Метод преобразования Н.Н. Боголюбова в некоторых моделях теории сильной связи

Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют законы сохранения в физике, и, следовательно, важнейшее значение задачи точного учёта свойств симметрии рассматриваемой системы В настоящее время большое внимание уделяется непертур-бативным подходам к квантованию и построению при этом вычислительной процедуры, которая не вступала бы в противоречие со свойствами симметрии системы. Такое несоответствие, например, при квантовании нелинейных теорий в окрестности классического решения уравнений движения, приводит к проблеме так называемых нулевых мод — квантовых флуктуации поля с нулевой частотой.

Впервые проблема точного учёта свойств симметрии при построении схемы приближенных вычислений, отличной от обычной теории возмущений, была поставлена в теории сильной связи. Она была принципиально решена Н. Н. Боголюбовым ^ на примере задачи о поляроне. В дальнейшем метод был развит /3"4,5/ для CH0TeMj обладающих симметрией относительно произвольной группы Ли точечных канонических преобразований. Метод преобразования Н. Н. Боголюбова заключается в преобразовании переменных, описывающих систему, выделяющем из них коллективные координаты — переменные, играющие роль параметров группы симметрии системы. Такое преобразование позволяет проводить строгий учёт законов сохранения наряду с построением ряда теории возмущений. В задачах теории сильной связи метод приводит к разложениям по обратным степеням константы связи.

Метод Н. Н. Боголюбова был также сформулирован в формализме функционального интегрирования^, что привело к частичному переоткрытию метода (метод коллективных координат) в каноническом формализме ^^. Он нашёл применение в различных задачах квантовой теории поля: теории сильной связи квантовой теории солитонов^, теории калибровочных полей.

Хорошо известна важная роль, которую играет исследование простых моделей в квантовой теории поля. Изучая простую модель, можно цредсказать и объяснить многие эффекты и результаты более реалистических теорий. Кроме того, на простых моделях удобно проверять приближенные методы.

Настоящая диссертация посвящена изучению двух актуальных задач квантовой теории поля в пределе сильной связи — модели статического источника (случай двух источников) и модели Ли. Теория сильной связи, впервые рассмотренная в работах ^^, представляет собой вариант построения последовательной вычислительной схемы для случая, когда взаимодействие не может рассматриваться как малое возмущение. В теории сильной связи, как правило, изучаются модели, описывающие взаимодействие нуклонов с мезонным полем. В такой системе мезонное поле в первом приближении не может рассматриваться как квантовый объект^. Это приводит к необходимости выделения большой классической составляющей из мезонного поля, что является главным эффектом сильной связи в системе.

В последнее время интерес к моделям теории сильной связи снова возрос. Одна из причин такого интереса связана с предложенным недавно ^^ вариантом модели мешков, учитывающим взаимодействие кварков в мешке с мезонным облаком путём введения в модель частичного сохранения аксиального тока на границе мешка. Цри этом эффективный лагранжиан взаимодействия кварков и мезонного поля имеет тот же вид, что и лагранжиан обычной ме-зон-нуклонной теории. Рассматривая случай неподвижных кварков, получают лагранжиан модели статического источника, взаимодействующего с мезонным полем. Естественно, что такая модель мешков вызвала, в частности, интерес к моделям статического источника в теории сильной связи.

Другой причиной повышения интереса к теории сильной связи явилось изучение поведения квантовой хромодинамики в пределе большого числа цветовых степеней свободы Л/ /14,15/^ в ра ботах указывается на существование тесной связи мезду пределом ©-о для барионов и пределом сильной связи.

Модель фиксированного источника является наиболее простой моделью, рассматриваемой в теории сильной связи. Неослабевающий интерес к этой модели объясняется возможностью наиболее просто описать взаимодействующую квантовополевую систему. Гамильтониан взаимодействия имеет вид: и где (j — константа связи,.

J)^fx) — функция источника Lго нуклона, У1 — число нуклонов в системе, у) — компоненты мезонного поля, ^¦ioL ~ оператор, конкретный вид которого зависит от варианта рассматриваемой модели (скалярной, псевдоскалярной, зарядово или унитарно симметричной).

В пределе сильной связи модель фиксированного источника исследовалась ещё в работах /ПД7/в в этих работах правильно учитывается главный эффект сильной связи — выделение большой классической составляющей из мезонного поля. Однако, полученная в /^Д?/ итерационная схема, не является инвариантной относительно группы симметрии из-за неправильного учёта вклада в итегралы движения от невзаимодействующей с источником части мезонного поля.

