. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. 464 с.

74. Лаптев Г. И. Сильно эллиптические уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве / Г. И. Лаптев // Литовский матем. сборник. 1968. — Т. 8. — № 1. — С. 87 — 99.

75. Лаптев Г. И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с переменным самосопряженным оператором / Г. И. Лаптев // Доклады АН СССР. 1968. — Т. 179. -№ 2. — С. 283 — 286.

76. Лионе Ж,-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. М.: Мир, 1971. 372 с.

77. Лянце В. Э. Методы теории неограниченных операторов / В. Э. Лянце, О. Г. Сторож. Киев: Наукова Думка, 1983. 212 с.

78. Михайлец В. А. О разрешимости и полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженных граничных задач для операторного уравнения Штурма-Лиувилля / В. А. Михайлец // Доклады АН СССР. 1974. — Т. 218. — № 2. — С. 284 — 286.

79. Михайлец В. А. Спектры операторов и граничные задачи / В. А. Михайлец // Спектральный анализ дифференциальных операторов. Киев: Наукова Думка, 1980. — С. 106 — 131.

80. Наймарк М. А. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора / М. А. Наймарк // Известия АН СССР. Серия матем. 1940. — Т. 4. — № 1. — С. 53 — 104.

81. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора / М. А. Наймарк // Известия АН СССР. Серия матем. 1940. — Т. 4. — № 3. — С. 277 — 318.

82. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. М.: Наука, 1969. 528 с.

83. Орлов С. А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра и теоремы об инвариантности рангов радиусов предельных матричных кругов / С. А. Орлов // Известия АН СССР. Серия матем. 1976. — Т. 40. — № 3. — С. 593 — 644.

84. Покорный Ю. В. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров // Успехи матем. наук. 2008. — Т. 63. — № 1. — С. 111 — 154.

85. Рицнер В. С. Теория линейных отношений / В. С. РицнерВоронежский государственный университет. Воронеж, 1982. — 150 с. -Библиогр.: с. 148 — 149. — Ден. в ВИНИТИ 20.02.82, № 846−82.

86. Рофе-Бекетов Ф. С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / Ф. С. Рофе-Бекетов //Докл. АН СССР 1969. — Т. 184, — № 5, — С. 1034−1037.

87. Рофе-Бекетов Ф. С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / Ф. С. Рофе-Бекетов // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1969. — Т. 8. — С. 3 — 24.

88. Рофе-Бекетов Ф. С. Числовая область линейного отношения и максимальные отношения/ Ф. С. Рофе-Бекетов // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1985. — Т. 44. — С. 103 — 112.

89. Рофе-Бекетов Ф. С. Спектральный анализ дифференциальных операторов / Ф. С. Рофе-Бекетов, А. М. Холькин. НАН Украины. Мариуполь, 2001. 332 с.

90. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. М.: Мир. 1975. -448 с.

91. Руссаковский Е. М. Матричная задача Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях / Е. М. Руссаковский // Функциональный анализ и его прил.-1993.-Т. 27.1. С. 86−87.

92. Савчук А. М. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Матем. заметки. -1999. Т. 66. — № 6. — С. 897 — 912.

93. Савчук А. М. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Труды Московского матем. общества. 2003. — Т. 66. — С. 159 — 212.

94. Сторож О. Г. О расширениях симметрических операторов с неравными дефектными числами / О. Г. Сторож // Матем. заметки. -1984. Т. 36. — № 5. — С. 791 — 796.

95. Талюш М. О. Типова структура дисипативних операторів/ М. О. Та-люш //Доп. АН УРСР. Серия А. 1973. № 11. — С. 993 — 996.

96. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970. 720 с.

97. Хилле Е., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы / Е. Хилле, Р. Филлипс. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

98. Храбустовский В. И. Спектральная матрица периодической симметрической системы с вырождающимся весом на оси / В. И. Храбустовский // Теория функций, функциональный анализ их приложения. 1981. — Т. 35. — С. 111 — 119.

99. Храбустовский В. И. Спектральный анализ периодических систем с вырождающимся весом на оси и полуоси / В. И. Храбустовский // Теория функций, функциональный анализ их приложения. 1985. Т. 44. С. 122 — 133.

100. Шефер X. Топологические векторные пространства / X. Шефер. М.: Мир, 1971. 360 с.

101. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов / А. В. Штраус // Известия АН СССР. Серия матем. 1954. — Т. 18. -№ 1. С. 51 — 86.

102. Штраус А. В. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операторов четного порядка / А. В. Штраус// Известия АН СССР. Серия матем. -1957. Т. 21. — № 6. — С. 785 — 808.

103. Штраус A.B. Некоторые вопросы теории расширения симметрических несамосопряженных операторов / А. В. Штраус // Труды 2-й научной конф. матем. кафедр пед. институтов Поволжья. Куйбышев: Куйбышевский пед. институт, 1962. — Вып. 1. — С. 121 — 124.

