Арифметические приложения теории гипергеометрических рядов

В диссертации с помощью приближений Паде гипергеометрических функций получены арифметические результаты в области теории чисел.

В 1873 году Эрмит построил совместные приближения функций ., етг рациональными функциями. То есть, он нашел в явном виде многочлены Сдо (г), •. ¦, такие, что кратности нуля в точке г = 0 функций С}о (г)ек* — будут максимально возможными в зависимости от степеней многочленов (¿-кЗначения этих многочленов в точке г — 1 использовались Эрмитом для построения совместных приближений к е, е2,., ет рациональными числами, что позволило ему доказать трансцендентность е.

Пусть, а 1, ¦¦¦, схт — различные комплексные числа, щ, щ,.. ., птнеотрицательные целые числа, и определим.

Дя) = хп°(х-а1)п^—(х~ат)п™.

Полагая М = щ + щ + • • • + пт, получим.

Qo{z)eakZ — Qk (z) = zM+1eakZ / e^/W dt, (0.1).

J о где degQk (z) ^ M ~ При подстановке z = 1 в (0.1), мы получим равенство, которое Эрмит использовал для доказательства трансцендентности е, а Линдеман в 1882 году для доказательства трансцендентности 7 г.

Таким образом, конструкция совместных приближений eakz рациональными функциями Qk (z)/Qo (z) позволила построить совместные приближения чисел еак рациональными числами Q/c (l)/Qo (l).

Подобная конструкция существует и для гипергеометрической функции. Рассмотрим следующий ряд, называемый Гауссовой гипергеометрической функцией:

F (z) = F (a, b, c-, z) = 2Fl (a, cb оо v^ (a)v (b)v.

I ~ Г с). • и=0 где а, Ь, с g С и с ^ 0, —1, —2,. — здесь (qq) = 1 и (а)^ = а{а + 1) • • • (а+и—1). Если, а или Ь принадлежат множеству {0, —1, —2,. }, то F (z) — многочленв противном случае это ряд с радиусом сходимости, равным 1.

Гаусс нашел следующее разложение в цепную дробь:

F (a, b, c:z) «aiz aoz. .

V = 1 + —Г1 + ~тг~ + • • •, (0.2).

F (o, 6 + l, c+l-z) |1 |1 где комплексные числа, а + к) (сЪ + к) {Ъ + к){с-а + к).

2fc+l = —7-, 07 Ч /-Т7Г,—Г-ГТ, <^2к с + 2fc)(c + 2/с + 1) ' //с (с + 2/с — 1)(с + 2fc).

Эта цепная дробь сходится к.

-^(<2, Ь, сг).

Р (а, 6 + 1, с 4- 1- г) в области 0 < arg (z — 1) < 27 г. Числитель Ап (г) и знаменатель подходящей дроби — это многочлены с комплексными коэффициентами и.

Вп ^ п 2 с^ Ап < п + 1.

Имеет место подобное (0.1) равенство.

Вп{г)Е{а, 6, сг) — Ап (г)Г{а, Ь + 1, с + 1- г = (-1)па1—-ап+1гп+1/п+ где.

Ы^) = + к, Ъ + к, с + 2/с- 2), /2Л+1М = Г (а + к, Ъ + к + 1, с + 2к + 1- г).

Из (0.2) следует такое разложение: ч 11 а11 а% I = ^ ++ ^ + ¦ ¦ •, где коэффициенты а* получаются из щ подстановкой & = 0 и заменой с на с — 1.

В 1907 году Паде нашел явное представление для рациональных приближений ^(а, 1, сг) с различными ограничениями на степени числителей и знаменателей подходящих дробей.

Якоби нашел следующее представление для остатка и знаменателя приближения Паде функции F (a, 1, с- 1/х) в окрестности бесконечности. Пусть Rea > 0, Re (c — а) > 0, и пусть.

Qn (x) = F (—n, с + n — 1, a, ж).

1—a.

1+a—с a) n rJ 71) (хм-1 — x) c-a+n-1) axj.

— многочлен Якоби, degQn (a:) = п. Пусть многочлен Pn (x) стенени n — 1 определен равенством.