Б работах опирающихся на результаты работы Н. Н. Боголюбова № и развивающих идеи работ ^ t последовательно решена задача о фиксированном источнике в пределе сильной связи.

Случай модели с двумя источниками интересен тем, что позволяет исследовать взаимодействие двух частщ посредством сильно связанного с ними мезонного поля. В работах исследовалась модель с двумя источниками для случая абелевой группы симметрии системы Q (<&). Более интересен случай не-абелевой группы симметрии. В работе ^^ была предпринята попытка рассмотреть такой случай. Однако коллективные координаты были введены неверно, что не позволило получить строго инвариантную относительно группы симметрии системы теорию возмущений.

Одной из известных простых моделей квантовой теории поля является также модель Ли, предложенная в работе /22Л Модель Ли привлекает до сих пор большое внимание /23,24/f п0 скольку её простота сочетается с возможностью исследования различных эффектов, возникающих в более реалистических теориях: перенормировки, рассеяние, нестабильные состояния, связь между юкавским и четырёхфермионным взаимодействием и другие. Модель Ли описывает систему, состоящую из нуклонов и бозонов. Нуклоны могут находиться в двух состояниях, которые обычно называют — и V — состояниями. В этой модели не рассматриваются античастицы, поэтому она не обладает релятивистской инвариантностью. Поэтому естественно рассматривать нуклоны как статические или нерелятивистские.

Простота модели Ли непосредственно связана с её свойствами симметрии. Пространство состояний системы есть сумма подпространств, соответствующих различным собственным значениям интегралов движения A/i — оператора числа нуклонов и М — оператора суммарного числа нуклонов в I/ - состоянии и бозонов (а также полного импульса, если рассматривается вариант модели с нерелятивистскими нуклонами). Благодаря тому, что античастицы в модели отсутствуют, собственные состояния системы содержат конечное число частиц и поэтому задача может быть решена точно в секторах с небольшими значениями.

Mi и /И^. В литературе имеются точные решения в одно-нуклонном секторе (Mi ~ 1) при значениях ^ /25,26/^.

Точное решение в секторах с А/х^/ & становится очень сложным и пока не получено.

В диссертации модель Ли изучается в однонуклонном секторе в пределе сильной связи, рассматривается вариант модели с нерелятивистскими нуклонами. Предполагается, что результатом сильного взаимодействия является выделение из бозонного поля большой классической составляющей. Квантование проводится с помощью метода преобразования Н. Н. Боголюбова. Свойства симметрии системы не позволяют провести преобразование обычным способом, поэтому проводится преобразование Н. Н. Боголюбова для операторов рождения и уничтожения дрИ этом В03Ш кает задача устранения дополнительных нулевых мод, которая в диссертации решена. Полученное решение не содержит расходящихся величин даже в пределе локального взаимодействия, что отличает его от других решений модели Ли.

Изучение моделей теории сильной связи в том случае, когда нуклоны рассматриваются как нерелятивистские частицы, всегда приводит к уравнениям для частицы в самосогласованном поле. Эти уравнения отличаются от уравнений самосогласованного поля Хартри и Хартри — Фока, которые используются при изучении многоэлектронных атомов. В отличие от них уравнения самосогласованного поля метода сильной связи не содержат кулонов-ского потенциала ядра, а обменный член имеет противоположный знак и создаёт поэтому потенциальную яму. Уравнения этого типа возникают не только в теории сильной связи, но и при решении других задач квантовой теории поля /15,29−32/^ г? ОЧНОГО ре шения таких уравнений пока не получено. Примеры численного решения немногочисленны.

Численное решение особенно затруднительно в тех случаях, когда уравнение содержит параметры. Тогда безусловно полезным является использование аналитических приближённых методов решения. Один из таких методов — вариационный принцип, который и используется в диссертации. Другая возможность получения приближённого решения в аналитическом виде состоит в построении ряда теории возмущений по параметру, входящему в уравнение. Такая возможность также исследуется в диссертации.

Диссертация состоит из четырёх глав, введения, заключения и приложений.

Первая глава носит вводный характер. Она посвящена изложению метода Н. Н. Боголюбова на примере гамильтониана, описывающего взаимодействие нуклона с мезонным полем в случае сильной связи.

Во второй главе исследуется модель теории сильной связи с двумя статическими источниками, которые взаимодействуют с симметрично заряженным скалярным полем /44/в рруппа симметрии такой системы — группа вращений в изотопическом пространстве.

