Модели физического вакуума в неабелевой калибровочной теории поля

Квантовая теория калибровочных полей занимает доминирующее положение в физике элементарных частиц. С ней связаны надежды объединения всех фундаментальных взаимодействий в природе: описания гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий элементарных частиц в рамках единой теории.

Основой этих теорий служит принцип локальной калибровочной инвариантности взаимодействий относительно той или иной группы симметрии. Хорошо изученным примером квантовой калибровочной теории поля является квантовая электродинамика [l-з], в рамках которой была разработана теория возмущений, позволяющая вычислять процессы с участием электронов, позитронов и фотонов с любой степенью точности. Электромагнитное поле оказалось калибровочным полем принимающим значения в алгебре Ли абелевой группы U (1), а уравнения Максвелла — уравнениями движения абелевого калибровочного поля [4].

Янг и Миллс развили указанный принцип локальной калибровочной инвариантности для неабелевых групп / конкретно, для группы изотопической симметрии сильных взаимодействий / [б]. Вообще говоря, поля Янга-Миллса можно ассоциировать с любой компактной полупростой группой Ли [4]. Оно задается векторным полем, принимающим значения в алгебре Ли этой группы.' Получаемые с помощью принципа наименьшего действия уравнения движения называются уравнениями Янга-Миллса. Они представляют собой систему нелинейных уравнений второго порядка в частных производных, Неабелев характер калибровочной группы радикально меняет теорию: она заключает в себе самодействие, обладает богатой непертурба-тивной структурой, свойством асимптотической свободы и т. д.

Поля Янга-Миллса служат фундаментом для перенормируемой теории электрослабого взаимодействия Вайнберга-Салама [6,7], предсказавшей существование нейтральшх токов, тяжелых вектор-шх бозонов. Эксперименты последних лет привели к открытию W ,.

5f 0 бозонов — переносчиков слабого взаимодействия [8]. Это явилось одним из важных доводов в пользу идей калибровочной инвариантности всех фундаментальных взаимодействий в природе.

Другое важное направление в развитии физики элементарных частиц охватывает сферу сильных взаимодействий и воплотилось в квантовой хромодинамике / КХД / [9], описывающей взаимодействие цветных кварков посредством обмена октетом безмассовых векторных частиц — глюонов. Эта теория основана на точной локальной калибровочной цветовой группе S U (з) и объясняет целый О ряд экспериментов адронной физики. Сюда, в первую очередь, следует отнести масштабную инвариантность сечения глубоконеупругих лептон-адронных реакций. Причиной этому явилась асимптотическая свобода теории, т. е. уменьшение постоянной взаимодействия с увеличением величины переданного импульса. Это свойство КХД обеспечивает возможность применения теории возмущений для вычисления характеристик адронных реакций в области высоких энергий [ю]. В КХД было предсказано образование, при высоких энер-¦ + гиях столкивающихся G S — пучков, кварк-антикварковой пары и глюона, которые потом фрагментируются в адроны. Экспериментальное наблюдение этого процесса — трехструйных событий является одним из наиболее впечатляющих успехов КХД. Полученные из этих опытов данные говорят о том, что глюоны являются векторными частицами, что находится в согласии с КХД.

Адронная физика в области низких энергий, малых переданных импульсов, где асимптотическая свобода теряет силу и поэтому нельзя пользоваться теорией возмущений, представляет собой пока нерешенную проблему. Следует добавить, что в природе в свободном состоянии наблюдаются только «белые» адроны, т. е. цвет, как квантовое число кварков является ненаблюдаемым. Этот экспериментальный факт формулируется как свойство невылетания или «конфайнмента» кварков. Несмотря на многочисленные попытки, до сих пор не удалось вывести конфайнмент из общих принципов теории поля.

Б последнее время интенсивно разрабатываются различные модели теории великого объединения / ТВО / и теорий, основанных на принципе суперсимметрии [II, 12]. Модели великого объединения претендуют на единое описание сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий и опираются на калибровочные группы, содер-жающие в себе стандартную S Q (3)хS U V J (l) модель. При таком подходе электрический заряд оказывается квантованным, при высоких энергиях все три взаимодействия описываются единой константой связи и т. д. К числу недостатков теории следует отнести рост числа промежуточных бозонов, хиггсовских скаляров. Теории великого объединения предсказывают нестабильность протона, возникающую из самого принципа объединения кварков и лептонов. в единый фермионный мультиплет калибровочной группы, объясняют барионную асимметрию Вселенной.

