Квантовая аномалия в струнных теориях, взаимодействующих с фоновыми полями

Вопросы теории струн занимают значительное место в современных исследованиях по теоретической физике высоких энергий. Интерес к теории струн в значительной степени обусловлен тем, что эта теория является в настоящее время единственным реальным кандидатом на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий (см. например [1] - [4]).

Возникнув около двадцати лет назад, теория струн с тех пор неизменно привлекает внимание физиков и математиков. Релятивистские струнные теории первоначально возникли в физике высоких энергий в связи с проблемами описания динамики сильных взаимодействий элементарных частиц. На рубеже 6070 годов был разработан ряд так называемых дуальных моделей, в частности, модель Венециано [5, 6]. В работах [7, 8] было отмечено, что модель Венециано описывает рассеяние одномерных объектов — струн и является унитарной. Несколько позже эта модель была расширена путем ведения в теорию фермионов [9] - [12]. Однако оказалось, что квантовая теория струн содержит аномалии, условия сокращения которых ведут к ограничениям на размерность пространтва-времени и другие параметры теории. Для бозонной струны критическая размерность И — 26, а включение в теорию фермионов ведет к ограничению И = 10. Кроме этого, существовали и другие проблемы, связанные со струнным спектром, плохо объяснимые с точки зрения теории сильных взаимодействий.

В восьмидесятых годах были построены суперсимметричные обобщения теории бозонных струн (суперструнные модели), в которых было обнаружено сокращение аномалий, приводящее к фиксации не только размерности пространтва-времени, но и типа калибровочной группы [13]-[16], и предложена интерпретация струнных моделей в качестве фундаментальной теории элементарных частиц.

Современная точка зрения на теорию суперструн заключается в том, что она должна описывать все виды частиц и взаимодействий, при этом различным частицам соответствуют различные возбужденные состояния струны, а взаимодействие осуществляется путем разрыва и склеивания отдельных струн. Из всех измерений пространства-времени при низких энергиях наблюдаемы только четыре, остальные — скомпактифицированы, причем теория сама должна определять, каким образом при компакти-фикации возникает известный спектр частиц (см. [1, 3]).

Одна из основных проблем теории струн состоит в описании струнного взаимодействия. Известны различные подходы к этой проблеме. Первый и наиболее разработанный — метод амплитуд. В этом методе постулируется вид вершинных функций и вычисляются амплитуды для произвольных диаграмм. Также известен способ изучения взаимодействия струн в рамках полевой теории струн [17, 18]. Такое описание представляет собой вторично-квантованную теорию, которая является расширением известной в квантовой теории поля процедуры построения вторично-квантованной (или полевой) теории для точечных частиц. Одним из основных методов изучения струнного взаимодействия является сигма-модельный подход [36] - [29]. Этот метод представляет собой, по-существу, 2-мерную теорию поля, что позволяет использовать для ее описания методы квантовой теории поля. Для описания струны, взаимодействующей с фоновыми полями было предложено добавить к действию нелинейной двумерной сг—модели члены, описывающие взаимодействие с различными струнными модами [24]-[32], при этом фоновые поля интерпретируются как конденсат различных мод других струн [23]-[37].

Уже упоминалось, что практически все струнные модели являются аномальными. В рамках сигма-модельного подхода, при функциональном ковариантном квантовании требование сокращения квантовой аномалии является источником эффективных уравнений движения, которые представляют собой ограничения на фоновые поля. Аномалия же возникает как нарушение вейлевской инвариантности квантового эффективного действия. Условие отсутствия аномалии строится как условие равенства нулю перенормированного оператора следа тензора энергии-импульса, соответствующие коэффициенты при независимых составных операторах интерпретируются как эффективные уравнения движения для фоновых полей. При рассмотрении обобщенного действия <7—модели, взаимодействующей с набором безмассовых полей, было показано, что уравнения движения для струнных мод, следующие из эффективного струнного действия, совпадают с условиями сокращения квантовой конформной аномалии, которые, в свою очередь, связаны с (3—функциями и условиями ультрафиолетовой конечности теории [33]-[35]. Реализация этого подхода для теорий бозонных струн, взаимодействующих с безмассовыми фоновыми полями детально изучена в работах [23]-[28] (см. также обзоры [36], [37]).

Дальнейшим обобщением теории является включение взаимодействия и с массивными фоновыми полями. Теория с действием, содержащим члены с размерностью выше двух по двумерным производным и описывающим взаимодействие с массивными полями1, не является конформно-инвариантной уже на классическом уровне. Тем не менее, если потребовать конформной инвариантности теории на квантовом уровне, то на фоновые поля возникнут ограничения, причем их линейная часть будет воспроизводить уравнения Клейна-Гордона с правильным знаком квадрата массы [82]. Случай замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с фоновыми полями первого массивного уровня детально изучен в работе [38]. Проанализирован статус различных структур в классическом действии с точки зрения их соот.