РП (Х) = i' ta- 1 — Onfr) dt.

Jo t — x.

Тогда имеем следующее тождество: 1 п' [г ?а+п-1(1 — Л0−04-" «1.

В диссертации использована подобная конструкция для получения арифметических результатов.

Настоящая работа устроена следующим образом. Во введении в разделе 0.1 мы определяем понятие гипергеометрического ряда и приводим ряд его важных свойств. В разделе 0.2 мы описываем некоторые классические задачи, с которыми связаны результаты диссертации, представленные в разделе 0.3.

В главах 1−3 проводится доказательство основных результатов, которые опубликованы в работах [23], [24], [22] автора. Результаты работы [22] были представлены на конференции [25].

0.1. Гипергеометрический ряд.

Рассмотрим степенной ряд.

F (a, b, c-z) = 2F1(ai & где с ф 0, -1, -2,. и а) о = 1, (а)п = а (а + 1) • ¦ ¦ (а + п — 1), п = 1,2,.,.

— так называемый символ Похгаммера (сдвинутый факториал). Отметим сразу равенство (1)п = п. Ряд (0.3) называется гипергеометрическим рядом. Отметим также очевидное свойство симметрии:

Обозначим через А{п) коэффициент при zn в ряде (0.3). Тогда так что радиус сходимости гипергеометрического ряда равен 1, за исключение случаев, когда, а или Ь — неположительное целое. В этом случае конечный ряд в (0.3) сходится во всей комплексной плоскости. Гипергеометрическая функция определяется рядом.

F (а, Ъ, сz) — F (b, а, сz).

А (п + 1) (а + п)(Ь + п) А (п) ~~ (с + га)(1 + п) п = 0,1,2,. 5 ао, ai,. bi, bm ap^ai)^ ¦ • • (сim)vzv {b)"—-{bm)v v.

0.4) условие.

Re (a0 + ai 4——+ aTO) < Re (6i H——-bm).

0.5) обеспечивает сходимость ряда (0.4) в области г < 1 (см., например, [1]). Важную роль в анализе гипергеометрических рядов играют формулы суммирования и преобразованияв качестве примеров укажем формулу суммирования Гаусса.

F (a, Ь, с- 1).

Г (с)Г (с — а — 6) Г (с — а) Г (с — Ь) ' формулу суммирования Пфаффа-Заалыпютца.

3² п, а, Ъ с, 1 + а + 6 — с — п с — а) п (с — Ь) п с) п (с~ а — Ъ) п пек (о.б) см., например, [14- с. 49, формула (2.3.1.3)]), предельный случай теоремы Дугалла.

5⁴ а, 1 + а/2, 6, с, с? а/2, 1 + а — 6, 1 + а — с, 1 + а — (I.

Г (1 + а — Ь) Г (1 4- а — с) Г (1 + а — в) Г (1 + а — Ь.

— й).

Г (1 + а) Г (1 + а — Ь — с) Г (1 + а — Ь — д) Г (1 + а — с — й).

0.7) см. [1]), а также преобразование Уиппла.

6⁵ а, 1 + а/2, 6, с, е а/2, 1 + а — 6, 1 + а — с, 1 + а — 1 + а —е.

Г (1 + а — с?) Г (1 + а — е) /1 + аЬ-с, й, е Г (1 + а) Г (1 + а — с/ — е) ' 3 21 + а-Ь, 1 + а-с.

0.8) см. [1]).

0.2. Предварительные сведения.

Проблема Варинга и оценки расстояния до ближайшего целого. Классическая проблема Варинга утверждает, что для любого целого к ^ 2 существует 5 с тем условием, что каждое натуральное число представляется в виде суммы не более 5 слагаемых вида ак: где, а — натуральное число. Наименьшее б с таким свойством обозначается д (к). Известно, что неравенство где [ ¦ ] и || ¦ || обозначают соответственно целую часть числа и расстояние до ближайшего целого, ||х|| = шт ({х}, 1 — {а-}).