104. Штраус А. В. Об однопараметрических семействах расширений симметрического оператора / А. В. Штраус // Известия АН СССР. Серия матем. 1966. — Т. 30. — № 6. — С. 1325 — 1352.

105. Штраус А. В. О расширениях и характеристической функции симметрического оператора / А. В. Штраус // Известия АН СССР. Серия матем. 1968. — Т. 32. — № 1. — С. 186 — 207.

106. Arens R. Operational Calculus of Linear Relations / R. Arens // Pacif. J. Math. 1961. — V. 11. — № 1. — P. 9 — 23.

107. Bennewitz С. Spectral Theory for Pairs of Differential Operators / C. Bennewitz // Arkiv for matematik.- 1977, — V. 15. № 1, — P. 33−61.

108. Bruk V. M. On Spaces of Boundary Values for Relations Generated by a Formally Selfadjoint Expression and a Nonnegative Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2006. — V. 2. — № 3. — P. 268 — 277.

109. Bruk V. M. Generalized Resolvents of Symmetric Relations Generated on Semi-axis by a Differential Expression and a Nonnegative Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2006. — V. 2. — № 4. — P. 372 — 387.

110. Bruk V. M. On Linear Relations Generated by Nonnegative Operator Function and Degenerate Elliptic Differential Operator Expression / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. -2009. V. 5. — № 2. — P. 123 — 144.

111. Bruk V. M. On Linear Relations Generated by a Differential Expression and by a Nevanlinna Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2011. — V." 7. — № 2. -P. 115 — 140.

112. Calkin J. W. Abstract Symmetric Boundary Conditions / J. W. Calkin // Trans. Amer. Math. Soc. 1939. — V. 45. — № 3. — P. 369 — 442.

113. Coddington E. A. Extension Theory of Formally Normal and Symmetric Subspaces / E. A. Coddington // Mem. Amer. Math. Soc. 1973. -V. 134. — P. 1 — 80.

114. Cross R. Multivalued Linear Operators / R. Cross. New York: Dekker, 1998.

115. Derkach V. A. Generalized Resolvents and the Boundary Value Problems for Hermitian Operators with Gaps / V. A. Derkach, M. M. Malamud // Journal of Functional Analysis. 1991. — V. 95.1. P. 1 — 95.

116. Derkach V. Boundary Relations and Their Weil Families / V. Derkach, S. Hassi, M. Malamud, H. de Snoo // Trans, of the American Math. Soc.- 2006. V. 12. — № 12. — P. 5351 — 5400.

117. Dijksma A. Self-adjoint Extensions of Symmetric Subspaces / A. Dijksma, H. S. V. de Snoo // Pacific J. Math. 1974. — V. 54. -№ 1, — P. 71 — 100.

118. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. New York: M. Dekker, 1998. (Monogr. Textbooks Pure Appl. Math. V. 215.).

119. Gorbatchuk V. I. Boundary Value Problems for Differential-Operator Equations / V.l. Gorbatchuk, M.L. Gorbatchuk. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 1991.

120. Goriunov A. Regularization of Singular Sturm-Liouville Equations / A. Goriunov, V. Mikhailets // Methods of Functional Analysis and Topology. 2010. — V. 16. — № 2. — P. 120 — 130.

121. Khrabustovsky V.l. Expansion in Eigenfunctions of Relations Generated by Pair of Operator Differential Expressions / V. I. Khrabustovsky // Methods of Functional Analysis and Topology. 2009. — V. 15. — № 2. P. 137−151.

122. Klotz L. P. Generalized Resolvents and Spectral Functions of a Matrix Generalization of the Krein-Feller Second Order Derivative / L. P. Klotz, H. Langer // Math. Nachr. 1981. V. 100, — P. 163−186.

123. Kogan V. I. On Square-integrable Solutions of Symmetric Systems of Differential Equations of Arbitrary Order / V. I. Kogan, F. S. Rofe-Beketov // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 1975, — V. 74. № 1. -P. 5 40.

124. Krein M. G. Some Propositions on Analytic Matrix Functions Related to the Theory of Operators in the Space 11^. / M. G. Krein, H. Langer // Acta Sei. Math. (Szeged). 1981. — V. 43. — № 1−2. — P. 181 — 205.

125. Lee S. J. Formally Self-adjont Systems of Differential Operators / S. J. Lee //J. Math. Anal. Appl.- 1976.-V. 55. 1.-P. 90−101.

126. Pleijel A. A Survey of Spectral Theory for Pairs of Ordinary Differential Operators / A. Pleijel // Lecture Notes Math. 1975. — V. 448. — P. 256 -272.

127. Rofe-Beketov F. S. Square-integrable Solutions, Self-Adjoint Extensions and Spectrum of Differential Systems / F. S. Rofe-Beketov // Differential Equations. Proc. Intern. Conf. on Differ. Eq. Uppsala, 1977. — P. 169 — 178.

128. Rofe-Beketov F. S. Spectral Analysis of Differential Operators. Interplay between Spectral and Oscillatory Properties / F. S. Rofe-Beketov, A. M. Khol’kin. World Sei. Monogr. Ser. Math. 7. Singapore, 2005.