Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Математическая модель осцилляций решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и ее приложения к колебаниям линейных систем

Диссертация: Математическая модель осцилляций решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и ее приложения к колебаниям линейных систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма — Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма — Лиувилля… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Методы осцилляционной теории в математическом моделировании колебаний линейных систем
    • 1. 1. Математическое моделирование колебаний линейных систем
    • 1. 2. Постановка задачи
    • 1. 3. Обзор осцилляционной теории уравнений Штурма — Лиувилля

Математическая модель осцилляций решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и ее приложения к колебаниям линейных систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма — Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма — Лиувилля высших порядков возникают при исследовании поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем, анализе моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия, а также при аппроксимации дифференциальных краевых задач Штурма — Лиувилля конечно-разностными соотношениями. При изучении механических колебаний в линейных системах в теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие моды колебаний, анализ которых требует решения частичной проблемы собственных значений для дифференциальных и дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков.

В работах Е. А. Coddington, N. Levinson [64], Р. Hartman [80], E. С. Titchmarsh, И. М. Глазмана [15], Л. Д. Николенко [27], В. А. Якубовича [44], [42], [43], [45] и других авторов изучались осцилляционные свойства решений дифференциальных уравнений ШтурмаЛиувилля, которые позже легли в основу методов решения краевых задач Штурма — Лиувилля второго и четвертого порядков, разработанных А. А. Абрамовым [2], Р. В. Bailey, W. N. Everitt, А. Zettl [52], Л. Д. Акуленко, Г. В. Костиным, С. В. Нестеровым [3], [49], L. Greenberg, М. Marietta [74],[75] и др.

Дискретная краевая задача Штурма — Лиувилля второго порядка с разделенными граничными условиями равносильна задаче на собственные значения для симметричной трехдиагональной матрицы. Решением последней занимались J. Givens [70], J. Wilkinson [39], С. К. Годунов [16] и др. Теория дискретных симплектических систем уравнений: WiYu Щ =.

Ai В{.

Ci А.

WfJWi = J, г = 0, ., N, J =.

0 II 0 развивалась в работах L. Erbe, Р. Yan [69], С. Ahlbrandt [48], M. Bohner [53, 55, 58], W. Kratz [86],[88], O. Dosly [56, 57], и др. Дискретные краевые задачи Штурма — Лиувилля высших порядков являются важным частным случаем краевых задач для систем (3.4.3) с вырожденным блоком Д. В 2007 году W. Kratz и О. Dosly доказали осцилляционную теорему [88] для дискретных симплектических систем. Используя метод бисекции и данную теорему, можно решать частичную проблему собственных значений дискретных краевых задач для дискретных симплектических систем.

Применение метода бисекции для дискретной краевой задачи Штурма — Лиувилля высшего порядка связано с трудностью подсчета фокальных точек [86] главного решения соответствующей симплектической системы. Число фокальных точек — осцилляционная характеристика, обобщающая понятие нуля функции на случай матричного решения дискретной симплектической системы.

В настоящей диссертации разрабатываются методы исследования осцил-ляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма — Лиувилля высших порядков, позволяющие использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков, что является актуальным с позиций практического интереса.

Цель диссертационной работы развитие качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма — Лиувилля высших порядков и разработка метода решения частичной проблемы собственных значений для дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков с заданной точностью.

Научная новизна.

1. В диссертационной работе разработаны новые методы исследования ос-цилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма — Лиувилля высших порядков, отличительной особенностью которых является применение осцилляционной теории симплектических систем и учет структуры соответствующей матрицы симплектической системы.

2. Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма — Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма — Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в п раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма — Лиувилля порядка 2п.

4. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (Ж) операций для вычисления отдельного собственного значения.

Практическая значимость. Разработан комплекс программ, реализующий локализацию и вычисление отдельных собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков. Разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы при решении следующих задач:

• анализ моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия;

• исследование поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем;

• анализ колебаний стержней переменного поперечного сечения;

• решение частичной проблемы собственных значений симметрических ленточных матриц без приведения к трехдиагональной форме.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы исследования дискретных уравнений Штурма — Лиувилля высших порядков, основанные на осцилляционной теореме и теореме о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма — Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения.

2. Алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма — Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма — Лиувилля высшего порядка.

3. Комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (А/") операций для вычисления отдельного собственного значения.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора A. JI. Ску-бачевского, РУДН (г. Москва, февраль 2012 г.) — на XIX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2012 г.) — на II международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», Москва, 2011 г.) — на XV международной научной конференции «Dynamical system modeling and stability investigation» (КНУ им. Тараса Шевченко, Киев, Украина, 2011 г.) — на XI, XII, XIII научных конференциях МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008, 2009, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 2 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 3 — в сборниках трудов научных конференций и 2 — в периодических изданиях.

Личный вклад автора состоит в разработке представленных в диссертации методов исследования осцилляционных свойств дискретных уравнений Штурма — Лиувилля высших порядков, разработке численного метода решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков, разработке программного комплекса, позволяющего проводить расчеты на основе предложенного численного метода. Основные результаты и их доказательства, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором и отражены в 7 публикациях автора. В статье [59] автором лично разработаны и реализованы алгоритм подсчета фокальных точек решения уравнения Штурма — Лиувилля высших порядков, метод вычисления собственных значений, проведен вычислительный эксперимент. В остальных материалах совместных работ личный вклад автора является определяющим, научному руководителю принадлежат постановка задач и возможная методика их решения.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Содержание диссертации изложено на 148 страницах машинописного текста, в число которых входит 8 страниц приложений. В тексте имеется 19 рисунков и 8 таблиц.

Список литературы

включает 91 наименование.

7. Результаты работы могут быть рекомендованы к исследованию продольных, крутильных и поперечных колебаний линейных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, а также к использованию в учебном процессе по направлению 231 300 «Прикладная математика» .

Заключение

.

1. В работе решена задача о разработке качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма — Лиувилля высших порядков, имеющая большое значение для численных методов исследования колебаний линейных систем.

2. Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма — Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма — Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в п раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма — Лиувилля порядка 2п.

4. Разработаны алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма — Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма — Лиувилля высшего порядка.

5. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (ЛГ) операций для вычисления отдельного собственного значения.