Многообещающими являются попытки включения гравитационного взаимодействия в общую схему калибровочных полей. Такие модели основываются на принципе локальной суперсимметрии и получили название супергравитации [12]. Суперсимметричные модели теории поля, супергравитация в частности, привлекательны тем, что в их рамках сокращаются характерные для квантовой теории поля расходимости.

Выше было отмечено, что поля Янга-Миллса характеризуются самодействием. Нелинейный характер уравнений Янга-Миллса приводит к многочисленным явлениям, которые выходят за рамки традиционной теории возмущений и требуют для своего объяснения разработку новых методов исследования, новых взглядов. Одним из важных и неожиданных свойств неабелевой калибровочной теории оказался топологически сложный характер ее вакуума. На это указали работы [13,14], где была построена концепция топологически нетривиального вакуума. Оказалось, что он является суперпозицией вакуумных секторов с различными значениями топологического заряда Ц, именно | у{у, причем случай Ц= 0 соответствует пертурбативному вакууму. Толчком для этих работ послужило открытие инстантонных решений уравнений Янга-Миллса [15,16], так как они не только суть вакуумные флуктуации калибровочного поля с нулевой энергией, но и решения с топологическим зарядом и со свойством квантомеханического туннелирования между вакуумными секторами с различным значением yi. Инстан-тон обладает единичным топологическим зарядом, является несингулярным, самодуальным решением уравнений поля в евклидовом пространстве. Он связывает сектора и VI Найденные позже в явном виде многоинстантонные решения [17] со значением топологического заряда, равным числу инстантонов А/, описывают процесс туннелирования из 1и) в | п+Л/). Таким образом, инстантоны снимают вырождение вакуума. Обсуждение проблемы туннелирования с точки зрения пространства Минковского можно найти в [18].

Сложная структура основного состояния теории существенно влияет на физические процессы и приводит к результатам, которые в принципе могут быть обнаружены экспериментально. В качестве примера следует указать на возможность нарушения законов сохранения барионного и лептонного чисел из-за инстантонов в теории электрослабого взаимодействия [19], что делает возможными реакции типа р + И 6 Амплитуды приведенных процессов в теории Вайнберга-Салама малы. Однако, инстантонные эффекты в КХД могут быть значительными.

Известны меронные решения уравнений Янга-Миллса [20]. Меро-ны не самодуальны, сингулярны, их действие бесконечно. Они обладают топологическим зарядом i/2,. Оказалось, что мерон интерполирует между двумя вакуумными состояниями, одно из которых представляет собой обычный пертурбативный вакуум с нулевым топологическим зарядом, а другим является один из вакуумов Грибова.

Повышенный интерес к инстантонам и меронам долгое время поддерживался надеждой доказать с их помощью конфайнмент [l5,22j. Предпринимались попытки [23] получить адронную структуру с помощью концепции наполненного инстантонами и меронными парами вакуума КХД. Согласно этим представлениям адрон является замкнутой системой / «мешком» / кварков и глюонов, внутри которой подавлены инстантонные и меронные эффекты. Стабилизация «мешка» достигается за счет осуществляемого внешним, по отношению к ад-рону, истинным основным состоянием КХД давлением. Однако, описанная картина является качественной, строго конфайнмент, как.

Отметим, что туннелирование между вакуумами И =-Ul осуществляется инстантоном. указывалось выше, не доказан. Тем" не менее, инстантонные и ме-ронные решения уравнений Янга-Миллса, вакуумы Грибова указали на богатую физическую структуру основного состояния в неабелевых калибровочных теориях поля, не охватываемую теорией возмущений. Они прояснили важность поисков новых решений классических уравнений движения, так как при квантовании теории они так или иначе проявляются в ее структуре. Б первом приближении ищутся решения классических уравнений, а квантовые эффекты учитываются квантованием найденных решений квазиклассическим методом [24] .