В 1957 г. Малер [12] использовал обобщение Риду известной теоремы Рота, чтобы показать, что неравенство для целых и и V и вещественного 9 имеет лишь конечное число решений в целых к для любого С < 1. В частности, в случае в = 1, и/у = 3/2, С = ¾ получается неравенство (0.9), а вместе с ним и представление (0.10), для всех к ^ К, где К — абсолютная, но неэффективная постоянная.

0.9) влечет представление.

0.10).

В связи с этим возникла задача получить нетривиальную (с С > ½) и эффективную (в терминах К) оценку вида.

Первое продвижение в решении этой задачи сделали в 1975 г. Бей-кер и Коетс [2]. Применив эффективные оценки линейных форм для р-адических логарифмов, они показали справедливость (0.11) с С = 2-(1-ю~64).

В 1981 г. Бэйкерс [4] существенно улучшил этот результат, доказав, что неравенство (0.11) выполняется с С — 2~0−9 = 0.5358. .. при к ^ 5000. Доказательство Бэйкерса основано на приближениях Паде к остатку биномиального ряда (1 — г) т = (&trade-)(~2:)т'.

В 1990 г. Дубицкас [17] использовал конструкцию Бэйкерса для получения оценки (0.11) с С — 0.5769. В этом же году Кубина и Вуидерлих [11] проверили неравенство (0.9) для всех к ^ 471 600 000.

В 1993 г. Беннет [3], [6] рассмотрел обобщение проблемы Варинга, именно, задачу о порядке дм (к) аддитивного базиса множества целых положительных чисел. Он установил лучшие на данный момент оценки для последовательностей ||(1 -Ь ^А^Ц: к для всех к ^ К.

0.11) к и с их помощью получил представление.

0.12) при N ^ (к—1^к~1УкI.

В 2003 г. Хабсигер [8], пользуясь, как и Дубицкас, конструкцией Бэйкерса, получает оценку (0.11) с С — 0.5770. его работа также содержит оценку.

3' 0.57 434/с при к ^ 5,.

0.13) полученную на основе вычислений в [7] и [11].

Наконец, в 2007 г. Зудилин [16], модифицировав конструкцию Бэйкерса, а именно, рассмотрев приближения Паде к остатку ряда оо.

1 — г) т+г? п=0.

771 + п т и получив точные оценки р-адических порядков возникающих биномиальных коэффициентов, пришел к оценке.

3' 0.5803 для всех к ^ К, где К — некоторая эффективная постоянная. Конструкция работы [16] позволила ему также получить оценки 0.4914 при к > Къ 0.5152^ при к ^ К2, где К и К2 ~ эффективные постоянные. Указанная оценка снизу для 11(4/3)^11 дополняет результат Беннета [3] о порядке аддитивного базиса {1^, Зк, 4к,. }, который требует выполнения ||(4/3)^| > (4/9)^ при к ^ 6, с тем условием, что последнее неравенство будет проверено в диапазоне 6 < к ^ К.

В качестве обобщения предыдущей темы могут рассматриваться последовательность дробных долей степеней фиксированного числа, а > 1 и более общая последовательность {?а-п}, п — 1, 2,., где? ф О и, а > 1 — вещественные числа.

Хорошо известны лить метрические аспекты задачи о распределении дробных долей {^а" }. Так, в [15] доказано, что последовательность п — 1,2,., равномерно распределена при любом фиксированном, а > 1 для почти всех, а в [9], наоборот, — что эта последовательность равномерно распределена при любом фиксированном? ф 0 для почти всех, а > 1. В то же время для конкретных пар? Ф 0, а > 1, особенно если, а — трансцендентное число, почти ничего не известно.

В работе Дубицкаса [18] содержится результат о том, что дробные доли {^а-&trade-}, п — 1,2,., могут принимать любое значение лишь конечное число раз, за исключением случая, когда, а является корнем из целого числа, а? — рациональным множителем целой неотрицательной степени а. д-Аналоги дзета-значений. Для натуральных 5 = 1,2,. определим д-ряды где сг51(п) = обозначает сумму степеней делителей. Несложно проверить (например, с помощью леммы 3.1 далее) предельные соотношения оо.