0(3). Решается задача построения преобразования Н. Н. Боголюбова для такого случая. Строится ряд теории возмущений по обратным степеням константы связи. Цри этом законы сохранения полного изотопического момента системы и полного заряда учитываются строго. Вычисляется энергия основного состояния и возбужденных уровней.

В третьей главе исследуется модель Ли с нерелятивистскими нуклонами в пределе сильной связи. Цроводится цреобразова-ние переменных, учитывающее свойства симметрии системы. Црео-бразование Н. Н. Боголюбова проводится для операторов рождения и уничтожения, что обусловлено свойствами симметрии системы. Решаются задачи редукции числа степеней свободы бозонного поля и устранения нулевых мод. Изучается матрица рассеяния бозона на составной системе, состоящей из голого нуклона и окружающего его виртуального облака.

Четвёртая глава посвящена изучению нелинейного уравнения Щредингера для частицы в самосогласованном поле, которое определяет свойства основного состояния системы, полученного в предыдущей главе, в локальном случае. Рассмотрение проводится с помощью двух приближенных методов: метода теории возмущений и вариационного метода Ритца. Цриближенное решение используется при изучении модели кварков в самосогласованном поле.

В заключении суммируются результаты, полученные в диссертации.

В приложениях приведены некоторые математические рассче-ты, а также явный вид громоздких выражений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /44−48/ ж докладывались на УН семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, июнь 1984).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим полученные в диссертации результаты.

1. Цроведено квантование методом преобразования Н. Н. Боголюбова модели двух статических источников, взаимодействующих с симметричным по заряду скалярным полем, в пределе сильной связи. Найдено в явном виде преобразование Н. Н. Боголюбова для двух источников в случае неабелевой группы 0(3). Это позволило построить ряд теории возмущений по обратной величине большой константы связи для энергии и вектора состояния, строго учитывающий законы сохранения. Получен изобарный спектр возбуждений системы двух источников.

Гамильтониан модели статического источника используется рядом авторов при изучении низкоэнергетической области КХД (модели мешков), для которой полученные результаты, таким образом, представляют интерес. Отмечена также аналогия между пределом сильной связи и моделями, претендующими на описание низкоэнергетической области КХД в пределе.

2. Получено решение модели Ли с нерелятивистской кинематикой нуклонов в пределе сильной связи в однонуклонном секторе. Бозонное поле квантуется в окрестности большой классической составляющей с помощью метода преобразования Н. Н. Боголюбова. Для энергии и векторов основного состояния и состояний рассеяния получена итерационная схема вычислений, строго инвариантная относительно преобразований симметрии системы. Цро-ведена редукция числа степеней свободы бозонного поля способом, согласующимся с преобразованием Н. Н. Боголюбова. Показано, что при этом удаляются как обычные, так и дополнительные, появляющиеся при неполной редукции, нулевые моды.

Таким образом, на примере модели Ли впервые решена задача квантования около классического решения и точного учета при этом симметрии системы для случая, когда требуется проведение преобразования Н. Н. Боголюбова непосредственно для операторов рождения и уничтожения. Этот результат имеет значение для квантовой теории солитонов.

3. Рассмотрена задача рассеяния бозона на составной системе, состоящей из нуклона и окружающего его облака. Найден эффективный способ построения итерационной схемы вычисления матрицы рассеяния. В низшем порядке для центрально — симметричного случая — матрица описывает рассеяние в S — и рволнах.

4. Показано, что полученное в диссертации решение модели Ли обладает очевидным преимуществом перед всеми другими ранее полученными решениями этой модели. Это преимущество заключается в том, что даже в локальном пределе состояния системы имеют конечную энергию, а амплитуда рассеяния бозона не обращается в нуль.

5. Цри изучении модели Ли возникает уравнение типа уравнений для частицы в самосогласованном поле, решение которых имеет важное значение не только для теории сильной связи, но и для многих других задач квантовой теории поля. Решение этого уравнения рассмотрено в диссертации на основе приближенных методов: построения теории возмущений по малому параметру и вариационного метода Ритца.

6. Изучен квазиклассический предел модели нерелятивистских кварков в самосогласованном поле. Вычислены масса, магнитный момент, среднеквадратичный зарядовый радиус протона в такой модели. При вычислениях используется полученное в диссертации вариационное решение уравнения для частицы в самосогласованном поле.