• Смысл постоянных решений заключается в том, что они являются первым приближением к вакуумному среднему квантованных полей и часто сигнализируют о нарушении симметрии. Статичные решения при квантовании приводят к образованию нового вакуумного сектора, наполненного тяжелыми частицами — монополями. Монополи, например, в теориях великого объединения могут играть роль катализатора протонного распада [25]. Физическое значение решений в мнимом времени обсуждалось выше. Все сказанное подтверждает значимость для квантовой теории поля поиска новых решений классических уравнений, а также разработки новых или обобщения развитых в рамках КЭД методов исследования указанного круга проблем.

Сложная структура вакуума КХД не исчерпывается только его топологическими свойствами, она имеет и другой, не менее важный аспект. Им является наличие ненулевого глюонного и кваркового конденсатов в основном состоянии теории. Понимание этой ситуации возникло после работ [26, 27, 28], в которых в однопетлевом приближении был вычислен эффективный лагранжиан калибровочного поля во внешнем хромомагнитном поле, причем поляризация вакуума происходила за счет глюонной петли, т. е. за счет самодействия калибровочного поля. Оказалось, что взаимодействие глюонов с внешним полем указанного типа понижает энергию системы. Другими словами, состояние с ненулевым значением хромомагнитного поля является по отношению к вакууму теории возмущений энергетически более выгодгым. Поэтому однородное хромомагнитное поле, заданное линейно зависящими от координат потенциалами, выступает в роли «ферромагнитного» вакуума КХД. Это явление имеет своим аналогом бозе-конденсацию в теории конденсированных сред и механизм. Хиггса в квантовой теории поля [29]. Хорошо известно, что наличие ненулевого классического слагаемого в выражении оператора поля является признаком бозе-конденсации, а само слагаемое играет роль конденсатной волновой функции. Это же характерно и для механизма Хиггса, в котором ненулевое вакуумное значение скалярного поля сигнализирует о нарушении калибровочной симметрии рассматриваемой модели / теория Вайнберга-Салама, ТВО /. Применение теории возмущений около нового вакуума в моделях с хиггсовскими скалярами приводит к генерации масс промежуточных бозонов, кварков и т. д.

Точно так же можно считать, что квантовые флуктуации генерируют некоторые отличные от нуля характеристики вакуума /конденсат /, на фоне которых можно применять стандартную теорию возмущений. Наиболее простой реализацией глюонного конденсата является однородное, постоянное хромомагнитное поле. Изучение на его фоне различных процессов представляет большой интерес, так как приближенно учитывает непертурбативность основного состояния КХД, его влияние на адронную физику.

Однако «ферромагнитный» вакуум оказался нестабильным относительно глюонных флуктуаций [30], что послужило стимулом для его дальнейшего развития. Были предложены способы удаления найденных неустойчивостей, которые в конечном итоге привели к соз-данш картины «кош^агенского» вакуума [31−33]. По этим представлениям вакуум КХД, для удаления нестабильностей разделяется на области — домены, внутри которых хромомагнитное поле направлено вдоль определенной оси или против нее. Образование доменной структуры понижает энергию основного состояния относительно «ферромагнитного» вакуума. Квантовые флуктуации самих доменов нарушая «кристаллическую» доменную структуру образуют квантовую жидкость / «спагетти» -вакуум /. Квантомеханическая суперпозиция хромомагнитного поля по всем направлениям в жидкостной модели завершает создание «копенгагенского» вакуума.

Очень важной является проблема согласования развиваемых моделей вакуума с экспериментальными данными адронной физики, или хотя бы, с успешными феноменологическими разработками, описывающими структуру адронов. Группа авторов [34, 35] рассматривая ад-рон в рамках модели мешков, предполагая существование внутри ад-рона пертурбативного,(а вне него «ферромагнитного» вакуумов, оценили разность энергий между первым и вторым. Полученный результат находится в удовлетворительном согласии с феноменологическим значением постоянной мешка.

Более плодотворным оказался развитый в [36] метод правил сумм, учитывающий в отсутствие полной теории КХД вакуума, информацию о структуре теории на больших расстояниях введением вакуумных средних глюонного и кваркового полей. Эти постоянные являются характеристиками основного состояния И' с помощью правил сумм связаны с экспериментальными данными. Таким образом удалось вычислить некоторые характеристики адронного спектра, например, массы, лептонные ширины. Сравнивая выводы правил сумм с экспериментальными данными можно получить значения самих КХД парамат-ров. В частности, величина глюонного конденсата получается из анализа КХД правил сумм для кваркония, значение кваркового конденсата — из алгебры токов.

