Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и квадратичные гамильтонианы

При исследовании устойчивости решений дифференциального уравнения ж it) +А frrt) + Bx (t) — О (I) второго порядка с операторными ограниченными самосопряженными коэффициентами, А, В часто пользуются следующим приемом (см. напр. И): уравнение (I) приводится к уравнению (относительно hoeой неизвестной У) ijj УС*} -}Hy (f), (2) где Н — ограниченный самосопряженный оператор во вспомогательном гильбертовом пространстве со скалярным произведением (,), а — самосопряженный оператор в том же гильбертовом пространстве, удовлетворяющий соотношению I. При этом оператор «J Н, не являясь вообще говоря самосопряженным по отношению к (,), является самосопряженным по отношению к индефинитному скалярному произведению ,'V-r (' •) в следующем смысле:

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2) — пусть U (t)'. —— соответствующий пропагатор: ijtwt) = }нит, U (o) =i, U (t+tD)-u (t)u (tj.

Оператор U (t) при любом t € IR оказывается унитарным по отношению к {,} оператором: и некоторые вопросы устойчивости решений уравнения (I) приводятся к задаче вычисления максимального неотрицательного инвариантного, относительно действия группы {U («t)l-t подпространства L пространства %%, т. е. такого замкнутого подли-неала L пространства fty, что при всех «t^lR U («t)L^L? y, V>2 о (VyeL) (з) и такого, что L — максимальный по теоретико-множественному включению линеал среди линеалов, удовлетворяющих (3). Б частности, система (I) устойчива.

3 И е IR+ VteIR llU (-fc)ll ^ И, тогда и только тогда, когда существует такое максимальное неотрицательное инвариантное подпространство L, что.

Ь = L + L" 4'1, W где: lfVX-в L) (X'Z } при этом автоматически оказывается LrvL ^ = { 0}. Если в случае (4) положить vy< eL, уг 6L±U q (у"*у*) :={y<, y<} - {уг, уг}, то отображение C| будет квадратом гильберивой нормы на, инвариантной относительно действия всех U (+) (UIR), и кроме того будет выполняться неравенство.

1{У, Уо}1г ^(qyHqyo) (vy, (5) т. е. q будет по терминологии [2, с. 58, 77] квадратичной мажорантой формы {, }.

В том случае, когда система не является устойчивой, { U (t) }+4|£-инвариантной квадратичной мажоранты формы уже не существует (однако может существовать максимальное неотрицательное инвариантное подпространство). В качестве естественного обобщения соотношения (5) в данной работе предлагается такое:

КУ.У.Я* * (qy)(qy0) (Vy, y0 eD4), (6) где q уже есть неотрицательная квадратичная форма, заданная лишь на некотором подлинеале «D^ линеала i/J- «Е этом случае мы будем говорить об обобщенных квадратичных мажорантах формы { ,) .

Если положить.

Dq := L + L41, (7) qty.+y".): *{У<, У<�ЫУ*, УЛ (Vy< 6L, y4eL4v), (8) то нетрудно показать, что отображение С| корректно определено (хотя сумма (7), вообще говоря, не дизъюнктна) и что CJ удовлетворяет соотношению (б) — если при этом подпространство.

L {Utt^gj^-инвариантно, то и С| также вариантно.

Обобщенная квадратичная мажоранта формы {,} - это объект, вообще говоря, более общей природы, чем максимальное неотрицательное подпространство, поэтому возникает вопрос: какое отношение имеют квадратичные мажоранты к максимальным неотрицательным подпространствам? ОтЕет на этот вопрос дается в пункте 2.5. Представимые мажоранты, где устанавливается взаимно-однозначное соотношение между максимальными неотрицательными подпространствами и минимальными по отношению к некоторому частичному порядку мажорантами формы {,}. При этом оказывается верным следующее утверждение (теорема 2.5.1.): для того чтобы ограниченный {, 1-унитарный оператор U обладал максимальным неотрицательным инвариантным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы U обладал инвариантной минимальной мажорантой формы {., ].