Актуальность задач теории сильной связи, изучению которых посвящена настоящая диссертация, подчеркивается их связью с проблемами, разрабатываемыми в квантовой хромодинамике, квантовой теории солитонов и других областях теории поля, где могут быть применены полученные результаты и рассмотренные приближенные методы.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить искреннюю признательность моему научному руководителю Н. Е. Тюрину за постоянное внимание и неоценимую помощь в работе, что явилось необходимым условием написания диссертации. Я глубоко благодарен О. А. Хрусталёву за многолетнее руководство моей научной работой, которое сыграло решающую роль при выборе темы диссертации.

Хочу поблагодарить О. Д. Тимофеевскуто — соавтора работы /45/1 за плодотворное научное общение.

Мне приятно выразить благодарность сотрудникам и аспирантам отдела теоретической физики ЙФВЭ за творческую атмосферу и доброжелательность, которые очень помогли в работе.

Я признателен П. А. Калинченко за создание условий для написания диссертации.

— уи.

ЛИТЕРАТУPA.

1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

Боголюбов Н.Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М., Наука, 1969.

2″ Боголюбов Н. Н. Об одной форме адиабатической теории воз.

3 и мущении в задаче о взаимодеиствии частицы с квантовым полем. — УЖ, 1950, т.2, с.3−24.

3. Солодовникова Е. П., Тавхелидзе А. Н., Хрусталёв О. А. Преобразование Н.Н.Боголюбова в теории сильной связи. — ТМФ, 1972, т. II, ЖЗ, с.317−330.

Разумов А.В., Хрусталёв О. А. Применение метода Н. Н. Боголюбова к квантованию бозонных полей в окрестности классического решения. — ТМФ, 1976, т.29, J63, с.300−308.

4. Разумов А. В., Хрусталёв О. А., Таранов АЛО. Метод Боголюбова и квантование полей в о! фестности классического решения. — Труды международного семинара по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля. Протвино, 1978.

Khrustalev О.А., Razumov A.V., Taranov A.Yu. Collective coordinate method in the canonical formalism: Bogolubov’s transformation.-Nucl.Phys., 1980, v, B172, lo. 1, p. 44−56. 5* Свешников К. А. Ковариантная теория возмущений в окрестности классического решения. — ТМФ, 1983, т.55, ЖЗ, с. 361 -384.

6. Gervais J.-L., Sakita В. Extended particles in quantum field theories.- Ehys.Rev., 1975, v. D11, No. 10, p. 2943−2945.

Gervais J.-L., Jevicki A., Sakita B. Collective coordinate method for quantization of extended systems.- Phys.Rep., 1976, v. C23, Ho. 3, p. 281−294.

7. Christ H.H., Lee T.P. Quantum expansion of soliton solutions.-Hays.Rev., 1975, v. D12, Ho. 6, p. 1бОб-1б27.

Tomboulis E. Canonical quantization of nonlinear waves.-Phys.Rev., 1975, v. D12, Ho. 6, p. 1678−1683.

8. Солодовникова Е. П., Тавхелидзе A.H., Хрусталёв O.A. Осцил-ляторные уровни частицы как следствие сильного взаимодействия с полем. — ТМФ, 1972, т.10, Ш, с.162−181.

Архипов А.А., Тюрин Н. Е. Задача рассеяния в теории сильной связи. — ТМФ, 1973, т.17, ЖЕ, с.57−66. Шургая А. В. Движение нерелятивистской частицы со спином в квантованном поле с сильной связью. — ТМФ, 1976, т.28, № 2, с.223−231.

Завтрак С.Т., Комаров Л. И., Феранчук И. Д. Теория сильной связи частицы и квантованного поля с внутренними степенями свободы. — ТМФ, 1981, т.47, Ж, с.55−66.

9. Разумов А. В. Преобразование Боголюбова и квантование соли-тонов. — ТМФ, 1977, т.30, И, с.18−27.

Rajaraman R. Solitons and Instantons. Amsterdam: Horth-Holland, 1982.

10. Gervais J.-L., Sakita B. Gauge degrees of freedom, external charges, and quark confinement in the /=0 canonical formalism. -Phys.Rev., 1978, v. D18, Ho. 2, p. 453−462. Christ H.H., Lee T.D. Operator ordering and Peynman rules in gauge theories.- Phys.Rev., 1980, v. D22, Ho. 4, p. 939−958.

11. Wentzel G. Zum problem des atatischen Mesonfeldes.- Helv. Phys. Acta, 1940, b. 13, s. 269−308.

Pauli W., Dancoff S.M. The pseudoscalar meson field with strong coupling.- Phys.Rev., 1942, v. 62, No. 3 and 4, p. 85−108.