Из-за неабелевого характера калибровочной группы, в отличие от КЭД, для задания внешнего хромополя или глюонного ковденсата открываются различные возможности [37]. Оно может быть реализо-. вано или зависящими линейно от координат потенциалами, или постоянными неабелевыми потенциалами. Первый из отмеченных методов оказывается неабелевым обобщением хорошо известной процедуры в КЭД. Второй способ, не шлея аналогов в КЭД, представляет особый интерес, так как даже на уровне классических уравнений получаются существенно отличные, по сравнению с линейными потенциалами, результаты [37]. Хромомагнитные поля, заданные постоянными потенциалами также являются хорошими претендентами на роль физического вакуума КХД: в однопетлевом приближении плотность энергии такого состояния отрицательна [38]. Однако изучение неабелевых постоянных потенциалов затруднено тем, что они не являются решениями свободных уравнений Янга-Миллса, требуют наличия в правой их части тока. Найти функциональную зависимость тока от потенциалов самого калибровочного поля и от кварковых волновых функций, исходя из общих принципов теории поля не удается. Дело в том, что в общем случае необходимо не только ввести ток кварков, но и найти дополнительное уравнение его взаимодействия с калибровочным полем, т. е. провести исследование самосогласованного, нелинейного взаимодействия калибровочного поля и кварков. Поэтому приходится идти на некоторые упрощения, предполагать явный вид этого тока, считать, что он создается самим калибровочным полем и подбирать его из соображений аналогии между теорией конденсированных сред и теорией поля. Для этого можно использовать известные и введенные ранее для других целей лагранжианы.

Интенсивное изучение температурных явлений в неабелевых теориях началось с работы [зэ], где было показано, что при определенной температуре происходит восстановление спонтанно нарушенной симметрии. Интереск данной тематике связан с возможностью существования при высоких температурах и плотностях фазового перехода адроны — кварк-глюонная плазма, что равносильно переходу конфайнмент — свободные кварки, глюоны. Поэтому плазма свободных кварков, глюонов рассматривается как новое состояние материи [40]. Такое состояние может существовать в природе в недрах нейтронных звезд или образоваться в адронных столкновениях большой энергии. К фазовому переходу конфайнмент-плазма можно подойти с разных сторон: со стороны фазы конфайнмента, изучая в терминах кварковых полей структуру адронов, процессы протекающие внутри них, что в настоящее время из-за отсутствия точной теории вакуума КХД является затруднительным, или со стороны плазменной фазы. Последняя возможность, в силу свойства асимптотической свободы КХД при высоких температурах и плотностях [41] оказалась более плодотворной, так как такую плазму можно изучать с помощью обычной теории возмущений, вычислять ее характеристики [42] .

Предметом интенсивных исследований является термодинамика глюонного конденсата или непертурбативного вакуума КХД. Основная идея работ [43 — 4б] заключается в изучении возможности фазового перехода из модельного непертурбативного вакуума ввакуум теории возмущений. Используя в роли основного состояния «ферромагнитный» вакуум и по разному трактуя значение нестабильной моды, разными авторами получены взаимоисключающие результаты. Так, в [44] утверждается существование такого перехода, тогда как авторы работы [4б], проделав более точные вычисления, оставили этот вопрос открытым. Дело в том, что хотя действительная часть термодинамического потенциала при любых значениях температуры имеет отличный от нуля минимум, температурная зависимость его мнимой части не дает возможность говорить о наличии или отсутствии перехода. Б роли основного состояния, по-видимому, следует использовать стабилизированный вакуум. Здесь же дана критика статьи [43] ', в которой авторы для мнимой части — температурного эффективного потенциала приводят неверный результат.

Б работах [47, 48, 49] приведено решение модели адронного газа, которая позволяет показать возможность реализации фазового перехода между ним и кварк-глюонной плазмой, выяснить его характер, а также найти свойства высокотемпературной фазы. Здесь адроны рассматриваются как кварковые мешки с учетом их спектра и пространственных размеров. Непертурбативная структура вакуума КХД учитывается введением в соответствующие формулы постоянной мешка.