0.14).

Ит (1 — дУШ = (а — 1)! • СМ, 5 = 2,3,., о—>1 где («(5) — значения дзета-функции Римана (дзета-значения). Это обстоятельство мотивирует название дзета-значения для рядов (0.14).

Для четных ряды Е3{ц) = 1 — 2з? д (з)/В3, где В3 е <0> - числа Бернулли, известны как ряды Эйзенштейна. Поэтому из устройства пространства модулярных форм следует, что функции С? (2), С? (4), Сг7(6) алгебраически независимы над в то время как остальные четные ц-дзета-значения являются многочленами (с коэффициентами из <0>) от С, (4) и С? (6).

0.3. Результаты.

В настоящей работе в главе 1 на основе конструкции из работы [16] и техники из работы [8] проведена эффективизация нижней оценки для 11(4/3)^11, а именно, получен следующий результат.

Теорема 1. Для ||(4/3)^1 имеем.

4Ч 0.4910 к при к^Ь 868 122 745 713 241 570.

Кроме того, мы улучшаем оценку (0.13). Теорема 2. Для || (3/2)^1 имеем.

5' 0.5795 при к ^ 871 387 440 264.

Величины наименьших значений параметра к в теоремах 1 и 2 обусловлены необходимостью оценивать количество простых в большом числе интервалов: при этом требуется высокая точность (см. (1.13) на с. 27). Проверка неравенств в теоремах при меньших к остается за пределами вычислительных возможностей.

В главе 2 автор получает оценки вида ак\ > Ск для всех к > К для конкретных значений (иа. Так, доказана следующая ТЕОРЕМА 3. Имеет место оценка.

31/32fc|| > 0.3568fc при k> К. (0.15).

Заметим, что из наилучшей на данный момент эффективной оценки меры числа З1/3 [5].

31/3) ^ 2.692 661 368. следовала бы оценка.

31/32/г|| > 0.3093^ при к>К. В главе 3 мы получаем следующие результаты.

Пусть даны ненулевые многочлены Pi (q)? C[g], г = 1,.. ., к. Определим линейную комбинацию к.

P{q) = P (s ь ., sk]q) = J2 ЩяКч (^), г=1 где si > ¦ ¦ • > Sfc ^ 1 и si,., Sfc? Z.

ТЕОРЕМА 4. Начиная с некоторого ро> зависящего от si, s2,., Sfc? Z и многочлена Pi (q), каждый первообразный корень р-й степени из единицы р ^ ро, является особой точкой функции P (q). В частности, множество всех особых точек функции P{q) всюду плотно на окружности q = 1, и она трансцендентна.

введение

.

В качестве следствия теоремы 4 получено решение следующей задачи, сформулированной в [20].

ЗАДАЧА 0.1. Доказать, что д-дзета-значения Сд (1)> С?(2), Сд (3), • • • как функции от д линейно независимы над С (д).

Следствие. Функции (д (з), в ^ 1, линейно независимы над С (д).

Также, в [20] поставлена.

ЗАДАЧА 0.2. Доказать, что множество, включающее три четные д-дзета-зиачения Сд (2), С?(4), С?(6) и все нечетные д-дзета-значения С?(1)> Сд (3), Сд (5), • ¦ •, состоит из алгебраически независимых над С (д) функций.

В этом направлении доказаны следующие теоремы.

Теорема 5. При любом целом 5 > 1 функции С.

Теорема 6. Пусть для некоторого набора 51,. ¦., в/-? N чисел таких, что > 1, г = 1,.. ., к, функции с?(51)) сд^г), ¦ • • 5 с?(5а-) алгебраически независимы над С (д). Тогда функции С9(1) и Сд (51) — Сд (52)> ¦ ¦ ¦, С/(3к) таксисе алгебраически независимы над С (д).

ТЕОРЕМА 7. Функции Сд (1) и Сд (2), С.

Отметим также, что подход к доказательству линейной и алгебраической независимости д-рядов, используемый в данной работе, был предложен в [21] и может применяться в других задачах.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям кандидату физико-математических наук, доценту В. В. Зудилину за постановку задач и постоянное внимание к работе и доктору физико-математических наук, профессору А. И. Галочкииу за помощь в ее подготовке.