12. Brown G.E., Rho M. The little bag.- Phys.Lett., 1979, V. B82, Ho. 2, p. 177−180.

A.W. Thomas, S. Theberge, G.A. Miller. Cloudy bag model of the nucleon.- Phys.Rev., 1981, v. D24, Ho. 1, p.216−229.

13. Parmentola J.A. Static-Bag-Source meson field theory: strong-coupling approximation.- Phys.Rev., 1983, v. D27, Ho. 11, p. 2686^-2707.

Parmentola J.A. Some implications of a small bag radius.-Phys.Rev., 1984, v. D29, Ho. 11, p. 2563−2581. Bolsterli M. Asymptotic behavior of static meson potentials. -Phys.Rev., 1983, v. D28, Ho. 10, p. 2643−2648.

14. G. *t Hooft. A planar diagram theory for strong interactions. -Hucl.Phys., 1974, v. B72, Ho. 3, p. 461−473.

15. Witten E. Baryons in the ^/tf expansion.- Hucl.Phys., 1979, v. В 160, Ho. 1, p. 57−115.

16. Gervais J.-L., Sakita B. Large H QCD baryon dynamics-exact results from its relation to the static strong coupling theory. Phys.Rev.bett., 1984, v. 52, Ho.2, p. 87−89. Bardahci K. The Skyrme model, the strong coupling theory and the static quark model.- Hucl.Phys., 1984, v. B243, Ho. 2, p. 197−204.

Parmentola J.A., The Skyrnic model and the strong-coupling approximation.-Phys.Rev., 1984, v. D30, Ho.3, p.685−687.

17. Вентцель Г.

Введение

в квантовую теорию волновых полей. М.: Гостехиздат, 1947.

18. Тюрин Н. Е., Шургая А. В. Метод сильной связи в модели с фиксированным источником. — ТМФ, 1973, т.16, Ш9 с.197−212. Толстенков А. Н., Тюрин Н. Е., Шургая А. В. Метод сильной связи в скалярной SU (3) — симметричной теории. — ТМФ, 1974, т.19, № 2, с.208−216.

19. Тимофеевская О. Д., Тюрин Н. Е., Шургая А. В. Метод сильной связи в заряженной скалярной теории с двумя источниками. -ТМФ, 1973, т.17, М, с.79−89.

20. Тимофеевская О. Д. Учет относительного группового движения в заряженной скалярной теории с двумя источниками. — ТМФ, 1978, т.37, Ш9 с.203−211.

21. Serber R., Dancoff S.M. Strong coupling mesotron theory of nuclear forces.- Hiys.Rev., 1943, v. 63″ Ho. 5, p.143−161.

22. Lee T.D. Some special examples in renormalizable field theory.- Phys.Rev., 1954, v. 95, Ho. 5, p. 1329−1334.

23. Хепп P. Теория перенормировок. M.: Наука, 1974. Chiang С.С., Chin С.В., Sudarshan, X. (Data. An operator approach to the strong coupling transmutation of a Yukawa interaction.- Hucl.Ehys., 1982, v. B204, Ho. 2, p.306−316. Соколов M.A. Безмассовая модель Ли. — Записки научных семинаров ЛОМИ, 1983, т.120, с.166−172.

24″ Bolsterli М. Pield-operator decomposition in the Lee model.

— Hiys.Rev., 1983, v. D27, Ho. 12, p. 2940−2943.

25. Швебер С.

Введение

в релятивистскую квантовую теорию поля. М.: Иностранная литература, 1963.

26. Bolsterli М. Algebraic solntation in the V-G sector of the Lee model.- Phys.Rev., 1968, v. 166, Ho.5,p.1760−1766.

27. Тимофеевская О. Д. Преобразование Боголюбова в терминах операторов рождения и уничтожения. — ТМФ, 1983, т.54, № 3, с.317−321.

28. Wellner М. Energy renormalisation in ordinari wave mechanics. — Phys.Rev., v. 118, Ho. 3, p. 875−877.

29. Пекар С. И. Автолокализация электрона в диэлектрической инерционно поляризующейся среде. — КЭТФ, 1946, т.16, М, с.335-, 339.

30. Lieb В.Н. Existense and uniqueness of the minimising solution of Choquard’s nonliniar equation. — Stud.Appl.Math., 1977, v. 57, Ho. 2, p. 93−106.