Диссертация посвящена изучению свойств вакуума в неабелевой калибровочной теории поля / группа (J (2) /. Модельными ваку-умами в наших исследованиях являются хромомагнитные поля, заданные постоянными потенциалами.

Б главе I подробно изучены свойства неабелевых постоянных потенциалов. Показано, что они являются простыми решениями уравнений Янга-Миллса с током. Здесь же получены нелинейные плоско.

— 15 волновые решения уравнений.

— IllЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации изучены свойства модельных непертурбатив-ных вакуумов, заданных хромомагнитными полями различных конфигураций. Приведем основные результаты проведенных нами теоретических исследований:

1. Исследованы уравнения Янга-Миллса с током^. Получены нелинейные плосковолновые решения этих уравнений. Показано, что частным случаем этих решений являются постоянные потенциалы.

Приведены и изучены нелинейные плосковолновые решения уравнений, следующих из лагранжиана Дшулия-Зи (1.37).

2. Получено однородное решение уравнений Янга-Миллса с током ^ = ж в мнимом времени, связывающее постоянные потенциалы (I.I3), являющиеся таким образом, асимптотиками указанного решения (2.8) в пределе бесконечно больших значений мнимого времени.

3. Дано обобщение развитого В. С. Поповым в рамках КЭД метода мнимого времени на случай неабелевых теорий. Обобщенный метод позволяет изучать стабильность модельного вакуума теории Янга-Миллса относительно флуктуации самого калибровочного поля, а также рождения пар частица-античастица. В ходе исследований предложено выражение для действия классической частицы, обладающей изоспиновыми степенями свободы, выведены уравнения движения.

4. Обобщенным методом мнимого времени вычислено точное выражение (5.30) для мнимой части плотности энергии хромомагнит-ного поля / «ферромагнитный» вакуум /, заданного зависящими ли.

— 112 нейно от координат потенциалами.

С помощью понятия подбарьерной траектории, определенной в изотопическом пространстве, найдено приближенное выражение для вероятности распада вакуума в реализованном постоянными потенциалами (6.1) хромоэлектрическом поле.

5. Исследована поляризация модельных неабелевых вакуумов в секторе скалярных частиц, принадлежающих к фундаментальному и присоединенному представлениям калибровочной группы J (J (2) .

Б однопетлевом приближении получены перенормированные эффективные лагранжианы скалярных частиц (8.15), (8.30), (9.9), (9.13).

Б случае слабого и сильного хромомагнитных полей найдены их асимптотики.

6. На фоне хромомагнитных полей вычислена свободная энергия газа скалярных частиц / изоспинорных и изовекторных /. Получены точные выражения для &|(Н, Т) (8.19), (8.27), (9.12), (9.14). Они представлены в виде сумм функций Макдональдса. Проведено изучение точных формул в пределах высоких IjjHV №"Т f и низких JcjH температур.

7. Во внешних хромомагнитных полях (8.1), (8.28) вычислены эффективные однопетлевые лагранжианы кварков. В случае заданного симметричными постоянными потенциалами (8.28) хромомагнитно-го поля найден энергетический спектр кварка. Указано на факт стабильности кварковых уровней в таком поле.

8. Выведены соотношения для свободной энергии равновесного кварк-антикваркового газа во внешнем хромомагнитном поле. Полученная высокотемпературная асимптотика сравнивается с соответствутощей формулой из КЭД.

9. Найден вклад безмассовых кварков нескольких ароматов в плотность энергии непертурбативного вакуума. Полученное выражение, а также численное значение глюонного конденсата, использованы для оценки размерного параметра КХД Д. Показано, что рассматриваемые в диссертации «неабелевые» вакуумы являются хорошими приближениями к истинному основному состоянию теории.

Б заключение хочу выразить глубокую признательность научному руководителю, доктору физ.-мат. наук Б. Ч. Жуковскому за постоянное внимание и вдохновляющую поддержку, искренне поблагодарить кандидата физ.-мат. наук А. С. Вшивцева за помощь, плодотворные дискуссии и практические советы в работе.

Автор глубоко благодарен заведующему кафедрой теоретической физики профессору И. М. Тернову за предоставленную возможность заниматься данной темой и оказанное внимание, а также всем участникам семинара профессора А. А. Соколова.