Автор благодарит весь коллектив кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ и лично доктора физико-математических наук, чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко и доктора физико-математических наук, профессора Н. Г. Мощевитина за помощь и поддержку.

3.2. Основные результаты.

Пусть даны ненулевые многочлены € С[д], г = 1,., к, со степенями ^ соответственно. Определим линейную комбинацию где > ¦ • • > 5^. Через О с С обозначим мультипликативную группу всех корней из единицы.

Доказательство теоремы 4. Возьмем число 9? П, не являющееся корнем многочлена Р, и пусть д = г9. Представим многочлены Рг, г = 1,., /с, в виде к.

3.3).

3.4) ш=О.

Тогда к <1{ г=1 т=О к.

1=2 к.

Ф-ОЕЕ 1 — гг-'&м, г=1 7п~1 откуда в соответствии с леммой 3.2 при г —> 1 если ^ 2, если = 1.

Поэтому в — особая точка функции (3.3).

Для завершения доказательства остается заметить, что алгебраическая функция имеет особенности лишь в конечном числе точек. следствие. Функции Сз (5)> 3 ^ 1, линейно независимы над с (д).

Доказательство. Для любого набора ненулевых многочленов Рг{ч)? и целых чисел г = 1,., линейная комбинация (3.3) имеет особые точки, а значит, не равна тождественно нулю. замечание. Вместо многочленов Д в (3.3) можно рассматривать целые функции (в этом случае ряды в (3.4) бесконечны). Тогда результат теоремы 4 можно усилить, заменив поле С (д) па поле меро-морфных функций.

Доказательство теоремы 5. Пусть от противного существует многочлен Р{хо, х{) с коэффициентами из С[д] такой, что.

Запишем его в виде.

Р (Я).

Р{ч) 1.

1 — г)5*'.

1п (1 — г) 1 -г.

Р (Х = где суммирование распространяется на все ненулевые коэффициентыРг (.

Выберем число в 6 Г2, не являющееся корнем ни одного из РДд), и пусть q — г9. Рассмотрим те г, для которых значение суммы ?1⁵ ?о, г максимально, и выберем из них то, для которого максимально? о, г-Пусть это? о, г = ?0) а соответствующее = ?1. Тогда, проводя те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 4, получаем.

РШ, &") — (- К1 — «РИ г — 1.

Это противоречит предположению Р (С9(1), С?(5)) = 0, откуда и следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 6. Произвольный многочлен Р (х0,х1,., Хк) с коэффициентами из С[д] можно представить в виде.

Р (х0, = РМ) х1^х1^. (3.5) г гдеРг (^) € С[д] - все ненулевые коэффициенты Р{хо, х,., хк).

Аналогично доказательству теоремы 5 выберем число 0? О, не являющееся корнем ни одного из многочленов Р^, и пусть д = гв. Из леммы 3.2 для функций Сд (А')> 5 > 1) имеем.

Ш = (ГЗ^Х.М, (3.6) где ~ ограниченные на отрезке [0,1] функции. Теперь представим многочлен (3.5) в виде.

Р (х0, ХЪ. .. , хк) = РгМ^!1'' • • • >

I Ш (1) где 1(1) — множество значений индекса г, для которых? о, г = Из алгебраической независимости функций Cc (si) — Cg (s2)) ¦ ¦ ¦, Cq (sk) и представления (3.6) для любого I получаем РШяЫ'" ¦ ¦ • C"Ofc)'M X '¦ При Г — 1, iel (l) К ' где mil) — целое неотрицательное число. Рассмотрим те /, для которых значение суммы т (1) + 1 максимально, и выберем из них максимальное I = I*. Тогда.

P (Ce (l), C9M, ¦ ¦ ¦, Фк)) * (- ln (l — r) f{1r1)m{l,)w при г -, 1 и, в частности, выражение слева отлично от нуля. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 5 следует из алгебраической независимости Сг (2), С?(4), Сg (6) (см.

введение

) и теоремы 6.