В теории устойчивости решений уравнений типа (I) ванную роль играет существование специального максимального неотрицательного инвариантного относительно действия некоторого двояко-~Унесшшавдего оператора т К Ту, Ту} г.

Iff (TrL) I > 1 т. е. спектр сужения Т на L лежит вне открытого единичного круга). Для {}} -унитарного оператора Т удовлетворяющего дополнительному условию.

1+" })Т (1~7>) -компактен, (9) эта задача была положительно решена М. Г. Крейном (1984 г.) [з]. В настоящей р’аботе будет показано, что при выполнении условия (9), эта задача имеет положительное решение вообще для любого двояко- -несжимающего оператора Т (теорема 2.6.1).

Вернемся к соотношению (5). Если вместо Ь^ взять линейное (пре)симплектическое пространство «Z, а вместо (пре)симплектическую (билинейную) форму 6″: Z *» Z (R, то тогда условие (5), иыееющее в данном случае вид б" (У, Уо)2 * (qy1(qy0) (у, у, е Z) Go) является необходимым и достаточным [4,5] для того, чтобы квадратичная форма 2q была корреляционной функцией некоторого квазисвободного состояния на * -алгебре канонических коммутационных соотношений в форме Вейля. В разделе 3. Квадратичные состояния на * -алгебрах Ве^ля мы продолжим отображение «квадратичная мажоранта состояние» на множество обобщенных квадратичных мажорант так, что образом квадратичной мажоранты снова будет состояние. Множество этих состо— ш’й (квадратичных (c)стояний) будет обобщением множества квазисвободных состояний с нулевым средним. При этом окажется верным следующее утверждение (теорема 3.3.1): для того чтобы квадратичное состояние было чистым, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ним мажоранта формы б* была минимальной. Последний результат вместе с вышеупомянутой теоремой 2.5.1 позволяет свести в так называемых регулярных пространствах задачу существования чистых квадратичных состояний, инвариантных относительно действия заданной группы квазисвободных^{-автоморфизмов} *-алгебры Вейля, к задаче существования специального максимального неотрицательного инвариантного относительно некоторой группы унитарных в индефинитной метрике операторов подпространства. (Это пространство с индефинитной метрикой {,} строится так: fyfr := стандартная комплексификация Z, {*,'} := продолжение формы Д° полуторалинейной формы на Ъу). При этом построение чистого инвариантного квадратичного состояния является естественным обобщением процедуры диагонализации квазисвободных * -автоморфизмов и квадратичных гамильтонианов, порождающих эти^{-автоморфизмы,} посредством линейного преобразования Боголюбова (см. напр. 16,7,8]).

Поскольку линейное преобразование Боголюбова, диагона-лизующее произвольно заданный квазисвободный *-автоморфизм, существует не всегда (например, автоморфизм масштабных преобразований недиагонализуем), естественно возникает задача существования чистых квадратичных инвариантных состояний. Пример 2.3.1 (вместе с теоремой 3.3.1) показывает, что в общем случае эта задача имеет отрицательное решение. Б случае т.н. регулярных пространств задача существования чистых квадратичных состояний, инвариантных относительно заданной коммутативной группы квазисвободных^{-автоморфизмов} имеет (см. замечание 2.5.4) не менее общий характер, чем проблема Филлипса (см. напр. 19]).

Работа выполнена в НИИМ ВГУ и докладывалась на семинаре по математическим методам квантовой теории ИМ АН УССР (доктор физ.-мат.наук. Фущич В.И.), 1981 г.- в УШ-й Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах, г. Рига, 1983 г. в Воронежских зимних математических школах 1980 — 1983 г. г.- на семинаре по индефинитной метрике ВГУ проф. Иохвидов И.С.), 1979 — 1984 г.г., а также на научных сессиях Воронежского госуниверситета, 1979 — 1984 г. г., и конференциях молодых ученых НИИМ ВГУ, 1980 — 1983 г. г.