1Мы не будем касаться проблемы взаимодействия с тахионной модой, которая также оказывается нетривиальной [83]-[84] ветствия струнному спектру. В линейном приближении по фоновым полям осуществлена перенормировка полей и соответствующих составных операторов. Из условия квантовой конформной инвариантности получены уравнения для фоновых полей первого массивного уровня и показано, что тензорный состав полученного набора полей согласуется со струнным спектром лишь при некоторых дополнительных ограничениях.

Другим способом изучения действия и—модельного типа, описывающего взаимодействие струны с фоновыми полями, является метод обобщенного канонического квантования Баталина-Фрадкина-Вилковыского (BRST — BFV метод) [45]-[49] (смотрите также работы [40]-[43]). В нем с самого начала используется требование Becci-Rouet-Stora-Тютина (BRST) симметрии [51], [52] в качестве фундаментального принципа построения квантовой теории. Предложен общий рецепт построения производящего функционала калибровочной алгебры О (или BRST-заряда), который является основным объектом, для любой калибровочной теории.

В методе обобщенного канонического квантования источником аномалий является возможное нарушение квантового условия нильпотентности фермионного производящего функционала калибровочной алгебры Q, выполненного на классическом уровне по построению. Оператор О при этом строится по структурным константам алгебры классических связей первого рода, несущих информацию о калибровочных симметриях классической теории. Это существенно отличает каноническое квантование от ковариантного, в котором требование вейлевской инвариантности налагается на квантовое действие теории независимо от того, была соответствующая классическая теория вейлевски инвариантна или нет. Поэтому наивное применение процедуры канонического квантования к теориям струн в фоновых полях с вейлевски неинвариантными классическими лагранжианами может привести к противоречию с ковариантным подходом.

Подобных проблем не возникает при квантовании свободной струны, а также теории струны, взаимодействующей с безмассовыми гравитоном и антисимметричным тензором, которая на классическом уровне обладает тем же набором симметрий, что и свободная струна. Включение взаимодействия с другими фоновыми полями (дилатоном, тахионом, полями высших массивных уровней) нарушает вейлевскую инвариантность классического действия и соответствующие связи первого рода исчезают. Таким образом, поскольку симметрия отсутствует уже на классическом уровне, нет смысла говорить о ее нарушении в квантовой области.

Конечно, конкретный механизм возникновения аномалий, а следовательно, и условий на фоновые поля, зависит от используемого подхода. Естественно полагать, что различные подходы применяемые к одной и той же теории должны приводить к совпадающим или, по крайней мере, непротиворечивым результатам.

Для свободной бозонной струны операция БФВ квантования впервые проведена в работах [53]-[56], в которых был построен оператор ?1 и показано, что условие его нильпотентности влечет ограничения на параметры теории, совпадающие с аналогичными условиями, возникающими при использовании других методов.

Обобщение метода канонического квантования для струны, взаимодействующей с фоновыми полями, является нетривиальной задачей, поскольку теория становится нелинейной и требуется строить адекватную задаче теорию возмущений. В существующих работах предлагалось в качестве таковой использовать разложение по слабым фоновым полям, вычислялись квантовые аномалии в алгебре связей различных моделей в линейном приближении [65]-[70].

Так, в работах [65], [66] для теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с гравитоном и с антисимметричным тензором, была построена алгебра связей в классической области и получена первая по слабым фоновым полям поправка в квантовую алгебру. В таком же приближении для этой теории в работах [67], [68] было показано, что из условия нильпотентности оператора О для фоновых полей следуют уравнения Даламбера и условия поперечности. Аналогичная процедура для суперструны проделана в работах [69], [70]. Однако этот способ не лишен ряда недостатков, в частности, он не ковариантен.

Использовалось также разложение исходного действия и связей теории по степеням нормальных координат, квантовая алгебра связей была получена в низшем порядке по кривизне [71], [72].

Последовательное обобщенное каноническое квантование взаимодействующей струны проведено в работах [73], [74]. В них развита гамильтонова формулировка, вычислены связи и их алгебра. Предложено соответствующее теории свободное приближение, критическя размерность которого равна 25. Квантовая алгебра построена в терминах символов операторов в произвольном порядке. Найден явный вид первой квантовой поправки. Для струны, взаимодействующей с гравитоном и дилатоном, с помощью разложения по степеням нормальных координат получены уравнения движения фоновых полей. Следует, однако, заметить, что рассмотренный случай не вполне соответствует струнной картине, свидетельством чему является равная 25 критическая размерность свободного приближения и вид уравнений движения фоновых полей, не соответствующих ковариантному подходу для струны.

Аналогичные проблемы имеются и при каноническом квантовании теории струны, взаимодействующей с массивными полями, также вейлевски неинвариантной на классическом уровне. Способ разрешения этих трудностей был предложен в работе [75], где рассматривалась принципиальная возможность построения калибровочно-инвариантной квантовой формулировки для некалибровочной классической модели, зависящей от параметров. Предложенная общая схема была использована для построения канонической формулировки теории струны, взаимодействующей с фоновыми тахионом и полями первого массивного уровня, для которых в линейном приближении были получены эффективные уравнения движения, совпадающие с уравнениями, возникающими в рамках ковариантного подхода.