6. Создан комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков с заданной точностью. Проведены эксперименты вычисления собственных значений дискретных и дифференциальных краевых задач Штурма — Лиувилля высших порядков с различными граничными условиями, которые демонстрируют точность программного комплекса.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А. А. Нелинейная спектральная задача для уравнения типа Штурма-Лиувилля со связанными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра // ЖВМ. 1999. Т. 39. С. 1119−1133.
  2. А. А. Модификация одного метода решения нелинейной самосопряженной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВМ. 2011. Т. 51. С. 39−43.
  3. Л.Д., Нестеров C.B., Костин Г. В. Численно-аналитический метод исследования свободных колебаний неоднородных стержней // МТТ. 1995. № 5. С. 180−191.
  4. Л.Д., Нестеров C.B., Коровина Л. И. Собственные поперечные колебания вращающегося стержня // МТТ. 2007. № 1. С. 3−14.
  5. Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.
  6. Н.С., Кобельков Г. М., Жидков Н. П. Численные методы. Москва: Наука, 2001.
  7. А. А., Елисеева Ю. В. Один метод вычисления собственных значений дискретных задач Штурма-Лиувилля высших порядков // ВЕСТНИК МГТУ Станкин. 2011. Т. 13, № 1. С. 91−101.
  8. Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 1998. 352 с.
  9. И. М., Лидский В. Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // УМН. 1955. Т. 10, № 1. С. 3−40.
  10. И. М. Осцилляционные теоремы для дифференциальных уравнений высших порядков и спектр соответствующих дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1958. Т. 118, № 3. С. 423−426.
  11. С.К., Костин В. И., Кирилюк О. П., Антонов А. Г. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука Сиб. отделение, 1992. 360 с.
  12. Дж., Лоун Ч. Ван. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.
  13. С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970. 328 с.
  14. Ю.В. Об одном алгоритме решения матричного разностного уравнения Риккати // ЖВМ. 1999. Т. 39, № 2. С. 187−194.
  15. Ю.В. Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 431−444.
  16. Ю.В. Теоремы сравнения для симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 9. С. 1329−1342.
  17. Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1966. 472 с.
  18. В. П., Кузнецов Ю. И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. М.: Наука, 1985. 208 с.
  19. А. Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ + + . + Рп (г)х = 0 // УМН. 1969. Т. 24. С. 43−96.
  20. . Г., Резников Л. М. Динамические гасители колебаний. Москва: Наука, 1988. 304 с.
  21. В. Б. Осцилляционные теоремы для канонической системы дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 102, № 5. С. 877−880.
  22. Л. Д. Об одном достаточном условии условии неколебательности решений уравнения у" + f{x)y = 0 // ДАН СССР. 1956. Т. 110, № 6. С. 929−931.
  23. Л. Задачи на сосбтвенные значения с техническими приложениями. Москва: Наука, 1968.
  24. Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.
  25. . Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. Москва: Мир, 1983. 384 с.
  26. М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика 1999. 560 с.
  27. А. А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1989. 616 с.
  28. А.Г., Кравцов В. В., Боголюбов А. Н. Лекции по математической физике. М.: Издательство Московского Университета, 1993. 352 с.
  29. B.C. Магнитостатические спиновые волны в технике свервы-соких частот // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике: 5-я зимняя школа-семинар инженеров. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1981. Т. 4. С. 37−41.
  30. С. П., Уивер У., Янг Д. X. Колебания в инженерном деле. Москва: Машиностроение, 1985. 472 с.
  31. А. Н., Самарский А. А. Разностная задача Штурма-Лиувил-ля // ЖВМ 1961. Т. 1. С. 784−805.
  32. А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1972. 736 с.
  33. Дж., Райнш Г. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. Москва: Машиностроение, 1976. 389 с.
  34. Д. X. Алгебраическая проблема собственных значений. Москва: Наука, 1970. 564 с.
  35. Шоу Хао. Разностная задача Штурма-Лиувилля для уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами // ЖВМ 1963. Т. 3, № 6. С. 1014−1031.
  36. Шоу Хао. Однородные разностные схемы для уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами // ЖВМ 1963. Т. 3, № 5. С. 841−860.
  37. В. А. Осцилляторные свойства решений линейных канонических систем дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 3. С. 533−536.
  38. В. А. Условия колебательности и неколебательности для линейных канонических систем дифференциальных уравнений / / ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 5. С. 994−997.
  39. В. А. Аргументы на группе симплектических матриц // Математический сборник. 1961. Т. 55, № 3. С. 255−279.
  40. В. А. Осцилляционные свойства решений канонических уравнений // Математический сборник. 1962. Т. 56, № 1. С. 3−42.
  41. Agarwal R., M. Bohner A. Peterson, C. Ahlbrandt. Discrete Linear Hamilto-nian Systems: A Survay // Dynamic systems and Applications. 1999. Vol. 8. Pp. 307−333.
  42. Ahlbrandt C.D. Dominant and Recessive solutions of symmetric three term recurrences // Journal of differential equations. 1994. Vol. 107. Pp. 238−258.
  43. Ahlbrandt C. D. Equivalence of discrete Euler equations and discrete Hamil-tonian systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993. no. 180. Pp. 498−517.
  44. Akulenko L. D., Nesterov S. V. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications. Boca Raton: Chapman&Hall/CRC, 2005.
  45. Amrein W. O., Hinz A. M., Pearson D. B. Sturm-Liouville theory past and present. Basel: Springer, 2005. 348 pp.
  46. Auckenthaler T., Bungartz H. J., Huckle T., Blum V. et al. Parallel solution of partial symmetric eigenvalue problems from electronic structure calculations // Parallel Computing. 2011. Vol. 37. Pp. 783−794.
  47. Bailey P.B., Everitt W.N., Zettl A. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code // ACM Trans. Math. Software. 2001. Vol. 21. Pp. 143−192.