31. Takahashi Y. The structure of the nuclear core by the Hartree approximation. — Hucl.Phys., 1961, v. 26, Ко. 4, p. 658−669.

32. Efinger H.J. Solitary-wave motion for gravitating particles. — Lett. Huovo Cim., 1980, v. 27, Ho. 14, p. 454−456.

33. Балабаев H.K., Лахно В. Д. Солитонные решения в теории поля-рона. — ТМФ, 1980, т.45, с.139−141.

Боголюбская А.А., Боголюбский И. Л. Исследование барионопо-добных связанных состояний нерелятивистских кварков в приближении самосогласованного поля. — ТМФ, 1983, т.54, с.258−267.

34. Myake S.J. Strong-coupling limit of the polaron ground state. — J.Phys.Soc.J., 1975, v. 38, Ho. 1, p. 181−182.

35- Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975.

36. Разумов А. В., Таранов АЛО. Рассеяние на нерелятивистской частице в теории сильной связи. — ТМФ, 1978, т.35, 1ЬЗ, с.312−321.

37. Солодовникова Е. П., Тавхелндзе А. Н. Задача двух тел в адиабатической и сильной связи.- ТМФ, 1974, т.21, Ж,: с. 13−29.

38. Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975.

39. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. М.:Мир, 1967.

40. Levi-Leblond J.M. Galilean quantum field theory and a ghostless Lee model.- Comm.Math.Phys., 1967, v.4, Ho.3, p.157−176.

41. Efinger H.J., Grosse H. On bound state solutions for certain nonlinear Schrodinger equations. Preprint UWThPh-1983;4. ViennaUniversity of Vienna, 1983.

42. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Гостехиздат, 1951.

43. Михлин С. Г. О сходимости рядов Фредгольма.- ДАН СССР, 1944, т. 42, !Ю, с.387−390.

44. Борняков В. Г. Метод сильной связи в симметричной скалярной теории с двумя источниками. -ТМФ, 1982, т.51, J52, с.247−258.

45. Борняков В. Г., Тимофеевская О. Д. Преобразование Боголюбова в модели Ли. — ТМФ, 1983, т.55, № 2, с.202−215.

46. Борняков В. Г. Рассеяние в модели Ли, решаемой методом Н. Н. Боголюбова. Препрнт 83−189. Серпухов: ИФВЭ, 1983.

47. Борняков В. Г. Квантование статической модели Ли методом преобразования Н. Н. Боголюбова. Препринт 84−137. Серпухов:1984.

48. Борняков В. Г. Нелинейное уравнение Шредингера для частицы в самосогласованном поле. Препринт 84.138. Серпухов: ИФВЭ, 1984.

49. Meyer К. Zur Durchfuhrung eines Variationsverfahrens in einer skalaren Feldtheorie. — Ann.Phys., 1956, b.17, h.2−3, s. 109−114.

50. Priedberg R., Lee T.D. Fermion-field nontopological soli-tons.- Phys.Rev., 1977, v. D15, No. 6, p. 1694−1711. Friedberg R., Lee T.D. Fermion-field nontopological soli-tons. II. Models for hadrons.- Phys.Rev., 1977, v. D16, Ho. 4, p. 1096−1118.

Friedberg R., Lee T.D. Quantum chrотоdynamics and the soli-ton model of hadrona.- Phys, Rev., 1978, v. D18, Ho. 7, p. 2623−2631.

51. Goldflam R., Wilets L. Soliton bag model.- Phys.Rev., 1982, v. D25, No. 7, p. 1951;1963.

Saly R., Sundaresan M.K. Excited states in the soliton bag model.- Phys.Rev., 1984, v. D29, No. 3, p. 525−532.

52. Breit J.D. Quantization of bag-like solitons.- Nucl.Phys., 1982, v. B202, No. 1, p. 147−179.

53* Rafelski J. Self-consistent quark bag in three space dimensions. -Phys.Rev., 1976, v. D14, No. 9, p.2358−2361. Nishimura A. Classical solutions for fermions and bosons in field theory.- Prog.Theor. Phys., 1977, v. 58, No. 5, p. 1567−1579.

54. Клоуз ф. Кварки и партоны. М.: Мир, 1982.

55. Коккедэ Я. Теория кварков. М.: Мир, 1971.

56. Боголюбов П. Н. Уравнения для связанных состояний (кварков). -ЭЧАЯ, 1972, т.З. Н, с.144−174.

57. Семёнов С. В. Задача трёх тел в теории сильной связи.- ТМФ, 1974, т. 18, с.353−366.