Диссертация состоит из введения, тр’еЬс разделов и списка литературы. Первый раздел — предварительные сведения. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27 — 32] .

1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. — 536 с. .

2. Bogna’r J. Indefinite inner product S/яасes. Berlin-HziotelierqNew York: Sfiringer-Verlaq, 19 22 4 ft,.

3. Крейн М. Г. Об одном новом принципе применения метода неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. ДАН СССР, 1954, т. 154, № 5,с. 1023 1026.

4. Млписеаи. J-.yerteuneA. Quasi-free states of the C.C.R. Algeira and Во у tit iubov «transformations.- Commun. math. Pkys, 196*, и. 9} tir. 3, ft. 293−302.

5. Холево А. С. Исследования по общей теории статистических решений. Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 124. М.: Наука, 1976. — ИГос.

6. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965. 236 с.

7. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1973. 480 с.

8. Дадашев Л. А., Кулиев В. Ю. Диагонализация билинейных бозе-гамильтонианоЕ и асимптотическое поведение порождаемых ими гейзенберговых полей. Теор. и мат. физ., 1979, т.39, К 3, с. 330 346.

9. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения. В кн.: Математический анализ. Итоги науки и техники, М., ВШИТ И, 1979, т.17, с. 115 — 207.

10. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512 с.- 105.

11. ЭМХ Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. И.: Мир, 1979. 423 с.

12. Диксмье С* -алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. 400 с.

13. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972. 336 с.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

15. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. M. s Мир, 1969, 447 с.

16. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971, 359 с.

17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. I. М.: Мир, 1977. — 357 с.

18. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

19. Быков Я. В., Боташев А. И., Мерзлякова Г. Д. О символическом методе решения краевых и начальных задач линейных операторных уравнений. Дифф. уравн., 1974, т. 10, № 12,с. 2192 2207.

20. Ис Ennis B.W. Fundameniat reduclblkly of seff-ad joint operators on К rein space, «Journal of operator theory, 1982, vS, Nr. 2, ji. 2f9 225.

21. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики Т. 2. М.: Мир, 1978, — 395 с.

22. Гинзбург Ю. П., Иохвидое И. С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой. -Успехи мат. наук, 1962, т. 17, К 4, с. 3 56.

23. Хацкевич В. А. Об одном применении принципа сжатых отображений в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Функц. анализ, 1978, т. 12, К I, с. 88 — 89.

24. Крейн М. Г., Шмульян Ю. Л. 0 плюс операторах в пространстве с индефинитной метрикой. Матем. исследования, 1966, т. I, № I, с. 131 — 161.

25. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. М.: Мир, 1968. 191 с.

26. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир, 1982. 428 с.

27. Азизов Т. Я., Хорошавин С. А. Об инвариантных подпространствах операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой. Функц. анализ, 1980, т.14, с. I -7.

28. ХорошаЕин С.А. О связи понятий теории пространств Крейнаи *-алгебр / Воронеж, гос. унт. Воронеж, 1981. — 19с. — Рукопись деп. в ВИНИТИ 27.04,81. If? 1916 — 81.

29. ХорошаЕин С.А. О апространствах Крейна и^{-автоморфизмах.} В кн.: ХУ Воронежская зимняя математическая школа: Тез. докл. / Воронеж, гос. унт. Воронеж, 1981, с. 120. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 16.12.81, lb 5691 — 81.

30. Хорошавин С. А. О квадратичных состояниях на *-алгебре Вейля / Воронеж, гос.унт. Воронеж, 1983. — 32 с. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 30.08.83, К 4823 — 83.

31. Хорошавин С. А. Об *-алгебре Вейля и квадратичных состояниях. В кн.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Всесоюзн. конф. Рига, 1983, т.2, с. 108 — 109.

32. Хорошавин С. А. Квадратичные мажоранты полуторалинейных форм и *-представления / Воронеж, гос. унт.- Воронеж, 1984. 44 с. — Рукопись деп. в ВИНИТИ 9.04.84,№ 2135 — 84.