  48. Bohner M. Linear Hamiltonian difference systems: Disconjugacy and Jacobi— type conditions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1996. no. 199. Pp. 804−826.
  49. Bohner M. On disconjugacy for Sturm-Liouville difference equation // Journal of Difference Equations and Applications. 1996. Vol. 2. Pp. 227−237.
  50. Bohner M. Discrete Sturmian Theory // Mathematical Inequalities and Applications. 1998. Vol. 1. Pp. 375−383.
  51. Bohner M., Dosly O. Disconjugacy and transformations for symplectic systems // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1997. no. 3. Pp. 707−743.
  52. Bohner M., O. Dosly, Kratz W. Inequalities and asymptotics for Riccati matrix difference operators // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998. Vol. 221, no. 1. Pp. 262−286.
  53. Bohner M., O. Dosly, Kratz W. Discrete Reid roundabout theorems // Dynamic systems and Applications. 1999. Vol. 8. Pp. 345−352.
  54. Bondarenko A. A., Elyseeva J. V. The Schur complement in an algorithm for calculation of focal points of conjoined bases of symplectic difference systems // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2011. Vol. 67, no. 4. Pp. 455−474.
  55. Bondarenko A. A., Elyseeva J. V. Calculating eigenvalues of discrete fourth order Sturm-Liouville problems. // Mathematical Models of Non-Linear Phenomena, Processes and Systems, Nova Science Publishers NY, USA, 2009. Pp. 272−281.
  56. Chen S., Erbe L. Oscillation and nonoscillation for systems of self-adjoint second-order difference equations // Siam J. Math. Anal. 1989. Vol. 20, no. 4. Pp. 939−949.
  57. Coppel W.A. Disconjugacy. Berlin: Springer, 1971.
  58. Dosly O., Kratz W. A Sturmian separation theorem for symplectic difference systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. Vol. 325. Pp. 333−341.
  59. Coddington E.A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. London: McGRAW W-HILL BOOK COMPANY, INC., 1955. 474 pp.
  60. Elyseeva J. V. A transformation for symplectic systems and the definition of a focal point // Computers & Mathematics with Applications. 2004. T. 47, № 1. C. 123−134.
  61. Elyseeva J.V. Transformations and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2009. T. 15, № 11. C. 1055−1066.
  62. Elyseeva J.V. On relative oscillation theory for symplectic eigenvalue problems // Applied Mathematics Letters. 2010. T. 23, № 10. C. 1231−1237.
  63. Erbe L., Yan P. Disconjugacy for linear Hamiltonian difference systems //J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 167. Pp. 355−367.
  64. Givens J.W. Numerical computation of the characteristic values of a real symmetric matrix // Oak Ridge National Laboratory. 1954. Vol. ORNL-1574.
  65. Gladwell G. Inverse Problems in Vibration. New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow: Kluwer academic publishers, 2004.
  66. Greenberg L. A. Priifer method for calculating eigenvalues of selfadjoint systems of ordinary differential equations Part 1 // University of Maryland Technical Report TR91−24. 1991.
  67. Greenberg L., Marietta M. Oscillation theory and numerical solution of fourthorder Sturm-Liouville problems // IMA J. Numer. Anal. 1995. Vol. 15. Pp. 319−356.
  68. Greenberg L., Marietta M. The code SLEUTH for solving fourth order Sturm-Liouville problems // ACM Trans. Math. Software. 1997. Vol. 23. Pp. 453−493.
  69. Greenberg L., Marietta M. Oscillation theory and numerical solution of sixth order Sturm-Liouville problems // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35. Pp. 2070−2098.
  70. LAPACK Working Note 9 //Ed. by Demmel J., McKenney A. Computer science dept. technical report. New York: Courant Institute, 1989. 19 pp.
  71. On the correctness of Parallel Bisection in Floating Point // Ed. by H. Ren J. Demmel, I. Dhillon. Computer science division technical report. University of California: Berkeley, 1994. 38 pp.
  72. Shi Y., Lv H. Error estimate of eigenvalues of perturbed second-order discrete Sturm-Liouville problems // Linear Algebra and its Applications. 2009. Vol. 430. Pp. 2389−2415.
  73. Shi Y., Sun H. Eigenvalues of second-order difference equations with coupled boundary conditions // Linear Algebra and its Applications. 2006. Vol. 414. Pp. 361−372.
  74. Hartman P. Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons, 1964. 612 pp.
  75. Higham N. J. Accuracy and stability of numerical algorithms. Philadelphia: SIAM, 2002. 680 pp.
  76. Hilscher R.S., Zeidan V. Symmetric Three-Term Reccurence Equations and Their Symplectic Structure // Advances in Difference Equations. 2010. Vol. 2010.
  77. Kahan W. Accurate eigenvalues of a symmetric tridiagonal matrix. Technical report No CS41. Computer science department School of Humanities and Sciences: Standford University, 1966. 53 pp.
  78. Kratz W. Quadratic Functionals in Variational Analysis and Control Theory. Berlin: Akademie Verlag, 1995.
  79. Kratz W. Banded matrices and difference equations // Linear Algebra and its Applications. 2001. no. 337. Pp. 1−20.
  80. Kratz W. Discrete Oscillation // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. Vol. 9. Pp. 127−135.
  81. Kratz W. Banded matrices and discrete Sturm-Liouville Eigenvalue Problems // Advances in Difference Equations. 2009. 18 pp.
  82. Kratz W., Dosly O. Oscillation theorems for symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2007. Vol. 13. Pp. 585−605.
  83. Kratz W., Tentler M. Recursion formulae for the characteristic polynomial of symmetric banded matrices // Linear Algebra and its Applications. 2008. Vol. 428. Pp. 2482−2500.
  84. Pryce J. D. Classical and vector Sturm-Lioville problems: recent advances in singular-point analysis and shooting-type algorithms // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1994. Vol. 50. Pp. 455−470.
  85. Reid W.T. Sturmian Theory for Ordinary Differential Equations. New York Berlin — Heidelberg: Springer-Verlag, 1980.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!