Таким образом, проблема последовательного канонического квантования струнных теорий, включающих взаимодействие с фоновыми полями, а также вычисления на этой основе общего вида квантовой аномалии в алгебре связей остается открытой и нуждается в дальнейшем изучении.

Для свободной струны исследование общего вида аномалии проводилось в работах [87]-[90]. На основе метода ВРУ-квантования был проведен алгебраический анализ аномалии в расширенном фазовом пространстве. Получен наиболее общий вид вирасоров-ской аномалии, исследуется ее связь с вейлевской аномалией и найден контрчлен, добавление которого к исходному действию для свободной струны, ведет к сдвигу вирасоровской аномалии в вейлевскую.

Общие вопросы, связанные с аномалией в рамках метода обобщенного канонического квантования изучались в работе [91].

Во многом аналогичная поцедура была реализована в работах [94]-[104]. Для заданного набора полей и калибровочных сим-метрий в рамках лагранжевого ВУ — квантования (см. например работы [92], [93]) была найдена квантовая аномалия, как антискобочная когомология на интегрируемых локальных функционалах.

В этом подходе изучались нетривиальные решения уравнения.

5А = 0 (1) где 5 — нильпотентный ВЫ8Т дифференциал и, А — интегрируемый локальный функционал, А = / в, 2х/. Используя лемму Пуанкаре, уравнение (1) переписывается в виде локальных, так называемых, понижающих уравнений:

5ш 2 + с1ш = О 5ш 1 + с1шо = О 8ш о = О где (?2 — 2 форма, а и> и и>о — соответственно 1 и 0 формы. Известно, что эти уравнения для теории (супер)струн в параметризации Бельтрами (смотрите например [101, 102]), ведут к тому, что при нетривиальной 0 — форме ¡-.¿-о «интегрирование» двух других тривиально. Таким образом, достаточно определить общее решение уравнения.

6ш0 = 0 (2) в пространстве локальных функционалов полей.

Таким образом, можно сделать вывод, что имеет место задача последовательного канонического квантования струнных теорий, взаимодействующих с фоновыми полями, вычисления общего вида квантовой аномалии в алгебре связей и соотнесения полученных результатов с условиями на фоновые поля, полученными в рамках других подходов.

В предлагаемой работе процедура обобщенного канонического квантования осуществляется как для теории замкнутой бо-зонной струны, взаимодействующей с полным набором безмассовых полей, имеющихся в струнном спектре — гравитоном, антисимметричным тензором и скалярным дилатоном, так и для теории фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем в рамках N811 модели [57]-[60]. В отличие от работ [94] - [104] все вычисления, связанные с изучением и получением общего вида квантовой аномалии проводятся в рамках ВКБТ-ВРУ квантования. Для получения и исследования соответствующей квантовой: аномалии предлагается использовать формализм символов операторов [79], [80], что дает возможность получать результаты в наиболее общем виде. Тем самым дается общее решение проблемы канонического квантования теории взаимодействующей струны.

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух приложений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [105] - [110].

В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук, профессору И. Л. Бухбиндеру за научное руководство, всестороннюю помощь в работе и сотрудничество.

Я глубоко признателен кандидату физико-математических наук, доценту В. Д. Першину за постоянные консультации, помощь в работе над диссертацией и сотрудничество.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Приведем основные результаты полученные в диссертации.

1. В рамках метода обобщенного канонического квантования изучена алгебраическая структура квантовых аномалий в теориях струн, взаимодействующих с фоновыми полями. Основываясь на уравнениях совместности, получаемых с использованием (супер)тождества Якоби и применяя технику символов операторов получено соотношение, определяющее аномалию как когомологию нетривиальных решений уравнения на аномалию в пространстве с-числовых функций, зависящих от координат расширенного фазового пространства и, возможно, фононовых полей.

2. Сформулирована процедура получения общего вида квантовой аномалии для струнных теорий в рамках а—модельного подхода. Изучен вопрос о произволе, имеющем место при определении аномалии, а также исследован общий вид поправок к аномалии в высших петлях.

3. Для теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями гравитона (симметричного тензора), антисимметричного тензора и дилатона построена непротиворечивая квантовая теория в рамках метода ВКБТ.

— ВРУ квантования. Предложен адекватный выбор динамических полей, обеспечивающих правильную размерность рассматриваемой теории, являющийся каноническим аналогом известного подхода Полякова. Найден общий вид квантовой аномалии и приведены условия ее отсутствия, которые для рассматриваемой теории играют роль условий обеспечивающих ее квантовую калибровочную инвариантность.

4. Изучена взаимосвязь результатов, полученных в рассмотренном подходе, с хорошо известной в рамках ковариантного подхода структурой условия квантовой вейлевской инвариантности рассматриваемой модели.

5. Найдена структура квантовой аномалии для теории фер-мионной струны в рамках N811 модели фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем. На основе предложенного в работе подхода построен анзац для аномалии и найдена нетривиальная когомология решений уравнений на аномалию.